Repaso General: La Mecánica

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1 DEPARTAMENTO DE EDUCACIÓN ESCUELA ESPECIALIZADA EN CIENCIAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSITY GARDENS SAN JUAN I FACULTAD DE CIENCIA Repaso General: La Mecánica I. Conceptos que se evaluarán en el examen: a. Mecánica b. Dinámica c. Cinética d. Idealización de una partícula e. Trayectoria (Dimensiones) f. Marco de referencia g. Desplazamiento h. Distancia i. Cantidades escalares y vectoriales j. Rapidez k. Velocidad promedio l. Velocidad constante e instantánea m. Aceleración promedio n. Aceleración constante e instantánea o. Análisis gráfico p. Ejercicios de práctica Física General Page 1

2 II. Fórmulas generales que se utilizarán: 1. Desplazamiento = x = x x = Posición final Posición inicial 2. Distancia = 3. Rapidez (S) o Rapidez promedio( )= 4. Velocidad promedio ( ) = Siendo este símbolo se llama delta, el cual significa cambio. Por otra parte, x representa la posición de un objeto. Esto se lee de la siguiente manera: cambio en posición. 5. Aceleración promedio ( )= 6. Velocidad Instantánea (v)= ( ) ( ) 7. Aceleración Constante (a) = o + t = o + t o + 2 = o + 0 t t2 2 = v ²+2 0 Física General Page 2

3 III. Conceptos Generales A. Qué es la Mecánica? Es el estudio de los movimientos de los objetos y los conceptos de fuerza y energía. B. La mecánica se subdivide en tres ramificaciones: Cinemática Mecánica Dinámica Estática En este capítulo se estudió lo qué es la cinemática de un objeto, pero siempre se debe tener en cuenta la diferencia entre los tres conceptos. Qué es cinemática? Estudia las diferentes clases de movimientos de los cuerpos sin atender las causas que lo producen. Nos permite conocer y predecir en qué lugar se encontrará un cuerpo, qué velocidad o aceleración tendrá al cabo de cierto tiempo, o bien, en qué lapso llegará a su destino. Ejemplo: Observen la lámina Física General Page 3

4 Lámina #1 Se puede ver, que solamente inferimos la trayectoria del objeto, pero en realidad no pensamos en cuáles son las fuerzas que se ejercen para que el objeto se mueva. Qué es la dinámica? Estudia las fuerzas y las causas que provocan que los objetos se muevan. Ejemplo: Observen la lámina #2 Lamina #2 Qué es la estática? Estudia la ausencia de movimiento, los cuerpos que están equilibrio F 0 Física General Page 4

5 C. Cuando estudiamos un movimiento de un objeto, debemos pensar en la idealización de una partícula... Se debe comprende cómo es que parte los físicos para estudiar la Mecánica. Lo primero que ellos hacen, es asumir que los objetos no poseen un tamaño o una forma particular. Teniendo una idealización que todo objeto se mueve y se comporta como una partícula. Siendo las partículas de forma esférica. Al disminuir éstas partículas hasta su centro de gravedad, se obtendrá un punto. Lo cual nos ayudará a estudiar los movimientos en una forma matemática más simple. Así mismo, solamente las partículas pueden experimentar movimientos de traslación. Nota: El movimiento que hemos estudiado es el de traslación, el cual es uno lineal y no se mueve en rotación D. Posición o Marco de Referencia La posición en Física de un objeto o de un punto es el marco de referencia con respecto al lugar en donde estén. Para medir la posición, distancia o desplazamiento se debe tomar en cuenta el marco de referencia. Hay distintos tipos de marcos de referencia, como por ejemplo: en matemática se utiliza el plano cartesiano y en la geografía se utilizan los mapas (donde están las latitudes, coordenadas, longitudes), entre otros. Cuando hablamos del movimiento de trayectoria utilizamos el plano cartesiano, tomando en cuenta una dimensión (una variable, la cual puede ser el eje de x) o las dos dimensiones (dos variables, las cuales pueden ser el eje de x y y). Física General Page 5

