Observación: si en la urna hubiese 1500 bolillas blancas y 500 verdes y se extraen dos bolillas al azar sin reemplazo, entonces

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1 art Variabls alatorias rof. María B. itarlli.- Variabls alatorias discrtas imortats Distribució biomial Sa ε u xrimto alatorio. Sa u vto asociado a ε y aotamos Suogamos u xrimto alatorio ε u cuml los siguits ruisitos:. - s raliza rticios iddits d ε, dod s fija d atmao. - las rticios so idéticas, y cada rtició d ε obsrvamos si ocurr o o ocurr cuado ocurr s dic u s obtuvo u éxito, caso cotrario s obtuvo u fracaso - la robabilidad d éxito s costat d ua rtició a otra d ε, y s igual a S dic tocs u ε s u xrimto biomial jmlos: - S tira ua moda vcs forma sucsiva iddit, y obsrvamos cada tiro si sal cara o o sal cara. tocs st s u xrimto biomial us: ε sría l xrimto tirar ua moda sría l vto sal cara ε s rit forma sucsiva iddit vcs s la misma cada tiro. - S ti ua ura co 5 bolillas blacas y 5 vrds. S xtra al azar co rmlazo trs bolillas y s obsrva si la bolilla xtraída s blaca. tocs st s u xrimto biomial us: ε sría l xrimto xtrar al azar ua bolilla d la ura sría l vto s xtra bolilla blaca ε s rit forma sucsiva iddit vcs 5 s la misma cada xtracció. - Si l jmlo atrior s xtra las bolillas si rmlazo tocs l xrimto o s biomial, us falla la iddcia: Si aotamos :" s xtra bolilla blaca la i ésima xtracció", tocs i 5 ; / / ro 5 / or lo tato las xtraccios o so iddits 9 Obsrvació: si la ura hubis 5 bolillas blacas y 5 vrds y s xtra dos bolillas al azar si rmlazo, tocs / or lo tato stas codicios odmos asumir u l xrimto s biomial La variabl alatoria biomial y su distribució la mayoría d los xrimtos biomials, itrsa l úmro total d éxitos, más u sabr xactamt cuáls rticios rodujro los éxitos Sa la v.a. : úmro d éxitos las rticios d ε 6

2 art Variabls alatorias rof. María B. itarlli 7 tocs s dic u s ua v.a. biomial Vamos cuál s la distribució d robabilidad d, ara sto rimro tomamos u caso cocrto: l jmlo atrior l u s tira ua moda vcs. Suogamos u la robabilidad d cara s ¾ uí l rago d sría { },,,, R ara facilitar la otació scribimos,,, ésimo tiro" sal cara l :" i i i or lo tato or iddcia ara calcular la samos u hay cuatro casos osibls los u s ud obtr xactamt ua cara, u la cara salga l º tiro, o l º o l º o l º tiro. otar u tmos cuatro casos y so s igual a la catidad d formas u odmos lgir tr los tiros uo d llos l cual sal cara, s dcir tmos casos difrts. ada térmio s igual a or lo tato álogamt, ara calcular tmos 6 casos los u sal xactamt dos caras, or lo tato K K sado d la misma forma los otros casos s llga a ; gral co u argumto aálogo tmos u { } R,,,, K y,,,..., otació: idicamos u s ua v.a. biomial co arámtros y co l símbolo, ~ B Dado u los úmros corrsod a la distribució d ua v.a., automáticamt cuml u

