UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES FUNCIONES

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1 C u r s o : Mtemátic Mteril N GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 8 UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES FUNCIONES DEFINICIÓN Sen A B conjuntos no vcíos. Un función de A en B es un relción que sign cd elemento del conjunto A uno sólo un elemento del conjunto B. 5 Se epres como: f: A B f() =, ,5 6 5 Dominio Se dice que es l imgen de medinte f, que es l pre-imgen de f() = Dominio: es el conjunto de todos los vlores pr los cules está definid l función se denot Dom f. Recorrido: Es el conjunto de todos los vlores que tom l vrible dependiente (), se denot Rec f. Función Creciente: Es quell que l umentr l vrible independiente, tmbién ument l vrible dependiente. Función Decreciente: Es quell que l umentr l vrible independiente, l vrible dependiente disminue. Función Constnte: Es quell que pr todos los vlores de l vrible independiente, l vrible dependiente tom un único vlor. EJEMPLOS. Cuál(es) de los siguientes gráficos no represent un función en el intervlo [, b]? Recorrido A) B) C) b b b D) b b. Con respecto l gráfico de l función f de l figur, cuál de ls siguientes lterntivs es fls? A) Dom(f) = [-, ] B) Rec(f) = [-, ] C) f es decreciente en [, ] D) f es creciente en [-, ] f es constnte en [-, ] fig.

2 EVALUACIÓN DE UNA FUNCIÓN Pr encontrr los vlores de ls imágenes de un función definid, se reemplzrá l vrible independiente por el número o epresión que correspond. Ejemplo: Si f() =, l imgen de - serí f(-) = (-) = -. Si l imgen es 9 l función es f() = +, l pre-imgen se obtendrá igulndo + = 9 de quí = pre-imgen. Función continu: Es quell en l que su gráfic se puede recorrer en form fig. ininterrumpid en tod su etensión (fig. ). Función discontinu: Es quell que no es continu, es decir, present seprciones /o sltos en su gráfic (fig. ). fig. fig. Función periódic: Es quell en l que prte de su gráfic se repite cd cierto intervlo, llmdo período (fig. ). fig. EJEMPLOS. Se f: lr lr, un función definid por f() = +. Cuál(es) de ls siguientes firmciones es(son) verdder(s)? I) f - = II) L imgen de es -. III) L pre-imgen de es. A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I III I, II III. Cuál(es) de ls siguientes firmciones sobre los gráficos presentdos es(son) verdder(s)? I) II) III) Función continu no periódic Función periódic no continu Función continu periódic A) Sólo I B) Sólo I II C) Sólo I III D) Sólo II III I, II III

3 TRASLACIÓN DE FUNCIONES Se = f() un función. L función = f() + k es l función f() desplzd k uniddes en el eje. Si k > el desplzmiento es en el sentido positivo del eje, si k < el desplzmiento es en el sentido negtivo (fig. ). L función = f( h) es l función f() trsldd h uniddes en el eje. Si h > el desplzmiento es en el sentido positivo del eje, si h < es en el sentido negtivo (fig. ). L función = f( h) + k es l función f() desplzd k uniddes en el eje, h uniddes en el eje. Si f() = entonces: f() = + k, k > f() = + k, k < f() = ( h), h < f() = ( h), h > f() = fig. fig. k fig. f() = fig. f() = h k h f() = EJEMPLOS. En l figur, se tiene l gráfic de l función f() =. Cuál es l gráfic de l función f() = +? fig A) B) C) D) L gráfic de l función = es l que prece en l figur. Cuál es l gráfic de = ( ) +? 8 fig A) B) C) D) - -

4 FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO El vlor bsoluto de un número rel, denotdo por, es siempre un número rel no negtivo. f() = = si - si <, lr Representciones gráfics f() = f() = f() = +, > f() = +, < f() = b, b < f() = b, b > b b indic el punto de trslción en el eje de ls ordends. b indic el punto de trslción en el eje de ls bsciss. EJEMPLOS. El gráfico que mejor represent f() = +, es A) B) C) D) Cuál es l función que se represent por el gráfico de l figur? A) + + B) + C) + D) fig.

5 FUNCIÓN PARTE ENTERA f() = [ ] con lr. Ddo un número rel, l función prte enter le sign el mor entero que es menor o igul. Ddo que todo número rel tiene un prte enter un prte deciml, por ejemplo el número 6,5, est función persigue que l número rel 6,5 se le socie el número rel 6. Su representción gráfic es f() = [ ] -,7 - -,,5,6, f() OBSERVACIÓN: A l gráfic de est función se le llm función esclond. EJEMPLOS. El gráfico de l función f() = [ + ] es A) B) C) D) Ningun de ls nteriores. Cuál es l gráfic que represent el cobro de un ti cu bjd de bnder es $ con lo que quedn cnceldos los primeros metros cd metros dicionles o frcción el tímetro sube $ 9? A) B) C) D) $ $ $ $ $ m 6 8 m 6 8 m 6 8 m 6 8 m 5

