3º B.D. opción Físico-Matemática Matemática II. Parábola.

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "3º B.D. opción Físico-Matemática Matemática II. Parábola."

Transcripción

1 Parábola. Definición: Lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo F, llamado foco y de una recta fija z llamada directriz. Siendo F no perteneciente a z. Entonces siendo P la parábola, M P d(m,f)=d(m,z) Definición: Diremos que M es interior a P d(m,f) < d(m,z) Diremos que M es interior a P d(m,f) > d(m,z) Construcción Métrica: Sea e z tal que F e. e I z = { A} V = p. mfa por tanto V P ya que: d ( V, F ) = d( V, z) Sea r z, con r I z = { B} Sea m la mediatriz de BF, consideremos el punto M tal que M = mi { } r =, entonces M pertenece a P Dado que d ( M, F ) d( M, z) = d( M, B) Podemos concluir que por cada recta perpendicular a la directriz de una parábola hay un punto, y sólo uno, de ella. Podemos observar que la parábola tiene un eje de simetría (e) y un vértice (V). La recta e que pasa por el foco F y es perpendicular a la directriz se denomina eje de la parábola. Siendo e z = {Α}, el punto V medio del segmento AF, está por definición en la parábola y se denomina vértice. Página 1 de 6

2 Ecuación de la parábola: Sea p d( F, z) =. 1) Parábola de eje Oy y vértice O (0,0): Datos: foco F 0, p, directriz p z) y =. P d( M, F ) = d ( M z) ( 0) M, 1 x p p x + y = y + x + y p = y + p x py = py y = p Si a 0 p 1 lo llamamos a tenemos la siguiente ecuación: p y = ax con a 0 ) de la parábola de eje Ox y vértice O (0,0). (Queda como ejercicio a cargo del lector) Traslación de ejes: Dado un punto M(x,y) referido a un sistema de coordenadas xoy, pretendemos hallar las coordenadas de ese punto referido otro sistema x O y con ejes x y paralelos a x e y respectivamente. x ' = x x0 x = x ' + x0 O (x 0,y 0 ) o y ' = y y y = y ' + y 0 0 Página de 6

3 3) Ecuación de la parábola de eje parelelo a Oy: La ecuación de la parábola de eje paralelo a Oy (x=x 0 ) y vértice V(x 0,y 0 ), referida a los ejes cartesianos x O y es y =ax. Buscamos la ecuación de esta parábola pero referida a los ejes xoy: Aplicando las ecuaciones de traslación de ejes, nos queda: P) ( y y ) = a( x ) por tanto: y = ax ax0x + x0 + y Resultando una ecuación del tipo: y = ax + bx + c. Para hallar sus elementos debemos conocer x 0 e y 0 en función de a, b y c: b ax0 x0 = a 4ac b ax0 + y0 = c y0 = c ax0 y0 = 4a Por lo tanto: 0 0 x 0 Vértice Eje Foco Directriz y=ax y=ax +bx+c 4) Ecuación de la parábola de eje paralelo a Ox. (Ejercicio a cargo del lector) (También sus elementos) Ejercicios: 1) Hallar la ecuación de la parábola de eje Oy, vértice (0,0) y que pasa por el punto (1,4). a. Hallar la ecuación de su foco y directriz. ) Hallar la ecuación de la parábola de eje Oy, vértice (0,0) y que pasa por el punto (1,-4) a. Hallar la ecuación de su foco y directriz. 3) Idem a 1) y ) pero de eje Ox. 4) Determinar elementos de las siguientes parábolas: a. y = -x +3x- b. y = x -4x-6 Página 3 de 6

4 Parábola (segunda parte) Definición: Cónicas Llamamos cónica al conjunto de puntos del plano cuyas coordenadas verifican una ecuación de segundo grado del tipo Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F = 0, con A, B, C, D, E, F números reales. Es decir que K={M/ M(x,y), M π / Ax +Bxy +Cy +Dx+Ey+F=0} Observación: La ecuación de una circunferencia es la ecuación de una cónica donde A=C 0, B=0. 5) Ecuación de la parábola de eje cualquiera: Datos: foco ( α, β ) F directriz z ) y = mx + n. Consideremos un punto M de coordenadas ( x, y) M P ( x α ) + ( y β ) = mx y + n m + ( 1) * ( m )( ) ( ) ) + 1 x α + y β = ( mx y + n ) Observamos que esta es una ecuación del tipo Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F = 0, donde A=1, B=m, C= m. De esta manera podemos decir que la ecuación de P tiene estos coeficientes o múltiplos de ellos. Por otra parte podemos observar que dentro de este caso de ecuación de parábola quedan incluidos todos los anteriores, excepto los que poseen directriz paralela al eje de las ordenadas. Para encontrar una particularidad, además de la vista anteriormente, que vincule los coeficientes de toda parábola hallemos: B -4AC, siendo A=k, B= km, C= km. Podemos decir entonces que B -4AC=0. En el caso de una parábola de eje paralelo a Oy tenemos y=ax +bx+c o lo que es lo mismo Ax +Dx-y+F=0, por lo cual B -4AC=0-4A.0, lo que implica que B -4AC=0 también. Así la ecuación de toda parábola es del tipo Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F = 0 con B 4AC = 0. Observación: Si tenemos la ecuación de dos rectas r ) ax + by + c = 0 y r ') a' x + b' y + c' = 0 y multiplicamos ambas ecuaciones obtenemos una nueva del tipo Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F = 0, donde A=aa, B=ab +ba, C=bb. Hallemos B 4AC : B 4AC = ( ab' ) + ( ba' ) + aa' bb' 4aa' bb' = ( ab' ) + ( ba' ) aa' bb' = ( ab' a' b) = 0 ab' = a' b r // r'. Por lo tanto la condición hallada para los coeficientes si bien es necesaria no es suficiente, para que la ecuación sea la de una parábola. También puede ser el producto de la ecuación de dos rectas paralelas. * Se puede demostrar que d( M, z) = mx M y m + M + n ( 1) con ( ) x M y M M, y z ) mx y + n = 0 Página 4 de 6

