1.Restricciones de Desigualdad 2.Procedimiento algebraico

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1 Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín 1. Restricciones de Desigualdad Clase # 6 EL MÉTODO M SIMPLEX El método m simplex es un procedimiento algebraico: las soluciones se obtienen al resolver un sistema de ecuaciones lineales conformado a partir de las restricciones funcionales. 1.Restricciones de Desigualdad 2.Procedimiento algebraico Ejemplo Prototipo: La Wyndor Glass Co. 6-1 El sistema de ecuaciones lineales se obtiene al convertir cada desigualdad de la forma original, en una igualdad equivalente Restricciones del tipo <= En el ejemplo de la Wyndor. Variable de holgura: Primera restricción: X 1 4 Es una variable, no negativa, que se adiciona al lado izquierdo de una restricción n funcional de desigualdad del tipo,, para convertirla en una igualdad equivalente. Sea X 3 lo que le falta a X 1 para ser igual a 4 De ahí que X 1 4 es equivalente a: X 1 X 3 = 4 Donde X 3 0 Veamos un ejemplo Características de las Variables de Holgura 1.2 Forma Aumentada del modelo Coeficientes de costo iguales a cero. Forma original Forma aumentada Coeficientes Tecnológicos: 1 - En su restricción n correspondiente 0 - En todas las otras restricciones Max Z = 3X 1 5X 2 Sujeto a X 1 4 Max Z = 3X 1 5X 2 Sujeto a X 1 X 3 =4 Conforman una columna de la matriz Identidad Sirven para completar la base Tienen un significado real Pueden aparecer en la solución óptima 2X X 1 2X 2 18 X 1, X 2 0 2X 2 X 4 =12 3X 1 2X 2 X 5 =18 X 1, X 2, X 3, X 4, X

2 Solución aumentada: Es una solución n para las variables originales (variables de decisión), que se ha aumentado con los valores correspondientes de las variables de holgura Solución sistema original Ejemplo Solución sistema aumentado Solución básica: (en un vértice) Es una solución n aumentada localizada en un vértice. Ejemplo Solución en el vértice Sistema Original Sistema Aumentado (4,6) (4,6,0,0,-6) (3,2) (3,2,1,8,5) X 3 =0, la solución está sobre la restricción frontera R1 X 4 =0, la solución está sobre la restricción frontera R2 El punto está en la intersección entre las Restricciones X 3, X 4, X 5 frontera R1 y R Solución n Básica: B Un sistema que posea, por ejemplo, m = 3 ecuaciones con n = 5 variables (incluyendo las de decisión n y de holgura) tiene 2 grados de libertad: Por lo que se puede dar valores arbitrarios a 2 de las variables y luego resolver el sistema para las otras Si se asigna el valor de 0, arbitrariamente, a 2 de las variables y se resuelve el sistema para las otras 3, a estas 3 variables se les denominará variables básicas. Esto corresponde a una solución en un vértice, o una solución básica Clasificación de variables: Básicas y No básicas 1. Cada variable (de decisión n o de holgura) puede clasificarse en básica b o no básica. b 2. En un sistema con n variables y m restricciones, donde n > m, habrá: m: variables básicasb n - m: variables no básicas, b (iguales a cero, por definición) n) sigue Las variables básicas b obtienen su valor al solucionar el sistema de m ecuaciones. 4. Si los valores de las variables básicas b satisfacen la condición n de no negatividad se les denomina soluciones básicas b factibles. Ejemplo: Sistema Original Sistema Aumentado (4,3) (4,3,0,6,0) Solución Básica Factible veamos

