ECUACIONES DIFERENCIALES INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES

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1 ECUACIONES DIFERENCIALES INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES Objetivo: El alumno conocerá las ecuaciones en derivadas parciales y aplicará el método de separación de variables en su resolución. SUBTEMA V.4. Resolución de problemas de condiciones iniciales y de frontera: Ecuaciones de onda, calor y Laplace con dos variables independientes. Introducción En el estudio de los fenómenos naturales de la vida cotidiana, las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales aparecen con mucha frecuencia y ellas describen los eventos que están descritos por una función de varias variables. Hay tres tipos importantes de problemas que se considerarán: 1. Problemas que involucran vibraciones u oscilaciones. 2. Problemas que involucran conducción o difusión de calor. 3. Problemas que involucran potencial eléctrico o gravitacional. Definición de ecuación en derivadas parciales Toda igualdad que relaciona a una función desconocida con sus variables independientes y con sus derivadas parciales, se llama ecuación diferencial en derivadas parciales. Se representa por donde es la variable dependiente. Solución general Una función es solución general de una ecuación diferencial en derivadas parciales de orden, si la satisface al sustituirla en ella y además involucra funciones arbitrarias diferentes; esto es, se tiene una función de varias variables que contiene funciones univariables esenciales y arbitrarias. Solución particular Una solución particular de una ecuación diferencial parcial es aquella que se obtiene de la solución general aplicando valores en la frontera. Método de separación de variables 1. Se supone una función solución de la ecuación diferencial parcial, o bien,. 2. Sustituir a y sus derivadas parciales en la ecuación diferencial parcial. 3. Separar en cada lado de la ecuación diferencial parcial a las funciones univariables con sus respectivas derivadas. 4. Se igualan ambos lados de la ecuación diferencial parcial con una constante, llamada constante de separación. 5. Resolver las dos ecuaciones diferenciales ordinarias que se tienen. 6. Multiplicar las soluciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias del paso anterior, para así obtener la solución completa de la ecuación diferencial parcial. Es importante subrayar que: como la constante de separación no se conoce, salvo en ejercicios escolares, se deben analizar las posibilidades del signo de dicha constante, tomando en cuenta la información completa del experimento físico o de la aplicación en el caso real. Limitaciones del método de separación de variables a) La ecuación diferencial parcial tiene que ser lineal. b) La solución de la ecuación diferencial parcial debe ser una función de dos variables independientes. 1

2 Principio de superposición Es bien conocido en la teoría de las ecuaciones diferenciales el hecho de que si cada una de las funciones satisfacen una ecuación diferencial parciales lineal y homogénea, entonces toda combinación lineal de estas funciones en donde los son constantes, y " " también satisface la ecuación. Condiciones de contorno En muchos casos la solución general de una ecuación diferencial parcial se usa realmente poco puesto que debe satisfacer otras condiciones, llamadas condiciones de contorno, que provienen de las consideraciones físicas del problema. Lo anterior resulta más complicado en el caso de las ecuaciones en derivadas parciales que en el caso de las ecuaciones en derivadas ordinarias debido a la gran variedad de elecciones aceptables para las funciones arbitrarias. Por tal motivo, y también por el hecho de que las soluciones generales a menudo se desconocen, son de gran importancia algunos métodos de solución como el de separación de variables, descrito anteriormente, y el de las trasformadas integrales (método de Fourier) que nos proporciona la solución de una ecuación que cumple determinadas condiciones de contorno. El término condición de contorno es claramente apropiado cuando una ecuación debe resolverse en una región dada del espacio, con valores de la variable dependiente prescritos y dados sobre la frontera de. En el caso de ecuaciones en derivadas parciales en las que una de las variables independientes sea el tiempo, podemos conocer de antemano los valores de la variable dependiente e incluso de sus derivadas temporales en un instante de tiempo, por ejemplo. Tales condiciones se llaman condiciones iniciales y se pueden imaginar, sin embargo, como condiciones de contorno en un diagrama espacio-tiempo en el que uno de los ejes represente la coordenada temporal. La representación matemática de un fenómeno físico mediante una ecuación en derivadas parciales y un conjunto de condiciones de contorno está bien planteado si verifica dos condiciones: 1. La solución debe ser única. 2. La solución debe ser estable. Por otro lado, existen tres tipos principales de condiciones de contorno que aparecen con frecuencia en la descripción de los fenómenos físicos, a saber: 1. Las condiciones de Dirichlet: En las que la función " " se especifica en cada uno de los puntos de la frontera de la región. 2. Las condiciones de Neumann: En las que se prefijan los valores de la derivada normal de la función " " sobre la frontera. 3. Las condiciones de Cauchy: En este caso si una de las variables independientes es el tiempo, se conocen los valores de " " y " " en la frontera cuando se puede demostrar que tales condiciones son necesarias y suficientes para la existencia de una solución única a la ecuación diferencial. En el caso de la ecuación diferencial de onda unidimensional corresponde a este último, donde las condiciones de Cauchy se refieren, para el caso de la cuerda tensa, a los valores iniciales del desplazamiento transversal " " y de la velocidad transversal " " de dicha cuerda. Serie trigonométrica de Fourier La serie trigonométrica de Fourier es utilizada para diversos problemas de ingeniería, sólo se estudiará una introducción a la misma, con el objeto de poder determinar la solución particular de ciertas ecuaciones diferenciales parciales. Sea el espacio vectorial, de las funciones definidas en el intervalo. Si se define el producto interno como 2