5 Elementos de una parábola: En la ecuación general de la parábola observamos que: D=-αm α mn = α( m + 1) mn E=- βm β + n = β ( m + 1) + n F= ( m 1)( α β ) + + n Si dada la ecuación de una parábola queremos hallar las coordenadas del foco y su directriz, debemos hallar α, β, m y n. Siendo así contamos con tres ecuaciones para determinar cuatro incógnitas. Es por eso que debemos encontrar una nueva ecuación. Dirección del eje de una parábola. Tomemos una recta y = m' x, por el origen. Observemos ahora cuál es la posición de esta recta relativa a la parábola. Para eso vamos a intersectar la recta con dicha parábola. y = m' x Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F = 0 Al intersectarlas nos queda: Ax + Bx( m' x) + C( m' x) + Dx + E( m' x) + F = 0 Cm + Bm + A x + Em + D x + F = Entonces si: a. El coeficiente de x Cm ' + Bm' + A es distinto de 0 y i. = 0, r es tangente a la parábola. ii. < 0, r es exterior a la parábola. iii. > 0, r es secante a la parábola. Lo cual ordenada en x nos queda: ( ' ' ) ( ' ) 0 b. El coeficiente de x es igual a 0, la recta tiene un único punto de intersección con la parábola. Esto, en el único caso que sucede, es cuando la recta tiene dirección paralela al eje de la parábola. De esta manera sabemos que el eje de la parábola tiene coeficiente angular m tal que Cm ' + Bm' + A = 0. Para hallar m entonces debemos resolver la ecuación de segundo grado Cm ' + Bm' + A = 0, de donde resulta que: m B ' = C Habiendo encontrado el coeficiente angular del eje, podemos hallar el coeficiente angular de la directriz, por lo tanto : m = C B Y al tener el valor de m, podemos ir a las ecuaciones originales y hallar las coordenadas del foco, y la ordenada en el origen de la directriz. El eje además de tener coeficiente angular m pasa por el foco, así terminamos de hallar su ecuación, y el vértice lo hallamos intersectando el eje con la parábola. Página 5 de 6

6 Ejercicios (segunda parte). 1. Hallar la ecuación de la parábola: a) de foco F(-1,) y directriz x-y =0. b) de foco F(-1,1) y directriz x+y-5 =0. c) de eje paralelo a Ox que pasa por A(0,3),B(-,1) y C(4,-1). d) de eje paralelo a Oy que pasa por A(1,-3),B(-,9) y C(1/,-6).. Investigar la naturaleza de los siguientes lugares; si son parábolas informar sus elementos: a) x -y-4=0 b)x(x+1)-y(y-1)=y+x e) x +6xy+9y -8x-104y+56=0 b)x =16-8y d)x +xy+3y -4x+6y=0 3. Representar gráficamente los lugares: a) x -y =0 d)x -5xy+6y =0 b) x +y =0 e)x +y -4>0 c) x +x-3=0 f)(x +y -x-4y)(1-x -y )>0 4. Delimitar la zona del plano tal que: x + y x 4 0 3( x ) y 0 5. Sean F(0,4) y r)y-mx=0 a) Ecuación de las parábolas P de foco F y directriz r. b) L.G. de los vértices de las parábolas al variar r. Sea A dicho lugar, reconocer e informar elementos. x 3y 0 c) Delimitar la zona: x y 0 Página 6 de 6

TEMA 7: CÓNICAS CIRCUNFERENCIA. A partir de esta ecuación podemos hallar el centro y el radio sin más que deshacer los cambios:

TEMA 7: CÓNICAS CIRCUNFERENCIA. A partir de esta ecuación podemos hallar el centro y el radio sin más que deshacer los cambios: TEMA 7: CÓNICAS CIRCUNFERENCIA Se define la circunferencia como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. A dicha distancia se le llama radio de la circunferencia.

Más detalles

Se llama lugar geométrico a un conjunto de puntos que cumplen una cierta propiedad.

Se llama lugar geométrico a un conjunto de puntos que cumplen una cierta propiedad. LUGARES GEOMÉTRICOS. CÓNICAS. 9.1 LUGARES GEOMÉTRICOS Se llama lugar geométrico a un conjunto de puntos que cumplen una cierta propiedad. Llamando X(,) a las coordenadas del punto genérico aplicando analíticamente

Más detalles

UNIDAD IV DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

UNIDAD IV DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS UNIDAD IV DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Dados los puntos: P(x1, y1) y Q(x2, y2), del plano, hallemos la distancia entre P y Q. Sin pérdida de generalidad, tomemos los puntos P y Q, en el primer cuadrante

Más detalles

INECUACIONES Y VALOR ABSOLUTO

INECUACIONES Y VALOR ABSOLUTO INECUACIONES Y VALOR ABSOLUTO U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO I (051) - TEMA 1 Pág.: 1 de 3 1. Resuelva las siguientes ecuaciones: a. 4 3x = 5 b. x + 1x + = 3 c. x + 1x + 4 = 10 d. x 1 + = 4 e. x + 3 = 4 f.

Más detalles

Áreas entre curvas. Ejercicios resueltos

Áreas entre curvas. Ejercicios resueltos Áreas entre curvas Ejercicios resueltos Recordemos que el área encerrada por las gráficas de dos funciones f y g entre las rectas x = a y x = b es dada por Ejercicios resueltos b a f x g x dx Ejercicio

Más detalles

Geometría Analítica Agosto 2016

Geometría Analítica Agosto 2016 Laboratorio #1 Distancia entre dos puntos I.- Demostrar que los puntos dados no son colineales. 1) A (0, 5), B(3, 1), C( 11, 27) 2) A (1, 4), B( 2, 10), C(5, 5) II.- Demostrar que los puntos dados forman

Más detalles

LA CIRCUNFERENCIA. x y r. (x h) (y k) r. d(p; 0) x y r. d(p; C) (x h) (y k) r. Definición. Ecuación de la circunferencia. Geometría Analítica 3

LA CIRCUNFERENCIA. x y r. (x h) (y k) r. d(p; 0) x y r. d(p; C) (x h) (y k) r. Definición. Ecuación de la circunferencia. Geometría Analítica 3 Definición LA CIRCUNFERENCIA Se llama circunferencia a la sección cónica generada al cortar un cono recto con un plano perpendicular al eje del cono. La circunferencia es el lugar geométrico de todos los

Más detalles

Colegio Internacional Torrequebrada. Departamento de Matemáticas

Colegio Internacional Torrequebrada. Departamento de Matemáticas Geometría. Problema 1: Calcula la distancia del punto P(1, 1, 1) a la recta Problema 2: Dadas las rectas, se pide: a) Analiza su posición relativa. b) Halla la ecuación general del plano π que contiene

Más detalles

95 EJERCICIOS de RECTAS

95 EJERCICIOS de RECTAS 9 EJERCICIOS de RECTAS Forma paramétrica: 1. Dado el punto A(,3) y el vector director ur = (1, ), se pide: a) Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta r que determinan. b) Obtener otros tres puntos

Más detalles

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN EL PLANO CARTESIANO.