3 Ejemplo Cuántas soluciones en un vértice v existen? sistema original Sistema aumentado 10 x (0,6) (0,6) R1 R3 (0,6,4,0,6) Variables no básicas Variables básicas R2 n m = (n)! m! (n m)! n: número de variables m: : número n de restricciones funcionales Ejemplo de la Wyndor: n = 5 y m = 3 existirán: 5! = 10 soluciones en el 2! 3! vértice x Teorema Dos soluciones básicas b factibles son adyacentes entre sí, s, si tienen todas las V.N.B menos 1 comunes. (0,0) (0,0,4,12,18) Ejemplo (0,6) (0,6,4,0,6) Comparten todas las variables no básicas menos una. EL MÉTODO M SIMPLEX 2. Procedimiento algebráico 1. Hallar una solución inicial. 2. Hacer una Prueba de optimalidad. 3. Realizar nueva iteración 3.1 Determinación de la dirección de movimiento: Variable que entra a la base: columna pivote 3.2 Determinación de donde detenerse. Variable que sale de la base: fila pivote 4. Calcular una nueva solución básica factible 4.1 Obtener 1 en la fila pivote 4.2 Obtener 0 en el resto de la columna pivote Hallar una solución inicial (básica factible) Seleccionar las variable básicas: las que conforman una matriz identidad, de orden m, en el sistema de ecuaciones (coeficientes tecnológicos) Asignar el valor de cero a las variables restantes: Variables no básicas = 0 Este sistema de ecuaciones está en la forma apropiada de la eliminación Gaussiana (3) las v.b están en azul. x 1 x 3 = 4 2x 2 x 4 = 12 3x 1 2x 2 x 5 = 18 En el ejemplo: Como x 1 = 0 y x 5 = 18 x 2 = 0, entonces x 3 = 4, x 4 = 12 y Variables básicas: x 3, x 4, x 5 Variables no básicas: x 1 = 0 y x 2 = 0. La solución B.F. Inicial es (0,0,4,12,18)

4 2. Prueba de optimalidad. La función objetivo es Z = 3X 1 5X 2 0X 3 0X 4 0X 5 - Existen tasas de mejoramiento positivas? - En la función objetivo hay coeficientes positivos? Esto es equivalente a que haya coeficientes negativos en el renglón (0): Z 3X 1 5X 2 = 0 3. Iteraciones 3.1 Variable que entra a la base Determinación n de la dirección n de movimiento Z = 3X 1 5X 2 Aumenta X 1? Tasa de mejoramiento en Z=3 Aumenta X 2? Tasa de mejoramiento en Z=5 5 > 3, se elige X 2 para aumentar su valor Sí hay forma de mejorar 6-19 En este momento X 2 es una v.n.b y se selecciona como la variable que entra a la base: X 2 (columna pivote) Para ello se deben ajustar los valores de las demás variables Variable que sale de la Base Determinar donde detenerse. Cuánto aumentar el valor de la v.b entrante X 2, antes de detenerse? Entonces X 2 puede crecer justo hasta 6,, punto en el que X 4 ha llegado a 0. Variable que sale de la base: X 4 El método m SIMPLEX realiza el anterior análisis mediante la Prueba del cociente mínimo: m Puedo aumentar X 2 siempre y cuando: Todas las variables permanezcan no negativas X 3 = 4 - X 1 0 No hay cota superior sobre X 2 X 4 = 12-2X 2 0 X 2 6 X 5 = 18-3X 1-2X 2 0 (3) X Dividir el lado derecho entre el coeficiente de la variable que entra (X 2 ) X 1 X 3 = 4 2X 2 X 4 = / 2 = 6 (3) 3X 1 2X 2 X 5 = / 2 = 9 MINIMO Calcular la nueva solución n B.F. El mínimo m valor que se obtiene al realizar esta prueba determina: Cuando aumenta X 2, la S.B.F inicial cambia., - La variable que sale de la base. En este caso sale X 4 - Fila pivote. En este caso el renglón n V.N.B: S.B.F inicial X 1 = 0 X 2 =0 Nueva S.B.F X 1 = 0 X 4 =0 V.B: X 3 =4 X 4 =12 X 5 =18 X 3 =? X 2 =6 X 5 =?

5 (0) Z - 3X 1-5X 2 = 0 (3) Sistema de ecuaciones lineales X 1 X 3 = 4 2X 2 X 4 = 12 3X 1 2X 2 X 5 = 18 El patrón de coeficientes de la variable que sale, X 4, es (0,0,1,0) La variable que entra a la base X 2 debe quedar con este patrón de coeficientes: (0,0,1,0) 6-25 Toda la ecuación del mínimo cociente (Fila Pivote), se divide por el coeficiente de la variable que entra. En este caso: 4.1 Obtener 1 en el renglón pivote 2X 2 X 4 = 12 2 (2 ) X 2 0.5X 4 =6 ( X 2 = 6-0.5X 4 ) Nuevo renglón pivote Obtener 0 en el resto de la columna pivote - En el renglón (0) coeficiente de la variable que entra en el renglón (0) y el resultado sumarlo con el renglón (0) 5X 2 2.5X 4 = 30 pivote (* 5) En este caso: (0) Z - 3X 1-5X 2 = 0 Z - 3X 1-5X 2 = 0 Z - 3X X 4 = 30 Coeficiente de la variable que entra El renglón n : Está listo: el coeficiente de X2 es 0 X1 X3 = 4 El renglón n : Es el pivote -El renglón (3): Multiplicar el nuevo renglón pivote, por menos el coeficiente de la variable que entra en el renglón (3) y el resultado sumarlo con el renglón (3) En este caso: (3) 3X 1 2X 2 X 5 = 18 Nuevo renglón pivote (* -2) -2X 2 - X 4 = -12 3X 1 2X 2 X 5 = 18 3X 1 -X 4 X 5 = 6 ( X 5 = 6-3X 1 X 4 ) Coeficiente de la variable que entra