3 entonces, se puede demostrar que el conjunto de funciones: es decir es un conjunto ortogonal de, y por lo tanto, una base de, donde cualquier función de, puede representarse como una combinación lineal de los elementos de la base, esto es: Casos particulares de la serie trigonométrica de Fourier Serie seno de Fourier Sea una función definida en el intervalo, si es una función tal que entonces es una función impar, y como los coeficientes y de la serie trigonométrica de Fourier de una función impar son nulos, se tiene: donde como y son funciones impares, su producto es una función par, y entonces Como para, se tiene donde La serie se llama serie seno de Fourier de la función. Serie coseno de Fourier Sea una función definida en el intervalo, si es una función tal que 3

4 entonces es una función par, y como el coeficiente de la serie trigonométrica de Fourier es cero, se tiene donde como y son funciones pares, su producto es una función par, entonces como para, se tiene donde La serie se llama serie coseno de Fourier de la función. Ecuaciones diferenciales parciales Las siguientes ecuaciones diferenciales parciales lineales desempeñan un papel importante en muchas áreas de ingeniería y física. La ecuación es conocida como ecuación de calor en una dimensión. La ecuación es conocida como ecuación de onda en una dimensión. Una dimensión se refiere al hecho de que generalmente representa el tiempo. denota una dimensión espacial, en tanto que La ecuación es conocida como ecuación de Laplace. El método de separación de variables se usa para resolver problemas aplicados, cada uno de los cuales es descrito por una de las ecuaciones anteriores además de ciertas condiciones adicionales. Estas condiciones consisten en: 1. Condiciones de frontera: ó especificada para ; ó especificada para, y 4

5 2. Condiciones iniciales: en para la ecuación del calor en una dimensión, o bien, y en para la ecuación de onda. La ecuación de calor en una dimensión aparece en la teoría del flujo de calor, esto es, calor transmitido por conducción en una varilla o en un alambre delgado. La función es la temperatura de la varilla. A la ecuación de calor a veces se le llama ecuación de la difusión, puesto que la difusión de sustancias disueltas en solución es análoga al flujo de calor en un sólido, la función que satisface la ecuación diferencial parcial representa, la concentración del líquido. La ecuación de calor surge en el estudio del flujo de electricidad en un cable largo o en una línea de transmisión, en este caso, es conocida como ecuación de transmisión (telegráfica). Se puede demostrar que bajo ciertas condiciones, la corriente y el voltaje en una línea son funciones que satisfacen dos ecuaciones con idéntica forma que la ecuación de calor. En los problemas de vibraciones mecánicas a menudo conducen a la ecuación de onda. La solución de la ecuación de onda representará los pequeños desplazamientos de una cuerda vibrante idealizada. La ecuación de onda también aparece en la teoría de las líneas de transmisión de alta frecuencia, mecánica de fluidos, acústica y elasticidad. La solución de la ecuación de Laplace puede ser interpretada como la distribución estacionaria, esto es independiente del tiempo, de la temperatura en una placa plana y delgada. La ecuación de Laplace se aplica en problemas de ingeniería relacionados con desplazamientos estáticos de membranas, y más a menudo, en problemas que tratan de potenciales, como potencial electrostático, potencial gravitacional y potencial de velocidad en la mecánica de fluidos. Primero se resolverán algunas ecuaciones diferenciales parciales, usando el método de separación de variables, para después proceder con las aplicaciones, y así, tener una mejor comprensión de éstas. Ejemplo 1. Determinar la solución de la ecuación diferencial parcial sujeta a las condiciones de frontera. Resolución En la resolución de este ejercicio se procederá por el método de separación de variables. En este problema no se conoce la constante de separación por lo que, el desarrollo a seguir definirá la solución en términos de dicha constante y después la condición de frontera llevará a la solución que satisfaga a la ecuación diferencial parcial. Según el método descrito anteriormente realizando las derivadas parciales, se tiene sustituyendo en la ecuación diferencial parcial realizando la separación de variables 5