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN EL PLANO CARTESIANO. RAZONAMIENTO Y DEMOSTRACIÓN Determina la distancia entre pares de puntos. Calcula las coordenadas del punto medio del segmento cuyos extremos son dos puntos dados. Halla la pendiente de una recta. COMUNICACIÓN

Más detalles

GEOMETRÍA ANALÍTICA: CÓNICAS

GEOMETRÍA ANALÍTICA: CÓNICAS GEOMETRÍA ANALÍTICA: CÓNICAS 1.- GENERALIDADES Se define lugar geométrico como el conjunto de puntos que verifican una propiedad conocida. Las cónicas que estudiaremos a continuación se definen como lugares

Más detalles

NIVEL : 1er. AÑO PROF. L. ALTIMIRAS R. CARRERA : GEOGRAFÍA AYUD. C. ESCOBEDO C. AÑO : 2009 GEOMETRÍA ANALÍTICA

NIVEL : 1er. AÑO PROF. L. ALTIMIRAS R. CARRERA : GEOGRAFÍA AYUD. C. ESCOBEDO C. AÑO : 2009 GEOMETRÍA ANALÍTICA UNIVERSIDAD DE CHILE FACULTAD DE ARQUITECTURA Y URBANISMO ESCUELA DE GEOGRAFÍA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS DE LA CONSTRUCCIÓN ASIGNATURA : MATEMATICAS MATERIAL DE APOYO NIVEL : 1er. AÑO PROF. L. ALTIMIRAS

Más detalles

Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta llamada directriz.

Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta llamada directriz. UNIDAD IV: LA PARABOLA. 4.1. Caracterización geométrica. 4.1.1. La parábola como lugar geométrico. Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta

Más detalles

ACADEMIA DE FÍSICO-MATEMÁTICAS MATEMÁTICAS III CICLO ESCOLAR TERCER SEMESTRE G E O M É T R Í A GUÍA A N A L Í T I C A

ACADEMIA DE FÍSICO-MATEMÁTICAS MATEMÁTICAS III CICLO ESCOLAR TERCER SEMESTRE G E O M É T R Í A GUÍA A N A L Í T I C A CENTRO DE ESTUDIOS DE BACHILLERATO LIC. JESÚS REYES HEROLES ACADEMIA DE FÍSICO-MATEMÁTICAS MATEMÁTICAS III CICLO ESCOLAR TERCER SEMESTRE GEOMETRÍA G E O M É T R Í A GUÍA ANALÍTICA A N A L Í T I C A G U

Más detalles

Tema 7: Geometría Analítica. Rectas.

Tema 7: Geometría Analítica. Rectas. Tema 7: Geometría Analítica. Rectas. En este tema nos centraremos en estudiar la geometría en el plano, así como los elementos que en este aparecen como son los puntos, segmentos, vectores y rectas. Estudiaremos

Más detalles

Problemas métricos. 1. Problemas afines y problemas métricos

Problemas métricos. 1. Problemas afines y problemas métricos . Problemas afines y problemas métricos Al trabajar en el espacio (o análogamente en el plano) se nos pueden presentar dos tipos de problemas con los elementos habituales (puntos, rectas y planos): Problemas

Más detalles

Problema a) En un triángulo rectángulo OAB una recta r paralela a la hipotenusa corta a los catetos OA y OB en los puntos A y B respectivamente.

Problema a) En un triángulo rectángulo OAB una recta r paralela a la hipotenusa corta a los catetos OA y OB en los puntos A y B respectivamente. Problema 717.- a) En un triángulo rectángulo OAB una recta r paralela a la hipotenusa corta a los catetos OA y OB en los puntos A y B respectivamente. Hallar el lugar geométrico de los puntos comunes a

Más detalles

FUNCIÓN CUADRÁTICA. Tres formas para identificar una parábola según los datos:

FUNCIÓN CUADRÁTICA. Tres formas para identificar una parábola según los datos: FUNCIÓN CUADRÁTICA Una función cuadrática es una función polinómica de segundo grado de la forma y=ax +bx+c, cuya gráfica es una parábola de eje vertical, donde a representa la abertura de la parábola.

Más detalles

Dicho punto fijo se llama centro, a la distancia de cualquier punto de la circunferencia al centro se acostumbra a llamar radio.

Dicho punto fijo se llama centro, a la distancia de cualquier punto de la circunferencia al centro se acostumbra a llamar radio. GEOMETRIA ANALITICA Capítulo 9 La Circunferencia 9.1. Definición Se llama circunferencia al lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de un punto fijo del mismo plano. Dicho punto fijo

Más detalles

1. Halla la ecuación de la recta r, sabiendo que pasa por A(1,-2) y B(-1,2)

1. Halla la ecuación de la recta r, sabiendo que pasa por A(1,-2) y B(-1,2) 1. Halla la ecuación de la recta r, sabiendo que pasa por A(1,-2) y B(-1,2) 2. Halla la ecuación de la recta r, sabiendo que es paralela a y=2x-3 y pasa por el punto (1,3). 3. Halla la ecuación de la recta

Más detalles

La recta se define como el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que al tomarse de dos en dos se obtiene la misma pendiente.