3 art Variabls alatorias rof. María B. itarlli 8 D todas formas s odría hacr ua vrificació algbraica utilizado la fórmula dl biomio d wto jmlos: - l jmlo atrior l u s tira ua moda vcs, calcular la robabilidad d obtr: a xactamt ua cara b al mos ua cara c a lo sumo ua cara Solució: a tmos u la v.a. : úmro d caras obtido s,.5 B s id 875. b la robabilidad d obtr al mos ua cara s ro más fácil s hacr c la robabilidad d obtr a lo sumo ua cara s.875 Obsrvació: si, ~ B ara calcular gral s db hacr i i K K otar u s la F.d.a. d valuada, s dcir F xist tablas d la fució d distribució acumulada d la biomial ara difrts valors d y osultado stas tablas s ud obtr dirctamt l rsultado dl iciso c buscado ara y.5 dmás cosultado las tablas odmos valuar hacido F F,...,, - Suogamos u l % d todos los jmlars d u txto articular falla ua ruba d rsistcia a la cuadració. S slccioa 5 jmlars al azar. Sa la v.a. : úmro d jmlars u falla la ruba tr los 5 slccioados a cuál s la robabilidad d u a lo sumo 8 fall la ruba? b cuál s la robabilidad d u xactamt 8 fall la ruba?

4 art Variabls alatorias rof. María B. itarlli c cuál s la robabilidad d u al mos 8 fall la ruba? Solució: a Tmos u ~ B5,. 8 8 F8.999 or tabla d la F.d.a. b 8 F8 F or tabla d la F.d.a. c 8 7 F Obsrvacios: or tabla d la F.d.a. - Si ~ B, tocs la v.a. toma sólo dos valors y co robabilidads y - s dcir odmos scribir si al jcutar ε ocurr éxito caso cotrario st caso s dic u ti distribució d Broulli l caso d sr ~ B, s dic u s ti sayos d Broulli - cotiuació s mustra cómo varía la forma d la distribució a mdida u aumta matido fijo 5. S grafica la distribució d frcucia ara.;.,.5,.7 y.995. Obsrvar u ara.5 la distribució d frcucia s simétrica.,8, 5,6,, 6 9 5,,5,,5,, , 5 9

5 art Variabls alatorias rof. María B. itarlli,,6,5 5,,8, 6 9 5,,,6,,8, 6 9 5,7 5,8,6,,, sraza y variaza Sa ~ B,, tocs y V Dm. licamos la dfiició: l rimr térmio s cro, or lo tato odmos comzar la suma :

6 art Variabls alatorias rof. María B. itarlli omos todo térmios d -: [ ] [ ] Sacamos fura d la suma y u o dd dl ídic y hacmos l cambio d ídic: : s [ s] s s s s Rcordado l dsarrollo dl biomio d wto s [ s ] s [ s] r s s r r [ rs] a b a b, tmos co r-: [ ] [ ] Vamos l cálculo d la variaza [ ] V. Lugo: V [ ]. os uda calcular ara calcular sta suma tratamos d llvarla a la forma dl dsarrollo d u biomio d wto. omo l rimr térmio s cro comzamos a sumar dsd. dmás simlificamos l umrador co l factor dl domiador:. Saramos dos sumas:.... [ ].. [ ] [. ] [ ]. sto s: s... s s [ ] [ s ] r... r r [ r ]

7 art Variabls alatorias rof. María B. itarlli Las sumas corrsod al dsarrollo d u biomio d wto: V V [ ] [ ] [ ] [ ]. tocs: [ ] [ ] o sa:, s dcir Distribució gométrica Sa ε u xrimto alatorio. Sa u vto asociado a ε y aotamos Suogamos u xrimto alatorio ε u cuml los siguits ruisitos:. - s raliza rticios iddits d ε, hasta u ocurr or rimra vz iclusiv. - las rticios so idéticas, y cada rtició d ε obsrvamos si ocurr o o ocurr cuado ocurr s dic u s obtuvo u éxito, caso cotrario s obtuvo u fracaso - la robabilidad d éxito s costat d ua rtició a otra d ε, y s igual a Sa la v.a. : úmro d rticios d ε hasta u ocurr or rimra vz iclusiv Vamos cuál s la distribució d robabilidad d l rago s l cojuto R {,,,...} dmás si aotamos :" ocurr la i ésima rtició d ε", tocs i K K coscucia or iddcia,,... otació: ~ G ara vrificar u rcordar u a si a < a Obsrvacios: - y s dcir,,... odmos itrrtar u ara cada, los a so los térmios d ua sucsió gométri- ca co razó - y rimr térmio a - La F.d.a. sría

