Degeneración y ciclaje. Método de las dos fases CO-3411 (S08) 30/03/

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1 CO-3411 (S08 30/03/ Degeneración y ciclaje En el caso de problemas generales, una solución será degenerada cuando alguna de las variables básicas se encuentra en una de sus cotas (comparar con el caso estándar. Si en alguna iteración nos da t = 0 (siempre por culpa de una solución degenerada se dice que la iteración es degenerada. El fenómeno de degeneración, que consiste en realizar iteraciones degeneradas, de nuevo puede dar lugar a ciclaje. Existen adaptaciones de los métodos lexicográco y de perturbación para este caso, y también funciona la regla de Bland. Método de las dos fases Para problemas generales también es necesario tener una metodología para encontrar una solución básica factible inicial, ya que el método de tratar de adivinar una no tiene sentido, como mencionamos anteriormente. El método es una idea similar a la que usamos en el caso estándar pero ligeramente más complicada. Dado un problema en forma general: max c T x Ax = b l x u (PG vamos a generar un problema auxiliar, para la primera fase, como sigue. Para cada restricción i del problema añadimos (sumamos una variable articial x n+i. Ahora jamos cada variable original en una de sus cotas y en caso de que sea libre la jamos en cero. Sean x j los valores de las variables originales así jadas. Sea x n+i = b i a ij x j Si x n+i 0 se jan las cotas l n+i = 0 y u n+i = +. En este caso se dene w n+i = 1.

2 CO-3411 (S08 30/03/ Si x n+i < 0 se jan las cotas l n+i = y u n+i = 0. En este caso se dene w n+i = 1. El problema auxiliar queda: max w n+i x n+i a ij x j + x n+i = b i (i = 1, 2,..., m l j x j u j (j = 1, 2,..., n l n+i x n+i u n+i (i = 1, 2,..., m (PA Este problema tiene varias propiedades interesantes: Es factible, basta tomar los valores con tilde asignados a las variables arriba. De hecho el problema se construye factible. El problema está acotado superiormente por cero. Basta considerar los signos de los w y las articiales en la función objetivo. De hecho, la solución construida con los valores tilde es una SBF. Las articiales son las básicas y las originales las no básicas. La matriz A B es la identidad de tamaño m. Si x es una solución óptima de (PA y x n+i = 0 para todo i = 1, 2,..., m, entonces (PG es factible. Entonces la idea es resolver (PA. Una vez hecho eso, si x n+i = 0 para todo i = 1, 2,..., m, escribimos (PG así: max c j x j a ij x j = b i (i = 1, 2,..., m l j x j u j (j = 1, 2,..., n 0 x n+i 0 (i = 1, 2,..., m (PG

3 CO-3411 (S08 30/03/ donde las últimas cotas se ponen para evitar que variables articiales que estén en la base a nivel cero puedan crecer. Las que estén fuera de la base se pueden eliminar directamente. Resolvemos (PG desde la SBF x pero con la estrategia de que, cada vez que una variable articial salga de la base, la eliminamos del problema. Proceder normalmente hasta optimalidad o no acotación. En caso de que x n+i 0 para algún i, el problema (PG es no factible. Nota: El método se describe añadiendo m articiales, pero uno podría aprovechar la presencia previa de columnas de la identidad en A. En otras palabras, podrían necesitarse menos articiales. Ejemplo (hacer el ejemplo anterior sin tener la solución inicial. El método de las dos fases no es la única forma de atacar el problema de inicialización. Existen algunas otras estrategias. La más importante de ellas es el método de la M grande, en el cual se añaden variables articiales pero se mantiene la función objetivo original agregando las articiales con un costo M (o M, que debe ser de sucientemente magnitud como para garantizar que el problema original es factible si y sólo si ninguna solución óptima tiene variables articiales con valor distinto de cero. Un problema que tiene este método es la estimación del tamaño de M que de ser elegido muy grande puede introducir dicultades numéricas al algoritmo. En Flujo en Redes, caso partidular importante de PL, esa estimación es directa y la constante resultante no es exageradamente grande, por lo que este método es preferido en ese caso. Comentario sobre eliminación de articiales básicas a nivel cero.

4 CO-3411 (S08 30/03/ El Teorema Fundamental de PL visto de nuevo Sabemos que si un problema en forma estándar tiene una solución factible entonces tiene una SBF. Esto es falso en el caso de un problema en forma general. Un ejemplo, considere el problema cuya matriz de restricciones y lado derecho son A = b = y con cotas todas l j = 0 y u j = +. Este problema es factible, por ejemplo considere la solución (0, 0, 0, 1, 1 T. Sin embargo no puede tener una solución básica factible porque tendría que haber al menos 3 columnas de A que sean linealmente independientes y no las hay. En efecto, las las de A son l.d.: multiplicar la primera por 3, la segunda por 2 y la tercera por 5 y se obtiene el vector 0. Todo esto implica que A tiene rango menor que 3 ( es decir, no tiene rango completo de las y por lo tanto no pueden existir 3 columnas l.i. Entonces el teorema debe ser modicado para considerar esta situación. Hay otra sutileza que hay que considerar. Una de las consecuencias del TFPL para el caso estándar es que la búsqueda de una solución óptima se realiza en el conjunto nito de las SBF. Bueno, en el caso general, si se tienen variables libres, el número de soluciones básicas factibles de un problema puede ser innito. Considere un problema donde A = b = 2 1 l = 0 0 u = entonces para la base B = {1, 2} la solución (1 t, t, 0, t T es una SBF para todo t 0. Para restringir el ámbito de búsqueda y hacerlo nito, jamos el valor de las variables libres en