La recta se define como el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que al tomarse de dos en dos se obtiene la misma pendiente. Formas de la ecuación de una recta. Hasta el momento, se han dado algunas características de la recta tales como la distancia entre dos puntos, su pendiente, su ángulo de inclinación, relación entre ellas,

Más detalles

CENTRO DE BACHILLERATO DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

CENTRO DE BACHILLERATO DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS CENTRO DE BACHILLERATO DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS Al concluir la unidad, el alumno conocerá y aplicará las propiedades relacionadas con el lugar geométrico llamado circunferencia, determinando los distintos

Más detalles

TEMA 6. ECUACIONES DE LA RECTA

TEMA 6. ECUACIONES DE LA RECTA TEMA 6. ECUACIONES DE LA RECTA Dados un punto y un vector, vamos a hallar las ecuaciones de la recta r que pasa por el punto A y es paralela al vector. Sea consideramos los vectores un punto cualquiera

Más detalles

SESIÓN N 07 III UNIDAD RELACIONES Y FUNCIONES

SESIÓN N 07 III UNIDAD RELACIONES Y FUNCIONES SESIÓN N 07 III UNIDAD RELACIONES Y FUNCIONES RELACIONES BINARIAS PAR ORDENADO Es un arreglo de dos elementos que tienen un orden determinado donde a es llamada al primera componente y b es llamada la

Más detalles

Lección 4. Ecuaciones diferenciales. 1. Ecuaciones diferenciales de primer orden. Trayectorias ortogonales.

Lección 4. Ecuaciones diferenciales. 1. Ecuaciones diferenciales de primer orden. Trayectorias ortogonales. GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 0.. Ecuaciones diferenciales de primer orden. Traectorias ortogonales. Muchas aplicaciones problemas de la ciencia, la ingeniería la economía se formulan en términos

Más detalles

GEOMETRÍA ANALÍTICA LA CIRCUNFERENCIA

GEOMETRÍA ANALÍTICA LA CIRCUNFERENCIA LA CIRCUNFERENCIA CONTENIDO. Ecuación común de la circunferencia Ejemplos. Ecuación general de la circunferencia. Análisis de la ecuación. Ejercicios Estudiaremos cuatro curvas que por su importancia aplicaciones

Más detalles

CONICAS Y LUGARES GEOMÉTRICOS ( problemas resueltos)

CONICAS Y LUGARES GEOMÉTRICOS ( problemas resueltos) CONICAS Y LUGARES GEOMÉTRICOS ( problemas resueltos) Ejercicio nº 1.- Escribe la ecuación de la circunferencia con centro en el punto (, 3) que es tangente a la recta 3 4 + 5 = 0. El radio, R, de la circunferencia

Más detalles

Profesorado de Nivel Medio y Superior en Biología Matemática - 1º Cuatrimestre Año 2013 FUNCIÓN CUADRÁTICA

Profesorado de Nivel Medio y Superior en Biología Matemática - 1º Cuatrimestre Año 2013 FUNCIÓN CUADRÁTICA Matemática - º Cuatrimestre Año 0 FUNCIÓN CUADRÁTICA Hemos definido anteriormente la función lineal como una función f: R R de la forma f()a+b con a R y b R, que se representa en el plano mediante una

Más detalles

Apuntes de dibujo de curvas

Apuntes de dibujo de curvas Apuntes de dibujo de curvas El objetivo de estas notas es dar unas nociones básicas sobre dibujo de curvas definidas por medio de ecuaciones cartesianas explícitas o paramétricas y polares: 1. Curvas en

Más detalles

Problemas de Selectividad de Matemáticas II Comunidad de Madrid (Resueltos) Isaac Musat Hervás

Problemas de Selectividad de Matemáticas II Comunidad de Madrid (Resueltos) Isaac Musat Hervás Problemas de Selectividad de Matemáticas II Comunidad de Madrid Resueltos Isaac Musat Hervás 22 de mayo de 213 Capítulo 11 Año 21 11.1. Modelo 21 - Opción A Problema 11.1.1 3 puntos Dada la función: fx

Más detalles

3. La circunferencia.

3. La circunferencia. UNIDAD 8: RESOLVAMOS CON GEOMETRÍA ANALITICA. 3. La circunferencia. Objetivos conceptuales. Definir el concepto de circunferencia. Objetivos procedimentales. Calular el radio, el centro, algunos puntos

Más detalles

TEMA 5. GEOMETRÍA ANALÍTICA

TEMA 5. GEOMETRÍA ANALÍTICA TEMA 5. GEOMETRÍA ANALÍTICA 6.1. Ecuaciones de la recta. - Vector director. - Ecuación vectorial. - Ecuaciones paramétricas. - Ecuación contínua. - Ecuación general. - Ecuación punto-pendiente. - Ecuación

Más detalles

Puntos y rectas en el triángulo

Puntos y rectas en el triángulo Puntos y rectas en el triángulo En los triángulos hay un conjunto de rectas y puntos importantes. Las rectas son las bisectrices, las mediatrices, las alturas, las medianas y las bisectrices exteriores.

Más detalles

Espacio afín. 1. Rectas en el espacio. Piensa y calcula. Aplica la teoría

Espacio afín. 1. Rectas en el espacio. Piensa y calcula. Aplica la teoría 6 Espacio afín 1. Rectas en el espacio Piensa y calcula Calcula las coordenadas de un vector que tenga la dirección de la recta que pasa por los puntos A2, 1, 5 y B3, 1, 4 AB 1, 2, 1 Aplica la teoría 1.

Más detalles

ÁLGEBRA VECTORIAL Y MATRICES. Ciclo 02 de Circunferencia.

ÁLGEBRA VECTORIAL Y MATRICES. Ciclo 02 de Circunferencia. ÁLGEBRA VECTORIAL Y MATRICES. Ciclo 02 de 2012. Circunferencia. Elementos de la circunferencia. El segmento de recta es una cuerda. El segmento de recta es una cuerda que pasa por el centro, por lo tanto

Más detalles

TEMA 6 Ejercicios / 3

TEMA 6 Ejercicios / 3 TEMA 6 Ejercicios / 1 TEMA 6: RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO 1. Ecuaciones de los planos cartesianos en forma vectorial, paramétrica e implícita. Ecuaciones del plano XY: Punto del plano P 0, 0, 0 Vectores

Más detalles

Conjugados Armónicos

Conjugados Armónicos Conjugados Armónicos Sofía Taylor Febrero 2011 1 Puntos Conjugados Armónicos Sean A y B dos puntos en el plano. Sea C un punto en el segmento AB y D uno sobre la prolongación de AB tal que: donde k es

Más detalles

Producto cartesiano. X Y = {(x, y) : x X, y Y }. Ejemplo En el tablero de ajedrez, X = números del 1-8, Y = letras de A-H.

