Preliminares Problemas de Valor Inicial Problemas de Contorno ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

Transcripción

1 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

2 Contenido Preliminares 1 Preliminares 2 3 El Método de Disparo Lineal

3 Contenido Preliminares 1 Preliminares 2 3 El Método de Disparo Lineal

4 Preliminares Las ecuaciones diferenciales se usan para construir modelos matemáticos de problemas de la ciencia y la ingeniería. A menudo se da el caso de que no hay una solución analítica conocida, por lo que se necesitan aproximaciones numéricas.

5 Preliminares Las leyes de la naturaleza no se suelen esconder detrás de fórmulas explícitas; lo que normalmente se puede medir es cómo los cambios de una variable afectan a otra variable. Cuando se traduce esto en un modelo matemático, el resultado es una ecuación diferencial que involucra La velocidad de cambio de la función desconocida. La variable dependiente. La variable independiente.

6 Definiciones Definición Una solución del problema de valor inicial (PVI) y = f (t, y), y (t 0 ) = y 0 en un intervalo [t 0, t 1 ] es una función derivable y = y (t) tal que y (t 0 ) = y 0 y y (t) = f (t, y (t)) t [t 0, t 1 ].

7 Contenido Preliminares 1 Preliminares 2 3 El Método de Disparo Lineal

8 Preliminares Sea [a, b] el intervalo en el que se quiere hallar la solución del PVI y = f (t, y), y (a) = y 0. Se construirá un conjunto finito de puntos {(t k, y k )} que son aproximaciones de la solución, o sea y (t k ) y k.

9 Preliminares Se divide el intervalo [a, b] en M subintervalos del mismo tamaño usando la partición dada por siendo h = b a M t k = a + kh; k = 0, 1,..., M, el tamaño del paso. Se procede a resolver aproximadamente en [t 0, t M ]. y = f (t, y), y (t 0 ) = y 0

10 Preliminares Desarrollando y (t) en serie de Taylor alrededor de t = t 0 : y (t) = X k=0 y (k) (t 0 ) k! (t t 0 ) k = y (t 0 ) + y (t 0 ) (t t 0 ) + y (t0 ) (t t 0 ) (1) 2 Evaluando (1) en t = t 1, y sustituyendo y (t 0 ) = f (t 0, y (t 0 )), h = t 1 t 0, se obtiene: ( y (t 1 ) = y (t 0 ) + hf (t 0, y (t 0 )) + O h 2).

11 Preliminares Si h es suficientemente pequeño, se puede despreciar el último término y obtener la aproximación de Euler y (t 1 ) y 1 = y 0 + hf (t 0, y 0 ). Repitiendo el proceso se genera una sucesión de puntos que se aproximan a la gráfica de la solución, y = y (t).

12 Preliminares El paso general del método de Euler es t k+1 = t k + h, y k+1 = y k + hf (t k, y k ) ; k = 0, 1,..., M 1.

13 Contenido Preliminares 1 Preliminares 2 3 El Método de Disparo Lineal

14 El Método de Runge-Kutta de Orden N = 2 (RK2) El desarrollo en serie de Taylor para y (t + h) alrededor de t es Recordando que y (t + h) = y (t) + hy (t) + h2 ( 2 y (t) + O h 3). (2) y (t) = f (t, y), (3) derivando respecto a t usando la regla de la cadena para funciones de dos variables, obtenemos y (t) = f t (t, y) + f y (t, y) y (t) = f t (t, y) + f y (t, y) f (t, y). (4)

15 El Método de Runge-Kutta de Orden N = 2 (RK2) Reemplazando (3) y (4) en (2): y (t + h) = y (t) + hf (t, y) + h2 h2 ft (t, y) fy (t, y) f (t, y) + O h 3. (5)

16 El Método de Runge-Kutta de Orden N = 2 (RK2) El método RK2 utiliza una combinación lineal de dos funciones que permita expresar y (t + h): donde f 0 = f (t, y), y (t + h) = y (t) + Ahf 0 + Bhf 1, (6) f 1 = f (t + Ph, y + Qhf 0 ) = f (t + Ph, y + Qhf (t, y)). (7)