6 igualando con la constante de separación entonces se procede a resolver cada una de las ecuaciones diferenciales ordinarias resolviendo para se tiene integrando entonces Por otro lado donde se puede escribir en términos del operador diferencial como donde el operador diferencial es el polinomio característico es resolviendo la ecuación de segundo grado por lo que la solución de la ecuación diferencial ordinaria, según las raíces es realizado la multiplicación para obtenerla función completa 6

7 sustituyendo condiciones considerando la igualdad el resultado anterior se puede escribir como desarrollando para encontrar el valor de sustituyendo en (2) simplificando igualando con en sustituyendo frontera, se tiene la solución de la ecuación diferencial parcial con condiciones de Ejemplo 2. Resolver la ecuación diferencial parcial para las condiciones de frontera Resolución Se propone por simplicidad se utilizará realizando las derivadas parciales y y 7

8 sustituyendo las derivadas parciales en la ecuación diferencial parcial separando variables igualando con la constante de separación las ecuaciones diferenciales ordinarias quedan en la forma resolviendo las ecuaciones diferenciales ordinarias en términos del operador diferencial el polinomio característico es la raíz es por lo que Para se trabaja con el operador diferencial y el polinomio característico quedan como sus raíces del polinomio característico son según las raíces del polinomio característico, la solución de la ecuación diferencial ordinaria para la obtención de la función de es sustituyendo en se obtiene Aplicando condiciones de frontera no se puede establecer así la igualdad porque hay dos exponenciales, entonces se utiliza superposición usando nuevamente condiciones se tiene 8

9 de la igualdad se observa que sustituyendo los valores encontrados para las condiciones de frontera, se tendría igualando los coeficientes por último, la solución es y Ejemplo 3. Resolver la ecuación diferencial parcial sujeta a Resolución Utilizando el método de separación de variables, se propone haciendo las derivadas parciales sustituyendo en la ecuación diferencial parcial separando variables igualando con la constante de separación para determinar las ecuaciones diferenciales ordinarias, se tiene Por consiguiente se procederá a resolver las ecuaciones diferenciales ordinarias es una ecuación de primer orden de variables separables, entonces 9

10 integrando se obtiene aplicando exponencial en ambos lados entonces la solución de la ecuación diferencial ordinaria Ahora se procederá a resolver la ecuación diferencial ordinaria de ordenando se tiene como es una ecuación de primer orden, se puede resolver por separación de variables integrando se obtiene aplicando exponencial en ambos lados por leyes de los exponentes entonces la solución es Multiplicando para así obtener la solución completa simplificando, se puede escribir como Usando las condiciones de frontera 10

11 igualando, se tiene que por el principio de superposición entonces las condiciones de frontera llevan a escribiendo nuevamente para que las formas se puedan igualar entonces Por lo tanto la solución de la ecuación diferencial parcial es Ejemplo 4. Utilizar el método de separación de variables para obtener la solución de la ecuación diferencial parcial que satisfaga la condición de frontera positiva. Resolución Considerando considerar una constante de separación realizando las derivadas parciales sustituyendo en la ecuación diferencial parcial separando variables igualando con la constante de separación positiva De la expresión anterior se tienen las ecuaciones diferenciales ordinarias y para resolver las ecuaciones diferenciales ordinarias, se procede de la manera siguiente 11

12 separando variables se tiene integrando Por lo que aplicando exponencial entonces la solución es Para la solución de la ecuación diferencial ordinaria, se procede de manera análoga se escribe como o bien, separando variables integrando aplicando exponencial en ambos lados por lo tanto Multiplicando las soluciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias también se puede escribir como 12

