Programación Lineal Pedro Sánchez

Transcripción

1 Pedro Sánchez

2 Contents 1. Solución gráfica 2. Sensibilidades gráficas 3. Método Simplex 4. Metodología Simplex 5. Dualidad 6. Análisis de sensibilidad 7. Método simplex dual 2

3 1 Solución gráfica Sensibilidades gráficas Método Simplex Metodología Simplex Dualidad Análisis de sensibilidad Método simplex dual Solución gráfica

4 Solución gráfica (i) Ejemplo: Un artesano fabrica trenes y camiones de juguete Utilizando tornillos, bloques y ruedas como componentes En la semana próxima dispone de 8000, 6000 y 6300 componentes respectivas Los beneficios i por tren y camión son 1.6 euros/unidad d y 1.4 euros/unidad d Tornillos Bloques Ruedas Tren Camión

5 Formulación matemática: Solución gráfica (ii) Max Z 1.6 x 1.4 x sujetoa : 1 2 Maximización del beneficio total 10x120x Existencias TORNILLOS 15 x110x Existencias BLOQUES 18 x 6x x, x 0 Existencias RUEDAS x x : 1 : 2 Número de trenes a fabricar Número de camiones a fabricar Se consideran variables reales en primera aproximación 5

6 Solución gráfica (iii) Representación gráfica de restricciones 400 x2 (0, 400) r1: 10x1 + 20x2 <= 8000 TORNILLOS 300 (200, 300) Región factible (300, 150) r2: 15x1 + 10x2 <= 6000 BLOQUES r3: 18x1 + 6x2 <= 6300 RUEDAS (0, 0) (350, 0) x1 6

7 Rectas de isobeneficio: e o: 400 x2 (0, 400) Solución gráfica (iv) 300 (200, 300) r1: 10x1 + 20x2 <= 8000TORNILLOS SOLUCIÓN ÓPTIMA r2: 15x1 + 10x2 <= 6000 BLOQUES 200 (300, 150) r3: 18x1 + 6x2 <= 6300 RUEDAS 100 (0, 0) (350, 0) Z = 740 Z = 690 x1 Z = 0 Z = 560 = 1.6x1 16x1+1.4x2 7

8 Solución gráfica (v) Solución óptima: La solución óptima es fabricar 200 trenes y 300 camiones Se utilizan todas las existencias de tornillos (8000) Se utilizan todas las existencias de bloques (6000) Se utilizan 5400 ruedas sobrando 900 de las existencias El beneficio resultante es de 740 euros 8

9 2 Solución gráfica Sensibilidades gráficas Método Simplex Metodología Simplex Dualidad Análisis de sensibilidad Método simplex dual Sensibilidades gráficas

10 Sensibilidades gráficas (i) Cambios en coeficientes de la función objetivo (i) Camiones 400 x2 btren: 0 Aumentando el beneficio i por tren (btren) 300 (0, 400) (200, 300) Manteniendo el beneficio por camión en 1.4 euros 200 (300, 150) 100 (0, 0) (350, 0) Trenes x1 10

11 Sensibilidades gráficas (ii) Cambios en coeficientes de la función objetivo (ii) Camione s 400 x2 btren: 0 (0, 400) btren btren btren btren (0, 400) (200, 300) (300, 150) (350, 0) f.o.: 560 f.o.: f.o.: f.o.: (200, 300) (300, 150) Aumentando el beneficio por tren (btren) (0, 0) (350, 0) Trenes x1 11

12 Sensibilidades gráficas (iii) Cambios en las restricciones de existencias (i) x2 Reduciendo el número de existencias de ruedas y manteniendo la función objetivo Se generan tres rangos de ruedas: 400 (0, 400) I 5400 Ruedas 300 (200, 300) 200 (300, 150) 100 III II I II 2400 Ruedas 5400 III 0 Ruedas 2400 r3: 18x1 + 6x2 <= 6300 RUEDAS (0, 0) (350, 0) x1 12