8 art Variabls alatorias rof. María B. itarlli F x dod [ x ] idica art tra d x x [ x] Si x s u tro ositivo tocs rcordado u la suma d los rimros térmios d ua suc a r sió gométrica co razó r y térmio gral a r s a tmos u r [ x] [ x] F x x [ x] r [ x] r r or lo tato [ x] si x F x caso cotrario - Ua variat la dfiició d distribució gométrica s dfiir la v.a. Y: úmro d fracasos hasta l rimr éxito, st caso R Y {,,,... }, s dcir s icluy al cro. La distribució d robabilidad o frcucia sría st caso,,,... Y otar u la rlació tr tr Y sría: Y. s dcir si adotamos sta última dfiició o icluimos la rtició dl xrimto l cual ocurr l rimr éxito. jmlos: - La robabilidad d u ua comutadora u corr cirto sistma orativo s dscomoga dtrmiado día s d.. Dtrmiar la robabilidad d u la máuia s dscomoga or rimra vz l duodécimo día, dsués d la istalació dl sistma orativo Solució: Dfiimos la v.a. : úmro d días hasta u la comutadora s dscomo or rimra vz tocs ~ G. S id calcular la Ua ruba d rsistcia a la soldadura cosist or carga uios soldadas hasta u s dé ua rutura. ara cirto tio d soldadura, 8% d las ruturas ocurr la roia soldadura, mitras u otro % s da las vigas. S ruba cirto úmro d soldaduras. Sa la v.a. : úmro d rubas hasta u s roduc la rutura d la viga Qué distribució ti?. uál s la robabilidad u la trcra ruba s roduzca la rimra rutura d la viga?

9 art Variabls alatorias rof. María B. itarlli Solució: ada ruba s u sayo d Broulli, co u éxito dfiido como la rutura d ua viga. or lo tato, la robabilidad d éxito s.. La v.a. ti ua distribució gométrica co arámtro. s dcir G. ~ ara calcular la robabilidad dida hacmos sraza y variaza Dm. Llamamos latamos otar u d d, or lo tato como si < a a a d d d d d d alculamos ahora la variaza µ V dod µ ro d d d d d d Y or lo tato V y tocs Sa V ~G

10 art Variabls alatorias rof. María B. itarlli Distribució biomial gativa La distribució biomial gativa costituy ua xtsió d la distribució gométrica. Sa r u tro ositivo. Sa ε u xrimto alatorio. Sa u vto asociado a ε y aotamos. Suogamos u xrimto alatorio ε u cuml los siguits ruisitos: - s raliza rticios iddits d ε, hasta u ocurr or r-ésima vz iclusiv. - las rticios so idéticas, y cada rtició d ε obsrvamos si ocurr o o ocurr cuado ocurr s dic u s obtuvo u éxito, caso cotrario s obtuvo u fracaso - la robabilidad d éxito s costat d ua rtició a otra d ε, y s igual a Sa la v.a. : úmro d rticios d ε hasta u ocurr or r-ésima vz, icluydo la r-ésima vz u ocurr Vamos cuál s la distribució d robabilidad d l rago s l cojuto R { r, r, r, r,... } ara obtr ua xrsió gérica d la, otar u si l -ésimo sayo ocurr éxito or r-ésima vz, tocs los - rimros sayos ocurriro r- éxitos. Si aotamos B: los rimros - sayos ocurra r- éxitos, tocs r r r r B r r dmás si aotamos :" ocurr la r ésima rtició d ε", tocs y y B so iddits, or lo tato rsum B B r r r r r r otació: ~ B r, r r r r, r, r,... ara vrificar u s driva r vcs la igualdad la u s dduc d jmlo: ua ruba d furza d soldadura, 8% d las rubas da como rsultado rutura d soldadura, mitras u otro % da rutura d la viga. Sa la v.a. : úmro d rubas hasta la trcra rutura d la viga iclusiv. uál s la distribució d?. Dtrmiar la 8 Solució: Tmos u ~ B, or lo tato

