ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

Transcripción

1 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Sergio Stive Solano 1 Abril de Visita

2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Sergio Stive Solano 1 Abril de Visita

3 Definición 1.1 Se dice que la ecuación diferencial F [x, y, y,..., y n ] = 0 es lineal si F es una función lineal de la variables y, y,..., y n Por lo tanto, la ecuación diferencial ordinaria lineal general de n es a 0 (x)y (n) + a 1 (x)y (n 1) + a 2 (x)y (n 2) + + a n (x)y = g(x) Ejemplo x 2 y 3xy + 4y = 0 (lineal) 2 y + 2e x y + yy = x 4 (no lineal)

4 Definición 1.1 Se dice que la ecuación diferencial F [x, y, y,..., y n ] = 0 es lineal si F es una función lineal de la variables y, y,..., y n Por lo tanto, la ecuación diferencial ordinaria lineal general de n es a 0 (x)y (n) + a 1 (x)y (n 1) + a 2 (x)y (n 2) + + a n (x)y = g(x) Ejemplo x 2 y 3xy + 4y = 0 (lineal) 2 y + 2e x y + yy = x 4 (no lineal)

5 Definición 2.1 Una ecuación diferencia de la forma y + p(x)y = g(x) se denomina ecuación lineal. Donde p y g son funciones dadas y continuas en algún intervalo α < x < β. Ejemplo y y = y y = 2e x

6 Factor Una manera de resolver la ecuación y + p(x)y = g(x) es multiplicar por una () adecuado y llevarla a una forma integrable. Esto es, sea µ(x) el, entonces µ(x)y + µ(x)p(x)y = µ(x)g(x) luego sumando y restando el término µ (x)y en el primer miembro de la ecuación, se obtiene: [µ (x)y + µ(x)y ] [µ (x) p(x)µ(x)]y = µ(x)g(x) Ahora, si el segundo término del primer miembro de la ecuación anterior fuese cero, entonces esta ecuación tendrá la forma [µ(x)y] = µ(x)g(x) y el primer miembro (por lo menos) sería fácilmente integrable.

7 Factor A fin de lograr lo anterior, debe elegirse µ(x) de modo que o bien Por tanto µ (x) p(x)µ(x) = 0 µ (x) µ(x) d ln µ(x) = p(x) dx ln µ(x) = = p(x), (µ(x) > 0) p(x)dx + k Al elegir la constante k como cero se obtiene la función más simple posible para µ(x), a saber µ(x) = e p(x)dx Observe que µ(x) es positiva para toda x, como se supuso.

8 Factor Una vez se ha encontrado la función µ(x) se multiplica la ecuación original por µ(x), obteniendose así [µ(x)y] = µ(x)g(x) Al integrar ambos miembros de la ecuación anterior se obtiene µ(x)y = µ(x)g(x) + c o bien, y = µ(x)g(x) + c µ(x) Esta expresión se conoce como solución general de la ecuación y + p(x)y = g(x). Su interpretación geométrica es una familia infinita de curvas, una para cada valor de c. A menudo, a estas curvas se les da el nombre de curvas integrales.

9 Factor Ejemplo 3.1 Encuentra la solución general de la ecuación diferencial y y = 3 2. Solución. Primero calculamos el de la ecuación: µ(x) = e p(x)dx = e 1 2 dx = e x 2. Al multiplicar la ecuación dada por µ(x) = e x 2 (e x 2 y) = 3 2 e x 2 se obtiene Luego, la solución general de la ecuación diferencial es µ(x)g(x) + c 3 2 y = = e x 2 + c = 3e x 2 + c µ(x) e x 2 e x 2 = 3 + ce x 2.

10 Factor Alguna veces es importante elegir un elemento específico de la famila de curvas integrales. Lo anterior se lleva acabo al identificar un punto partícular (x 0, y 0 ) por el que se requiere que pase la gráfica de la solución. Este requisito suele expresarse como y(x 0 ) = y 0 y se denomina condición inicial. Una ecuación diferencial, junto con una condición inicial, constituyen un problema con valor inicial. Ejemplo 3.2 Determina la solución del problema con valor inicial y + 2y = e x y(0) = 0,75

11 Factor Solución. El es µ(x) = p(x)dx e = e 2dx = e 2x Por lo tanto µ(x)g(x) + c e x e 2x + c y = = µ(x) e 2x Así, la solución general de la ecuación es y = e x + ce 2x = ex + c e 2x = e x + ce 2x donde c es una constante arbitraria. Para satisfacer la condición inicial, se sustituye x = 0 y y = 0,75 en la solución general; esto da c = 0,25. De modo que la solución del problema con valor inicial dado es y = e x 0,25e 2x.

12 A continuación se abordarán algunas cuestiones de carácter más general, a saber, 1 Un problema con valor inicial de este tipo siempre tiene una solución? 2 Es posible que tenga más de una solución? 3 Es válida la solución para toda x o sólo para algún intervalo restringido alrededor del punto inicial? Teorema 4.1 Si las funciones p y g son continuas en un intervalo abierto I : α < x < β que contenga el punto x = x 0 entonces existe una única función y = φ(x) que satisface la ecuación diferencial y + p(x)y = g(x) para toda x en I, y que también satisface la condición inicial y(x 0 ) = y 0, en donde y 0 es una valor inicial arbitrario.

13 Ejemplo 4.1 Resolver el problema con valor inicial xy + 2y = 4x 2 y(1) = 2 y determina el intervalo en el que la solución es válida. Solución. La ecuación se reescribe como y + 2 x y = 4x y se busca una solución en un intervalo que contega a 1. Dado que p y g son continuas excepto en x = 0, se concluye que el problema con valor inicial dado tiene una solución válida por lo menos en el intevalo 0 < x < β.

14 Para encontrar esta solución primero calculamos µ(x): µ(x) = e p(x)dx = e 2 x dx = x 2. luego, la solución general de la ecuación está dada por µ(x)g(x) + c x 2 (4x) + c y = = µ(x) x 2 = x 2 + c x 2, x > 0 Por tanto, la solución del problema con valor inicial es y = x x 2, x > 0

15 Definición 5.1 Una ecuación de la forma M(x) + N(y) dy dx = 0 se dice separable, por que si se escribe en la forma diferencial M(x)dx = N(y)dy, entonces cada miembro de la ecuación depende solamente de una de la variables.

16 Ejemplo 5.1 La ecuación diferencial dy dx = x2 1 y 2 es separable, ya que se puede escribir como Ejemplo 5.2 x 2 + (1 y 2 ) dy dx = 0. Resolver el problema con valor inicial dy dx = 3x2 + 4x + 2, y(0) = 1. 2(y 1)

17 Solución. La ecuación diferencial puede escribirse como 2(y 1)dy = (3x 2 + 4x + 2)dx. Al integrar el primer miembro con respecto a y y el segundo con respecto a x da y 2 2y = x 3 + 2x 2 + 2x + x + c donde c es una constante arbitraria. Para determinar la solución que satisface la condición inicial, se sustituyen x = 0 y y = 1, con lo que se obtiene c = 3. Por tanto, la solución del problema con valor inicial está dada implícitamente por y 2 2y = x 3 + 2x 2 + 2x + x + 3. Para obtener la solución explícita, es necesario depejar y, esto es, y = 1± x 3 + 2x 2 + 2x + 4. Sin embargo sólo la solución del signo negativo satisface la condición inicial dada.

18 GRACIAS POR SU ATENCIÓN