6 E. Cuántos tipos de movimientos existen? Hay varios tipos de movimiento que pueden ser en: una dimensión, dos dimensiones hasta tres dimensiones. Dentro de éstos movimientos el que estamos estudiando es el de traslación (de una dimensión, vean la figura 1). El cual se desplaza en el eje de x, o en el eje de y (vean figura 2). Más adelante, se estará estudiando el movimiento en dos y tres dimensiones (vean figura 3). Figura 1 (Una dimensión) Figura 2 (Una dimensión) Figura 3 (Tres dimensiones) Física General Page 6

7 F. Desplazamiento vs. Distancia Desplazamiento (m) Distancia (m) Se define como el cambio en posición de un objeto. Sin tomar en cuenta el tiempo y su unidad estándar es metro (m). Ejemplo: La distancia es la suma del recorrido total de un objeto. Vea el siguiente ejemplo: La distancia es la trayectoria completa que tomó el objeto de moverse de un lado a otro. El jugador se desplaza hacia el oeste. Desplazamiento= = 2 1 =Posición final Posición inicial Distancia = Nota: La distancia no necesariamente sea igual al desplazamiento de un objeto y viceversa. Pero la distancia puede ser mayor o igual que el desplazamiento. Física General Page 7

8 G. Qué son las cantidades escalares y vectoriales? Son medidas que poseen solamente magnitudes. Ejemplo: Cuando hablamos de la cantidad de mililitros que hay en un matraz. También, cuando hablamos de temperaturas, solamente tenemos de ella la magnitud, la distancia, entre otros. Son medidas que poseen magnitud y dirección. Como por ejemplo: el desplazamiento, la velocidad, la aceleración, entre otros. Ejemplo: El carro se desplaza hacia el Este a 15 m/s IV. Rapidez Promedio Cuando hablamos de rapidez, nos referimos a qué tan lejos viaja un objeto en un intervalo de tiempo dado. En general, rapidez promedio Es la distancia total recorrida a lo largo de su trayectoria, dividida por el tiempo que le toma recorrer esta distancia. Física General Page 8

9 Rapidez Promedio t o t o t o Cuáles son las unidades de rapidez promedio? m V. Velocidad Promedio Es el desplazamiento de un objeto en un intervalo de tiempo. Velocidad promedio = Velocidad promedio= v = (Ésta es la forma matemática que se utiliza.) Ejemplo: Un jugador de football que empieza su recorrido en 50.0m, hasta 30.5m en un intervalo de 3.00s Cuál sería la velocidad promedio del jugador? v = = -6.50m/s Cuáles son las unidades de velocidad promedio? Física General Page 9

10 VI. Aceleración Promedio Cuando un objeto que cambia su velocidad, se le dice que acelero. La aceleración se define como el cambio en velocidad divido por el tiempo. Aceleración promedio= = (Ésta es la forma matemática que se utiliza.) Cuáles son las unidades de aceleración? VII. Velocidad Constante/ Instantánea La velocidad constante es aquella que el cambio en posición no fluctúa drásticamente, sino que sigue un patrón consecutivamente al igual que el tiempo. Si se fuera a calcular la velocidad en cualquiera de los puntos, obtendríamos que todas las velocidades darían igual. Así mismo, cuando queremos obtener la velocidad instantánea será la misma que la constante. Gráfica #1: Posición vs. Tiempo Física General Page 10

11 Tabla de Datos Pendiente de cada movimiento Qué ocurre cuando tenemos una gráfica promedio y queremos calcular la velocidad instantánea? Gráfica #2 Posición vs. Tiempo Lo primero es ubicar dos puntos de la gráfica donde el primero será el punto inicial y el otro el punto final. Este intervalo de tiempo entre esos puntos es muy grande, por lo tanto, vamos a unir esos dos puntos a tal forma que puedan estar tan cerca que tiendan a cero. Cuando entendemos este concepto, podemos calcular la velocidad instantánea utilizando la formula. Velocidad Instantánea (v)= ( ) ( ) Física General Page 11

12 Ejemplo dado en clase #1: La posición de una partícula que se mueve en el eje de x varía en el tiempo de acuerdo a esta expresión x(t)= 3t 2. Calcula la velocidad instantánea en términos de t en cualquier tiempo. Primer paso: Colocar la partícula en tiempo y espacio en el eje de x, sabiendo que la posición respecta al tiempo x(t). Segundo paso: Escribo la ecuación de la velocidad instantánea. Tercer paso: Sustituyo la expresión dada x(t)= 3t 2 en la ecuación de velocidad instantánea x(t) Posición inicial x(t + t) Posición final Eje de x (t=seg.) Velocidad Instantánea (v)= ( ) ( ) m + m m m ( ) Física General Page 12

