March 2, 2009 CAPÍTULO 3: DERIVADAS PARCIALES Y DIFERENCIACIÓN

Transcripción

1 March 2, Derivadas Parciales y Funciones Diferenciables En ese capíulo, D denoa un subconjuno abiero de R n. Definición 1.1. Consideremos una función f : D R y sea p D, i = 1,, n. Definimos la derivada parcial de f en el puno p respeco a la variable i-ésima como el límie (si exise) f(p + e i ) f(p) (p) i 0 donde {e 1,..., e n } es la base canónica de R n definida como Por ejemplo, en R 2 la base canónica es y en R 3 la base canónica es e i = (0,..., 0, }{{} 1, 0,..., 0) i e 1 = (1, 0) e 2 = (0, 1) e 1 = (1, 0, 0) e 2 = (0, 1, 0) e 3 = (0, 0, 1) Observación 1.2. Cuando n = 2, en la definición anerior escribimos y uilizamos la noación, p = (x, y), f(x, y) : R 2 R f(x +, y) f(x, y) (x, y) 0 (x, y) 0 De la misma forma, cuando n = 3 escribimos y uilizamos la noación f(x, y + ) f(x, y) p = (x, y, z) f(x +, y, z) f(x, y, z) (x, y, z) 0 f(x, y +, z) f(x, y, z) (x, y, z) 0 (x, y, z) z 0 f(x, y, z + ) f(x, y, z) 1

2 2 Ejemplo 1.3. En economía, las derivadas parciales de una función de uilidad se denominan uilidades marginales, las derivadas parciales de una función de producción se denominan producividades marginales. Consideremos, por ejemplo la función de producción Cobb-Douglas f(k, L) = 5K 1/3 L 2/3 donde f es el número de unidades producidas, K es el capial y L es el rabajo. Es decir, la formula anerior significa que si uilizamos K unidades de capial y L unidades de rabajo, enonces se producen f(k, L) = 5K 1/3 L 2/3 unidades de un arículo. Las consanes A = 5, α = 1/3 y β = 2/3 son parámeros de la ecnología de producción. Las producividades marginales del capial y del rabajo son K = 5 3 K 2/3 L 2/3 L = 10 3 K1/3 L 1/3 La producividad marginal del rabajo, (K, L) L se inerprea en economía como una aproximación a la variación en la producción del arículo cuando pasamos de uilizar K unidades de capial y L unidades de rabajo a uilizar una unidad más L + 1 de rabajo y las mismas unidades K de capial que anes. Vemos que la producividad del rabajo y del capial es posiiva. Es decir si uilizamos más rabajo y/o más capial, aumena la producción. Por ora pare, la producividad del rabajo es decreciene en el rabajo y creciene en el capial. Eso se inerprea de la siguiene manera. Supongamos que la canidad de capial uilizado K se maniene consane. Si L > L enonces f(k, L + 1) f(k, L ) < f(k, L + 1) f(k, L) Es decir, el aumeno en la producción al uilizar una unidad más de rabajo es decreciene en el rabajo inicial uilizado. Si se maniene el capial consane, usar una unidad adicional de rabajo, cuando ya se esá uilizando mucho rabajo, aumena poco la producción. Podemos pensar que f(k, L) es la producción de un produco agrícola en una parcela de ierra donde L son las personas conraadas y el amaño K de la parcela se maniene fijo. El impaco en la producción al conraar a una persona adicional es mayor si se esán uilizando pocas personas comparado con el caso en que ya se esán uilizando muchas. Supongamos que la canidad de rabajo uilizado L se maniene consane. Si K > K enonces f(k, L + 1) f(k, L) > f(k, L + 1) f(k, L) Es decir, el aumeno en la producción al uilizar una unidad más de rabajo es creciene en las unidades de capial que se esán uilizando. El capial y el rabajo son complemenarios. En el ejemplo anerior, conraar a una

