Matemática, El número de oro fue estudiado desde antaño y hasta la. actualidad por sobresalientes matemáticos. Su relación con la

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1 Matemática, Armonía y Proporcionalidad de Belleza en el Entorno, a través del Número de Oro Resumen El número de oro fue estudiado desde antaño y hasta la actualidad por sobresalientes matemáticos. Su relación con la armonía y la belleza de nuestro entorno, así como también las propiedades que posee como número irracional motivó la curiosidad de un grupo de estudiantes, de segundo año medio, para realizar la presente investigación. Se consultó, en libros e internet, estudios que abarcaban diferentes áreas: matemática, botánica, arquitectura, anatomía, arte, y la naturaleza. Donde se encontró que por diversas razones, casi inconscientemente, los investigadores y creadores se encuentran con este patrón numérico, (el número de oro). Este estudio es impulsado con la idea de acercar, desde visiones no imaginadas, a la matemática con otras áreas. Para lo cual se comprobaron y verificaron propiedades del número de oro, utilizando conocimientos básicos de geometría, álgebra y trigonometría. Durante todo el proceso se recogió, clasificó y registró información. 13

2 Investigadores Escolares Bárbara Rocío Carrasco Carrasco (16 años) Ángela Natalia Lagos Pincheira (16 años) Camila Yanira Sáez Elgueta (16 años) Scarlet Margarita Sáez Elgueta (16 años) Javier Ignacio Sepúlveda Campos (16 años) Profesora Guía Sandra Margarita Mamani Elgueta Establecimiento Colegio Concepción de San Carlos Asesores Científicos José Sánchez, Doctor en Matemática, Decano Facultad Ciencias Físicas y Matemáticas, Universidad de Concepción. Monitor: Ricardo Oyarzúa, Licenciado en Matemática, Universidad de Concepción. Introducción Un matemático, como un pintor o un poeta, es un fabricante de modelos. Si sus modelos son más duraderos que los de estos últimos, es debido a que están hechos de ideas. Los modelos del matemático, como los del pintor o los del poeta deben ser hermosos. La belleza es la primera prueba; no hay lugar permanente en el mundo para unas matemáticas feas (G.H. Ardí). Por qué se habla de belleza y de matemática a la vez? Buscando respuesta a esta pregunta se encontraron los siguientes conceptos: divina proporción, número áureo, estética de las proporciones, la sucesión de Fibonacci, sección áurea y número de oro, entre otros. Lo que llevó a preguntarse qué motivación tuvo Kepler para señalar que La Geometría tiene dos grandes tesoros : el Teorema de Pitágoras; división de una línea en una proporción extrema y una media Hoy en día, cuando las matemáticas se nos hacen más familiares, hablamos de un número que ha cautivado desde tiempos remotos por su armonía y belleza de sus aplicaciones. Este es un número áureo, también llamado: el número de oro ; se conoce como Phi y su símbolo es. Para realizar este estudio se consultaron fuentes de internet con el fin de investigar hechos del entorno que tuvieran relación con las matemáticas. En las páginas de Explora se encontró información sobre el centro del girasol y su relación con la sucesión Fibonacci, hecho que finalmente capturó la atención y guió este estudio hacia el número de oro, Phi, en todos los ámbitos. Phi es un número irracional de valor ; Se puede encontrar desde tiempos antiguos en arquitectura, pintura, esculturas, música, geometría, en objetos cotidianos, en la sucesión de Fibonacci y más increíblemente en las proporciones de seres vivos, incluyendo por supuesto al ser humano. El propósito de este proyecto es demostrar las propiedades de. descubiertas y aplicadas en el pasado. Para ello, se estudiaron fórmulas, establecieron proporciones, se utilizaron teoremas en el área de la geometría y álgebra, lo que permitió acercar a Phi con sus aplicaciones. Además, se espera transmitir y enseñar en forma amigable conceptos matemáticos correspondientes al nivel de enseñanza media, dando respuestas a interrogantes como: Qué es Phi?, De dónde se obtiene?, Cuál es su relación con la belleza y armonía?, Cuáles son sus aplicaciones?. Materiales Libros, revistas científicas, Sitios de internet Programas computacionales matemáticos: Cabri y Mathype. Instrumentos de geometría. 14

3 Método 1. Estudio bibliográfico del número de oro, en diferentes áreas.. Estudio algebraico y geométrico del número de oro y sus propiedades, utilizando demostraciones por inducción para dar validez a las propiedades encontradas. 3. Selección de información de las aplicaciones del número de oro. 4. Presentación de la información. Resultados El número de oro se estudió geométricamente dividiendo un segmento en media y extrema razón. Fue Euclides, quien introdujo la división de un segmento cumpliendo estas condiciones, y lo definió así: "Se dice que un segmento está dividido en media y extrema razón cuando el segmento total es a la parte mayor como la parte mayor es a la menor". Si C, es el punto que divide armónicamente al segmento, se obtiene de esta división la siguiente proporción. A Considerando x a b a b a + b C, se da origen a la ecuación de segundo grado. x x -10, donde una de sus soluciones es B 1 + a a b Más tarde esta división armónica pasó a llamarse la divina proporción. Luego, en el siglo XV, desde Leonardo da Vinci, la sección áurea. Para contextualizar, realizamos la siguiente construcción: A C B D E Dado segmento, se levanta una perpendicular en B, que mide la mitad de, obteniéndose el punto E. Después, se une A con E, con centro en E y radio EB, se traza un arco sobre AE, determinando D. Luego, con centro en A y radio AD, se traza un arco que determina C, sobre, obteniendo el punto C que divide armónicamente a, la cual se utilizó para obtener. AE ( - 1) ; AD AC, entonces AC 1+ siendo el punto C, quien divide armónicamente a 1