13 Sensibilidades gráficas (iv) Cambios en las restricciones de existencias (i) x2 l ió La solución en cada uno de los rangos es: I II III (0, 400) (200, 300) 10x120x r1: 10x1 + 20x2 <= x 6x Ruedas 1 2 x1 0 18x 6x Ruedas 1 2 isobeneficio i (200, 300) r2: 15x1 + 10x2 <= (0, 0) III II I (300, 150) (350, 0) r3: 18x1 + 6x2 <= 6300 RUEDAS x1 13

14 Solución no acotada Sensibilidades gráficas (v) No siempre existe una solución acotada para un problema de optimización En el ejemplo del artesano se obtiene una solución no acotada si: No se limitan las existencias de tornillos, bloques y ruedas Siel proveedor de componentes obliga a que se adquieran almenos 4 bloques y 4 ruedas por cada 4 tornillos x1 x2 x1 x2 x x x x / / / / isobeneficio 14

15 3 Solución gráfica Sensibilidades gráficas Método Simplex Metodología Simplex Dualidad Análisis de sensibilidad Método simplex dual Método simplex

16 Método Simplex (i) Geometría de la programación lineal Poliedro: Región definida por la intersección de un conjunto finito de hiperespacios p hiperespacios j j a x b ij j i a x b ij j i La región factible de un problema de programación lineal es un poliedro Vértice de un poliedro: punto que no se expresa como combinación lineal convexa de dos puntos distintos de un poliedro Si existe un óptimo en un problema de programación lineal, éste se encuentra en un VÉRTICE 16

17 Método Simplex (ii) Forma estándar min T Z c x Axb x 0 Problema del artesano Min Z 1.6 x 1.4 x 0h 0h 0h sujetoa : x 20x h x 10x h x 6x h 6300 xr n ; AR mxn ; cr n ; br m x, x, h, h, h El método simplex requiere de iteraciones proporcionales al número de restricciones m y el tiempo de resolución es proporcional a m 3 c x T T 1.6, 1.4,0,0,0 x, x, h, h, h A b

18 Método Simplex (iii) Transformaciones a la forma estándar Función objetivo : max Z min Restricciones Restricciones j j Z : Se introduce una variable de holgura a x b a x u b ij j i ij j i i j u i b 0 : Se introduce una variable de holgura o exceso a x b a x v b ij j i ij j i i j Variables negativas : 0 Variables negativasacotadas : L x 0 0 xj yj ; 0 yj x j i bi x y L ; 0 y L j j j j j j j Variables libres : Se sustituye por 2 variables xj xj xj 0 x 0 x j 0 j 0 vi 18

19 Tipos de Soluciones Método Simplex (iv) Solución Factible: Satisface todas las restricciones Pertenece a la región factible Solución Infactible: Viola al menos una restricción No pertenece a la región factible Solución Básica Factible: Tiene m variables básicas asociadas a la matriz no singular de restricciones A de rango m que toman valor # 0 y el resto = 0 Solución Óptima : Solución básica factible con mejor valor de la f.o. 19

20 Método Simplex (v) Teorema fundamental de la Si admite solución factible, ésta es Solución Básica Si admite solución óptima finita, ésta es Solución Básica Óptima 20

21 4 Solución gráfica Sensibilidades gráficas Método Simplex Metodología Simplex Dualidad Análisis de sensibilidad Método simplex dual Metodología Simplex

22 Métodología Simplex (i) Descomposición en componentes BASICAS y NO BASICAS T x x, x c x R m T B B N x n m N R vector de variables BASICAS vector de variables NO BASICAS mxm T BR matriz BASE AB, N mxn m N R matriz NO BASICA m T c R T B cb, cn n m cn R coeficientes de variables BASICAS coeficientes de variables NO BASICAS 22

23 Reformulación del problema Axb Métodología Simplex (ii) Bx Nx b x B bnx B bb Nx B N B N N Función objetivo Z c x c x c B b c c B N x T T T 1 T T 1 B B N N B N B N Al tomar valor nulo las variables no básicas se tiene: x B 1 B b T T 1 Z cb xb cb B b 23