3 3 persona adicional iene un impaco mayor en la producción cuano mayor es la parcela culivada. Definición 1.4. Consideremos una función f : D R. Si, en el puno p D, exisen las n derivadas parciales 1 (p), (p),, (p) 2 n se define el vecor gradiene de f en p como el siguiene vecor ( f(p) = (p), (p),, ) (p) 1 2 n Definición 1.5. Consideremos una función f : D R. Supongamos que las n derivadas parciales en el puno p D 1 (p), (p),, (p) 2 n exisen. Decimos que f es diferenciable en p si f(p + v) f(p) f(p) v lim = 0 v 0 v Observemos que el límie se oma para v R n. Observación 1.6. Una función de dos variables f : D R 2 es diferenciable en el puno p = (a, b) si f(a + v 1, b + v 2 ) f(a, b) f(a, b) (v 1, v 2 ) lim = 0 (v 1,v 2) (0,0) (v 1, v 2 ) Llamando x = a + v 1, y = b + v 2 vemos que (v 1, v 2 ) (0, 0) es equivalene a (x, y) (a, b), por lo que el límie anerior se puede escribir como f(x, y) f(a, b) f(a, b) (x a, y b) lim = 0 (x,y) (a,b) (x a, y b) Escribiendo ese límie de forma explícia obenemos que f es diferenciable en el puno p = (a, b) si (1.1) lim (x,y) (a,b) f(x, y) f(a, b) (a, b) (x a) (a, b) (y b) = 0 (x a)2 + (y b) 2 Ejemplo 1.7. Consideremos la función { xy 2 f(x, y) = x 2 +y si (x, y) (0, 0), 2 0 si (x, y) = (0, 0). Vamos a demosrar que f no es diferenciable en el puno p = (0, 0). calculamos f(0, 0). Observemos que f(, 0) f(0, 0) (0, 0) 0 (0, 0) 0 f(0, ) f(0, 0) = = 0 Primero,

4 4 por lo que f(0, 0) = (0, 0). Enonces, f es diferenciable en el puno p = (0, 0) si y sólo si f(p + v) f(p) f(p) v 0 v 0 v f ((0, 0) + (x, y)) f(0, 0) f(p) (x, y) x2 + y 2 f(x, y) f(0, 0) (0, 0) (x, y) x2 + y 2 f(x, y) x2 + y 2 xy 2 Vamos a probar que ese límie no exise. Consideramos la función xy 2 g(x, y) = Observamos que y que por lo que el límie 0 lim g(, 0) 0 0 (2 2 ) = 0 3/2 3 lim g(, ) 0 0 (2 2 ) = 1 3/2 (2) 0 3/2 lim xy 2 no exise y concluimos que f no es diferenciable en el puno (0, 0). Ejemplo 1.8. Consideremos la función { xy 3 f(x, y) = x 2 +y si (x, y) (0, 0), 2 0 si (x, y) = (0, 0). Se puede demosrar que f es diferenciable en el puno p = (0, 0). Primero, calculamos f(0, 0). Observamos que (0, 0) 0 f(, 0) f(0, 0) (0, 0) 0 f(0, ) f(0, 0) = = 0

5 5 y obenemos que f(0, 0) = (0, 0). Uilizando la noación v = (x, y), f es diferenciable en el puno p = (0, 0) si y sólo si f(p + v) f(p) f(p) v 0 v 0 v f((0, 0) + (x, y)) f(0, 0) f(p) (x, y) x2 + y 2 f(x, y) f(0, 0) (0, 0) (x, y) x2 + y 2 f(x, y) x2 + y 2 xy 3 Sea ε > 0. Eligiendo δ = ε y suponiendo que 0 < x 2 + y 2 < δ, enemos que, xy 3 = x y2 y x2 y 2 y = x2 + y ( 2 x 2 + y 2) y ( x 2 + y 2) 3/2 y = por lo que, lim y la función es diferenciable en el puno (0, 0). = y x 2 + y 2 < δ = ε xy 3 = 0 Proposición 1.9. Sea f : D R. Si f es diferenciable en el puno p D, enonces f es coninua es ese puno. Ejemplo Consideremos la función { x 2 y f(x, y) = x 4 +y si (x, y) (0, 0), 2 0 si (x, y) = (0, 0). Es coninua y/o diferenciable en (0, 0)? Se calcula fácilmene el límie ierado ( ) lim lim f(x, y) = 0 x 0 y 0 Por ora pare, omando la curva x() =, y() = 2