11 art Variabls alatorias rof. María B. itarlli Obsrvació: la distribució gométrica ud vrs como u caso articular d la distribució biomial gativa co r sraza y variaza r r Si ~ B r, tocs y V Dm. S hará mas adlat Distribució hirgométrica Suogamos u tmos ua oblació o cojuto d objtos o idividuos s dcir tmos ua oblació fiita. lasificamos a los objtos d la oblació dos catgorías. Hay M objtos d ua catgoría y -M d la otra catgoría. S sul dcir u tmos M éxitos y -M fracasos. S xtra al azar y si rmlazo objtos d dicha oblació. s dcir s xtra ua mustra d objtos d la oblació, d mara tal u s igualmt robabl u s slccio cada subcojuto d tamaño. osidramos la v.a. : úmro d éxitos la mustra xtraída S dic u ti ua distribució hirgométrica co arámtros, M y otació: ~ H, M, Vamos cuál s la distribució d rimro otar u ua xrsió ara la, usado combiatoria s M M dod ara u los úmros combiatorios sté bi dfiidos db cumlirs M y M. ro stas codicios so uivalts a, M mi, M max or lo tato la distribució d robabilidad d s M M max,, M mi M S vrifica u us los úmros corrsod a la distribució d ua v.a. 6

12 art Variabls alatorias rof. María B. itarlli jmlo: - D 5 dificios u aru idustrial, o cuml l código léctrico. Si s slccioa alatoriamt dificios ara isccioarlos, cuál s la robabilidad d u xactamt trs d los diz o cumla l código? Solució: Sa la v.a. : úmro d dificios slccioados u viola l código, tocs ~ H,, 5. s id calcular la U cargamto coti lmtos. S slccioará d forma alatoria y s robará 5 lmtos. Si dos o más stá dfctuosos, s rgrsará l cargamto. a si d hcho l cargamto coti cico lmtos dfctuosos, cuál s la robabilidad d u sa actados? b si d hcho l cargamto coti diz lmtos dfctuosos, cuál s la robabilidad d u o sa actados? Solució: a Sa la v.a. : úmro d lmtos dfctuosos la mustra st caso ~ H 5, 5,. Hay u calcular la b Sa la v.a. : úmro d lmtos dfctuosos la mustra st caso ~ H 5,,. Hay u calcular la Obsrvació: l jmlo atrior si l cargamto hubis tido lmtos s odría habr cosidrado 5 la art a a co distribució biomial co arámtros 5 y gral, si l tamaño d la oblació y l úmro d éxitos M crc ro d mara tal u M y s chico comarado co, s ud vrificar u 7

13 art Variabls alatorias rof. María B. itarlli 8 M M M dod lim or lo tato, ara ua fracció fija d dfctuosos M la fució d robabilidad hirgométrica covrg a la fució d robabilidad biomial cuado s hac grad. sraza y variaza Dm. La dmostració s hará mas adlat. Distribució d oisso Ua v.a. co rago { },,,... R s dic tr distribució d oisso co arámtro, si ara algú >,,,... s fácil vrificar u usado l hcho u los siguits gráficos s v como varía la forma d la distribució co los valors d otar u ara valors d uños la distribució s asimétrica, a mdida u aumta, la distribució tid a sr cada vz más simétrica lambda, robabilidad,5,5,5,,,6,8 y tocs, ~ Si M M V M M, H

14 art Variabls alatorias rof. María B. itarlli robabilidad,,,6,,8, 6 8 lambda robabilidad,5,,9,6, 8 6 lambda 8 robabilidad,,,8,6,, lambda 5 robabilidad,,8,6,, 5 lambda 9