17 El Método de Runge-Kutta de Orden N = 2 (RK2) Se aproxima f (t, y) con la serie de Taylor para una función de dos variables, obteniendo para (7b): ( f 1 = f (t, y) + Phf t (t, y) + Qhf y (t, y) f (t, y) + O h 2). (8) Reemplazando (7a) y (8) en (6), se obtiene la representación de y (t + h) que se usa en el método RK2: y (t + h) = y (t)+(a + B) hf (t, y)+bph 2 f t (t, y)+bqh 2 f y (t, y) f (t, y)+o h 3. (9)

18 El Método de Runge-Kutta de Orden N = 2 (RK2) Igualando los términos correspondientes de (5) y (9) se llega a que A, B, P y Q deben verificar el siguiente sistema de tres ecuaciones y cuatro incógnitas (sistema subdeterminado, se puede elegir libremente uno de los coeficientes) A + B = 1, BP = 1 2, BQ = 1 2 (10) para que el método RK2 de (9) tenga el mismo orden de precisión que el método de Taylor de (5) (de orden N=2).

19 El Método de Runge-Kutta de Orden N = 2 (RK2) Dos Elecciones Posibles: 1 A = 1 B = 1, P = 1, Q = 1. Sustituyéndolos en (6) se obtiene el 2 2 método de Heun (para generar la sucesión {(t k, y k )}): y (t + h) = y (t) + h (f (t, y) + f (t + h, y + hf (t, y))). 2 1 A = 0 B = 1, P = 1, Q = 1. Sustituyéndolos en (6) se obtiene el 2 2 método de Euler modificado o de Cauchy (para generar la sucesión {(t k, y k )}): y (t + h) = y (t) + hf t + h2, y + h2 «f (t, y).

20 El Método de Runge-Kutta de Orden N = 2 (RK2) Dos Elecciones Posibles: 1 A = 1 B = 1, P = 1, Q = 1. Sustituyéndolos en (6) se obtiene el 2 2 método de Heun (para generar la sucesión {(t k, y k )}): y (t + h) = y (t) + h (f (t, y) + f (t + h, y + hf (t, y))). 2 1 A = 0 B = 1, P = 1, Q = 1. Sustituyéndolos en (6) se obtiene el 2 2 método de Euler modificado o de Cauchy (para generar la sucesión {(t k, y k )}): y (t + h) = y (t) + hf t + h2, y + h2 «f (t, y).

21 El Método de Runge-Kutta de Orden N=4 (RK4) Simula la precisión del método de la serie de Taylor de orden N=4 y consiste en calcular la aproximación y k+1 así: y k+1 = y k + w 1 k 1 + w 2 k 2 + w 3 k 3 + w 4 k 4, (11) donde k 1, k 2, k 3, k 4 son de la forma k 1 = hf (t k, y k ), k 2 = hf (t k + a 1 h, y k + b 1 k 1 ), k 3 = hf (t k + a 2 h, y k + b 2 k 1 + b 3 k 2 ), k 4 = hf (t k + a 3 h, y k + b 4 k 1 + b 5 k 2 + b 6 k 3 ). (12)

22 El Método de Runge-Kutta de Orden N=4 (RK4) Igualando estos coeficientes con la serie de Taylor de orden N=4 (error de truncamiento O ( h 5) ), se llega al siguiente sistema de once ecuaciones y trece incógnitas (sistema subdeterminado, se pueden elegir libremente dos coeficientes):

23 El Método de Runge-Kutta de Orden N=4 (RK4) b 1 = a 1, b 2 + b 3 = a 2, b 4 + b 5 + b 6 = a 3, w 1 + w 2 + w 3 + w 4 = 1, w 2 a 1 + w 3 a 2 + w 4 a 3 = w 2 a w 3a w 4a 2 3 = w 2 a w 3a w 4a 3 3 = w 3 a 1 b 3 + w 4 (a 1 b 5 + a 2 b 6 ) = w 3 a 1 a 2 b 3 + w 4 a 3 (a 1 b 5 + a 2 b 6 ) = w 3 a 2 1 b 3 + w 4 a 2 1 b 5 + a 2 2 b 6 = w 4 a 1 b 3 b 6 = 1 2, 1 3, (13) 1 4, 1 6, 1 8, 1 12, 1 24.