24 Loscostes reducidos Métodología Simplex (iii) ˆ T T T 1 CN CN cb B N cˆ c c B a c z T 1 j j B j j j Vector de costes reducidos a :columna dela variable ena j x j Los costes reducidos en la función objetivo: T Z c x cˆ x zˆ cˆ x zˆ c z x B B j j j j j j j ji ji ji N N N El coste reducido indica el cambio en la f.o. debido a un incremento unitario de la variable En el óptimo todos los costes reducidos de las variables no básicas son 0 (estándar) Los costes reducidos de las variables básicas son siempre 0 Si el coste reducido de una variable no básica en el óptimo es 0 múltiples óptimos 24

25 Métodología Simplex (iv) Metodología en el problema del artesano: h x xb h2 xn cn cb 0 B N x h B N xb B b 6000 xn T T Costes reducidos: T 1 cˆ N cn cb B N , Solución inicial ( x, x ) (0, 0) 1 2 Cambios en las variables básicas: 1 1 xb B bb NxN x B x x

26 Métodología Simplex (v) Evolución de la función objetivo del artesano: La función objetivo cambia de valor al cambio de las variables básicas x Z c B bc x x x 1 ˆ B N N 0 1.6, x 2 T 1 T Ejemplo: La f.o. disminuye al aumentar cualquiera de las variables no básicas La base actual NO es óptima La prueba de optimalidad consiste en comprobar si existe alguna variable con coste reducido negativo Si no existieran, la base actual es óptima Si existen, se selecciona entre ellas la variable básica entrante cuyo coste reducido tenga mayor valor absoluto Ejemplo: La x 1 tiene coste reducido 1.6y por ello es la variable entrante 26

27 Métodología Simplex (vi) Incremento de las variables NO BASICAS: Lasvariables NOBÁSICAS se puedenincrementar hasta que las variables BÁSICAS incumplan una o varias restricciones x B b B N x bˆ B ax bˆ y x B 1 b B 1 N b B 1 B N t t b t t p t x t a :columna de la matriz A correspondiente a la variable y x Si 0 it x b y x ii ˆ ; B i i it t N B i x t Disminuye cuando se incrementa hasta (hasta que se anula) bˆ ˆi y it y x Si 0 it B i Aumenta o permanece 27

28 Métodología Simplex (vii) Máximo incremento de variables NO BASICAS: La variable NO BÁSICA elegida como variable BÁSICA ENTRANTE se incrementa hasta que la primera variable BÁSICA se anula La variable BÁSICA SALIENTE es la que primero se anula Ejemplo artesano: y B a x 1 1 x x t bˆ i min : y it 0 1im y it x 1 min,,, min 800, 400,350 h es la variable ibl básica saliente 3 h h 3 28

29 Métodología Simplex (viii) Actualización de las variables BASICAS y la F.O.: x B 1 B b ˆ T Z c x Ejemplo: 1 B B x B B h h x B 2 x Solución 1ª iteración: (350, 0) Función objetivo = 560 x 1 29

30 Métodología Simplex (ix) PASOS del método SIMPLEX (i) Inicialización: i ió Solución básica factible inicial i i B ˆ 1 0 x bb b T zˆ c x B Prueba de optimalidad: Se calculan los costes reducidos B 1 cˆ T T T N cn cb B N Si todos los costes reducidos son 0, la base es óptima Si existe algún coste reducido <0 se selecciona var. básica entrante aquella cuyo coste reducido negativo tenga mayor valor absoluto x t 30

31 Métodología Simplex (x) PASOS del método SIMPLEX (ii) Iteración 1 yt B at : columna pivote de xt bˆ y s st bˆ i min : yit 0 : variable básica saliente 1 i m yit x s y 0 Si todas las el problema resulta no acotado it Pivotamiento B 1 Actualización de la matriz Actualización del vector de variables básicas x B Volver al paso 31

32 Métodología Simplex (xi) Pasos del simplex al problema de artesano: Iteración 2 h h3 xb h2 xn x B x x Costes reducidos: T T T 1 ˆ cn cn cb B N 0, 1.4 0,0, , y t Se selecciona la variable x 2 como variable básica entrante B a 5 6 x 2 x t min,, min 270, 150, Se selecciona la variable h 2 como variable básica saliente 32

