Lic. Manuel de Jesús Campos Boc

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1 UNIVERSIDAD MARIANO GÁLVEZ DE GUATEMALA FACULTAD DE CIENCIAS DE LA ADMINISTRACIÓN DIRECCIÓN GENERAL DE CENTRO UNIVERSITARIOS CENTRO UNIVERSITARIO DE VILLA NUEVA CURSO MATEMÁTICA I Lic. Manuel de Jesús Campos Boc CUARTA UNIDAD EXPONENTES Y RADICALES 1.- EXPONENTES Es un valor índice que indica el número de veces que se va a multiplicar otro valor como base. El exponente se coloca arriba y a la derecha del valor base. Por ejemplo: X n X es el valor base y n es el exponente a m a es el valor base y m es el exponente h 0.5 h es el valor base y 0.5 es el exponente q 2/3 q es el valor base y 2/3 es el exponente b -5 b es el valor base y -5 es el exponente es el valor base y 7 es el exponente Observe que la base y exponente pueden ser cualquier valor, positivo o negativo, entero o fraccionario. Al conjunto de base y exponente también se le conoce como potencia, es decir, una potencia está constituida de una base y un exponente (son números naturales) por ejemplo: X n a m b -5 X es el valor base y n es el exponente a es el valor base y m es el exponente b es el valor base y -5 es el exponente Para operar con potencias se deben seguir ciertas leyes, entre las más importantes destacan: 1

2 -Leyes de los exponentes 1.- La multiplicación de dos potencias de la misma base: cuando se multiplica dos potencias de la misma base, una forma de simplificar la operación es utilizar la misma base y sumar los exponentes. Por ejemplo: (X n ) (X m ) = X nm (h 5 ) (h 2 ) = h 5+2 = h 7 a 2/4 x a 3/4 = a 2/4 + 3/4 = a 5/4 b -6 x b -3 = b (-6)+(-3) = b x 4 2 = = División de dos potencias de la misma base: cuando se divide dos potencias de la misma base, una forma de simplificar es utilizando la misma base y restando los exponentes. Por ejemplo: x n = x n-m x m h 5 = h 5-2 = h 3 h 2 b -6 = b -6-(-3) = b -3 b -3 a ¾ = a 3/4-2/4 = a ¼ a 2/4 6 7 / 6 5 = = 6 2 2

3 3.- La potencia de una potencia: se tiene una potencia elevada a otro exponente, en este caso se utiliza la base de la potencia y los exponentes se multiplican. Por ejemplo: (x n ) m = x nm (5 2 ) 4 = 5 2x4 = 5 8 = 390,625 (8-2 ) -3 = 8-2x-3 = 8 6 = 262,144 (a 4 ) 5 = a 4x5 = a 20 (h 2/5 ) 1/2 = h (2/5 x 1/2) = h 2/ La potencia del producto de dos factores: el resultado se obtiene elevando cada factor al mismo exponente de la potencia y realizando la multiplicación. Por ejemplo: (xy) 2 = (x 2 )(y 2 ) (5x) 3 = (5 3 )(x 3 ) = 125 x 3 (a 2 b) 2 = (a 2 ) 2 (b 2 ) = (a 2x2 )(b 2 ) = a 4 b La potencia del cociente de factores: el resultado se obtiene elevando cada factor al exponente correspondiente y realizando la división necesaria. Por ejemplo: x 2 = x 2 y y = 5 3 = 125 = 125 x -3 X x 3 x 3 a 2 2 = (a 2 ) 2 = a 4 = a 4 b -2 b b 2 b 2 3

4 6.- Potencia de exponente igual a 0: cualquier base elevada a la cero es igual a 1. Por ejemplo: X 0 = 1 -b 0 = 1 -(2/3) 0 = 1 a 2 0 = = 1 b 7.- Potencias de exponente igual a uno: cualquier base elevada a la uno es igual al mismo valor de la base. Por ejemplo: a 2 1 = a 2 xa 2 1 = xa 2 b b 3 b 3 b x 1 = x (a 2 ) 1 = a 1 (-5) 1 = Exponentes negativos: si existe una potencia con exponente negativo, éste puede hacerlo positivo de la siguiente manera, si la potencia con exponente negativo se encuentra en el numerador, ésta se pasa al denominador con exponente; y si la potencia con exponente negativo se encuentra en el denominador, ésta se pasa al numerador con exponente positivo. Por Ejemplo: 2x -2 = 2 X 2 y 2 = y 2 x 3 x = (8 2 ) (3 3 ) = (64) (27)=

5 9.- Exponente fraccionario: los exponentes fraccionarios se encuentra ligados a los radicales de la siguiente manera. Por ejemplo: n x m = m x n 9 4/5 = = (9)(9)(9)(9)= = X 2/3 = 3 x 2 D ½ = D a 1/3 = 3 a R 5/8 = 8 R 5 Ejercicios (-2) (-2) 4 = (3*3) + (-2)(-2)(-2)(-2) (4*4*4) + (-2)(-2)(-2)(-2) = = (-64)= -64 ( )=41 = (-64) (41) = x = x (5*5) (7*7) = x = = 34 5

6 (5 2) 2 = (3) 2 = = (6)(6)(6) (12)(12) = ( ) = (10)(10) + 72 = = RADICALES La radicación es la operación inversa a la potencia. Se llama raíz enésima de un número X a otro número Y", que elevados a la n da como resultado X. y n = x 5 3 = 125 n x = y = 5 Dónde: n x = y n = índice x = radicando y = raíz = signo radical a) Suma de radicales: la regla general es que solo podemos operar con radicales semejantes, vamos a diferenciarlos: No son semejantes, ya que tienen distintos coeficientes Son semejantes, ya que poseen el mismo coeficiente, ese raíz de dos. 6

7 El coeficiente debe ser el mismo tanto en número como en índice, es decir, no podríamos operar con una raíz cúbica y una raíz cuadrada. Aclarado esto, veamos como sumarlos: b) Resta de radicales: si habéis entendido el apartado anterior, este os será fácil, ya que es lo mismo, pero restando, como si fuesen números normales, siempre respetando los coeficientes, por supuesto. Ejemplo: c) Multiplicación de radicales: como antes, para poder multiplicar, los radicales han de ser del mismo orden, es decir, semejantes. Multiplicaremos los radicales y los números que los multiplican por separado. Ejemplo: d) División de radicales: lo mismo que explicamos en la multiplicación pasa en la división, el proceso es exactamente el mismo, realizaremos dos divisiones por separado, las de los números enteros por un lado y las de los radicales por el otro, siempre teniendo en cuenta si son semejantes, esto quiere decir, que no podríamos disminuir una raíz cubica con una cuadrada. 7

8 Ejemplo: ( ) ( ) ( ) 8