13 En condiciones se tiene como no es posible establecer la igualdad, se procederá a usar superposición usando nuevamente condiciones igualando las expresiones anteriores Por último, la solución de la ecuación diferencial parcial en condiciones de frontera es La ecuación de flujo de calor Supóngase que una barra delgada de metal de longitud se coloca en el eje de un sistema coordenado. Supóngase que la barra se sumerge en agua hirviendo de modo que su temperatura es de. Luego se saca y los extremos y se mantienen en hielo para que la temperatura en los extremos sea. Se debe suponer que no hay escapes de calor de la superficie de la barra, esto es, la barra está aislada. No es de preocupar cómo esto se puede conseguir físicamente. La pregunta correspondiente a dichas condiciones es, cuál será la temperatura de la barra en cualquier lugar en en cualquier tiempo? De otra forma, considérese una barra delgada o varilla de largo con una distribución longitudinal de temperatura y cuyos extremos se mantienen a una temperatura constante de cero grados en todo instante. 13

14 1. El flujo de calor se produce solamente en la dirección del eje. 2. No se pierde el calor a través de la superficie lateral de la varilla. 3. No se genera calor en la varilla. 4. La varilla es homogénea, esto es, su densidad por unidad de longitud es constante. 5. Su calor específico y su conductividad térmica son constantes. entonces la temperatura de la varilla está dada por la solución del problema de condición de frontera La constante es proporcional a la conductividad térmica y se llama difusividad térmica. Resolución Usando el producto y como constante de separación sustituyendo en la ecuación diferencial parcial 14

15 separando las variables e igualando con la constante de separación que es igual a entonces las ecuaciones diferenciales ordinarias son Resolviendo las ecuaciones ordinarias en términos del operador diferencial se puede escribir por lo que el operador diferencial es el polinomio característico se tiene como para obtener las raíces se escribe en forma elevando en ambos lados a la, entonces por lo que las soluciones son Resolviendo para se puede escribir como separando variables integrando ambos lados se obtiene despejando a entonces la solución de la ecuación diferencial ordinaria es 15

16 Valores propios y funciones propias Los valores para los cuales tiene una solución no trivial son conocidos como valores característicos o como valores propios. Las soluciones se denominan funciones características o funciones propias. Se debe notar que para un valor de distinto de los dados, la única solución es la función cero. A su vez, esto implicaría que una función que satisface la ecuación diferencial en derivadas parciales es, sin embargo, no es solución del problema original de condición en la frontera cuando. Naturalmente se supone que se cumple esta última condición. La solución de es realizando el producto satisfacen la ecuación diferencial parcial y las condiciones de frontera para cada valor del entero positivo. Para que las funciones satisfagan la condición inicial se tienen que elegir coeficientes constantes de modo que. En general, la condición anterior no se satisface para cualquier. Por lo tanto, no es una solución del problema dado. Sin embargo, por el principio de superposición, la función que satisface la ecuación diferencial parcial y la función en. Sustituyendo en la solución, se obtiene. Se observa que la última expresión es el desarrollo de en serie seno de Fourier en medio intervalo. Por consiguiente, si, se desprende que. Se concluye que la solución del problema de condición de frontera descrito está dada por la serie infinita Fronteras aisladas En el problema anterior, los extremos o fronteras de la varilla podían estar aislados. En una frontera aislada, la derivada normal de la temperatura es cero. Este hecho se deduce de una ley empírica que establece que la densidad de flujo de calor a través de una superficie (el flujo por unidad de tiempo) es proporcional al valor de la derivada direccional de la temperatura en dirección normal (perpendicular) a la superficie. La ecuación de onda Uno de los problemas más simples en vibraciones u oscilaciones que conducen a problemas de valor de frontera involucrando ecuaciones diferenciales parciales es el problema de una cuerda vibrante, tal como una cuerda de violín o de piano. 16

17 Considérese las vibraciones transversales de una cuerda extendida entre dos puntos, por ejemplo: y. Tal como se muestra en la figura. el movimiento se produce en el plano de manera tal que cada punto de la cuerda se mueve en dirección perpendicular al eje. Si denota el desplazamiento de la cuerda para medidos desde el eje, entonces satisface la ecuación de onda en una dimensión en la cuál se asume que: 1. La cuerda es perfectamente flexible. 2. La cuerda es homogénea, esto es, su masa por unidad de longitud es constante. 3. Los desplazamientos son pequeños comparados con el largo de la cuerda. 4. La tensión de la cuerda es constante. 5. La tensión es grande en comparación con la fuerza de gravedad. 6. No actúan otras fuerzas sobre la cuerda. Por consiguiente, un problema típico de condición en la frontera es Las condiciones de frontera dicen que los extremos de la cuerda permanecen fijos en todo instante. En, las funciones y especifican la configuración inicial y la velocidad inicial de cada punto de la cuerda, respectivamente. En este caso, se observa que es continua y que,. Resolución Se propone derivando parcialmente a 17