33 Métodología Simplex (xii) Pasos del simplex al problema de artesano: Iteración 2 (cont.) h xb x2 B b x Solución Iteración 2ª Función objetivo: 690 x, 1 x2 300,150 Las soluciones van cambiando por vértices adyacentes x 2 La función objetivo siempre mejora o permanece x 1 33

34 Métodología Simplex (xiii) Pasos del simplex al problema de artesano: Iteración 3 h3 xn h2 Costes reducidos: c c c B N T T T 1 ˆN N B 0,0 0, 1.4, ,0.173 y t Se selecciona la variable h 3 como variable básica entrante B a 0.16 h 3 x t min, nulo, min 900, nulo, Se selecciona la variable h 1 como variable básica saliente 34

35 Métodología Simplex (xiv) Pasos del simplex al problema de artesano: Iteración 3 (cont.) h xb x2 B b x Solución Iteración 3ª Función objetivo: 740 x, x 200, x 2 Sabemos gráficamente que es el óptimo Falta comprobarlo x 1 Iteración 4 35

36 Métodología Simplex (xv) Pasos del simplex al problema de artesano: Iteración 4 Costes reducidos: h h1 xb x2 xn x B 300 h 2 x T T ˆ T B 1 N N B N 0,00 0, 1.4, , c c c B N No hay costes reducidos negativos Por tanto se ha alcanzado el ÓPTIMO en la iteración anterior 36

37 Múltiples óptimos: Métodología Simplex (xvi) Se detectan múltiples óptimos cuandoenel el óptimoexisten variables no básicas cuyos costes reducidos son nulos Para que sean diferentes óptimos, la variable no básica con coste reducido nulo ha de tomar valor no nulo al entrar en la base Ejemplo: Dos soluciones óptimas x , x2 x1, x2 0 1 x x 1x x x 1x

38 Forma tabular: Métodología Simplex (xvii) Se expresa el problema de optimización en una tabla con la siguiente estructura: -z -1 c T N c T B 0 Función Var.básicas z x N x B Cotas N x B 0 N B b B objetivo Restricciones Se resta de la función objetivo las restricciones multiplicadas por c B T B 1 Se multiplican las restricciones por B 1 Var.básicas z x N x B Cotas -z -1 NT -c BT -1 -c BT B -1 Costes c B N 0 b x B 0 B -1 N I B -1 b reducidos Valores solución 38

39 Eliminación gaussiana: Metodología simplex (xviii) Sirve para actualizar la tabla de una a otra iteración Iteración 1 Se pone un 1 en el elemento pivote y un 0 en el resto de la columna Dividir idi la fila pivote por el elemento pivote y st Restar a las demás filas la nueva fila pivote multiplicada por el elemento que se anula de la columna pivote Variable básica saliente z x1 x2 h1 h2 h3 Cotas Relación -z h /10 10 h /15 15 h /18 Variable básica entrante 39 y El elemento pivote resulta 31 /18

40 Metodología simplex (xix) Iteración 2 Variable básica saliente z x1 x2 h1 h2 h3 Cotas Relación -z h h / x / / /5 1/3 Variable básica entrante El elemento pivote resulta y 22 f.o.: 560 (0,0) (350,0) 40

41 Metodología simplex (xx) Iteración 3 Variable básica saliente z x1 x2 h1 h2 h3 Cotas Relación -z h x /5-1/6 150 nulo x /15 1/ /2.2 +1/6 1/9 f.o.: 690 (300,150) Variable básica entrante El elemento pivote resulta y12 (0,0) (350,0) 0) 41

42 Metodología simplex (xxi) Iteración 4 z x1 x2 h1 h2 h3 Cotas -z h x x Todos los costes reducidos son positivos o nulos por lo que el óptimo ha sido alcanzado Solución óptima: (200, 300) Función objetivo:

43 Metodología simplex (xxii) Solución básica factible inicial En las restricciones la base está formada por las variables de holgura i En las restricciones se introducen variables de exceso y variables artificiales a i En las restricciones = se introducen variables artificiales e i h j j j a x b a x h b ij j i ij j i i j a x b a x e a b ij j i ij j i i i j a x b a x a b ij j i ij j i i j 43