6 APLICACIONES LINEALES En el quehcer cotidino h muchos problems que se trtn con funciones, por ende, es necesrio sber epresr un situción práctic en términos de un relción funcionl. L función que se obtiene produce un modelo mtemático de l situción. EJEMPLOS. En un cuent del gu potble se consign un crgo fijo de $ 9. Sbiendo que el modelo de cálculo de trifs es un modelo linel que por un consumo de 5 m se fcturó el mes psdo $ 6., cuál es l función linel que permite clculr el costo G de m de gu? A) G = B) G = C) G = D) G = G = 9 5. Cuál de ls siguientes gráfics corresponde l situción nterior? A) G B) G C) G D) G G

7 EJERCICIOS. Cuál de los siguientes gráficos no represent un función en el intervlo [,b]? A) B) C) b b b D) b b. L figur, muestr el gráfico de un función = f(), definid en los reles. Cuál es el vlor de [f(-) + f()] f() f()? A) 8 B) 7 C) 6 D) fig.. Cuál(es) de los siguientes gráficos represent(n) un función en el intervlo [-,]? I) II) III) A) Sólo I B) Sólo I II C) Sólo I III D) Sólo II III I, II III 7

8 . En el gráfico de l figur, cuál(es) de ls siguientes firmciones es (son) verdder(s)? I) f(-) = f() II) f() = III) f(-) f() = fig. A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I II I, II III De cuerdo l gráfico de l curv h() de l figur, se puede firmr que: I) L función es creciente en [-,]. II) Dom h = [-,] III) Rec h = [-,] h() A) Sólo I B) Sólo I II C) Sólo I III D) Sólo II III I, II III fig. 6. L gráfic de l figur, muestr l evolución de l teleudienci en un dí culquier. Los porcentjes se refieren tod l poblción de ños o más. Cuáles de ls siguientes severciones sobre l gráfic son verdders? I) Un 5% de l poblción está viendo TV ls 9 hrs. II) A prtir de ls A.M. empiez decrecer l teleudienci. III) A ls hrs, se lcnz el mor porcentje de teleudienci. A) Sólo I II B) Sólo I III C) Sólo II III D) I, II III Ningun de ells Porcentje fig Tiempo (h) 8

9 7. De cuerdo los siguientes gráficos, cuál de ls opciones siguientes es fls? I) II) III) IV) L N M P A) L es un función creciente B) N es un función constnte C) M es un función decreciente D) I, II III son funciones continus P es un función constnte 8. El puntje p() de un prueb de 7 pregunts se clcul signndo puntos por respuest correct restndo punto por cd respuest incorrect, más puntos de bse. Cuál es l función que represent el puntje pr quien responde tod l prueb teniendo respuests corrects? A) p() = + B) p() = 5 C) p() = 5 + D) p() = p() = + 9. Un industri contrt un servicio mensul de trnsporte, el cul plic el gráfico de l figur 5 en el cobro de sus trifs, según los kilómetros recorridos. (miles de pesos) fig km mensules Cuánto debe pgr l industri l término del mes si el promedio de kilómetros recorridos en los primeros dís del mes fue de km en los dís siguientes fue de 5 km? A) $ 6. B) $. C) $. D) $. $ 6. 9

10 . En l figur 6, el gráfico represent el recorrido de un ciclist que v desde un ciudd A otr ciudd F situd 9 km, en función del tiempo. Cuál de ls siguientes opciones entreg l mor informción correct sobre l trvesí del ciclist? Kilómetros A F C E D B Hors fig. 6 A) El ciclist demoró hors entre ls ciuddes A F. B) En l primer hor vnzó mu rápido, luego se fue más lento, después descnsó medi hor siguió más lento que en l primer hor. C) El ciclist vrió su rpidez en los distintos trmos del cmino. D) El cmino tení mor pendiente l comienzo, luego menos, después cero ls siguientes tenín menos pendiente que l primer. En los trmos BC, DE EF su rpidez fue l mism porque se demoró lo mismo.. Un empres contrt un empledo por 5 dís, pgándole $ 6. por cd dí completo trbjdo con l condición de que por cd dí trbjdo prcilmente se rebj de este slrio $.. Finlizdo el trbjo, el empledo recibió $.8.. L ecución que relcion los dís completos trbjdos () respecto del dinero recibido es A) 6. +.(5 ) =.8. B) 6. +.(5 ) =.8. C) 6..(5 ) =.8. D) 6..(5 ) = =.8.. L función = f(), cumple l siguiente propiedd: vlores distintos de le corresponde vlores distintos de. Cuál es l gráfic que represent dich función? A) B) C) D)

