TEMA 4. TEORÍA DE LA DUALIDAD.

Transcripción

1 Investgacón Operatva TEMA. TEORÍA DE LA DUALIDAD. TEMA. TEORÍA DE LA DUALIDAD..... INTRODUIÓN... ALGORITMO DUAL DEL SIMPLEX.... EJEMPLO.... EJEMPLO.... EJEMPLO... TEORÍA DE LA DUALIDAD.... PROLEMA PRIMAL Y PROLEMA DUAL.... PROPIEDADES ÁSIAS.... TEOREMA DE EXISTENIA.... EJEMPLO... INTERPRETAIÓN EONÓMIA.... EJEMPLO.... INTRODUIÓN Dado un problema de programacón lneal, denomnado problema prmal, exste otro problema de programacón lneal, denomnado problema dual, íntmamente relaconado con él. Se dce que ambos problemas son mutuamente duales. ajo certas hpótess, los problemas prmal dual dan lugar al msmo valor óptmo de la funcón objetvo, por tanto se puede resolver ndrectamente el problema prmal resolvendo el problema dual. Además nos permte utlzando el algortmo dual del smplex el resolver problemas que por la forma estándar nos serían rresolubles. Además permte facltar otros cálculos como los de las varables artfcales. Teoría de la Dualdad Págna de

2 Investgacón Operatva ALGORITMO DUAL DEL SIMPLEX El algortmo dual del smplex será utlzado cuando se llegue medante el método clásco del smplex a la sguente stuacón: - Alguna componente de la solucón es menor que cero. - Para todas las varables no báscas el últmo renglón son maores o guales que cero. Tambén es útl cuando la ntroduccón de varables artfcales complca demasado el problema. on este algortmo podemos encontrarnos varas crcunstancas: - En el últmo renglón todos los valores son postvos (no varía conforme a la stuacón ncal) los valores negatvos de la solucón han desaparecdo. Es entonces cuando encontramos la solucón óptma. - S en el últmo renglón tene valores negatvos la solucón no es óptma. o S la solucón tene valores negatvos el problema no tene solucón. o S la solucón no tene valores negatvos para obtener la solucón óptma se utlzará el método clásco del smplex. - S además de tener una componente negatva tenemos que los elementos de su fla asocada no son tambén negatvos tenemos que no ha solucón al problema. El método de resolucón es mu smlar al del smplex con las sguentes dferencas: o La varable básca que sale es la que posee un valor negatvo más alto. o En este caso la prueba para encontrar la varable que entra es la sguente: j j max j. EJEMPLO alcular la solucón optma, s exste, del sguente problema. Realzar los cálculos medante el desarrollo tabular del método dual del Smplex. Mnmzar: z = 0x + 8x + x x + x + x Restrccones: x + x x x + x + x on x Teoría de la Dualdad Págna de

3 Investgacón Operatva Para resolver este problema ntroducremos varables de holgura, multplcaremos la segunda restrccón por para que los cálculos nos sean más sencllos, quedando las ecuacones de la sguente manera: Mnmzar: z = 0x + 8x + x Maxmzar: z = 0x 8x x Restrccones: x + x + x + x = x + x x + x = x + x + x + x = omenzaremos con el desarrollo tabular del método dual del Smplex, recordar que partmos de una solucón básca no factble. Las varables que forman la base son: x, x, x. X x = 0 x = x = Aunque la solucón es básca no factble por lo cual tendremos que hacer un cambo de varables en la tabla. Escogemos de la columna X la varable cuo valor es el más negatvo ésta será la que deje de formar parte de la base. En este caso es x, veamos por cual la vamos a susttur: 0 max tal que < 0 max 0 Hemos comprobado que la varable x dejará de formar parte de la base susttuda por x. Por lo tanto el pvote será el número que está en la caslla sombreada de la tabla anteror. Ahora, a partr del pvote calcularemos la nueva tabla. Teoría de la Dualdad Págna de