13 + Evaluamos el límite v Ejemplo dado en clase #2: Una partícula se mueve a lo largo del eje de x y la coordenada de x varía con el tiempo de acuerdo a la expresión x = -4t + 2t 2 donde x es en metro y t en segundo. Determina el desplazamiento de la partícula en los intervalos de tiempo t 0 = 0s y t 1 = 1s; t 1 = 1s y t 2 =3s. Luego calcula las velocidades promedios y la velocidad instantánea cuando t = 2.5s. Primer paso: Colocar la partícula en tiempo y espacio en el eje de x, sabiendo que la posición respecta al tiempo x(t). Hacer un diagrama con los dos intervalos de tiempos dados. x(t 0 ) x(t 1 ) x(t 2 ) A B C x(0s) x(1s) x(3s) Desplazamientos: d 1 d 2 Física General Page 13

14 Segundo paso: Escribo la ecuación de desplazamiento x = x x. Pero al darnos la x = -4t + 2t 2. Sustituimos los intervalos de tiempo en ésta ecuación, para calcular cada desplazamiento. d 1 (A-B) = [-4(1) + 2(1) 2 ] [-4(0) + 2(0) 2 ] = = -2m d 2 (B-C) = [-4(3) + 2(3) 2 ] [-4(1) + 2(1) 2 ] = = 8m Tercer paso: Al tener los desplazamiento, se puede calcular las velocidades promedios de que cada una. Sustituimos cada desplazamiento en la ecuación de velocidad promedio. Velocidad promedio ( ) = = = -2m/s = = 4m/s Física General Page 14

15 Cuarto Paso: Podemos calcular la velocidad instantánea teniendo en cuenta la ecuación de desplazamiento x = -4t + 2t 2. Realizamos la primera derivada y luego sustituimos el tiempo dado que fue t = 2.5s. v x = ( -4t + 2t 2 ) v x = t Al tener la primera derivada, sustituimos t = 2.5s v x = (2.5s) v x = 6m/s VIII. Aceleración constante La aceleración promedio y la aceleración instantánea son iguales. En este caso se presentarán situaciones prácticas donde se debe utilizar varias ecuaciones que se deducen de las antes dadas (la ecuaciones de velocidad promedio y aceleración promedio). Para realizar los ejercicios debemos de tomar en cuenta que el tiempo inicial es cero ( 0) Las ecuaciones de aceleración constante son alrededor de 4, las cuales se tienen que derivar. v = = v = = = o + t = o + t Física General Page 15

16 v v o + v 2 Ecuación dada = o + t o + 2 = o + o 2 t = o + t Física General Page 16

17 = o + o o t 2 t = o + 0 t t2 v= v + t 0 = o + o 2 t = o + o = v ²+2 0 = o + 2 ² 2 Física General Page 17

18 En resumen, las cuatro ecuaciones de aceleración constante, son: = o + t o + 2 = o + 0 t t2 2 = v ²+2 0 Ejemplo #1: La aceleración de un avión está dada como constante (a= 2.00m/s 2 ), partiendo el mismo del reposo y recorre una distancia de 150m. Determina su velocidad. Datos dados: v i = 0 m/s x f = 150m x i =0 m/s a = 2.00m/s 2 v =? Primer paso: Observamos detalladamente lo datos que nos dan, y el que nos piden. Segundo paso: Pensamos en las ecuaciones de aceleración constante: Física General Page 18

