3º B.D. opción Social-Económico Matemática III. Parábola.

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María Concepción María del Pilar Botella Moreno
hace 7 años
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1 Parábola. Definición: Lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo F, llamado foco y de una recta fija z llamada directriz. Siendo F no perteneciente a z. Entonces siendo P la parábola, M P d(m,f)d(m,z) Definición: Diremos que M es interior a P d(m,f) < d(m,z) Diremos que M es interior a P d(m,f) > d(m,z) Ecuación de la parábola: Sea p d( F, z). 1) Parábola de eje Oy y vértice O (,): Datos: foco F, p, directriz p z) y. P d( M, F ) d ( M z) ( ) M, 1 x p p x y y x y p y p x py py y p Si a p 1 lo llamamos a tenemos la siguiente ecuación: p y ax con a Página 1 de 5

2 Traslación de ejes: Dado un punto M(x,y) referido a un sistema de coordenadas xoy, pretendemos hallar las coordenadas de ese punto referido otro sistema x O y con ejes x y paralelos a x e y respectivamente. x ' x x x x ' x O (x,y ) o y ' y y y y ' y 3) Ecuación de la parábola de eje parelelo a Oy: La ecuación de la parábola de eje paralelo a Oy (xx ) y vértice V(x,y ), referida a los ejes cartesianos x O y es y ax. Buscamos la ecuación de esta parábola pero referida a los ejes xoy: Aplicando las ecuaciones de traslación de ejes, nos queda: P) ( y y ) a( x ) por tanto: y ax axx x y Resultando una ecuación del tipo: y ax bx c. Para hallar sus elementos debemos conocer x e y en función de a, b y c: b ax x a 4ac b ax y c y c ax y 4a Por lo tanto: x Vértice Eje Foco Directriz yax yax bxc Página de 5

3 Ejercicios: 1) Deducir la ecuación de la parábola de eje Ox y vértice O (,). ) Deducir la ecuación de la parábola de eje paralelo a Ox. Realizar cuadro de elementos 3) Hallar la ecuación de la parábola de eje Oy, vértice (,) y que pasa por el punto (1,4). a. Hallar la ecuación de su foco y directriz. 4) Hallar la ecuación de la parábola de eje Oy, vértice (,) y que pasa por el punto (1,-4) a. Hallar la ecuación de su foco y directriz. 5) Idem a 1) y ) pero de eje Ox. 6) Determinar elementos de las siguientes parábolas: a. y -x 3x- b. y x -4x-6 Página 3 de 5

4 Parábola (segunda parte) Definición: Cónicas Llamamos cónica al conjunto de puntos del plano cuyas coordenadas verifican una ecuación de segundo grado del tipo Ax Bxy Cy Dx Ey F, con A, B, C, D, E, F números reales. Es decir que K{M/ M(x,y), M π / Ax Bxy Cy DxEyF} Observación: La ecuación de una circunferencia es la ecuación de una cónica donde AC, B. 5) Ecuación de la parábola de eje cualquiera: Datos: foco ( α, β ) F directriz z ) y mx n. Consideremos un punto M de coordenadas ( x, y) M P ( x α ) ( y β ) mx y n m ( 1) * ( m )( ) ( ) ) 1 x α y β ( mx y n ) Observamos que esta es una ecuación del tipo Ax Bxy Cy Dx Ey F, donde A1, Bm, C m. De esta manera podemos decir que la ecuación de P tiene estos coeficientes o múltiplos de ellos. Por otra parte podemos observar que dentro de este caso de ecuación de parábola quedan incluidos todos los anteriores, excepto los que poseen directriz paralela al eje de las ordenadas. Para encontrar una particularidad, además de la vista anteriormente, que vincule los coeficientes de toda parábola hallemos: B -4AC, siendo Ak, B km, C km. Podemos decir entonces que B -4AC. En el caso de una parábola de eje paralelo a Oy tenemos yax bxc o lo que es lo mismo Ax Dx-yF, por lo cual B -4AC -4A., lo que implica que B -4AC también. Así la ecuación de toda parábola es del tipo Ax Bxy Cy Dx Ey F con B 4AC. Observación: Si tenemos la ecuación de dos rectas r ) ax by c y r ') a' x b' y c' y multiplicamos ambas ecuaciones obtenemos una nueva del tipo Ax Bxy Cy Dx Ey F, donde Aaa, Bab ba, Cbb. Hallemos B 4AC : B 4AC ) ( ba' ) aa' 4aa' ) ( ba' ) aa' a' b) ab' a' b r // r'. Por lo tanto la condición hallada para los coeficientes si bien es necesaria no es suficiente, para que la ecuación sea la de una parábola. También puede ser el producto de la ecuación de dos rectas paralelas. * Se puede demostrar que d( M, z) mx M y m M n ( 1) con ( ) x M y M M, y z ) mx y n Página 4 de 5

5 Ejercicios (segunda parte). 1. Hallar la ecuación de la parábola: a) de foco F(-1,) y directriz x-y. b) de foco F(-1,1) y directriz xy-5. c) de eje paralelo a Ox que pasa por A(,3),B(-,1) y C(4,-1). d) de eje paralelo a Oy que pasa por A(1,-3),B(-,9) y C(1/,-6).. Investigar la naturaleza de los siguientes lugares; si son parábolas informar sus elementos: a) x -y-4 b)x(x1)-y(y-1)yx e) x 6xy9y -8x-14y56 b)x 16-8y d)x xy3y -4x6y 3. Representar gráficamente los lugares: a) x -y d)x -5xy6y b) x y e)x y -4> c) x x-3 f)(x y -x-4y)(1-x -y )> 4. Delimitar la zona del plano tal que: x y x 4 3( x ) y 5. Sean F(,4) y r)y-mx a) Ecuación de las parábolas P de foco F y directriz r. b) L.G. de los vértices de las parábolas al variar r. Sea A dicho lugar, reconocer e informar elementos. x 3y c) Delimitar la zona: x y Página 5 de 5

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