Producto cartesiano. X Y = {(x, y) : x X, y Y }. Ejemplo En el tablero de ajedrez, X = números del 1-8, Y = letras de A-H. Producto cartesiano Motivación: Has oido hablar sobre gente que juega ajedrez sin tener que mirar nunca el tablero?. Esto es posible, y se debe a una herramienta llamada coordenadas de un punto. En un

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Junio de 2011 (Específico Modelo 5) Solución Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A

IES Fco Ayala de Granada Junio de 2011 (Específico Modelo 5) Solución Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A IES Fco Ayala de Granada Junio de 2011 (Específico Modelo 5) Germán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo Junio 2011 específico1 [2'5 puntos] Un alambre de 100 m de longitud se divide

Más detalles

Álgebra y Trigonometría Clase 7 Sistemas de ecuaciones, Matrices y Determinantes

Álgebra y Trigonometría Clase 7 Sistemas de ecuaciones, Matrices y Determinantes Álgebra y Trigonometría Clase 7 Sistemas de ecuaciones, Matrices y Determinantes CNM-108 Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Antioquia Copyleft c 2008. Reproducción

Más detalles

ECUACIÓN DE LA RECTA. Dibujando los ejes de coordenadas y representando el punto vemos que está situado sobre el eje de abscisas.

ECUACIÓN DE LA RECTA. Dibujando los ejes de coordenadas y representando el punto vemos que está situado sobre el eje de abscisas. ECUACIÓN DE LA RECTA. El punto (, 0) está situado: a) Sobre el eje de ordenadas. b) En el tercer cuadrante. c) Sobre el eje de abscisas. (Convocatoria junio 00. Examen tipo D) Dibujando los ejes de coordenadas

Más detalles

AYUDAS SOBRE LA LINEA RECTA

AYUDAS SOBRE LA LINEA RECTA AYUDAS SOBRE LA LINEA RECTA AYUDA : Grafiquemos la función Solución: Se debe escoger algunos números que representan a la variable x, para obtener el valor de la variable y respectivamente así: El proceso:

Más detalles

Solución: Las rectas paralelas a estas tienen la misma pendiente, es decir 2; por tanto la ecuación es:

Solución: Las rectas paralelas a estas tienen la misma pendiente, es decir 2; por tanto la ecuación es: Representa las rectas y = x + e y = x y calcula el punto que tienen en común El punto que tienen en común estas dos rectas se obtiene resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones: y = x + y = x 3 x =,

Más detalles

GUIA DE EJERCICIOS MATEMATICA 5to LINEA RECTA - CIRCUNFERENCIA

GUIA DE EJERCICIOS MATEMATICA 5to LINEA RECTA - CIRCUNFERENCIA UNIDAD EDUCATIVA COLEGIO LOS PIRINEOS DON BOSCO INSCRITO EN EL M.P.P.L N S991D03 RIF: J-09009977-8 GUIA DE EJERCICIOS MATEMATICA 5to LINEA RECTA - CIRCUNFERENCIA Asignatura: Matemática Año Escolar: 013-014

Más detalles

B5 Lugares geométricos

B5 Lugares geométricos Geometría plana B5 Lugares geométricos Lugar geométrico Se llama así a la figura que forman todos los puntos que tienen una misma propiedad. Los lugares geométricos pueden ser del plano o del espacio,

Más detalles

GIMNASIO VIRTUAL SAN FRANCISCO JAVIER Valores y Tecnología para la Formación Integral del Ser Humano UNIDAD I FUNCIONES

GIMNASIO VIRTUAL SAN FRANCISCO JAVIER Valores y Tecnología para la Formación Integral del Ser Humano UNIDAD I FUNCIONES UNIDAD I FUNCIONES Una función es una correspondencia entre dos conjuntos, que asocia a cada elemento del primer conjunto exactamente un elemento del otro conjunto. Una función f definida entre dos conjuntos

Más detalles

GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL PLANO

GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL PLANO GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL PLANO Coordenadas cartesianas Sistema de ejes Cartesianos: Dicho nombre se debe a Descartes, el cual tuvo la idea de expresar un objeto geométrico como un punto o una recta, mediante

Más detalles

Tema 6: Ecuaciones diferenciales lineales.

Tema 6: Ecuaciones diferenciales lineales. Tema 6: Ecuaciones diferenciales lineales Una ecuación diferencial lineal de orden n es una ecuación que se puede escribir de la siguiente forma: a n (x)y (n) (x) + a n 1 (x)y (n 1) (x) + + a 0 (x)y(x)

Más detalles

No es otra cosa, que la representación de los resultados de una función sobre el plano carteciano.

No es otra cosa, que la representación de los resultados de una función sobre el plano carteciano. FUNCIONES GRAFICAS No es otra cosa, que la representación de los resultados de una función sobre el plano carteciano. INTÉRVALOS Un intervalo es el conjunto de todos los números reales entre dos números

Más detalles

1. Coordenadas en el plano. (Sistema de coordenadas, ejes de coordenadas, abcisas, ordenadas, cuadrantes)

1. Coordenadas en el plano. (Sistema de coordenadas, ejes de coordenadas, abcisas, ordenadas, cuadrantes) Bloque 7. VECTORES. ECUACIONES DE LA RECTA. (En el libro Tema 9, página 159) 1. Coordenadas en el plano. 2. Definiciones: vector libre, módulo, dirección, sentido, vectores equipolentes, vector fijo, coordenadas

Más detalles

Tema 8. Geometría de la Circunferencia

Tema 8. Geometría de la Circunferencia Tema 8. Geometría de la Circunferencia 1. Definición la circunferencia. Ecuación de la circunferencia 1.1 Ecuación de la circunferencia centrada en el origen 1. Ecuación de la circunferencia con centro

Más detalles

Tema 7. Geometría analítica.

Tema 7. Geometría analítica. Tema 7. Geometría analítica.. Vectores y puntos en el plano. Sistemas de coordenadas. Operaciones con vectores.. Suma y resta de vectores... Producto de un número real por un vector.3. Punto medio de dos

Más detalles

Curso Curso

Curso Curso Problema 84. Sea AB el diámetro de una semicircunferencia de radio R y sea O el punto medio del segmento AB. Con centro en A y radio OA se traza el arco de circunferencia OM. Calcular, en función de R,

Más detalles

O -2-1 1 2 X -1- -2- de coordenadas, y representamos los números sobre cada eje, eligiendo en ambos ejes la misma unidad, como muestra la figura.