44 Metodología simplex (xxiii) Solución básica factible inicial (cont.) Las variables artificiales y las variables de holgura (en restricciones ) constituyen la base inicial del Simplex Las soluciones con variables artificiales no son factibles Si no se pueden eliminar las variables artificiales problema INFACTIBLE 44

45 Metodología simplex (xxiv) Métodos de anulación de variables artificiales Método de la M mayúscula Introduce variables artificiales en la f.o. penalizadas con un coeficiente elevado, M Pueden existir problemas numéricos en su resolución Método de las dos fases La fase I tiene por f.o. la suma de las variables artificiales Si la fase I acaba con la f.o. nula, el problema es factible y se obtiene una solución básica factible La fase II restablece la f.o. original y parte de la solución básica factible del final de la fase I 45

46 Metodología simplex (xxv) Ejemplo del método de las dos fases En el ejemplo del artesano se introduce la restricción de que el número total de juguetes fabricados debe ser al menos de 400 x2 r1: 10x1 + 20x2 <= 8000 TORNILLOS 400 (0, 400) r4: x1 + x2 >= 400 PRODUCCIÓN MÍNIMA 300 (200, 300) Solución inicial NO VÁLIDA (0, 0) (300, 150) (325, 75) (350, 0) r2: 15x1 + 10x2 <= 6000 BLOQUES r3: 18x1 + 6x2 <= 6300 RUEDAS x1 46

47 Metodología simplex (xxvi) Ejemplo del artesano(cont.i) Min a 1 sujeto a : 10 x1 20 x2 h x110 x2 h x1 6 x2 h x1x2 e1a1 400 Fase I (iteración 0) x1, x2, h1, h2, h3, e1, a 1 0 Var. básicas z x1 x2 h1 h2 h3 e1 a1 cotas -z h h h a

48 iteración 1 Var. básicas Metodología simplex (xxvii) z x1 x2 h1 h2 h3 e1 a1 cotas Relación -z h h h iteración 2 a Var. básicas z x1 x2 h1 h2 h3 e1 a1 cotas Relación -z / / h / / h / x / / a / /

49 iteración 3 Fase II iteración 1 Metodología simplex (xxviii) Var. básicas z x1 x2 h1 h2 h3 e1 a1 cotas -z h h / x /12 1/2-1/2 325 x /12-3/2 3/2 75 Var. z x1 x2 h1 h2 h3 e1 a1 cotas básicas -z h h / x /12 1/2-1/2 325 x /12-3/2 3/

50 Metodología simplex (xxix) Fase II iteración 2 Var. z x1 x2 h1 h2 h3 e1 a1 cotas Relación básicas -z h h / x /12 1/2-1/ x /12-3/2 3/2 75 iteración 3 Var. z x1 x2 h1 h2 h3 e1 a1 cotas Relación básicas -z h e /15-1/ x /15 1/ x /5-1/

51 Metodología simplex (xxx) Fase II iteración 4 Var. básicas z x1 x2 h1 h2 h3 e1 a1 cotas -z h / e x x (200,300) FASE II (300,150) FASE II (325,75) FASE I 51

52 5 Solución gráfica Sensibilidades gráficas Método Simplex Metodología Simplex Dualidad Análisis de sensibilidad Método simplex dual Dualidad

53 Dualidad (i) PRIMAL (m x n) DUAL (n x m) max z x miny T = c x y 0 Ax x b = T Ay T b y ³ c ³ 0 y ³ 0 n å j= 1 max z x j = n å j= 1 cx ax b i = 1,, m ij j i x ³ 0 j = 1,, n j j j m å i= 1 min y y i 0 m = åby i i= 1 ay ³ c j= 1,, n ij i j y ³ 0 i = 1,, m i i 53

54 Dualidad (ii) PRIMAL (m x n) DUAL (n x m) Max Z 1.6 x 1.4 x 1 2 sujeto a : 10 x 20 x 8000 x, x x 10 x x 6 x Max Z x x x x, x Min W 8000 y 6000 y 6300 y sujeto a:10y 15y 18y 1.6 y, y, y y 10 y 6 y y1 y x 1 MinW y 2 y y y 3 y, y, y