6 6 observamos que Por ano, lim f(, ) = lim f(x, y) no exise y f no es coninua en (0, 0). Además, por la Proposición 1.9, f ampoco es diferenciable en (0, 0). Teorema Sea f : D R y p D. Supongamos que exise un r > 0 al que las derivadas parciales,,, 1 2 n exisen y son coninuas en odo los punos de la bola abiera B(p, r). Enonces, la función f es diferenciable en p. Ejemplo Podemos uilizar el eorema anerior para demosrar que la función f(x, y, z) = xe yz + y sin z es diferenciable en odo los punos de R 2. Definición Una función f : D R es de clase C 1 en D si odas las derivadas parciales de f exisen y son coninuas en odo D. En ese caso escribimos f C 1 (D). 2. Derivadas Direccionales Definición 2.1. Sea f : D R n R. Dado un puno p D y un vecor v R n, si el siguiene límie exise D v f(p) 0 f(p + v) f(p) se denomina la derivada de f en el puno p según el vecor v. Si v = 1, enonces D v f(p) se denomina la derivada direccional de f en el puno p en la dirección del vecor v. Observación 2.2. Cuando n = 1, f : R R, p R y v = 1, la definición anerior coincide con la derivada de una función de una variable esudiada aneriormene f (p) 0 f(p + ) f(p) Ejemplo 2.3. Consideremos la función f : R 2 R definida por f(x, y) = xy. Tomamos p = (1, 1), v = (3, 4). Para cada R enemos que y p + v = (1 + 3, 1 + 4) f(1 + 3, 1 + 4) f(1, 1) D v f(p) 0 (1 + 3)( 1 + 4) + 1 = 1 0

7 7 Y pueso que, v = = 5, la derivada direccional de f en p en la dirección del vecor v es 1 v D vf(p) = 1 5 Observación 2.4. Si omamos el vecor i ésimo de la base canónica, enonces v = e i = (0,..., 0, }{{} 1, 0,..., 0) i D ei f(p) = i (p) es la derivada parcial de f respeco a la variable i-ésima en el puno p. Proposición 2.5. Si f : D R es una función diferenciable en el puno p D, enonces (2.1) D v f(p) = f(p) v Ejemplo 2.6. Para la función del ejemplo 2.3, donde f : R 2 R esá definida por f(x, y) = xy y p = (1, 1), v = (3, 4). Tenemos que, f(p) = (y, x) x=1 y= 1 = ( 1, 1) y eniendo en cuena que f es diferenciable en odo R 2, obenemos que D v f(p) = f(p) v = ( 1, 1) (3, 4) = = 1 que coincide con lo que hemos calculado en el ejemplo 2.3. Observación 2.7. También se puede definir la derivada de una función f : D R n R m según el vecor v. Para ello escribimos la función f usando sus funciones coordenadas f(x) = (f 1 (x), f 2 (x),, f m (x)) con f i : D R para cada i = 1,, m. Y definimos D v f(p) = (D v f 1 (p), D v f 2 (p),, D v f m (p)) En ese caso vemos que D v f(p) es un vecor de R m. De manera análoga se define la derivada direccional de f en el puno p en la dirección de un vecor uniario u. 3. Inerpreación del Gradiene La fórmula 2.1 puede ser uilizada para esablecer la siguiene inerpreación del vecor gradiene. El produco escalar de dos vecores u, v en R n saisface la expresión u v = u v cos θ donde θ es el ángulo comprendido enre ellos