4 Investgacón Operatva Las varables que forman la base son: x, x, x. X x = 9 0 x = x = omo 0 (,0,0,9,0,,0 ) es la solucón óptma del problema.. EJEMPLO alcular la solucón optma, s exste, del sguente problema. Realzar los cálculos medante el desarrollo tabular del método dual del Smplex. Mnmzar: z = 0x + 8x + x x + x + x Restrccones: x + x x x + x + x on x Para resolver este problema ntroducremos varables de holgura sn modfcar las restrccones quedando las ecuacones de la sguente manera: Mnmzar: z = 0x + 8x + x Maxmzar: z = 0x 8x x x + x + x + x = Restrccones: x + x x + x = on x x + x + x + x = omenzaremos con el desarrollo tabular del método dual del Smplex, recordar que partmos de una solucón básca no factble. Teoría de la Dualdad Págna de

5 Investgacón Operatva Las varables que forman la base son: x, x, x. X x = 0 x = x = Aunque la solucón es básca no factble por lo cual tendremos que hacer un cambo de varables en la tabla. Escogemos de la columna X la varable cuo valor es el más negatvo ésta será la que deje de formar parte de la base. En este caso es x, veamos por cual la vamos a susttur: 0 8 max tal que < 0 max,, 0 Hemos comprobado que la varable x dejará de formar parte de la base susttuda por x. Por lo tanto el pvote será el número que está en la caslla sombreada de la tabla anteror. Ahora, a partr del pvote calcularemos la nueva tabla. Las varables que forman la base son: x, x, x. X x = x = / x = Aunque la solucón es básca no factble por lo cual tendremos que hacer un cambo de varables en la tabla. Escogemos de la columna X la varable cuo valor es el más negatvo ésta será la que deje de formar parte de la base. En este caso es x, veamos por cual la vas a susttur: max tal que < 0 max{ } / omo El problema no tene solucón óptma. Teoría de la Dualdad Págna de

6 Investgacón Operatva. EJEMPLO alcular la solucón óptma, s exste, del sguente problema. Realzar los cálculos medante el desarrollo tabular del método dual del Smplex. Mnmzar: = x + x + x (Maxmzar = -x x x ) Restrccones: x x + x x + x x on x Introducmos varables de holgura para poder soluconar el problema medante el método del smplex. x + x + x + x = x x x x = No podemos utlzar aún el algortmo del smplex a que no tenemos las sufcentes varables báscas, por lo que habría que ntroducr varables artfcales. Tambén exste otra alternatva, cambar de sgno la segunda restrccón partr de una tabla smplex no factble encontrar la solucón óptma medante el algortmo dual del smplex. Las restrccones quedarían como sgue: x + x x + x + x + x + x + x Las varables que forman la base son: x, x. = = X x = 0 x = Aunque la solucón es básca no factble por lo cual tendremos que aplcar el algortmo dual hacer un cambo de varables en la tabla. Teoría de la Dualdad Págna de

7 Investgacón Operatva Escogemos de la columna X la varable cuo valor es el más negatvo ésta será la que deje de formar parte de la base. En este caso es x, veamos por cual vamos a susttur: max tal que < 0 max Hemos comprobado que la varable x dejará de formar parte de la base susttuda por x. Por lo tanto el pvote será el número que está en la caslla sombreada de la tabla anteror. Ahora, a partr del pvote calcularemos la nueva tabla. X x = 0 9/ 8/ -/ / 0 - x = -/ -/ 0 -/ / - / 8/ 0 / 0 9/ / 0 0 omo 0,0,0,, 0 es la solucón óptma del problema. Ahora ntentamos resolver el sguente problema: Mnmzar: = x x x (Maxmzar = x + x + x ) x x x Restrccones: x + x + x Introducmos varables de holgura cambamos de sgno la segunda restrccón para evtar tener que utlzar varables artfcales. on esto queda el sguente problema a resolver: Mnmzar: = x x x x x x + x = Restrccones: x x x + x = Las varables que forman la base son: x, x. X x = 0 x = NOTA: El no puede ser pvote porque es postvo. Teoría de la Dualdad Págna 7 de

