3. Ecuaciones Diferenciales Lineales Homogéneas de Orden Superior con Coeficientes Constantes. Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden

Transcripción

1 3. Lineales Homogéneas de de Segundo Orden Sabemos que la solución general de una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden está dada por por lo que se tiene dos soluciones no triviales, en caso de tener sólo una solución diferente a la trivial, se procede a encontrar una nueva solución a partir de ésta. Método de reducción de orden. Se sabe que si es una solución no trivial de, entonces se satisface que Se desea encontrar una segunda solución a partir de, en donde se desconoce., la cual se propone como A fin de comprobar que es solución de la ecuación diferencial se obtiene la primera y segunda derivada Entonces la segunda solución esta dada por: 1

2 3. Lineales Homogéneas de Ejemplo S7.1: Considere la ecuación diferencial Y resuélvala mediante el método visto 2

3 3. Lineales Homogéneas de Ejercicios S7.1: Usando la fórmula resuelva Ecuación diferencial 1. si 2. Resultado Reducción de Orden. Sin conocer previamente una solución A partir de una ecuación diferencial consideremos dos casos para resolver este tipo de ecuaciones: CASO 1) Ausencia de la variable dependiente Si la variable dependiente no aparece explícitamente en la ecuación diferencial, entonces, se puede escribir introduciendo una nueva variable dependiente tal que y entonces la ecuación diferencial queda como. Ejemplo S7.2: Considere la ecuación diferencial 3

4 3. Lineales Homogéneas de CASO 2). Ausencia de la variable independiente Si la variable independiente no está presente explícitamente, la ecuación diferencial de segundo orden se puede escribir introduciendo la variable dependiente del mismo modo que en el caso anterior y en este caso Por lo tanto la ecuación diferencial queda expresada como. A partir de este cambio se puede proceder como el caso anterior. Ejemplo S7.3: Considere la ecuación diferencial 4

5 3. Lineales Homogéneas de Ejercicios S7.2 Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales mediante reducción de orden Ecuación diferencial Solución Ordinarias Lineales de Orden Superior Una ecuación diferencial ordinaria lineal de orden, con, (es decir con derivadas de orden superior) en la variable dependiente y la variable independiente, con, es aquella que se puede expresar de la forma: Se supondrá que toda, así como son funciones continuas reales en un intervalo real. Los coeficientes podrán ser variables o constantes. Si la ecuación diferencial de orden superior se considera homogénea, sino fuese el caso será no homogénea. Se distinguen 4 tipos diferentes de ecuaciones diferenciales: 1) Si son constantes y y entonces es ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes no homogénea. Por ejemplo: 2) Si son constantes y y entonces es ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes homogénea. Por ejemplo: 5

6 3. Lineales Homogéneas de 3) Si son variables y y entonces es ecuación diferencial lineal con coeficientes variables no homogénea. Por ejemplo: 4) Si son variables y y entonces es ecuación diferencial lineal con coeficientes variables homogénea. Por ejemplo: Operadores Diferenciales y su Álgebra Definición. Se llama operador diferencial lineal D, al operador que cumple las siguientes propiedades: para todo número arbitrario. Si se asume que por potencias de D, como:, entonces se pueden representar las derivadas de una función Por lo tanto la ecuación diferencial lineal de n-ésimo orden se puede expresar como: o también donde se conoce como factor diferencial de orden n, y D es un operador diferencial. Leyes Fundamentales para los Factores Diferenciales Se dice que dos funciones diferenciales y son iguales si y solamente si, se produce el mismo resultado cuando cada uno de ellos actúa sobre una función (aceptando que la función puede derivarse tantas veces como sea necesario, de acuerdo al orden de la derivada). 6

7 3. Lineales Homogéneas de De esta manera sí: Por otra parte, considere y cualesquiera factores diferenciales de la forma: Entonces se cumple: Ley conmutativa de la adición. Ley asociativa de la adición ( ) ( ) Ley asociativa de la multiplicación ( ) ( ) Ley distributiva de la multiplicación respecto a la adición Ley conmutativa de la multiplicación ( ) Si y son dos enteros positivos y es un operador diferencial lineal, entonces: Observaciones: 1) Es de gran utilidad que los factores diferenciales satisfagan las leyes de algebra sobre polinomios. 2) En atención a las propiedades se puede establecer que: Es equivalente a Donde denotan las raíces de, es decir, como resultado del Teorema Fundamental del Algebra es posible factorizar el polinomio en factores de primer grado y deducir las n raíces reales o complejas. 7

8 3. Lineales Homogéneas de 3) Con base en la ley de los exponentes, será posible aplicar de forma iterada la derivada n-ésima sobre la función, haciendo: n veces Ejemplo S7.4. Exprese función y tal que como un factor diferencial aplicado a la Ejercicios S7.3. Ejecute el factor diferencial de acuerdo a las indicaciones. 1. Exprese como un producto ( ) 2. Exprese a través de una factor diferencial en forma polinomial de orden tres, tal que 3. Exprese la derivada de orden dos como un producto de factores diferenciales de orden uno aplicando la función 4. Calcule 5. Dado los operadores y la función pruebe que se cumple que. 6. Dado los operadores y la función pruebe que no se cumple que. 8

9 3. Lineales Homogéneas de Definición. Si para toda en el intervalo, al aplicar el operador diferencial a una función sucede que ( ) a este operador se le denomina Operador Diferencial Anulador. Ejemplo S7.5. Compruebe que y anulan a la función. Con lo que se concluye que el operador anulador de una función no es único. Ejercicios S7.5. Encuentre el operador anulador para las siguientes funciones 1. Compruebe que anula a la función 2. Compruebe que anulan a la función 9