19 x = x + v + Observamos que en esta ecuación, no podemos buscar la velocidad final y con los datos que nos dan lo que podemos calcular aquí es el tiempo. Por lo tanto, la descartamos. v = v ²+ (x x ) Con esta ecuación, si podemos obtener la velocidad final y tenemos todos los datos para sustituir. Es la que vamos a utilizar. v Para esta ecuación no tenemos velocidad final y no nos piden eso. Por lo tanto, la descartamos. v= v + Con esta ecuación sí podemos obtener la velocidad final, pero no tenemos todos los datos necesarios para realizarlo. Por lo tanto la descartamos. Tercer paso: Escogemos la ecuación y resolvemos. v = 0²+ ( 00m ) ( 0m 0m) v = 00m ( 0m) v v = v 00m 00m m Ejemplo #2 (Dado en clase) Un automóvil acelera desde 13m/s hasta 25m/s en 6.0s. Cuál fue su aceleración? Qué tan lejos viajó en este tiempo? Suponiendo que la aceleración es constante. Datos dados: v i = 13m/s v f =25 m/s t= 6.0s a =? x=? Física General Page 19

20 Primer paso: Observamos detalladamente lo datos que nos dan, y el que nos piden. Segundo paso: Pensamos en las ecuaciones de aceleración constante: x = x + v + Observamos que en esta ecuación, la podemos utilizar para calcular la distancia que recorrió el automóvil. Pero, tenemos dos incógnitas: la aceleración y la distancia. Por lo tanto, con los datos dados puede obtener la aceleración y obtener así la distancia(x). Pueden utilizarla. v = v ²+ (x x ) Observamos que en esta ecuación, la podemos utilizar para calcular la distancia que recorrió el automóvil. Pero, tenemos dos incógnitas: la aceleración y la distancia. Por lo tanto, con los datos dados puede obtener la aceleración y obtener así la distancia(x). Pueden utilizarla, pero es más complejo los cálculos. v En este caso, tenemos los datos necesario para obtener la velocidad promedio, pero la premisa no lo pide. v= v + Con esta ecuación sí podemos obtener la aceleración, para luego al tenerla podemos calcular la distancia. Tercer paso: Escogemos las ecuaciones y resolvemos. Primero buscamos la aceleración y luego sustituimos para calcular distancia. Primero, calculamos aceleración: v v + m = m + ( 0 ) m - m ( 0 ) m ( 0 ) Física General Page 20

21 m 0 ( 0 ) 0 m 0m Segundo, calculamos x: x = x + v + m m x = 0m + m ( 0 ) + ( 0m )( 00 ) x = m + ( 0m ) ( ) x = x = m + m m IX. Análisis gráfico Las gráficas son representaciones pictóricas de pares ordenados de puntos. En cinemática se refiere a la representación de la relación de tiempo y espacio del movimiento de los objetos. Esta representación se hace en un plano cartesiano. El movimiento de una partícula se conoce por completo si su posición en el espacio se conoce en todo momento. Las gráficas presentan la relación entre los datos de la posición, velocidad y aceleración del objeto. Debes observar muy bien los ejes, las variables y las unidades utilizadas en las gráficas que analizarás. Posición vs. Tiempo Velocidad vs. Tiempo Aceleración vs. Tiempo x (m) v(m/s) a(m/s 2 ) Es nula (cero) t(s) t(s) t(s) Física General Page 21

22 En este análisis observamos que en la gráfica posición vs. tiempo esta ascendiendo de forma continua, por lo tanto al calcular la pendiente (que es la velocidad) en cualquier punto de la gráfica, obtenemos que es la misma. Lo que nos explica la pendiente es que la velocidad es constante y al graficar la misma obtenemos una recta horizontal (como nos indica la gráfica de velocidad vs. tiempo). Con toda ésta información podemos saber que la aceleración es cero, porque no hay cambio en velocidad. Posición vs. Tiempo Velocidad vs. Tiempo Aceleración vs. Tiempo x (m) v(m/s) a(m/s 2 ) t(s) t(s) t(s) En este análisis observamos que en la gráfica posición vs. tiempo está ascendiendo de forma abrupta (no de forma continua). Por lo tanto, al calcular la pendiente (que es la velocidad) en cualquier punto de la gráfica, obtenemos que ésta va ir aumentando de forma proporcional. La pendiente que es la velocidad va ascendiendo de forma proporcional y al graficar la misma obtenemos una recta ascendiente (como lo observamos en la gráfica de velocidad vs. tiempo). Así mismo, al calcula la pendiente de la gráfica de velocidad vs. tiempo en cualquier punto, obtenemos que será la misma en cualquiera punto que escojamos. Con toda ésta información podemos saber que la aceleración es una constante (como lo muestra la gráfica de aceleración vs. tiempo). Física General Page 22