8 Investgacón Operatva omo 0 la solucón es básca no factble no podemos soluconar el problema medante el algortmo dual del smplex tendremos que recurrr a utlzar varables artfcales. Mnmzar: = x x x + Mx x x x + x = Restrccones: x + x + x x + x = Las varables que forman la base son: x, x. X x = -M x = M -M -M 0 M -M M+ -M+ -M+ 0 M 0 omo < 0 es mejorable. La varable de la base que va a 0 j > entrar a la base es x, veamos por cual lo hacemos medante la prueba del cocente mínmo obvando los valores negatvos: x x mn, mn, mn Hemos comprobado que la varable x pasará a formar parte de la base en lugar de x. Por lo tanto el pvote será el número que está en la caslla sombreada de la tabla anteror. Ahora, a partr del pvote calcularemos la nueva tabla. Las varables que forman la base son: x, x. X x = 7 -/ - 0 -/ / 7/ 0 x = -/ / 0 -/ / / -/ / 0 -/ ¾ -7/ / 0 0 -/ (/)+M omo > 0 la solucón no es óptma, pero al tener que > 0 < 0 el problema no tene solucón. Teoría de la Dualdad Págna 8 de

9 Investgacón Operatva TEORÍA DE LA DUALIDAD. PROLEMA PRIMAL Y PROLEMA DUAL ada problema de programacón lneal lleva asocado un problema dual con el que práctcamente está mu relaconado. Para calcular el problema dual, partmos del problema de programacón lneal expresado de la forma sguente (habtual en todos nuestros problemas): - Maxmzar la funcón objetvo: = c x + c x + + c n x n - Poner las restrccones en la forma sguente: a x + a x + + a n x n <= b a x + a x + + a n x n <= b a m x + a m x + + a mn x n <= b m El problema dual va a defnrse de la sguente forma: - Mnmzar una funcón con unas varables dstntas a con los coefcentes derechos de las restrccones como coefcentes. Quedaría como sgue: = b + b + + b n n o El problema dual tene tantas varables como necuacones el sstema de restrccones del problema prmal. o Los coefcentes de la funcón objetvo del dual son los térmnos ndependentes de las restrccones del prmal. - Las restrccones quedarían de la forma sguente: a + a + + a m n >= c a + a + + a m n >= c a m + a m + + a mn n >= c n o El sstema de restrccones del dual tene tantas necuacones lgadas por el sgno >= como varables tene el prmal. o Los coefcentes de las necuacones del sstema de restrccones del problema dual son los msmos que los del sstema de restrccones del problema prmal cambando flas por columnas. o Los térmnos ndependentes de las necuacones del sstema de restrccones del dual son los térmnos de la funcón objetvo del prmal. Teoría de la Dualdad Págna 9 de

10 Investgacón Operatva PROLEMA PRIMAL Max( ) = restrccones : ( =,.., m) x n j= j a x b j c x j =,..., n n j= j j Mn( ) = restrccones : ( j =,.., n) n j= a c b =,..., m PROLEMA DUAL j o j m = j Un ejemplo de transformacón prmal/dual sería el que sgue: PROLEMA PRIMAL Max( ) = x restrccones : x + 0x 0x x x, x + x + x 8 + x PROLEMA DUAL Mn( ) = + restrccones : ,, Para hallar la correspondenca entre ambos problemas se suele utlzar la tabla prmaldual o de Tucker. En ella se puede observar el problema prmal por flas, es decr vertcalmente. Por columnas, es decr horzontalmente, se observa el problema dual. PROLEMA DUAL PROLEMA PRIMAL x x x n Term. Ind. a a a n b a a a n b m a m a m a mn bm Term. nd. >= >= >= >= c c c m oefcentes F.O. max. oefcentes F.O. mn Teoría de la Dualdad Págna 0 de

11 Investgacón Operatva Para el ejemplo anteror tendríamos lo sguente: PROLEMA DUAL PROLEMA PRIMAL x x Term. Ind Term. nd. >= >= oef. F.O.max. oef. F.O. mn omo conclusón la transformacón del problema prmal en el dual ( vceversa) sería como sgue: Teoría de la Dualdad Págna de