24 El Método de Runge-Kutta de Orden N=4 (RK4) Elección Más Útil: a 1 = 1 2, b 2 = 0 a 2 = 1 2, a 3 = 1, b 1 = 1 2, b 3 = 1 2, b 4 = 0, b 5 = 0, b 6 = 1, w 1 = 1 6, w 2 = 1 3, w 3 = 1 3, w 4 = 1 6.

25 El Método de Runge-Kutta de Orden N=4 (RK4) Sustituyéndolos en (11) y (12), se obtiene la fórmula para el método RK4 estándar: A partir del punto inicial (t 0, y 0 ) se genera la sucesión de aproximaciones usando la fórmula recursiva donde y k+1 = y k + h (f 1 + 2f 2 + 2f 3 + f 4 ), 6 f 1 = f (t k, y k ), f 2 = f t k + h 2, y k + h «2 f 1, f 3 = f t k + h 2, y k + h «2 f 2, f 4 = f (t k + h, y k + hf 3 ).

26 Contenido Preliminares 1 Preliminares 2 3 El Método de Disparo Lineal

27 Ecuaciones Diferenciales Considere el PVI con dx dt dy dt = f (t, x, y) = g (t, x, y) (14) { x (t0 ) = x 0, y (t 0 ) = y 0.

28 Ecuaciones Diferenciales Una solución de (14) es un par de funciones derivables x (t) e y (t) tales que x (t) = f (t, x (t), y (t)) y (t) = g (t, x (t), y (t)) (15) con { x (t0 ) = x 0, y (t 0 ) = y 0.

29 Ecuaciones Diferenciales Para encontrar una solución numérica de (14) en un intervalo dado a t b considérense los diferenciales dx = f (t, x, y) dt, dy = g (t, x, y) dt. (16)

30 Ecuaciones Diferenciales Sustituyendo en (16) los diferenciales por incrementos: dt = t k+1 t k, dx = x k+1 x k, dy = y k+1 y k, obtenemos x k+1 x k f (t k, x k, y k ) (t k+1 t k ), y k+1 y k g (t k, x k, y k ) (t k+1 t k ). (17)

31 Ecuaciones Diferenciales Dividiendo el intervalo en M subintervalos de ancho h = b a M usando en (17) los puntos t k+1 = t k + h como nodos, obtenemos las fórmulas recursivas del método de Euler: y t k+1 = t k + h, x k+1 = x k + hf (t k, x k, y k ), y k+1 = y k + hg (t k, x k, y k ), para k = 0, 1,..., M 1.

32 Ecuaciones Diferenciales Para conseguir un grado de precisión razonable, es necesario utilizar un método de orden mayor. Por ejemplo, las fórmulas para el método RK4 son:

33 Ecuaciones Diferenciales t k+1 = t k +h, x k+1 = x k + h (f 1 + 2f 2 + 2f 3 + f 4 ) 6 donde, y k+1 = y k + h (g 1 + 2g 2 + 2g 3 + g 4 ), 6 f 1 = f (t k, x k, y k ), g 1 = g (t k, x k, y k ), f 2 = f t k + h 2, x k + h 2 f 1, y k + h «2 g 1, g 2 = g t k + h 2, x k + h 2 f 1, y k + h «2 g 1, f 3 = f t k + h 2, x k + h 2 f 2, y k + h «2 g 2, g 3 = g t k + h 2, x k + h 2 f 2, y k + h «2 g 2, f 4 = f (t k + h, x k + hf 3, y k + hg 3 ), g 4 = g (t k + h, x k + hf 3, y k + hg 3 ). (18)

34 Contenido Preliminares 1 Preliminares 2 3 El Método de Disparo Lineal

35 Son las que involucran las derivadas de orden superior x (t), x (t) y así sucesivamente. Aparecen en modelos matemáticos de problemas de la física y la ingeniería. Por ejemplo, mx (t) + cx (t) + kx (t) = g (t) representa un sistema mecánico: un resorte con constante de recuperación k, atado a una masa m, separado de su posición de equilibrio y tendiendo a volver a ella.

36 Son las que involucran las derivadas de orden superior x (t), x (t) y así sucesivamente. Aparecen en modelos matemáticos de problemas de la física y la ingeniería. Por ejemplo, mx (t) + cx (t) + kx (t) = g (t) representa un sistema mecánico: un resorte con constante de recuperación k, atado a una masa m, separado de su posición de equilibrio y tendiendo a volver a ella.