15 art Variabls alatorias rof. María B. itarlli robabilidad,8,6,, lambda jmlo: osidr scribir u disco d comutadora y lugo viar l scrito or u crtificador u cuta l úmro d ulsos faltats. Suoga u st úmro ti ua distribució d oisso co arámtro igual a. a uál s la robabilidad d u u disco tga xactamt u ulso faltat? b uál s la robabilidad d u u disco tga al mos dos ulsos faltats? c Si dos discos s slccioa idditmt, cuál s la robabilidad d u iguo cotga algú ulso faltat? Solució: a Sa la v.a. : úmro d ulsos faltats u disco tocs ~... S id. 676 b Sido como a s id calcular c Sa la v.a. Y: úmro d discos si ulsos faltats. tocs Y ~ B, dod or lo tato s id calcular Y Y sraza y variaza Si ~ tocs y V Dm. V µ dod µ 5

16 art Variabls alatorias rof. María B. itarlli or lo tato V licacios d la distribució d oisso La v.a. oisso ti u gra rago d alicacios, ua d llas s la aroximació ara ua v.a. biomial co arámtros y cuado s grad y s uño d mara tal u, scíficamt, sa ~ B, y sa, tocs ara grad y chico ; ; tocs, ara grad y chico s dcir cuado s grad, chico y s modrado tocs la v.a. biomial co arámtros y ti ua distribució u s aroxima a la d ua oisso co arámtro jmlo: Suogamos u la robabilidad d u u artículo roducido or cirta máuia sa dfctuoso s.. Hallar la robabilidad u ua mustra d artículos cotga a lo sumo u dfctuoso. Sa : úmro d artículos dfctuosos la mustra odmos asumir u ~ B,. La robabilidad xacta dida s..9. La aroximació d oisso da

17 art Variabls alatorias rof. María B. itarlli lguos autors sosti u la aroximació d oisso fucioa bi cuado s grad, s chico y < 7 Mdhall, stadística matmática co alicacios, otros rcomida usar la aroximació d oisso a la biomial cuado y. y Dvor, robabilidad ara igiría y cicias la siguit tabla s da u jmlo d ua aroximació d oisso a la fució d distribució d la biomial. S tabula la ara alguos valors d ara las distribucios biomial y oisso co los arámtros u s idica BH 5, 5 L BH5, 5 L HL jmlo: ua ruba d tarjtas d circuitos, la robabilidad d u u diodo articular fall s.. Suoga u ua tarjta coti diodos. a uál s la robabilidad aroximada d u or lo mos diodos fall ua tarjta slccioada al azar? b Si s mbarca cico tarjtas a u clit articular, cuál s la robabilidad d u or lo mos cuatro d llas fucio bi? Ua tarjta fucioa bi solo si todos sus diodos fucioa bi Solució: a Sa la v.a. : úmro d diodos ua tarjta u falla tocs ~ B,.. omo s grad y chico alicamos la aroximació oisso co. S id calcular la.857. or tabla d la acumulada d la oisso b Sa la v.a. Y: úmro d tarjtas tr 5 u fucioa bi Tmos u Y ~ B5, dod 5

18 art Variabls alatorias rof. María B. itarlli S id calcular Y 5 Y Y Y rocso d oisso Ua alicació imortat d la distribució d oisso s rsta rlació co l acotcimito d vtos d u tio articular l timo. or jmlo, u vto odría sr u idividuo trado u stablcimito articular, o ulsos radiactivos rgistrados or u cotador Gigr, o automóvils asado or u cruc dtrmiado. Suogamos u tmos vtos u ocurr cirtos utos alatorios d timo, y asumimos u ara algua costat ositiva las siguits suosicios s sosti: - La robabilidad u xactamt vto ocurra u itrvalo d logitud t s la misma ara todos los itrvalos d logitud t y s igual a t ot dod ot simboliza ua fució f t tal f t u lim, or jmlo f t t s o t, ro f t t o lo s t t - La robabilidad u o mas vtos ocurra u itrvalo d logitud t s la misma ara todos los itrvalos d logitud t y s igual a o t. - ara cualsuira tros,,,..., y cualuir cojuto d itrvalos I, I,..., I u o s suroga, si dfiimos los vtos i :" l itrvalo I i ocurr xactamt i vtos" i,,...,, tocs los vtos,,..., so iddits. Las suosicios y stablc u ara uños valors d t, la robabilidad d u xactamt u vto ocurra u itrvalo d logitud t s igual a t mas algo u s chico comarado co t, mitras u la robabilidad d u o mas vtos ocurra s uño comarado co t. la suosició stablc u lo u ocurra u itrvalo o ti fcto la robabilidad sobr lo u ocurrirá otro itrvalo u o s suroga. Bajo las suosicios, y s ud robar u la v.a. :" úmro d vtos u ocurr cualuir itrvalo d logitud t", ti distribució oisso co arámtro t scíficamt t t,,,... La ida d la dmostració s la siguit, artimos al itrvalo [ ],t subitrvalos u o s suroga cada uo d logitud t 5