12 Investgacón Operatva. PROPIEDADES ÁSIAS Dada la relacón exstente entre el problema dual el prmal se pueden enumerar las sguentes propedades que nos permtrán el uso de esta dualdad para resolver dferentes aspectos de los problemas de optmzacón. - Propedad de la dualdad débl: ualquer solucón factble en el prmal tene un valor menor o gual que una solucón factble en el dual. Matemátcamente: cx <= Yb. Sempre se cumple porque el valor máxmo factble de es gual al valor mínmo factble de. - Propedad de la dualdad fuerte: S X e Y son respectvamente solucones factbles del problema prmal del dual se cumple que cx=yb entonces X e Y son solucones a ambos problemas. En conclusón, en el óptmo ambas solucones son guales. - Propedad de las solucones complementaras: En cada teracón, el smplex determna una solucón FEV X del prmal, una solucón complementara Y del dual. En cada paso se obtenen varables báscas para el prmal, los valores de las varables de holgura son las solucones del dual complementaras óptmas. Éstas se forman con los elementos correspondentes stuados en la últma fla en las columnas que están asocadas a las varables de holgura. uando se está resolvendo el problema prmal, el problema dual es no factble. Sólo se vuelve factble cuando se halla la solucón óptma. - Propedad de las solucones complementaras óptmas: En la tabla smplex fnal, se obtene la solucón óptma x* del prmal, se obtene la solucón óptma complementara * del dual, en este punto ambas son factbles. c x* = *b Los valores de * se denomnan precos sombra para el problema prmal. - Propedad de la smetría: Para cualquer problema, el dual del dual es el prmal. La solucón del problema dual corresponderá a los valores del últmo renglón de las varables de holgura Teoría de la Dualdad Págna de

13 Investgacón Operatva. TEOREMA DE EXISTENIA Las relacones entre el prmal el dual se pueden establecer en tres puntos:. S un problema tene solucones factbles funcón objetvo acotada, entonces el otro tambén los valores de la funcón objetvo en el óptmo son guales.. S uno de los problemas tene solucones factbles funcón objetvo no acotada, entonces el otro es no factble.. S un problema no tene solucones factbles, entonces el otro no tene solucones factbles o tene la funcón objetvo no acotada. El Teorema de Exstenca se enuncaría como sgue: Dados un par de problemas duales, una sólo una de las sguentes afrmacones es verdadera: - Nnguno de los dos problemas posee solucones factbles. - Uno de los problemas no tene solucón factble el otro sí, pero no posee solucón óptma. - Los dos problemas poseen solucón óptma. Esto puede resumrse dcendo que entre dos problemas duales úncamente se pueden dar las sguentes alternatvas:. Ambos poseen solucones factbles, entonces los valores de las funcones objetvo son conjuntos de números. El punto P la solucón smultánea de los problemas dual prmal. = cx P Y = b. La funcón no alcanza un máxmo, por lo tanto no exste una solucón óptma para el problema dual (no ha punto P).. La funcón objetvo dual Y no está acotada nferormente por esto no ha punto P. El problema prmal no tendrá solucón óptma.. No ha conjunto de solucones factbles para n para Y, entonces nnguno de esos dos problemas tene solucones factbles. A partr de las cuatro alternatvas podemos establecer dos reglas práctcas:. Todo problema de programacón lneal puede resolverse aplcando el algortmo del smplex a su problema dual asocado.. Los lemas de la dualdad son claves en la resolucón de algunos problemas (Ej. S X e Y son solucones de un problema dual prmal correspondente cx = Yb, X e Y serán óptmos). Teoría de la Dualdad Págna de

14 Investgacón Operatva. EJEMPLO Sea el problema de programacón lneal expresado en forma prmal: Max( ) = 7x + 8x x x x + x Re strccones x + x + 7x x ) Expresar el problema dual asocado a éste. ) Resolver el problema prmal aplcando el algortmo del smplex calcular las solucones del problema dual. ) alcular aplcando el algortmo del smplex el problema dual antes expresado resolver tambén el problema prmal. ) Expresón del problema dual: ) Resolucón del problema prmal. Mn( Y ) = Introducmos las varables de Holgura 7 Re strccones Max( ) = 7x + 8x + x x x + x + x Re strccones x + x + 7x + x x = = onstrumos la tabla smplex ncal. Las varables báscas son x, x X x = 0 x = omo < > 0 ( 0,0,0,, ) es mejorable. 0 j Teoría de la Dualdad Págna de