5 CO-3411 (S08 30/03/ cero para las SBF y llamamos a este tipo de solución una solución básica factible normal. Con esto tenemos el [Teorema Fundamental de PL] Si el problema PG no tiene solución óptima, entonces es no factible o no acotado. Además, si A tiene rango completo de la, entonces PG tiene las siguientes dos propiedades 1. Si tiene una solución factible entonces tiene una solución básica factible normal. 2. Si tiene una solución óptima entonces tiene una solución básica óptima normal. (Se deja sin demostración, interesados ver el libro Notar que un problema en forma estándar al que le añadimos holguras es un problema general con matriz A de rango complete. Eso indica que este teorema generaliza al anterior. Eliminación de variables libres Al ser libre, una variable puede ser eliminada de un PL general. Lo que se hace es despejar la variable de alguna de las restricciones y sustituirla en las demás y la función objetivo. Note que si la variable tuviese alguna cota este procedimiento no es válido porque se pierde esa restricción. Esto reduce el tamaño del problema en una restricción y una variable. Una estrategia que parece efectiva es hacer esto con todas las variables libres, resolver un problema de menor tamaño y luego recuperar los valores de las variables libres mediante las ecuaciones que usamos para su eliminación. De esta manera el Simplex podría tardar menos por tener que resolver sistemas lineales de menor tamaño y por tener que realizar menos iteraciones. Sin embargo, si el problema original es ralo, puede resultar que el que se obtiene al eliminar las variables libres sea denso. En este caso podría perderse la ventaja de que los sistemas lineales son más fáciles de resolver ya que sistemas densos pequeños son en general más difíciles que sistemas grandes ralos. Por otro lado, cuando una variable libre entra en la base no sale más (½verlo!. En ese sentido, tener k variables libres en la base es como tener k ecuaciones menos. Por esta razón es una buena estrategia tratar de introducir todas las variables libres en la base tan pronto como se pueda.

6 CO-3411 (S08 30/03/ Dualidad para problemas generales El formato de problemas generales que hemos venido usando fue conveniente para describir el algoritmo Simplex, el método de las dos fases y el Teorema Fundamental. Sin embargo, para hablar de dualidad es conveniente considerar un problema general escrito en la forma: max c j x j a ij x j b i (i I a ij x j = b i (i E x j 0 (j R (PG2 Esto implica que: Si en nuestro problema original tenemos desigualdades, las dejamos tranquilas en lugar de sumar variables de holgura. Las cotas superiores en las variables las incorporamos a las restricciones de desigualdad. I es el conjunto de desigualdades (inecuaciones, E es el conjunto de igualdades (ecuaciones y R es el conjunto de variables restringidas, de ahí las siglas. Las variables que están fuera de R serán llamadas variables libres aunque hayan cotas sobre ellas mezcladas en el conjunto I de las desigualdades. El conjunto de las variables libres lo denotaremos por F (free. (PG2 está en forma estándar si y sólo si E = y F =. Tomemos ahora una combinación lineal de todas las restricciones. Para el primer grupo debemos multiplicar por un número no negativo para mantener el sentido de la desigualdad: y i ( a ij x j y i b i (i I, y i 0

7 CO-3411 (S08 30/03/ Para el siguiente grupo no importa el signo del multiplicador: y i ( a ij x j = y i b i (i E Sumando estas relaciones e intercambiando el orden de las sumas tenemos: ( m a ij y i x j b i y i (1 Ahora elegimos los y i para i = 1, 2,..., m, tales que: a ij y i c j (j R a ij y i = c j (j F Entonces toda solución factible de (PG2 satisface ( m c j x j a ij y i x j (j = 1, 2,...n (ojo, usa que x j 0 en R y hay igualdad para j F. Entonces c j x j ( m a ij y i x j lo que por (1 termina siendo c j x j b i y i (2 obteniéndose una cota superior sobre el valor óptimo de (PG2.

8 CO-3411 (S08 30/03/ Si queremos una buena cota superior, la mejor, podemos resolver min b i y i a ij y i c j (j R a ij y i = c j (j F y i 0 (i I (PD2 que sería el problema dual de (PG2. Toda solución factible de (PG2 y toda solución factible de (PD2 satisfacen (2 es decir un Teorema Débil de Dualidad. Notas: Debería ser claro que en el caso de la forma estándar se obtiene lo ya visto anteriormente, es decir que esto es una generalización. Hay una correspondencia obvia entre las variables de un problema y las restricciones del otro. Veamos una tabla que las ilustra: Dual Variables restringidas Variables libres Restricciones de desigualdad Restricciones de igualdad Primal Restricciones de desigualdad Restricciones de igualdad Variables restringidas Variables libres El dual del dual es el primal. Como estrategia para hallar el dual de cualquier problema, se recomienda Si el problema es de maximización, llevarlo a la forma de (PG2 y hallar su dual en la forma (PD2

9 CO-3411 (S08 30/03/ Si el problema es de minimización, llevarlo a la forma de (PD2 y hallar su dual en la forma (PG2 Además también tenemos el [Teorema Fuerte de Dualidad (Caso General] Si un problema general de PL tiene solución óptima entonces su dual tiene solución óptima y los valores óptimos de ambos problemas coinciden. Sin demostración, basada en el Simplex para problemas generales y sólo técnica.

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