37 Se supone que: El amortiguamiento debido al rozamiento es proporcional a la velocidad. Existe una fuerza externa g (t). Se conocen la posición x (t 0 ) y la velocidad x (t 0 ) en un cierto instante t 0.

38 Se supone que: El amortiguamiento debido al rozamiento es proporcional a la velocidad. Existe una fuerza externa g (t). Se conocen la posición x (t 0 ) y la velocidad x (t 0 ) en un cierto instante t 0.

39 Se supone que: El amortiguamiento debido al rozamiento es proporcional a la velocidad. Existe una fuerza externa g (t). Se conocen la posición x (t 0 ) y la velocidad x (t 0 ) en un cierto instante t 0.

40 Se supone que: El amortiguamiento debido al rozamiento es proporcional a la velocidad. Existe una fuerza externa g (t). Se conocen la posición x (t 0 ) y la velocidad x (t 0 ) en un cierto instante t 0.

41 Despejando la derivada segunda, podemos escribir el PVI de segundo orden como ( ) x (t) = f t, x (t), x (t) (19) con x (t 0 ) = x 0, x (t 0 ) = y 0. Esta ecuación diferencial de segundo orden puede reformularse como un sistema con dos ecuaciones de primer orden usando la sustitución x (t) = y (t) x (t) = y (t). (20)

42 Entonces la ecuación diferencial (19) se convierte en el sistema dx dt dy dt = y = f (t, x, y) (21) con { x (t0 ) = x 0, y (t 0 ) = y 0. Al resolver (21) con un método numérico, se generan dos sucesiones {x k }, {y k }, siendo {x k } la solución de (19).

43 Contenido Preliminares El Método de Disparo Lineal 1 Preliminares 2 3 El Método de Disparo Lineal

44 Preliminares El Método de Disparo Lineal Otro tipo de ecuaciones diferenciales son de la forma ( x = f t, x, x ), a t b, (22) con la condición de contorno (o frontera) x (a) = α, x (b) = β. (23) Esto es lo que se conoce como problema de contorno o problema de valores en la frontera.

45 Preliminares El Método de Disparo Lineal Corolario. Problemas de contorno lineales. Supongamos que la función f es de la forma f (t, x, y) = p (t) y + q (t) x + r (t), y = x (t), y que f y sus derivadas parciales f f = q (t) y = p (t) son continuas en x y R = {(t, x, y) : a t b, < x <, < y < }. Si entonces el problema de contorno lineal q (t) > 0 t [a, b] (24) x (t) = p (t) x (t) + q (t) x (t) + r (t), x (a) = α, x (b) = β, (25) tiene solución única x = x (t) en a t b.

46 Preliminares El Método de Disparo Lineal Hay que comprobar que se cumplen estas condiciones antes de emplear un método numérico; si no se hace, puede que se obtengan resultados absurdos.

47 Contenido Preliminares El Método de Disparo Lineal 1 Preliminares 2 3 El Método de Disparo Lineal

48 El Método de Disparo Lineal El Método de Disparo Lineal (para problemas de contorno lineales) Supongamos que u (t) es la solución única del PVI u = p (t) u (t) + q (t) u (t) + r (t), u (a) = α, u (a) = 0. (26) Supongamos además que v (t) es la solución única del PVI v = p (t) v (t) + q (t) v (t), v (a) = 0, v (a) = 1. (27)

49 El Método de Disparo Lineal El Método de Disparo Lineal (para problemas de contorno lineales) Entonces la combinación lineal x (t) = u (t) + Cv (t) (28) es una solución de x = p (t) x (t) + q (t) x (t) + r (t).

50 El Método de Disparo Lineal El Método de Disparo Lineal (para problemas de contorno lineales) Veamos: x = u + Cv = p (t) u (t) + q (t) u (t) + r (t) + p (t) Cv (t) + q (t) Cv (t) ( ) = p (t) u (t) + Cv (t) + q (t) (u (t) + Cv (t)) + r (t) = p (t) x (t) + q (t) x (t) + r (t). (29)

51 El Método de Disparo Lineal El Método de Disparo Lineal (para problemas de contorno lineales) La solución x (t) de la ecuación (29) toma los siguientes valores en la frontera del intervalo: x (a) = u (a)+cv (a) = α+0 = α, x (b) = u (b)+cv (b). (30) Imponiendo la condición de contorno x (b) = β en (30) se obtiene C = β u (b). v (b)

52 El Método de Disparo Lineal El Método de Disparo Lineal (para problemas de contorno lineales) Por tanto, si v (b) 0, entonces la solución única del problema de contorno (25) es x (t) = u (t) + β u (b) v (t). (31) v (b) Observación: Si q verifica la hipótesis (24), entonces no se da el caso problemático de que v (t) 0, de modo que la solución buscada es la dada por (31).