8 8 u θ Aplicando esa observación a la fórmula 2.1, obenemos que v D v f(p) = f(p) v = f(p) v cos θ donde θ es el ángulo comprendido enre los vecores f(p) y v. Si v es un vecor uniario, enonces la derivada de f en la dirección de v es D v f(p) = f(p) cos θ Por ano, el valor de la derivada D v f(p), es máximo cuando θ = 0, es decir, cuando los vecores f(p) y v ienen la misma dirección y el mismo senido. es mínimo cuando θ = π, es decir, cuando los vecores f(p) y v ienen la misma dirección y senidos opuesos. es cero cuando θ = π/2 o θ = 3π/2, es decir, cuando los vecores f(p) y v son perpendiculares. Se deduce que, La dirección de máximo crecimieno de f es la dirección deerminada por f(p). La dirección de máximo decrecimieno de f es la dirección opuesa a f(p). La función f permanece consane en las direcciones perpendiculares a f(p). 4. La regla de la cadena Definición 4.1. Dada una función f(x) = (f 1 (x), f 2 (x),, f m (x)) : D R n R m y un puno p D, definimos la mariz Jacobiana de f en el puno p como la siguiene mariz de orden m n D f(p) = 1(p) 1 2(p) 1. m(p) 1 1(p) 2 2(p) 2.. m(p) 2 1(p) n 2(p) n. m(p) n Observación 4.2. Si f(x) = D R n R cuál es la diferencia enre D f(p) y f(p)? Observación 4.3. Si m = n = 1 Qué es D f(p)? Definición 4.4. Una función f(x) = (f 1 (x), f 2 (x),, f m (x)) : D R n R m se dice que es diferenciable en un puno p D si cada una de las funciones f 1 (x), f 2 (x),, f m (x) es diferenciable en p.

9 9 Teorema 4.5 (Regla de la cadena). Sean g : R n R m y f : R m R l. Supongamos que g es diferenciable en p R n y que f es diferenciable en g(p) R m. Enonces la función f g es diferenciable en p y D(f g)(p) = D f(g(p)) D g(p) Observación 4.6. La expresión D(f g)(p) = D f(g(p)) D g(p) coniene el produco de 2 marices. Ejemplo 4.7 (Caso especial de la regla de la cadena). Sea σ : R R 2 una curva diferenciable y f : R 2 R una función diferenciable. Supongamos que σ() se escribe como σ() = (x(), y()) Enonces la regla de la cadena dice que d f(x(), y()) = D(f σ)() = D f(x, y) x=x() D σ() y=y() ( ) ( ) = x=x() x () y () y=y() = (x(), y())x () + (x(), y())y () Ejemplo 4.8 (Caso especial de la regla de la cadena). Sea g(s, ) : R 2 R 2 una función diferenciable y f(x, y) : R 2 R una función diferenciable. Supongamos que g(s, ) se escribe como por lo que Enonces la regla de la cadena dice que Es decir, g(s, ) = (x(s, ), y(s, )) (f g)(s, ) = f(g(s, )) = f (x(s, ), y(s, )) D f (x(s, ), y(s, )) = D(f g)(s, ) = D f(x, y) x=x(s,) D g(s, ) = = (f g) s (f g) ( ) ( ( s + s s s = s + = + ) y=y(s,) + s Ejemplo 4.9. Consideremos la función de producción Cobb-Douglas f(k, L) = 5K 1/3 L 2/3 donde f es el número de unidades producidas, K es el capial y L es el rabajo. Supongamos que el capial y el rabajo son funciones del iempo K = K(), L = L() )