O -2-1 1 2 X -1- -2- de coordenadas, y representamos los números sobre cada eje, eligiendo en ambos ejes la misma unidad, como muestra la figura. MATEMÁTICA I Capítulo 1 GEOMETRÍA Plano coordenado Para identificar cada punto del plano con un par ordenado de números, trazamos dos rectas perpendiculares que llamaremos eje y eje y, que se cortan en

Más detalles

Ecuaciones, ecuación de la recta y sistemas

Ecuaciones, ecuación de la recta y sistemas Ecuaciones, ecuación de la recta y sistemas Ecuaciones Una ecuación es una igualdad condicionada en la que aplicando operaciones adecuadas se logra despejar (aislar) la incógnita. Cuando una ecuación contiene

Más detalles

REVISIÓN DE ALGUNOS CONCEPTOS DE GEOMETRÍA MÉTRICA

REVISIÓN DE ALGUNOS CONCEPTOS DE GEOMETRÍA MÉTRICA MAT B Repartido Nº I REVISIÓN DE ALGUNOS CONCEPTOS DE GEOMETRÍA MÉTRICA Conceptos primitivos Partiremos de un conjunto que llamaremos espacio, E, a cuyos elementos llamamos puntos, (a los cuales escribiremos

Más detalles

SUPERFICIES CUÁDRICAS

SUPERFICIES CUÁDRICAS SUPERFICIES CUÁDRICAS Un cuarto tipo de superficie en el espacio tridimensional son las cuádricas. Una superficie cuádrica en el espacio es una ecuación de segundo grado de la forma Ax + By + Cz + Dx +

Más detalles

Ecuaciones Lineales en Dos Variables

Ecuaciones Lineales en Dos Variables Ecuaciones Lineales en Dos Variables Una ecuación lineal en dos variables tiene la forma general a + b + c = 0; donde a, b, c representan números reales las tres no pueden ser iguales a cero a la misma

Más detalles

GEOMETRÍA ANALÍTICA 8.2 ECUACIONES DE UNA RECTA. Para determinar una recta necesitamos una de estas dos condiciones

GEOMETRÍA ANALÍTICA 8.2 ECUACIONES DE UNA RECTA. Para determinar una recta necesitamos una de estas dos condiciones GEOMETRÍA ANALÍTICA 8. ECUACIONES DE UNA RECTA Para determinar una recta neceitamo una de eta do condicione 1. Un punto P(x, y ) y un vector V = (a,b). Do punto P(x, y ), Q(x 1, y 1 ) Un punto P(x, y )

Más detalles

EJERCICIO. Dadas las rectas y

EJERCICIO. Dadas las rectas y EJERCICIO Dadas las rectas x4 y1 z y z 8 r : y s: x1 1 3 se pide: a) Comprueba que las rectas r y s se cruzan. b) Determina la ecuación de la perpendicular común. c) Calcula la distancia entre ambas. Perpendicular

Más detalles

Vectores y rectas. 4º curso de E.S.O., opción B. Modelo de examen (ficticio)

Vectores y rectas. 4º curso de E.S.O., opción B. Modelo de examen (ficticio) demattematicaswordpresscom Vectores y rectas º curso de ESO, opción B Modelo de examen (ficticio) Sean los vectores u = (,5) y v = (, ) a) Analiza si tienen la misma dirección No tienen la misma dirección

Más detalles

APUNTES DE FUNDAMENTOS DE MATEMATICA. CASO I: Cuando todos los términos de un polinomio tienen un factor común.

APUNTES DE FUNDAMENTOS DE MATEMATICA. CASO I: Cuando todos los términos de un polinomio tienen un factor común. FACTORIZACION DE POLINOMIOS. CASO I: Cuando todos los términos de un polinomio tienen un factor común. Cuando se tiene una expresión de dos o más términos algebraicos y si se presenta algún término común,

Más detalles

Verifique los resultados analíticos mediante la resolución gráfica usando un software de Matemática.

Verifique los resultados analíticos mediante la resolución gráfica usando un software de Matemática. Álgebra Geometría Analítica Prof. Gisela Saslavsk Vectores en R en R 3. Rectas planos en el espacio Verifique los resultados analíticos mediante la resolución gráfica usando un software de Matemática..

Más detalles

ACTIVIDADES PROPUESTAS

ACTIVIDADES PROPUESTAS GEOMETRÍA DINÁMICA ACTIVIDADES PROPUESTAS 1. Dibujar un pentágono y trazar sus diagonales. 2. A partir de una circunferencia c y de un punto exterior A, trazar la circunferencia que tiene centro en el

Más detalles

APUNTES DE GEOMETRÍA ANALÍTICA

APUNTES DE GEOMETRÍA ANALÍTICA CAPÍTULO 1: LA RECTA EN EL PLANO Conceptos Primitivos: Punto, recta, plano. APUNTES DE GEOMETRÍA ANALÍTICA Definición 1 (Segmento) Llamaremos segmento a la porción de una línea recta comprendida entre

Más detalles

UNIDAD DIDÁCTICA 5: Geometría analítica del plano

UNIDAD DIDÁCTICA 5: Geometría analítica del plano UNIDAD DIDÁCTICA 5: Geometría analítica del plano 1. ÍNDICE 1. Sistemas de referencia y coordenadas puntuales 2. Distancia entre dos puntos del plano 3. Coordenadas del punto medio de un segmento 4. La

Más detalles

TEMA N 2 RECTAS EN EL PLANO

TEMA N 2 RECTAS EN EL PLANO 2.1 Distancia entre dos puntos1 TEMA N 2 RECTAS EN EL PLANO Sean P 1 (x 1, y 1 ) y P 2 (x 2, y 2 ) dos puntos en el plano. La distancia entre los puntos P 1 y P 2 denotada por d = esta dada por: (1) Demostración

Más detalles

Semana03[1/17] Funciones. 16 de marzo de Funciones

Semana03[1/17] Funciones. 16 de marzo de Funciones Semana03[1/17] 16 de marzo de 2007 Introducción Semana03[2/17] Ya que conocemos el producto cartesiano A B entre dos conjuntos A y B, podemos definir entre ellos algún tipo de correspondencia. Es decir,

Más detalles

GEOMETRÍA ANALÍTICA DEL PLANO

GEOMETRÍA ANALÍTICA DEL PLANO GEOMETRÍA ANALÍTICA DEL PLANO 1 UNIDAD DIDÁCTICA 5: Geometría analítica del plano 1. ÍNDICE 1. Sistemas de referencia y coordenadas puntuales 2. Distancia entre dos puntos del plano 3. Coordenadas del

Más detalles

7. Cónicas. Propiedades métricas y ópticas

7. Cónicas. Propiedades métricas y ópticas Métodos Matemáticos (Curso 2013 2014) Grado en Óptica y Optometría 49 7. Cónicas. Propiedades métricas y ópticas Cónicas Círcunferencias, elipses, parábolas, e hipérbolas son llamadas secciones cónicas

Más detalles

Translaciones, giros, simetrías.