15 Investgacón Operatva La varable de la base que va a entrar a la base es x, veamos por cual lo hacemos medante la prueba del cocente mínmo obvando los valores negatvos: x x mn, mn, mn { } Hemos comprobado que la varable x pasará a formar parte de la base en lugar de x. Por lo tanto el pvote será el número que está en la caslla sombreada de la tabla anteror. Ahora, a partr del pvote calcularemos la nueva tabla. Las varables que forman la base son: x, x. X x = 8 x = omo < > 0 ( 0,,0,,0 ) es mejorable. 0 j La varable de la base que va a entrar a la base es x, veamos por cual lo hacemos medante la prueba del cocente mínmo obvando los valores negatvos: x x mn, mn, mn{ } Hemos comprobado que la varable x pasará a formar parte de la base en lugar de x. Por lo tanto el pvote será el número que está en la caslla sombreada de la tabla anteror. Ahora, a partr del pvote calcularemos la nueva tabla. Las varables que forman la base son: x, x. -7 X x 0 7 = 8 x = es la solucón óptma del problema prmal, quedándose reflejando úncamente las tres varables prncpales en (,7,0). omo 0 (,7,0,0,0 ) La solucón del problema dual corresponderá a los valores del últmo renglón de las varables de holgura por lo tanto, ) (, ) ( Teoría de la Dualdad Págna de

16 Investgacón Operatva ) Resolucón del problema dual. Mnmzar: z = + 7 Restrccones: Para resolver este problema ntroducremos varables de holgura, cambamos de sgno las necuacones con el fn de que podamos aplcar el algortmo dual del smples sn tener que ntroducr varables artfcales. Al fnal las ecuacones quedan de la sguente manera: Mnmzar: z = + (Max z = ) + + = 7 Restrccones: + = = onstrumos la tabla smplex ncal. Las varables báscas son,, 0 7 Y = 0 = = Aunque la solucón es básca no factble por lo cual tendremos que aplcar el algortmo dual del smplex. Escogemos de la columna Y la varable cuo valor es el más negatvo ésta será la salga de la base. En este caso es, veamos por cual la vamos a susttur: max tal que < 0 max, Hemos comprobado que la varable pasará a formar parte de la base en lugar de. Por lo tanto el pvote será el número que está en la caslla sombreada de la tabla anteror. Ahora, a partr del pvote calcularemos la nueva tabla. Teoría de la Dualdad Págna de

17 Investgacón Operatva Las varables que forman la base son:,,. Y = = 0 = Aunque 0 la solucón es básca no factble por lo cual tendremos que aplcar el algortmo dual del smplex. Escogemos de la columna Y la varable cuo valor es el más negatvo ésta será la salga de la base. En este caso es, veamos por cual la vamos a susttur: max tal que < 0 max, Hemos comprobado que la varable pasará a formar parte de la base en lugar de. Por lo tanto el pvote será el número que está en la caslla sombreada de la tabla anteror. Ahora, a partr del pvote calcularemos la nueva tabla. Y = - = = es la solucón óptma del problema dual, quedándose úncamente con sus dos varables en (,) tomando los valores del últmo renglón para las varables de holgura este quedaría (,7,0) omo 0 (,,0,0, ) Teoría de la Dualdad Págna 7 de