55 Dualidad (iii) TABLA DE TRANSFORMACIÓN min max Variable Restricción no restringida = Restricción = Variable 0 00 no restringida 55

56 Dualidad (iv) Teorema y propiedades: ld El dual ldl del problema dual es el problema primal Propiedad débil de la dualidad: x Si es una solución factible del primal e es solución factible del dual, T T se verifica que q cx by y Propiedadfuerte deladualidad: dualidad: ˆx Si es una solución óptima del primal e es solución óptima del dual, T T se verifica que se e caque cx by ŷ 56

57 Dualidad (v) Propiedad de las soluciones básicas complementarias Encada iteración del métodosimplex se encuentra unasolución básica factible del primal y una solución básica complementaria infactible del dual T cx T b y Propiedad de la solución básica óptima complementaria En la iteración final se encuentra simultáneamente la solución básica óptima del primal y la básica óptima complementaria del dual xˆx T T cxˆ byˆ ẑˆ w ˆ En el óptimo, los valores de los costes reducidos de las variables de holgura y de exceso del DUAL corresponden con los valores óptimos del PRIMAL ŷy 57

58 Dualidad (vi) Propiedad de la complementariedad de holguras Si una solución óptima del PRIMAL tiene una variable de holgura o exceso >0, la solución DUALcomplementaria tiene valor cero en la variable dual asociada a esa restricción y viceversa T cx T b y Teorema de la dualidad Si un problema tiene soluciones óptimas factibles entonces también las tiene su dual Si un problema tiene soluciones factibles y función objetivo no acotada, el otro problema no tiene soluciones factibles Si un problema no tiene soluciones factibles, el otro o tampoco tiene o no tiene función objetivo acotada 58

59 Fase I Forma estándar Dualidad (vii) Resolución del problema DUAL del artesano Iter 0 z y1 y2 y3 y4 y5 a1 a2 Cotas -z a a Iter 1 z y1 y2 y3 y4 y5 a1 a2 Cotas Relación -z a a

60 Dualidad (viii) Fase I Iter 2 z y1 y2 y3 y4 y5 a1 a2 Cotas Relación -z /2 0 3/2-0.9 a /2 1-1/ y /2 3/10 0-1/20 0 1/ Iter Cota 3 z y1 y2 y3 y4 y5 a1 a2 s -z y /3 1-1/15 1/30 1/15-1/ y /10 0 1/50-3/50-1/50 3/ Solución inicial factible 60

61 Fase II Dualidad (ix) Iter 1 z y1 y2 y3 y4 y5 a1 a2 Cotas -z y /3 1-1/15 1/30 1/15-1/ y /10 0 1/50-3/50-1/50 3/ Iter 2 Función objetivo original z y1 y2 y3 y4 y5 a1 a2 Cotas Relación -z y /3 1-1/15 1/30 1/15-1/ y /10 0 1/50-3/50-1/50 3/ Forma estándar 61

62 Fase II Iter 3 Dualidad (ix) z y1 y2 y3 y4 y5 a1 a2 Cotas -z y /2-1/10 1/20 1/10-1/ y /20 1/20-3/40-1/20 3/ Solución ÓPTIMA (Costes reducidos 0 en variables no artificiales) Los costes reducidos de las variables de holgura y exceso del DUAL son las soluciones óptimas de las variables del PRIMAL Los costes reducidos de las variables del DUAL son las soluciones óptimas de las variables de holgura y exceso del PRIMAL Las soluciones óptimas de las variables del DUAL son los costes reducidos de las variables de holgura y exceso del PRIMAL 62

63 Esquemáticamente: Dualidad (xi) Variables dual Variables holgura dual Primera Costes Solución variables Solución variables Fila reducidos holgura primal primal Resto de filas Variables básicas Costes reducidos holgura primal Variables primal Variables holgura primal Primera Fila Costes reducidos Solución variables holgura dual Solución variables dual Resto de filas Variables básicas Costes reducidos holgura dual 63

64 5 Solución gráfica Sensibilidades gráficas Método Simplex Metodología Simplex Dualidad Análisis de sensibilidad Método simplex dual Análisis de sensibilidad

