UNIDAD 1 Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

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1 UNIDAD UNIDAD Ecuacioes Difereciales de Primer Orde Defiició lasificació de las Ecuacioes Difereciales Ua ecuació diferecial es aquélla que cotiee las derivadas o difereciales de ua o más variables depedietes co respecto a ua o más variables idepedietes d = D D+ 5= Las ecuacioes difereciales se puede clasificar e base a varios criterios: u u = t Segú el tipo: ordiarias o parciales, depediedo si las derivadas so ordiarias o parciales Segú el orde el grado: el orde de la ecuació es el orde de la más alta derivada, el grado es el epoete al cual está elevada esa misma derivada La maoría de las ecuacioes difereciales que surge de aplicacioes prácticas so de primer o segudo orde Segú la liealidad: es lieal si se puede reacomodar e la forma: d d a ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + a + + a + a = g d d d es decir, tiee que cumplir co las siguietes codicioes: (a) la variable depediete todas sus derivadas so de primer grado (es decir, sus derivadas está elevadas a la potecia ), (b) cada coeficiete a depede sólo de la variable idepediete (costates cero tambié so valores válidos para los coeficietes) Ejemplos de ecuacioes lieales: + = d d + + 5= e + d = d d d Ejemplos de ecuacioes o lieales: = se d d + = d + = d d Solucioes de las ecuacioes difereciales Defiició de solució: Se dice que ua fució f cualquiera, defiida e algú itervalo I, es solució de la ecuació diferecial e el itervalo, si sustituida e dicha ecuació la reduce a ua idetidad = e es solució de + = = es solució de 6 / d = Resolver ua ecuació diferecial es ecotrar ua o todas las fucioes que so solucioes de esa ecuació diferecial REVISIÓN Págia -

2 Solució trivial: Es aquélla que es idéticamete igual a cero Por ejemplo, = se UNIDAD = es solució trivial de Solució geeral (o familia de solucioes): es aquélla que cotiee parámetros arbitrarios (costates) Al resolver ua ecuació de orde se obtiee parámetros arbitrarios = ce es ua solució geeral de = Solució particular es aquélla e la que se ha determiado valores específicos de los parámetros arbitrarios = 5e = e so solucioes particulares de = Solució sigular: Es ua solució que o se puede obteer asigado valores a los parámetros de la solució geeral c = es la solució geeral de ( ) e = La solució sigular = tambié satisface la ecuació diferecial, pero o puede obteerse a partir de la solució geeral co igú valor del parámetro c Solució eplícita: Es aquella e la que la variable depediete aparece despejada = se es ua solució eplícita de + = Solució implícita: Es aquella que o está despejada para la variable depediete + = es solució implícita de = d E alguos casos, se puede despejar la variable depediete para covertir ua solució implícita e eplícita, pero o siempre es recomedable hacerlo pues e el proceso de despejarla puede cambiar la aturaleza matemática de la solució Si e el ejemplo aterior se despeja para obteer =, la gráfica de la fució a o es la misma Solució defiida por partes: Es aquella para la que se emplea diferetes epresioes algebraicas e diferetes itervalos < = es solució de = Problema de valor iicial para ua ecuació diferecial de primer orde A meudo se desea ecotrar la solució ( ) a ua ecuació diferecial de primer orde = f (, ), etoces tega que además cumpla co la codició adicioal de que cuado tome u cierto valor el valor, dode es u úmero e el itervalo I es u úmero real arbitrario Este caso se cooce como problema de valor iicial se platea como: d Resolver: = f (, ) sujeta a: ( ) = REVISIÓN Págia -

3 UNIDAD A la codició adicioal se le llama codició iicial Tambié puede epresarse como: = e = Para resolver u problema de valor iicial, se ecesita resolver la ecuació diferecial para ecotrar ua solució geeral Luego se busca el valor de la costate arbitraria que permita satisfacer la codició iicial, co lo que se ecuetra la solució particular al problema de valor iicial dado Resolver Resolver = sujeta a ( ) = solució geeral: = sujeta a () = solució geeral: e = = solució particular: e e = solució particular: = e Teorema de eistecia uicidad Al cosiderar u problema de valor iicial surge dos pregutas fudametales Eiste algua solució al problema? Y si eiste, es ésa la úica solució al problema? El matemático fracés harles Émile Picard (856-9) eució el teorema siguiete, que establece las codicioes suficietes para que eista ua solució úica del problema osidérese el problema de valor iicial: «Resolver = f (, ) sujeta a ( ) =» Sea R ua regió rectagular e el plao defiida por a b, c d que cotiee al puto (, ) e su iterior Si f (, ) / so cotiuas e R, ua úica fució ( ) defiida e I etoces eiste u itervalo I co cetro e que satisface el problema de valor iicial plateado Este teorema se cooce tambié como teorema de Picard-Lidelöf o como teorema de auch-lipschitz 5 Variables separables La ecuació diferecial más simple que eiste es: =, su solució es simplemete d Esta idea se etiede a cualquier caso e el que se tega ua derivada de algua epresió igual a cero Automáticamete, la solució es esa misma epresió igualada a ua costate = g ( ) se resuelve por simple itegració: ( ) d = g d+ Se dice que ua ecuació diferecial de la forma g ( ) = d h( ) es separable o que tiee variables separables La solució es ( ) ( ) h = g d+ = REVISIÓN Págia -