53 El Método de Disparo Lineal El Método de Disparo Lineal (para problemas de contorno lineales) Por tanto, si v (b) 0, entonces la solución única del problema de contorno (25) es x (t) = u (t) + β u (b) v (t). (31) v (b) Observación: Si q verifica la hipótesis (24), entonces no se da el caso problemático de que v (t) 0, de modo que la solución buscada es la dada por (31).

54 Contenido Preliminares El Método de Disparo Lineal 1 Preliminares 2 3 El Método de Disparo Lineal

55 El Método de Disparo Lineal Para resolver algunos problemas de contorno de segundo orden pueden utilizarse las fórmulas de diferencias finitas que proporcionan aproximaciones a las derivadas. Consideremos la ecuación lineal x (t) = p (t) x (t)+q (t) x (t)+r (t), x (a) = α, x (b) = β, (32) en [a, b].

56 El Método de Disparo Lineal Para resolver algunos problemas de contorno de segundo orden pueden utilizarse las fórmulas de diferencias finitas que proporcionan aproximaciones a las derivadas. Consideremos la ecuación lineal x (t) = p (t) x (t)+q (t) x (t)+r (t), x (a) = α, x (b) = β, (32) en [a, b].

57 El Método de Disparo Lineal Hagamos una partición de [a, b] usando los nodos a = t 0 < t 1 <... < t N = b, siendo h = b a N y t j = a + jh para j = 0, 1,..., N. Usando las fórmulas de diferencias centradas para aproximar las derivadas x (t j ) = x (t j+1) x (t j 1 ) + O h 2 (33) 2h y x (t j ) = x (t j+1) 2x (t j ) + x (t j 1 ) h 2 + O h 2 (34)

58 El Método de Disparo Lineal se reemplaza cada término x ( t j ) del miembro derecho de (33) y (34) por x j y se sustituye el resultado en la ec. (32), lo que da x j+1 2x j + x j 1 h 2 +O h 2 = p `t x j+1 x j 1 j + O h 2 «+q `t j xj +r `t j. (35) 2h

59 El Método de Disparo Lineal Eliminando los términos de orden O ( h 2) en (35) e introduciendo la notación p j = p ( t j ), qj = q ( t j ), rj = r ( t j ), obtenemos la ecuación en diferencias x j+1 2x j + x j 1 h 2 = p j x j+1 x j 1 2h + q j x j + r j, (36) que se usa para calcular aproximaciones numéricas a la solución de la ecuación diferencial (32).

60 El Método de Disparo Lineal De (36), multiplicando por h 2, agrupando los términos que contienen las incógnitas x j 1, x j, x j+1 y disponiendo como un sistema de ecuaciones lineales, se obtiene un sistema tridiagonal de N-1 ecuaciones y N-1 incógnitas: h 2 p j 1 «x j h 2 q j x j + h 2 p j 1 para j = 1, 2,..., N 1, con x 0 = α, x N = β. «x j+1 = h 2 r j, (37)

61 El Método de Disparo Lineal Con notación matricial: h 2 q 1 h 2 p 1 1 h 2 p h 2 q 2 h 2 p h 2 p j h 2 q j h 2 p j h 2 p N h 2 q N 2 h 2 p N 2 1 h 2 p N h 2 q N x 1 x 2... x j... x N 2 x N = h 2 r 1 + e 0 h 2 r 2... h 2 r j... h 2 r N 2 h 2 r N 1 + e N siendo e 0 = ««h h 2 p α, e N = 2 p N β. Para un tamaño de paso h, la aproximación numérica que se obtiene es un conjunto finito de puntos {( t j, x j )}.

62 Apéndice Bibliografía MATHEWS, John; KURTIS, Fink. Métodos Numéricos con MATLAB. Prentice Hall, 2000.