Translaciones, giros, simetrías. Translaciones, giros, simetrías. Transformaciones geométricas Transformación geométrica es una aplicación del plano en el plano tal que a cada punto de un plano le hace corresponder otro punto del mismo

Más detalles

Fundamentos matemáticos. Tema 8 Ecuaciones diferenciales

Fundamentos matemáticos. Tema 8 Ecuaciones diferenciales Grado en Ingeniería agrícola y del medio rural Tema 8 José Barrios García Departamento de Análisis Matemático Universidad de La Laguna jbarrios@ull.es 2016 Licencia Creative Commons 4.0 Internacional J.

Más detalles

13 FUNCIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS

13 FUNCIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS 3 FUNCINES LINEALES CUADRÁTICAS EJERCICIS PARA ENTRENARSE Definición y caracterización de una función lineal 3.8 Una función viene dada por la siguiente tabla. x 0 3 y 0 3 6 9 Expresa la función mediante

Más detalles

EJERCICIOS RESUELTOS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA

EJERCICIOS RESUELTOS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA MATEMÁTICAS EJERCICIOS RESUELTOS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA GEOMETRÍA ANALÍTICA A Introducción teórica A Módulo y argumento de un vector A Producto escalar A3 Punto medio de un segmento A4 Ecuaciones de la

Más detalles

La variable independiente x es aquella cuyo valor se fija previamente. La variable dependiente y es aquella cuyo valor se deduce a partir de x.

La variable independiente x es aquella cuyo valor se fija previamente. La variable dependiente y es aquella cuyo valor se deduce a partir de x. Bloque 8. FUNCIONES. (En el libro Temas 10, 11 y 12, páginas 179, 197 y 211) 1. Definiciones: función, variables, ecuación, tabla y gráfica. 2. Características o propiedades de una función: 2.1. Dominio

Más detalles

sea paralela al plano

sea paralela al plano x = 1+2t 1. [ANDA] [EXT-A] Considera los puntos A(1,1,2) y B(1,-1,-2) y la recta dada por y = t. z = 1 a) Halla la ecuación general del plano que que contiene a r y es paralelo a la recta que pasa por

Más detalles

LA CIRCUNFERENCIA EN EL PLANO CARTESIANO

LA CIRCUNFERENCIA EN EL PLANO CARTESIANO LA CIRCUNFERENCIA EN EL PLANO CARTESIANO Si un hombre es perseverante, aunque sea duro de entendimiento se hará inteligente; y aunque sea débil se transformará en fuerte Leonardo Da Vinci TRASLACION DE

Más detalles

GEOMETRIA ANALITICA- GUIA DE EJERCICIOS DE LA RECTA Y CIRCUNFERENCIA PROF. ANNA LUQUE

GEOMETRIA ANALITICA- GUIA DE EJERCICIOS DE LA RECTA Y CIRCUNFERENCIA PROF. ANNA LUQUE Ejercicios resueltos de la Recta 1. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (4. - 1) y tiene un ángulo de inclinación de 135º. SOLUCION: Graficamos La ecuación de la recta se busca por medio

Más detalles

UNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCIÓN FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA (CPI) EJERCITARIO PRÁCTICO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA

UNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCIÓN FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA (CPI) EJERCITARIO PRÁCTICO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA UNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCIÓN FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA (CPI) EJERCITARIO PRÁCTICO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA AÑO 014 CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA CPI-014 TRASLACIÓN Y/O

Más detalles

UNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCIÓN FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA (CPI) EJERCITARIO TEÓRICO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA

UNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCIÓN FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA (CPI) EJERCITARIO TEÓRICO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA UNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCIÓN FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA (CPI) EJERCITARIO TEÓRICO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA AÑO 2014 RECTAS - EJERCICIOS TEÓRICOS 1- Demostrar que la ecuación

Más detalles

a) La ecuación del plano que pasa por el punto ( 1, 1, 0 ). (3 puntos) b) La ecuación del plano que es paralelo a la recta r.

a) La ecuación del plano que pasa por el punto ( 1, 1, 0 ). (3 puntos) b) La ecuación del plano que es paralelo a la recta r. PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD. BLOQUE GEOMETRÍA 1. En el espacio se dan las rectas Obtener a) El valor de para el que las rectas r y s están contenidas en un plano. (4 puntos) b) La ecuación del plano que

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2011 (Modelo 4) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2011 (Modelo 4) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 011 (Modelo 4) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo 4 del 011 [ 5 puntos] Queremos hacer junto a la carretera un cercado rectangular

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2011 (Septiembre Modelo 2) Solución Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2011 (Septiembre Modelo 2) Solución Germán-Jesús Rubio Luna IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 0 (Septiembre Modelo ) Germán-Jesús Rubio Luna UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO 00-0. MATEMÁTICAS II Opción A Ejercicio opción A,

Más detalles

2.2 Rectas en el plano

2.2 Rectas en el plano 2.2 Al igual que ocurre con el punto, en geometría intrínseca, el concepto de recta no tiene definición, sino que constituye otro de sus conceptos iniciales, indefinibles. Desde luego se trata de un conjunto

Más detalles

PROBLEMAS METRICOS. r 3

PROBLEMAS METRICOS. r 3 PROBLEMAS METRICOS 1. Hallar el área del triángulo de vértices A(1,1), B(2,3) y C(5,2). 2. Halla las ecuaciones de las bisectrices determinadas por las rectas y=3x e y=1/3 x. Comprueba que ambas bisectrices

Más detalles

Inecuaciones: Actividades de recuperación.