18 Investgacón Operatva INTERPRETAIÓN EONÓMIA Un problema de programacón líneal está destnado a la optmzacón de determnados recursos económcos. Los problemas prmales conssten en maxmzar una funcón objetvo sometda a un conjunto de restrccones representadas por necuacones. La nterpretacón económca de estos valores es la sguente: - Las varables x pueden nterpretarse como los térmnos desconocdos de los productos que fabrcaremos. - Los b son las cantdades dsponbles de recursos para elaborar los productos. - Los térmnos a j son las cantdades necesaras del recurso para producr una undad del producto j. - Las restrccones representarán la lmtacón de los recursos dsponbles para fabrcar los productos. - El objetvo del fabrcante será obtener un benefco máxmo, o sea, maxmzar los benefcos, con lo cual cj serán los benefcos por cada undad producda del producto j. A partr de las relacones prmal-dual nterpretaremos económcamente los térmnos del anteror: - : ontrbucón a la gananca por cada undad del recurso. Estas varables del problema dual recben el nombre de precos de sombra. - >=0: La gananca por cada undad del recurso, debe ser no negatva, de lo contraro sería mejor no utlzar este recurso en absoluto. - F.Objetvo: Es la mnmzacón total del valor mplícto de los recursos consumdos por las actvdades. En general el preco sombra de una restrccón proporcona el cambo en el valor de la funcón objetvo como resultado de un cambo untaro en el térmno ndependente de la restrccón, suponendo que el resto de parámetros del problema permanecen nalterados. En muchos problemas de programacón lneal los precos sombra son tan mportantes como la solucón del problema, a que proporconan nformacón sobre el efecto en la funcón objetvo de cambos en los recursos dsponbles. Teoría de la Dualdad Págna 8 de

19 Investgacón Operatva. EJEMPLO (Procedente Escuela Técnca Superor de Ingenería Industral de udad Real) Un carpntero modesto fabrca dos tpos de mesas de madera. ada mesa del tpo necesta horas de mecanzado prmaro (preparacón de pezas) horas de mecanzado secundaro (ensamblado barnzado). Análogamente, cada mesa del tpo necesta horas de mecanzado prmaro 7 horas de mecanzado secundaro. Las dsponbldades daras de mecanzados prmaro secundaro son respectvamente de 0 horas-máquna. La venta de una mesa del tpo reporta un benefco de 70 euros, mentras que la venta de una mesa del tpo de 90 euros. Sendo x x son las cantdades daras de mesas a fabrcar de los tpos respectvamente el problema de programacón lneal quedaría como sgue: Maxmzar: z = 70x + 90x x + x 0 Restrccones: x x + 7x Introducmos las varables de Holgura Max( ) = 70x x Re strccones x x + 90x + x + 7x + x + x = 0 = onstrumos la tabla smplex ncal. Las varables báscas son x, x X x = 0 x = omo < > 0 ( 0,0,0,) es mejorable. La varable x es la 0 j varable que entrará a la base, la varable que saldrá será la correspondente a la prueba del cocente mínmo. 0 mn, mn{ 0,8} 8 7 La varable x saldrá de la base por lo que el elemento pvote es el 7. Teoría de la Dualdad Págna 9 de

20 Investgacón Operatva 0 X x /7 0 -/7 = 90 x = 8 /7 0 /7 8 0/ /7-0/ /7 omo < > 0 ( 0,8,,0 ) es mejorable. La varable x es la 0 j varable que entrará a la base, la varable que saldrá será la correspondente a la prueba del cocente mínmo. 8 mn, mn{ 7,} 7 / 7 / 7 La varable x saldrá de la base por lo que el elemento pvote es el /7. X x 0 7/ -/ 7 70 = 7 90 x = 0 -/ ¼ /8 7/8 0 0 /8 7/8 omo ( 70,90,0,0) es mejorable. La varable x es la varable que entrará a la base, la varable que saldrá será la correspondente a la prueba del cocente mínmo. La solucón óptma (obtenda por el método gráfco o el algortmo del smplex) establece que han de producrse daramente 7 sllas de los tpos respectvamente, lo que da lugar a un benefco de 80 euros. Este resultado ndca que ambos recursos de mecanzado (prmaro secundaro) están plenamente utlzados porque las restrccones relaconadas con ellos están ambas actvas, es decr, las dos son restrccones oblgatoras. Por otra parte, consdérese que quere aumentarse el benefco daro. Para ello es necesaro aumentar la capacdad productva. onsdérese que la capacdad de mecanzado secundaro puede aumentarse cada día de a 7 horas de máquna. ómo afecta esta amplacón de capacdad a los benefcos daros? Teoría de la Dualdad Págna 0 de