23 Posición vs. Tiempo Velocidad vs. Tiempo Aceleración vs. Tiempo x (m) v(m/s) a(m/s 2 ) t(s) t(s) t(s) En este análisis observamos que en la gráfica posición vs. tiempo está disminuyendo de forma abrupta (no de forma continua). Por lo tanto, al calcular la pendiente (que es la velocidad) en cualquier punto de la gráfica, obtenemos que ésta va ir descendiendo de forma proporcional. La pendiente que es la velocidad va descendiendo de forma proporcional y al graficar la misma obtenemos una recta descendiente (como nos indica la gráfica de velocidad vs. tiempo). Así mismo, al calcula la pendiente de la gráfica de velocidad vs. tiempo en cualquier punto, obtenemos que será la misma en cualquiera punto que escojamos. Con toda ésta información podemos saber que la aceleración es una constante (como lo muestra la gráfica de aceleración vs. tiempo). Velocidad vs. Tiempo Aceleración vs. Tiempo v(m/s) a(m/s 2 ) t(s) t(s) En este análisis gráfico observamos que la gráfica de velocidad vs. tiempo está aumentando de forma abrupta, y al calcular la pendiente obtenemos que ésta va aumentando de forma proporcional. Por lo tanto, al graficar esto, obtenemos una recta ascendiendo de forma proporcional (como lo observamos en la gráfica aceleración vs. tiempo). Física General Page 23

24 Velocidad vs. Tiempo Aceleración vs. Tiempo v(m/s) a(m/s 2 ) t(s) t(s) En este análisis gráfico observamos que la gráfica de velocidad vs. tiempo está disminuyendo de forma abrupta, y al calcular la pendiente obtenemos que ésta va a disminuir de forma proporcional. Por lo tanto, al graficar esto, obtenemos una recta descendiente de forma proporcional (como lo observamos en la gráfica aceleración vs. tiempo). X. Ejercicios de prácticas Contesta cada ejercicio de forma completa (con los procedimientos). 1. La posición de una partícula que se mueve en el eje de x varía en el tiempo de acuerdo a esta expresión x(t)= 8t 2. Calcula la velocidad instantánea en términos de t en cualquier tiempo. Respuesta: 16t 2. Un automóvil acelera desde 13m/s hasta 25m/s en 6.0s. Cuál fue su aceleración? Qué tan lejos viajó en este tiempo? Suponiendo que la aceleración es constante. Respuesta: 114m Física General Page 24

25 3. Al llegar a detenerse, un automóvil deja marcas de derrape de 92m de largo sobre una autopista. Si se supone una desaceleración de 7.00m/s², estime la velocidad del automóvil antes de frenar. Respuesta: 36m/s 4. Calcula la distancia recorrida en 30 minutos, si la velocidad promedio de un auto es de 45km/hr. Respuesta: 22.5km 5. En t = 1.0 s, una partícula que se mueve con velocidad constante se localiza en x = 3.0 m y en t = 6.0 s la partícula se localiza en x = 5.0 m. a. Con está información grafique la posición en función del tiempo. b. Determine la velocidad de la partícula a partir de la pendiente de esta gráfica. Repuesta: -0.4 m/s (La gráfica la tienen que hacer) 6. Un cuerpo que inicialmente parte del reposo aumenta uniformemente su velocidad hasta llegar alcanzar en 12s una velocidad de 20km/hr. Calcula su aceleración en m/s 2. Física General Page 25

26 Respuesta: 0.47m/s 2 7. Un automóvil aumenta su velocidad uniformemente (con aceleración constante) de 12km/hr hasta 72km/hr. Calcula su velocidad promedio en m/s. Respuesta: 12m/s 8. Grafique un movimiento que va aumentando proporcionalmente de un ciclista, teniendo en cuenta las variables de posición vs. tiempo. Luego grafique ese mismo movimiento, pero con las variables velocidad vs. tiempo. Qué diferencias hay? Si tuviéramos que calcular los movimientos, obtendríamos las mismas respuestas en cada grafica? Por qué? Física General Page 26