65 Análisis de Sensibilidad (i) Partiendo de la solución óptima, se estudian los efectos sobre ella debidos a cambios en cualquier parámetro del problema: A, b ó c Fases: T B BNC,,, C T N Introducción de los cambios en la tabla simplex Adecuación a la forma estándar de la tabla Prueba de factibilidad (var. básicas no negativas) Prueba de optimalidad (costes reducidos no negativos var. no básicas) Nueva iteración método simplex o método simplex dual 65

66 Cambios en cotas de las restricciones Análisis de Sensibilidad (ii) Pueden afectar a: la factibilidad de la solución óptima alcanzada anterior la función objetivo x2 r1: 10x1 + 20x2 <= 8000 TORNILLOS Cambio de existencias de TORNILLOS 400 (0, 400) r1*: 10x1 + 20x2 <= Región factible (200, 300) (300, 150) r2: 15x1 + 10x2 <= 6000 BLOQUES r3: 18x1 + 6x2 <= 6300 RUEDAS (0, 0) (350, 0) x1

67 Análisis de Sensibilidad (iii) Cambios en cotas de las restricciones (cont.) X B h 3 x 1 B 2 x B B B X B bb bb X X Última tabla b simplex 0 X B b11.5b2 b3 300 X B b10.05b b1 0.1b2 Rango de variación h b 1.5 b b x b 0.05b b, b, b x b1 0.1 b

68 Análisis de Sensibilidad (iv) Cambios en coeficientes de variables no básicas No afectan a la factibilidad pero sí a la optimalidad Los coeficientes de las variables no básicas son: ˆ T T T 1 CN CN CB B N Si Si ˆ T C 0 N ˆ T C 0 N la solución sigue siendo óptima la var. no básica es var. básica entrante ˆ Intervalo de variación T T T 1 N 0 de C N B N para el cual se mantiene solución óptima C C C B N 68

69 Análisis de Sensibilidad (v) Introducción de una variable nueva Se calcula su coste reducido: Si es 0 se introduce en la base y B a j 1 Se calcula la añadiéndose como columna de la tabla Se continúan las iteraciones del simplex 69

70 Análisis de Sensibilidad (vi) Cambio en un coeficiente en la f.o. de una variable básica Si algún coste reducido resulta Ejemplo: ˆ T T T 1 CN CN CB B N 0 entonces se sigue iterando El artesano juguetero puede devolver al proveedor de tornillos, bloques y ruedas aquellos componentes que le sobren. El proveedor le devuelve 0.01 /tornillo, 0.05 /bloque y 0.03 /rueda. Partiendo de la solución óptima anterior Cambia el óptimo? 70

71 Ejemplo (cont.): Análisis de Sensibilidad (vii) Cambian coeficientes de variables básicas y no básicas X N ˆ T T T 1 C N C N C B B N h 3 h 1 T N , XB x2 h 2 x1 T C C B , , ˆ T 0.01, , 1.4, , C N La solución no es óptima, la h 2 es variable básica entrante 71

72 Análisis de Sensibilidad (viii) Ejemplo (cont.): z x1 x2 h1 h2 h3 Cotas Relación -z h x x z x1 x2 h1 h2 h3 Cotas -z h x h Solución óptima: (x1,x2,h1,h2,h3) = (0, 400, 0, 2000, 1200) F.O.:

73 Análisis de Sensibilidad (ix) Cambio en un coeficiente de una variable básica en B La tabla se pone en la forma estándar con eliminación gaussiana Estos cambios pueden hacer perder factibilidad y/o optimalidad Introducción de nuevas restricciones Se comprueba si la nueva restricción se satisface con la solución Silasatisface satisface, lasolución sigue siendoóptima Si no la satisface, se introduce la restricción en la tabla Su variable de holgura o artificial es variable básica entrante Se aplica eliminación gaussiana y se sigue con simplex dual Nota: La variable básica asociada a la nueva restricción toma valores 0 73

74 6 Solución gráfica Sensibilidades gráficas Método Simplex Metodología Simplex Dualidad Análisis de sensibilidad Método simplex dual Método simplex dual