19 art Variabls alatorias rof. María B. itarlli lgimos suficitmt grad ara u cada subitrvalo s tga ua ocurrcia xactamt o igua ocurrcia. Sa la v.a. Y: úmro d subitrvalos los u hay xactamt ua ocurrcia, tocs odmos asumir u Y ~ B, dod s la robabilidad u u subitrvalo hay xactamt ua t ocurrcia y si s grad tocs la logitud dl subitrvalo s chica co lo cual or suosició tmos u t. tocs, utilizado la aroximació d oisso a la biomial co arámtro t t Y,,,... Obsrvacios: t t tmos - U rocso tmoral d oisso cosist vtos u ocurr l timo forma alatoria u cuml co las suosicios, y. - l arámtro s la tasa o raidz dl rocso. - Si lugar d obsrvar vtos l timo, cosidramos obsrvar vtos d algú tio u ocurr ua rgió d dos o trs dimsios, or jmlo, odríamos slccioar d u maa ua rgió R d u bosu, ir a sa rgió y cotar l úmro d árbols. ada árbol rrstaría u vto u ocurr u uto articular dl sacio. Bajo las suosicios, y, s ud dmostrar u l úmro d vtos u ocurr la rgió R ti ua distribució d oisso co arámtro a dod a s l ára d R s itrrta como la dsidad dl rocso. S trata ahora d u rocso sacial d oisso. jmlos: - Suoga u avios uños llga a cirto arourto sgú u rocso d oisso, co tasa 8 avios or hora, d modo u l úmro d llgadas durat u ríodo d t horas s ua v.a. oisso co arámtro 8t. a uál s la robabilidad d u xactamt 5 avios uños llgu durat u ríodo d ua hora? or lo mos 5? b uál s la robabilidad d u or lo mos avios uños llgu durat u ríodo d ½ hs? D u a lo sumo llgu s ríodo? Solució: a Sa la v.a. : úmro d avios uños u llga a cirto arourto ua hora tocs ~ 8. or lo tato O tambié usado la tabla d distribució acumulada ara la oisso Y la robabilidad d u llgu al mos 5 avios srá b Sa la v.a. : úmro d avios uños u llga a cirto arourto ½ horas 5

20 art Variabls alatorias rof. María B. itarlli tocs ~ 8.5 s dcir ahora t or tabla d F.d.a. Y or último calculamos or tabla. - S suo u l úmro d dfctos los rollos d tla d cirta idustria txtil s ua v.a. oisso co tasa. dfctos or mtro cuadrado.. a uál s la robabilidad d tr dos dfctos u mtro cuadrado d tla? b uál s la robabilidad d tr u dfcto mtros cuadrados d tla? c uál s la robabilidad d u o halla dfctos mtros cuadrados d tla? d suogamos u l úmro d dfctos stá rlacioado co la máuia u roduc la tla, dbido a dsrfctos d la máuia l úmro d dfctos varía cirtos tramos dl rollo. S ud asumir u l úmro d dfctos sigu ua distribució d oisso? Solució: a Sa : úmro d dfctos u mtro cuadrado. tocs ~. us a b Si : úmro d dfctos mtros cuadrados. tocs ~ us a c : úmro d dfctos mtros cuadrados. tocs ~ us a..5 d O s ud asumir u l úmro d dfctos sigu ua distribució d oisso, ya u las suosicios u db satisfacr u rocso d oisso o s cumliría. 55

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