10 10 Enonces la producción f(k(), L()) es ambién una función del iempo. Cómo cambia la producción en un insane deerminado? Usando la regla de la cadena podemos expresar ese cambio. df(k(), L()) = dk K + dl L = 5 3 K 2/3 L 2/3 dk K1/3 1/3 dl L Ejemplo Supongamos que un agene iene una función de uilidad diferenciable u(x, y) donde x es un bien de consumo e y es la conaminación ambienal. Enonces la uilidad del agene es creciene en x y decreciene en y, u > 0 u < 0 Supongamos que para producir x unidades del bien se generan y = f(x) unidades de conaminación, Cuál es el nivel ópimo de consumo del bien x para el agene? La uilidad del agene cuando consume x del bien y se generan y = f(x) unidades de conaminación es u(x, f(x)) Por ano el agene maximiza la función de uilidad anerior. primer orden es du(x, f(x)) = 0 dx Por la regla de la cadena, vemos que la ecuación deermina el nivel ópimo del bien. 0 = u u (x, f(x)) + (x, f(x))f (x) 5. Derivada a lo largo de una Curva y curvas de nivel La condición de Observación 5.1 (Un caso especial de la regla de la cadena). Sea σ : R R n una curva diferenciable y f : D R una función diferenciable, donde D es una subconjuno abiero de R n. Supongamos que, σ() se escribe como σ() = (σ 1 (), σ 2 (),..., σ n ()) donde para cada i = 1,..., n y cada R la función σ i () es diferenciable. En ese caso, podemos escribir ( dσ = dσ1, dσ 2,..., dσ ) n Enonces, enemos que f(σ()) es diferenciable y d dσ (f(σ())) = f(σ())

11 11 Ejemplo 5.2. Si f : R 2 R es una función de dos variables y x = x(), y = y(), la regla de la cadena se escribe como d (x, y) f(x(), y()) = dx() (x, y) + dy() x=x() y=y() x=x() y=y() Ejemplo 5.3. Si f : R 3 R es una función de res variables y x = x(), y = y(), z = z(), la regla de la cadena se escribe como d (x, y, z) f(x(), y(), z()) = dx() (x, y, z) + dy() + x=x() y=y() z=z() x=x() y=y() z=z() La observación 5.1 proporciona ora inerpreación del vecor gradiene. Tomemos un puno p D y supongamos que la función f : D R n R es diferenciable. Sea C R y supongamos que el conjuno de nivel S C = {x D : f(x) = C} es no vacío. Sea σ : R R n una curva diferenciable y supongamos que σ() S C para odo R. Es decir, f(σ()) = c para odo R. Derivando y aplicando la regla de la cadena obenemos 0 = d dσ f(σ()) = f(σ()) Es decir, los vecores f(σ()) y dσ()/ son perpendiculares para odo R. (x, y, z) z x=x() y=y() z=z() dz() f(p) σ () p {x: f (x) = C} El argumeno anerior demuesra que en cualquier puno p S C, el gradiene f(p) es perpendicular al conjuno de nivel S C. Observación 5.4. A coninuación, calculamos el plano angene a la gráfica de una función de dos variables. Consideremos una función diferenciable f : R 2 R. La gráfica de f es el conjuno G = {(x, y, f(x, y)) : (x, y) R 2 }

12 12 Definimos la función de res variables g(x, y, z) = f(x, y) z Enonces, la gráfica de f se puede escribir ambién como G = {(x, y, z) R 3 : g(x, y, z) = 0} Vemos que dado un puno p = (a, b) R 2, el plano T angene a G en el puno (a, b, f(a, b)) saisface las siguienes propiedades T coniene el puno (a, b, f(a, b)). T es perpendicular al vecor gradiene g(a, b, f(a, b)). Esa información permie deerminar una ecuación para el plano angene T y observando que g(a, b, f(a, b)) ((x, y, z) (a, b, f(a, b))) = 0 g(a, b, f(a, b)) = vemos que una ecuación para T es ( ) (a, b), (a, b), 1 (5.1) f(a, b) + (a, b) (x a) + (a, b) (y b) = z Ahora podemos proporcionar una nueva inerpreación de la definición de diferenciabilidad 1.5. Sea P 1 (x, y) = f(a, b) + (a, b) (x a) + (a, b) (y b) En el caso de dos variables, la ecuación 1.1 nos dice que la función f es diferenciable en el puno (a, b) si f(x, y) P 1 (x, y) lim = 0 (x,y) (a,b) (x a, y b) En visa de la ecuación 5.1, la función f es diferenciable en el puno (a, b) si el plano angene es una buena aproximación al valor de la función f(x, y) f(a, b) + (a, b) (x a) + (a, b) (y b)