11 . Un tist gst mensulmente $ 8. en l mntención de su uto. El sbe que el rendimiento de su uto es de lt de bencin por cd km recorridos que el litro cuest $ 5. Un epresión que nos permite clculr el gsto totl (G) mensul, en pesos, en función de un número de kilómetros recorridos en el mes es A) G = 5 [] + 8. B) G = 5 [] + 8. C) G = 5 [ ] + 8. D) G = 5 [ ]+ 8. G = 5 [] Se llm función mntis quell que cd elemento le hce corresponder l diferenci entre el número su prte enter. Su fórmul es M() = []. Cuál es el vlor de M(8,75) + M(-,75)? A) 7 B) C),5 D) L función f() = + está representd por A) B) C) - D)

12 6. El gráfico de l función = f(), donde es el ldo de un cudrdo f() es el áre, está representdo en A) B) C) - D) 7. L rect L de l figur 7, corresponde l gráfico de l función linel = del triángulo churdo es El áre A) 8 cm B) 6 cm C) cm D) 8 cm cm (cm) L (cm) fig El gráfico que represent l función f() = es A) B) C) D) - - -

13 9. Si A es el áre de un cudrdo p su perímetro, entonces A en función de p se epres como A) A(p) = p B) A(p) = p C) p A(p) = 6 D) A(p) = p A(p) = p. El gráfico de l figur 8, cuál(es) de ls siguientes función(es) represent(n)? I) f() = [ + ] II) f() = [] III) f() = [] + fig. 8 A) A I solmente B) A I II solmente C) A I III solmente D) A II III solmente A I, II III El gráfico de l función f() = está representdo en A) B) C) - D) - -

14 . El vlor de l entrd un evento depende de l edd, como se indic en l siguiente tbl: Edd Vlor de entrd ños Grtis Mor de ños 6 ños $ 5 Entre 6 9 ños $. De 9 ños $.5 Entre 6 ños $. De 6 ños o más ños $ 5 Cuál de los siguientes gráficos represent l tbl? A) B) C)... Pesos.5. 5 Pesos.5. 5 Pesos ños ños ños D).. Pesos.5. 5 Pesos ños ños. Un función es simétric con respecto l eje OY (eje de ls ordends) o pr, si se cumple que f() = f(-), pr culquier del dominio. Cuál de ls siguientes funciones es pr? A) f() = B) f() = + + C) f() = D) f() = f() =

15 . En l siguiente sucesión de figurs cudrds, l zon churd corresponde de l nterior. Considerndo que el áre del cudrdo mor es, cuál es l función que represent el áre del cudrdo churdo en l n-ésim figur?... A) = B) = n C) = D) = = n n n n 5. El servicio de impuestos internos de un pís h estimdo que un person con ingresos de $. debe pgr $ 7.5 por concepto de impuestos, mientrs que otr, con un ingreso de $ 9. debe pgr $.5. Si ests vribles se relcionn de mner linel, cuánto se pgrá por tener ingresos de $.5.? A) $ 6.5 B) $ 58.5 C) $.85 D) $.5 $ L gráfic de l función f() = + + b se puede obtener si: () Se conoce el vlor de. () Se conoce el vlor de b. A) () por sí sol B) () por sí sol C) Ambs junts, () () D) Cd un por sí sol () ó () Se requiere informción dicionl 5

16 7. L función pr clculr proimdmente el áre, en metros cudrdos, de l superficie corporl de un person está dd por S(p) = p, donde p es l ms de un person en kilogrmos un constnte. L superficie corporl de un person se puede clculr si: () = l person pes 65 kg. () L esttur de l person es,75 m. A) () por sí sol B) () por sí sol C) Ambs junts, () () D) Cd un por sí sol () ó () Se requiere informción dicionl 8. L inmobiliri Pizrro Pizrro tiene un gnnci G (en millones de pesos) que puede clculrse en función del tiempo t (en meses) medinte un función. Se puede determinr el tiempo que llev funcionndo l inmobiliri si: () L gnnci totl fue de millones. () L función es G(t) = t. A) () por sí sol B) () por sí sol C) Ambs junts, () () D) Cd un por sí sol () ó () Se requiere informción dicionl 9. Se definen f() = g() = - +. Si g() = b, se puede determinr el vlor numérico de f(b) si: () Se conoce. () Se conoce b. A) () por sí sol B) () por sí sol C) Ambs junts, () () D) Cd un por sí sol () ó () Se requiere informción dicionl 6

17 . El gráfico de l figur 9, corresponde un función linel. Se puede determinr l función de l form f() = m + n si: () Se conoce el áre del ΔAOB. () Se conoce el vlor de B A. B fig. 9 A) () por sí sol B) () por sí sol C) Ambs junts, () () D) Cd un por sí sol () ó () Se requiere informción dicionl O A RESPUESTAS Ejemplos Págs. E D D E B E B D 5 C D 6 D D CLAVES PÁG. 7. D. A. D. B. C. B. B. E. A. D. B. C 5. D 5. C 5. D 6. A 6. B 6. C 7. E 7. E 7. A 8. C 8. C 8. C 9. D 9. C 9. D. B. C. C DOMA Puedes complementr los contenidos de est guí visitndo nuestr web 7