18 sustituyendo en la ecuación diferencial parcial separando variables o bien igualando con la constante de separación por lo que las ecuaciones diferenciales ordinarias son Resolviendo la ecuación diferencial ordinaria de escribiendo la expresión anterior en términos del operador diferencial el operador diferencial y el polinomio característico son obteniendo las raíces según las raíces obtenidas, la solución se escribe como Para la solución de la ecuación diferencial ordinaria se tiene o bien el operador diferencial es el polinomio característico, con sus raíces es entonces Por lo que la solución de la ecuación diferencial ordinaria según las raíces es Las soluciones quedaron de la forma y según el método de separación de variables, las condiciones de frontera se traducen en y 18

19 . Entonces se obtiene y. La ecuación anterior proporciona los valores propios,. Las correspondientes funciones propias son. La solución de la ecuación que satisface las condiciones de frontera son, y Haciendo, se tiene que el cual es un desarrollo de en serie senos en medio intervalo. Entonces. Para determinar se deriva con respecto a y luego se hace : Para que esta última serie sea un desarrollo de el coeficiente total, debe estar dado por en serie senos en medio intervalo. En el intervalo dado, de lo cual La solución formal del problema consiste en la serie con y Se debe notar que cuando la cuerda se suelta a partir del reposo, entonces para todo en, y en consecuencia,. La ecuación de Laplace Supóngase que se quiere obtener la temperatura correspondiente al estado permanente en una placa rectangular; las condiciones de frontera se pueden observar en la figura. 19

20 Cuando no se pierde calor a través de las caras laterales de la placa, el problema es Resolución De acuerdo con el método de separación de variables, se propone derivando parcialmente sustituyendo en la ecuación diferencial parcial se tiene separando variables o bien igualando con la constante de separación las ecuaciones diferenciales ordinarias son se pueden escribir como o bien Resolviendo las ecuaciones diferenciales ordinarias en términos del operador diferencial se obtiene 20

21 donde el operador diferencial es el polinomio característico está dado por para las raíces se desarrolla como por lo que y la solución de la ecuación diferencial ordinaria según las raíces es Para la solución de la ecuación diferencial ordinaria se tiene el operador diferencial de es el polinomio característico queda como las raíces del polinomio son entonces la solución de la ecuación diferencial ordinaria de acuerdo con las raíces del polinomio característico es En resumen las soluciones quedaron como y multiplicando, ya que, se tiene en donde las tres primeras condiciones de frontera se traducen en. Derivando y haciendo se obtiene, y por lo tanto,. Derivando nuevamente y haciendo resulta. Esta última condición se satisface cuando, cuando o bien, siendo. Obsérvese que implica que la ecuación ordinaria de se transforma en. La solución general de esta ecuación está dada por la función lineal no por. En este caso, las condiciones de frontera exigen que. Contrariamente, se concluye que es un valor propio. Haciendo corresponder con, se tiene que las funciones propias son 21

22 Finalmente, la condición obliga a que en, cuando. Sin embargo, cuando la ecuación se transforma en y por lo tanto la solución está dada por en lugar de. No obstante, nuevamente implica que y así. Por consiguiente, las soluciones en forma de producto de la ecuación que satisfacen las tres primeras condiciones de frontera son El principio de superposición da otra solución más y Si lo cual es, en este caso, un desarrollo de identificaciones en serie cosenos en medio intervalo. Si se hacen las y y La solución formal de este problema consiste en la serie en donde y están definidos por 22

23 Bibliografía García M., Próspero y de la Lanza E., carlos Ecuaciones Diferenciales y en Diferencias Limusa México, 1984 Zill, Dennis G. Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones de Modelado International Thomson Editores 6ª Edición México, 1998 Spiegel R. Murray Ecuaciones Diferenciales Aplicadas Prentice-Hall México, 1993 Arenas S., Enrique y Ramírez G., Margarita Cuaderno de Ejercicios de Ecuaciones Diferenciales Facultad de Ingeniería, UNAM México,