75 Método simplex dual (i) Es otro procedimiento análogo al método simplex Se aplica a problemas con formulación primal o dual Se utiliza cuando: Se introducen muchas variables artificiales para la primera solución básica factible La solución óptima por análisis de sensibilidad se hace infactible Funcionamiento Manejan soluciones básicas que cumplen optimalidad según el método simplex (costes reducidos ) 0 0 Estassoluciones soluciones soninfactibles (variables básicas ) 75

76 Método simplex dual (ii) Procedimiento: Inicialización: Se parte de una solución básica que cumpla el criterio de optimalidad (costes reducidos 0 ) Si la solución resulta factible, se ha alcanzado el óptimo, si no se itera Iteración: Se determina la variable básica saliente (variable con valor negativo de mayor valor absoluto) Se determina la variable básica entrante (aquella variable con coeficiente < 0 en la fila pivote que minimice el valor absoluto entre el coste reducido y el coeficiente de la fila pivote) cj z j min : ykj 0 1jn ykj Si no hubiera elementos < 0 el dual sería no acotado y el primal infactible Se actualiza la tabla por eliminación gaussiana y vuelve al hasta que la solución resulta factible y por tanto óptima 76

77 Ejemplo: Método simplex dual (iii) Resolver el problema dual del artesano con el método simplex dual Min 8000 y 6000y 6300y3 sujeto a : y115y218y y1 10 y2 6 y3 1.4 y, y, y Min 8000y16000y26300y3 sujeto a : 10 y115y218y3y y 10y 6y y Sin variables artificiales i Min 8000 y1 6000y2 6300y 3 sujeto a : 10y115y218y3y y 10y 6y y y, y, y, y, y 0 y1, y2, y3, y4, y5 0 77

78 Ejemplo(cont.i): Método simplex dual (iv) z y1 y2 y3 y4 y5 Cotas Relación z y y z y1 y2 y3 y4 y5 Cotas Relación z y / y /

79 Ejemplo(cont.ii): Método simplex dual (v) z y1 y2 y3 y4 y5 Cotas Relación z y y Valores óptimos primal z y1 y2 y3 y4 y5 Cotas -z y y Costes reducidos primal ÓPTIMO 79

80 Programación lineal paramétrica Cambios simultáneos en coeficientes de la f.o. n Se supone una función objetivo z = å c j=1 1 x Se desea conocer el cambio en la función objetivo j j n ˆ( q) åj= al modificar q, conocidos los pesos a j para cada variable x j 1. Resolver con q = 0 con el método simplex 2. Mediante análisis de sensibilidad introducir D cj = aq j 3. Modificar la ecuación de la f.o. para hacer 0 los coeficientes de las variables básicas en la f.o.. Aplicar la condición ió de optimalidad (coef. variables no básicas >= 0) para obtener el rango de q que mantiene la misma base óptima 4. Incrementar q hasta anular un coeficiente de variable no básica. Ésta será la variable básica entrante 5. Encontrar la nueva base óptima aplicando elsimplex y volver a 3 Se cambia el óptimo pero no la región factible ( aq ) 1 z = c + x j j j 80

81 Programación lineal paramétrica Cambios simultáneos en cotas de las restricciones Se desea conocer el cambio en la f.o. óptima ẑ al cambiar q en las cotas de las restricciones D bi = aqsupuestos conocidos los pesos a i i Los cambios en las cotas son equivalentes a cambios en coeficientes de la función objetivo en el problema dual 1. Resolver con el simplex para q = 0 2. Mediante análisis de sensibilidad introducir D bi = aq i 3. Expresar la condición de factibilidad de las variables básicas o, lo que es equivalente, la condición de optimalidad de las variables del dual (cotas de las restricciones >=0) 4. Incrementar q hasta anularlascotaslas de lasrestricciones (haciéndose infactible). Esa será la variable básica saliente en el simplex dual 5. Iterar el algoritmo simplex dual y volver al paso 2 Los distintos valores de qdeterminan regiones factibles habiendo en cadaq una de ellas una base óptima. El proceso acaba con un intervalo final de donde d ya no cambia la base o bien ya la base resulta infactible 81