4 UNIDAD d se = d se = e d =+ = + e + = d = + e + ( + ) d= = ( + ) 6 Ecuacioes de coeficietes homogéeos Si para ua ecuació diferecial de primer orde e la forma diferecial se cumple las siguietes dos codicioes: ( ) ( ) M, d+ N, = (, ) = t M (, ) N( t, t) = t N(, ) M t t se dice que es ua ecuació de coeficietes homogéeos de grado ( M N debe teer el mismo grado de homogeeidad) Ua ecuació homogéea siempre puede reducirse a ua ecuació separable por medio de ua sustitució algebraica (u v so uevas variables depedietes): Si M es más simple probar la sustitució = v (co d = v+ dv ) Si N es más simple probar la sustitució = u (co = ud+ du ) E muchos casos se puede recoocer si ua fució es homogéea observado si todos los térmios so del mismo grado total 6 es homogéea de grado mietras que o es homogéea ( ) d+ + = Es homogéea de cuarto grado Usar = v porque M es más simple v v+ dv+ v+ = [ ] ( ) vdv v + + = 6 + = 7 Ecuacioes eactas =, etoces su diferecial total es z f, Si ( ) Si la fució es costate, f (, ) dz = d+ =, etoces su diferecial total es d+ = REVISIÓN Págia -

5 UNIDAD Ua ecuació diferecial de la forma ( ) ( ) M, d+ N, = es eacta si cumple co la codició M N = E este caso, la solució es de la forma f = f (, ) = dode M (, ) f = N, ( ) Procedimieto de solució: Poer la ecuació e la forma ( ) ( ) M, d+ N, = demostrar que M N = f = M, Supoer que ( ) e itegrar co respecto a mateiedo costate: (, ) = (, ) + ( ) dode aparece ua fució arbitraria ( ) f M d g de itegració = M d, + g Derivar ahora f co respecto a : ( ) ( ) Igualar este último resultado co (, ) g ( ) = N(, ) M(, ) d g como costate N despejar g ( ) : 5 Itegrar g ( ) co respecto a el resultado se sustitue e f (, ) ecuació es f (, ) = La solució de la De acuerdo a este procedimieto se puede escribir la solució geeral de ua ecuació diferecial eacta de primer orde: f (, ) = M( d, ) + N(, ) M( d, ) = f = N, U procedimieto similar se puede desarrollar partiedo de la suposició ( ) + + = d = REVISIÓN Págia -5

6 UNIDAD 8 Ecuacioes lieales de primer orde factor de itegració A partir de la forma geeral de la ecuació diferecial lieal de orde plateada e la secció, se tiee que la ecuació lieal de primer orde tiee la forma: Dividiedo etre a se tiee la forma más comú: a ( ) ( ) ( ) a g d + = P( ) f ( ) d + = Esta ecuació diferecial puede covertirse e ua ecuació eacta si se multiplica por u factor de itegració μ ( ) dado por: μ( ) = e Pd ( ) Al multiplicar toda la ecuació diferecial por el factor de itegració se tiee: μ( ) + μ( ) P( ) = μ( ) f ( ) d El miembro izquierdo de la ecuació resulta ser la derivada del producto del factor de itegració por la variable depediete (ota: este paso ormalmete se escribe directamete pero es ua buea costumbre verificar que efectivamete es equivalete al paso aterior) d ( ) ( ) f ( ) d μ = μ A cotiuació se itegra ambos miembros de la ecuació se despeja la variable depediete: = μ( ) f ( ) d+ μ( ) d = ( ) d / μ = e = 6 e d + = sujeta a ( ) = ( ) d μ = e = e = e e + 5 = + e 7 = e 9 Ecuació de Beroulli La ecuació diferecial o lieal de primer orde Q( ) h( ) d + = se llama ecuació de Beroulli e hoor del matemático suizo Jacob Beroulli (65-75) Para se puede aplicar la sustitució w= que trasforma la ecuació de Beroulli e ua ecuació lieal e w : REVISIÓN Págia -6

7 UNIDAD d dw ( Qw ) ( ) ( h ) ( ) d + = dw o bie P ( ) w f ( ) d + = dode P( ) = ( ) Q( ) f ( ) = ( ) h( ) + = dw w = μ( ) d = w= = Sustitucioes diversas uado la ecuació diferecial dada o correspode a igua de las formas ateriores, e ocasioes puede ecotrarse algua sustitució que trasforme la ecuació e ua que se pueda resolver por alguo de los métodos vistos Ocasioalmete, la misma ecuació diferecial puede sugerir la forma de la sustitució; si embargo, o ha igua regla específica para determiar (si eiste) algua trasformació coveiete + d+ = o es separable, homogéea, eacta, lieal o de Beroulli Si u ( ) ( ) embargo, itetado la sustitució = : u du ud = =, la ecuació se trasforma a ud + ( u) du= que se puede ( u ) d separar como du =, co solució u l u = l + = e u 6 d + = La presecia del térmio sugiere itetar u= a que du du = La ecuació se trasforma a + u= 6 que es ua ecuació lieal d u= + o bie = +, separable e d / = Itetar u / u ue du d = co lo que la ecuació se trasforma e la ecuació u / = u= ( ) e = ( e ) ( ) = Es ua ecuació de segudo orde o lieal Lo importate aquí es otar la ausecia de Eso lleva a itetar la sustitució u covierte e du u =, co lo que ( ) u = = la ecuació se u = + d = que es ua ecuació de primer orde separable = arcta d + = + REVISIÓN Págia -7

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