Inecuaciones: Actividades de recuperación. Inecuaciones: Actividades de recuperación. 1.- Escribe la inecuación que corresponde a los siguientes enunciados: a) El perímetro de un triángulo equilátero es menor que 4. (x = lado del triángulo) b)

Más detalles

Ecuaciones de la recta en el espacio

Ecuaciones de la recta en el espacio Ecuaciones de la recta en el espacio Ecuación vectorial de la recta Sea P(x 1, y 1 ) es un punto de la recta r y uu su vector director, el vector PPXX tiene igual dirección que uu, luego es igual a uu

Más detalles

Tema 6. Planos y rectas en el espacio. Problemas métricos (Ángulos, paralelismo y perpendicularidad, simetrías, distancias )

Tema 6. Planos y rectas en el espacio. Problemas métricos (Ángulos, paralelismo y perpendicularidad, simetrías, distancias ) Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Geometría del espacio: Problemas métricos 7 Tema 6 Planos rectas en el espacio Problemas métricos (Ángulos, paralelismo perpendicularidad, simetrías, distancias

Más detalles

Trabajo 2. Jonathan A. Trejos O. El primer problema es uno típico de teoría de números, en el cual se puede apreciar la simetría.

Trabajo 2. Jonathan A. Trejos O. El primer problema es uno típico de teoría de números, en el cual se puede apreciar la simetría. Trabajo Jonathan A. Trejos O. 1 Primer problema El primer problema es uno típico de teoría de números, en el cual se puede apreciar la simetría. Enunciado 1 Halle y pruebe una bonita fórmula para el producto

Más detalles

PLAN DE REFUERZO NOMBRE ESTUDIANTE: Nº GRADO: 10º

PLAN DE REFUERZO NOMBRE ESTUDIANTE: Nº GRADO: 10º COLEGIO BETHLEMITAS PLAN DE REFUERZO Fecha: Dia 25 Mes 03 Año 2015 META DE COMPRENSIÓN: La estudiante desarrolla comprensión sobre las características de localización de objetos geométricos en sistemas

Más detalles

1.- Escribe las ecuaciones paramétricas de las siguientes rectas: a) Pasa por el punto A(-3,1) y su vector de dirección es v = (2,0)

1.- Escribe las ecuaciones paramétricas de las siguientes rectas: a) Pasa por el punto A(-3,1) y su vector de dirección es v = (2,0) 1.- Escribe las ecuaciones paramétricas de las siguientes rectas: a) Pasa por el punto A(-,1) y su vector de dirección es v = (,0) b) Pasa por el punto P(5,-) y es paralela a : x = 1 t y = t c) Pasa por

Más detalles

CBC. Matemática (51) universoexacto.com 1

CBC. Matemática (51) universoexacto.com 1 CBC Matemática (51) universoexacto.com 1 PROGRAMA ANALÍTICO 1 :: UNIDAD 1 Números Reales y Coordenadas Cartesianas Representación de los números reales en una recta. Intervalos de Distancia en la recta

Más detalles

Introducción. Cuerpo Rígido. Mecánica Racional 20 TEMA 4: Cinemática de los Cuerpos Rígidos.

Introducción. Cuerpo Rígido. Mecánica Racional 20 TEMA 4: Cinemática de los Cuerpos Rígidos. Introducción. La cinemática de cuerpos rígidos estudia las relaciones existentes entre el tiempo, las posiciones, las velocidades y las aceleraciones de las diferentes partículas que forman un cuerpo rígido.

Más detalles

INSTITUTO DE PROFESORES ARTIGAS

INSTITUTO DE PROFESORES ARTIGAS INSTITUTO DE PROFESORES ARTIGAS ESPECIALIDAD MATEMÁTICA GEOMETRÍA UNIDAD 3 FICHA 2: PARALELISMO 1 Posiciones relativas de rectas. 2 Axioma de Euclides. 3 Paralelismo de recta y plano. 4 Paralelismo de

Más detalles

SOLUCIONES CIRCUNFERENCIA. 1. Ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (1, 2) y que pasa por el punto (2,3).

SOLUCIONES CIRCUNFERENCIA. 1. Ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (1, 2) y que pasa por el punto (2,3). SOLUCIONES CIRCUNFERENCIA 1. Ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (1,) y que pasa por el punto (,). Para determinar la ecuación de la circunferencia es necesario conocer el centro y el

Más detalles

Geometría Analítica Enero 2016

Geometría Analítica Enero 2016 Laboratorio #1 Distancia entre dos puntos I.- Halle el perímetro del triángulo cuyos vértices son los puntos dados 1) ( 3, 3), ( -1, -3), ( 4, 0) 2) (-2, 5), (4, 3), (7, -2) II.- Demuestre que los puntos

Más detalles

EJERCICIOS PROPUESTOS

EJERCICIOS PROPUESTOS EJERCICIOS PROPUESTOS ) Dadas las coordenadas del punto A(, ). Hallar la ecuación de la recta (r) paralela al eje por dicho punto. Hallar la ecuación de la recta (p) paralela al eje por dicho punto. )

Más detalles

RELACION DE PROBLEMAS DE GEOMETRIA. Problemas propuestos para la prueba de acceso del curso 1996/97.

RELACION DE PROBLEMAS DE GEOMETRIA. Problemas propuestos para la prueba de acceso del curso 1996/97. RELACION DE PROBLEMAS DE GEOMETRIA Problemas propuestos para la prueba de acceso del curso 996/97. º. - Explica cómo se puede hallar el área de un triángulo, a partir de sus coordenadas, en el espacio

Más detalles

GEOMETRÍA: ESPACIO AFÍN

GEOMETRÍA: ESPACIO AFÍN GEOMETRÍA: ESPACIO AFÍN.- ECUACIONES DE LA RECTA EN EL PLANO..- Ecuación vectorial Sea Pab (, ) un punto de la recta r, v = ( v, v) dirección que r, y, sea (, ) en el siguiente dibujo: un vector, no nulo,

Más detalles

ejerciciosyexamenes.com GEOMETRIA

ejerciciosyexamenes.com GEOMETRIA GEOMETRIA 1.- Dado el vector AB= (2,-1,3) y el punto B(3,1,2) halla las coordenadas del punto A. Sol: A =(1,2,-1) 2.- Comprobar si los vectores AB y CD son equipolentes, siendo A(1,2,-1), B(0,3,1), C(1,1,1)

Más detalles