21 Investgacón Operatva La solucón puede obtenerse medante Análss de Sensbldad utlzando los mecansmos vstos en el tema anteror el algortmo dual del smplex s procede. 7 / / / 0 * = / 7 8 En este caso la solucón óptma es x = x = 8 con un benefco máxmo daro de 000 euro. Este solucón ndca que el benefco daro crece en 0 euros la capacdad de mecanzado secundaro crece en 7 - = horas máquna. El rato /=0/=7/8 euros, al que la funcón objetvo crece al crecer la capacdad de mecanzado secundaro hora, se denomna sensbldad o preco sombra (tambén preco dual) de la capacdad de mecanzado secundaro. En general el preco sombra de una restrccón proporcona el cambo en el valor de la funcón objetvo como resultado de un cambo untaro en el térmno ndependente de la restrccón, suponendo que el resto de parámetros del problema permanecen nalterados. En muchos problemas de programacón lneal los precos sombra son tan mportantes como la solucón del problema, a que proporconan nformacón sobre el efecto en la funcón objetvo de cambos en los recursos dsponbles. Los precos sombra pueden obtenerse resolvendo el problema dual. El problema dual del problema del carpntero se formula a contnuacón. Mnmzar: z = Restrccones: Introducmos varables de holgura cambando de sgno las restrccones: Mnmzar: z = 0 + Maxmzar: z = 0 + = 70 Restrccones: 7 + = 90 Teoría de la Dualdad Págna de

22 Investgacón Operatva La tabla smplex ncal quedaría Y = = Aunque 0 la solucón es básca no factble por lo cual tendremos que aplcar el algortmo dual del smplex. Escogemos de la columna Y la varable cuo valor es el más negatvo ésta será la salga de la base. En este caso es, veamos por cual la vamos a susttur: 0 max tal que < 0 max, 0 / 7 Hemos comprobado que la varable pasará a formar parte de la base en lugar de. Por lo tanto el pvote será el número que está en la caslla subraada de la tabla anteror. Ahora, a partr del pvote calcularemos la nueva tabla. Y 0 / -/ = -0 = 0 7/ 0 -/ / 0 0/ 0 -/ 0 0/ omo < > 0 ( 0,0,0,0) es mejorable. La varable es la 0 j varable que entrará a la base, la varable que saldrá será la correspondente a la prueba del cocente mínmo mn, mn, / 7 / 7 La varable saldrá de la base por lo que el elemento pvote es el /. Y = 0/ 0 / -/ 0/ - -0 = 0/ 0-7/ / 0/ Teoría de la Dualdad Págna de

23 Investgacón Operatva La solucón óptma de este problema es = /8, = 7/8, el valor óptmo de la funcón objetvo es 80. Obsérvese que son los precos sombra de las capacdades de mecanzado prmaro secundaro, respectvamente, que los valores óptmos de la funcón objetvo de los problemas prmal dual concden. El problema dual puede nterpretarse de la sguente manera. onsdérese que el objetvo es vender tempo de mecanzado prmaro secundaro supóngase que de esta forma se obtenen al menos el msmo nvel de benefcos que hacendo mesas. En esta stuacón vender tempo de mecanzado hacer mesas han de ser actvdades gualmente lucratvas. Las varables varables representan los precos de venta de una hora de mecanzados prmaro secundaro respectvamente. Para preservar la compettvdad del negoco, el benefco daro ha de mnmzarse, esto es mnmzar la funcón 0 +, donde 0 representan respectvamente la dsponbldad dara en horas de mecanzado prmaro secundaro respectvamente. Las restrccones del problema dual establecen que el coste de las horas de mecanzado prmaro secundaro para producr una mesa de cada tpo no debe superar el benefco que se obtene por venta de la msma; que los precos son cantdades no negatvas. Teoría de la Dualdad Págna de