4 También, se construyó y estudió el rectángulo áureo, el más bello y armónico en el que se cumple que cuociente del lado mayor entre el menor, es el número. Este rectángulo se inicia de un cuadrado, en la figura, de lado AR y longitud a, se une el punto medio P del lado AR con el vértice S, luego se traza un arco con centro en P, y radio PS, obteniéndose en la prolongación de AR, el punto B. Finalmente se obtiene el rectángulo dorado CD. D S C d a a + a a a a a d a ; base a 1+ a + d ; PB d ; BC a d A P R B BC 1, Por su construcción posee una curiosa propiedad: si se le quita un cuadrado, el mayor posible, se obtiene otro rectángulo semejante al primero Uniendo los arcos de circunferencia se obtiene la espiral Los seguidores de Pitágoras pensaban que el mundo estaba configurado según un orden numérico donde sólo tenían cabida los números racionales. El azar hizo que en su propio símbolo la estrella pentagonal o pentágono estrellado, se encontrara el número de oro. Como phi es solución de la ecuación x x-1 0, nos interesó estudiar algunas curiosidades algebraicas de phi como, por ejemplo:

5 Continuando con ese análisis nos interesó estudiar las potencias, las cuales tenían una estrecha relación con los términos de la sucesión de Fibonacci. Así se estudió la siguiente expresión de Edouard Lucas que genera los términos de la sucesión desde n>1. t n n 1 + t n n t n-1 ; n > 1 n, la cual se utilizó para obtener las siguientes expresiones que nos entregan potencias con exponentes positivos y negativos de. De la misma forma se obtuvo otra relación para las potencias de phi. Y - n n+1 + n t n n n- n-1 + (- 1) t (- 1) n -1, n>1 En los seres vivos Desde la antigüedad se sabe que algunas partes del cuerpo humano guardan la proporción áurea. En el libro La Divina Proporción de Luca Pacioli editado en 109, se propone un hombre perfecto en el que las relaciones entre las distintas partes de su cuerpo sean proporciones áureas. Por ejemplo, en el dedo, entre la distancia entre la 1ª y la ª falange y entre la ª y la 3ª. Hacia 180 Zeysing constató estadísticamente que el ombligo divide al cuerpo humano según la razón áurea. Éstas y otras relaciones se verificaron en distintas personas obteniendo la siguiente información. Medidas de cara Nº de personas años 1-30 años años 1, 1,6 1,7 1,8 1,9 Cuocientes Medidas de dedos Nº de personas años 1-30 años años 1, 1,6 1,7 1,8 1,9 Cuocientes Al parecer todos los seres humanos bien proporcionados (considerados bellos, artistas de cine famosos), tienen aproximadamente la proporción Del mismo modo, cuando se alcanza la madurez física esta proporción se acerca más a 1,618 En el campo de la odontología, se ha descubierto que la dentadura crece siguiendo proporciones áureas, y de la misma forma lo hacen otros rasgos faciales como la sonrisa, respecto al arco dental, la distancia entre los ojos y otras. Esta es la razón por la que el Dr. Marquardt creó una máscara áurea que se utiliza para cirugías plásticas. Tal vez por eso los puntos básicos de acupuntura se distribuyen en la cara en diferentes rectángulos de oro. 17

6 Discusión El estudio algebraico y geométrico realizado del número de oro, ha servido para entender los desafíos que se plantearon en el pasado algunos matemáticos como Euclides, seguidores de Pitágoras y otros que estudiaron y demostraron las propiedades y características de este número. Al realizar este estudio se encontró que a lo largo de la historia de la humanidad, el número de oro ha sido utilizado frecuentemente por el hombre en creaciones que se relacionan con el concepto de belleza y proporción. Así también, es uno de los modelos utilizados por la naturaleza cuando se trata de orden y armonía. No se puede afirmar que el número de oro regula nuestro entorno, pero sí que convivimos con él a diario. Internet: Proyecto Nicolás Weinstein Crenovich, Simetría y Espiral, Revisado en noviembre 00. Monográficos de divulgación, Las constantes de la Naturaleza, Revisado en octubre 00. Anexos Más Demostraciones del Número de Oro: Conclusiones Al término de la investigación, después de realizar el estudio algebraico y geométrico del número de oro se encontró que este número ha sido objeto de estudio desde siempre, por parte de investigadores y creadores en diversas áreas, además de la matemática. Es un número que motiva su estudio vinculando múltiples ámbitos con las matemáticas. Además, incentiva a los amantes de esta ciencia a dar sus primeros pasos en investigaciones. Por último, no se tienen los conocimientos necesarios, ni los medios, para afirmar que este patrón numérico regula la creación humana y natural. Pero sí se puede señalar que se relaciona con los conceptos de armonía, belleza y proporción. Literatura Citada Ghyka Matilda C. Estética de las proporciones en la naturaleza y en las artes, Poseidón,