6 El nuevo sistema de ecuaciones es: 2. Prueba de optimalidad. (0) (3) Z - 3X 1 5/2X 4 = 30 X 1 X 3 = 4 X 2 1/2X 4 = 6 3X 1 -X 4 X 5 = 6 La función objetivo es Z =30 3X 1-5/2X 4 En la función objetivo hay coeficientes positivos: Variables básicas? X 2, X 3, X 5 Variables no básicas? X 1 = 0 y X 4 = 0 Nueva solución B.F? (0,6,4,0,6) Sí hay forma de mejorar Valor de la F.O.? Z= Iteraciones 3.1 Variable que entra a la base Determinar la dirección de movimiento Z = 30 3X 1-5/2X Variable que sale de la base Determinar donde detenerse. Cuánto aumentar el valor de la v.b entrante X 1, antes de detenerse? Si Aumenta X 1? Tasa de mejoramiento en Z=3 Si Aumenta X 4? Tasa de mejoramiento en Z=-5/2 Se elige X 1 para aumentar el valor Z pues con X 4 disminuye En la solución actual, X 1 es una v.n.b y se selecciona como la variable que entra a la base: X 1 (columna pivote) Se deben ajustar los valores de las variables Puede aumentar X 1 siempre y cuando las variables permanezcan no negativas X 3 = 4 - X 1 0 X 2 = 6-1/2X 4 0 X 1 4 No hay cota superior sobre X 1 X 5 = 6-3X 1 X 4 0 (3) X Con la prueba del cociente mínimo: m Se divide el lado derecho por el coeficiente de la variable que entra X 1 X 3 = 4 4/1 = 4 4. Calcular la nueva solución B.F. 4.1 Obtener 1 en el renglón pivote - Renglón (3) Toda la ecuación del mínimo cociente (fila pivote) se divide por el coeficiente de la variable que entra. X 2 1/2X 4 = 6 3X 1 -X 4 X 5 = 6 (3) 6 / 3 = 2 Variable que sale de la base? X 5 Variables básicas? X 1, X 2, X 3 mínimo 6-35 En este caso (3) 3X 1 -X 4 X 5 = (3 ) X 1-1/3 X 4 1/3 X 5 = 2 pivote

7 4.2 Obtener ceros en el resto de la columna pivote Renglón (0): pivote (* 3) coeficiente de la variable que entra en el renglón (0) y el resultado sumarlo con el renglón (0) En este caso (0) Z - 3X 1-5/2X 4 = 30 Coeficiente de la variable que entra sigue 3X X 4 X 5 = 6 Z - 3X 1 5/2 X 4 = 30 Z 3/2 X 4 X 5 = 36 Se hace lo mismo para cada renglón del resto del problema Renglón : coeficiente de la variable que entra en el renglón y el resultado sumarlo con el renglón Renglón : coeficiente de la variable que entra en el renglón y el resultado lo sumo con el renglón -X 1 1/3 X 4-1/3 X 5 = -2 pivote (* 1) En este caso 0 pivote (* 0) X 1 X 3 = 4 X 2 1/2 X 4 = 6 X 3 1/3 X 4-1/3 X 5 = 2 X 2 1/2 X 4 = El nuevo sistema de ecuaciones es: (0) Z 3/2 X 4 X 5 = 36 X 3 1/3 X 4-1/3X 5 = 2 X 2 1/2 X 4 = 6 (3) X 1-1/3 X 4 1/3 X 5 = 2 2. Prueba de optimalidad Z 3/2 X 4 X 5 = 36 En el renglón (0) no hay coeficientes negativos Variables básicas? X 1, X 2, X 3 Variable no básicas X 4 = 0 y X 5 = 0 Nueva solución B.F ( 2,6,2,0,0 ) Conclusión: Esta es la solución óptima Z =

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