ANALISIS DE FRECUENCIA EN HIDROLOGIA

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1 ANALISIS DE FRECUENCIA EN HIDROLOGIA Luis F. Carvajal Julián D. Rojo Universidad Nacional de Colombia Facultad de Minas Escuela de Geociencias y Medio Ambiente

2 Introducción 1. Los eventos hidrológicos no son gobernados por leyes físicas, sino por leyes del AZAR. Son fenómenos ERRATICOS, COMPLEJOS y de NATURALEZA ALEATORIA.. El conocimiento de la Hidrología es básico para el diseño en la ingeniería definición de condiciones críticas. 3. La definición del comportamiento hidrológico requiere: Análisis probabilísticos y estadísticos basados en registros históricos. 4. Hidrología trata con VARIABLES ALEATORIAS.

3 Variables VARIABLE ALEATORIA v.a: Variable cuyo comportamiento no puede predecirse con certidumbre. v.a Discreta: Solo puede tomar valores específicos. La ley de probabilidades asocia medidas de probabilidad a cada posible ocurrencia de la v.a. v.a Continua: Si puede tomar todos los valores en un rango de ocurrencia. La ley de probabilidades asocia medidas de probabilidad a rangos de ocurrencia de la v.a.

4 Estaciones de medición

5 Datos diarios

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9 La información histórica de una variable hidrológica representa una MUESTRA de la POBLACIÓN. Datos=muestra Población 1. ANÁLISIS PROBABILÍSTICO: Análisis de POSIBLES Leyes de Probabilidad que describan comportamiento de la población.. ANÁLISIS ESTADÍSTICO: Se hacen inferencias sobre la variable Población usando la MUESTRA

10 Problema importante Interpretación de registros históricos INFERIR la Ley de Probabilidades de la Variable hidrológica de interés: ANALISIS DE FRECUENCIA

11 Tipos de análisis DESCRIPTIVO: Este se realiza sin ninguna referencia a su POBLACIÓN. Se calculan propiedades estadísticas aplicación métodos estadísticos. Poca decisión y poco RIESGO. INFERENCIA: Se analiza la muestra para inferir las propiedades de la población, lo cual ayuda a derivar características probabilísticas. Implica mucho RIESGO.

12 Estadística en Hidrología 1. Interpretación de observaciones. Análisis de la calidad de la información 3. Inferencia sobre el comportamiento de la variable 4. Etracción del máimo de información de los registros 5. Información en gráficas tablas, ecuaciones para toma de decisiones en el planeamiento en R.H.

13 Eventos etremos Río Carraipía, Enero a Septiembre Río Carraipía, Octubre a Noviembre Video: creciente

14 Conceptos de Probabilidad 1. Métodos estadísticos: Basados en principios matemáticos que describen la variación aleatoria de un conjunto de observaciones de un proceso. Importan los datos en sí mas que el proceso físico que los produjo.. Una variable aleatoria X está descrita por una distribución de probabilidad. La distribución especifica la probabilidad de que una observación de la variable, esté en un rango especificado de X. 3. Si una muestra de n observaciones tiene n valores en el rango del evento A, entonces la frecuencia relativa de i es: ni/n

15 Aiomas Probabilidad de ocurrencia de un evento PX m n 1. Aiomas: 0 Pi 1 Probabilidad de un evento cierto X 1 y X independiente y mutuamente ecluyentes Eventos independientes: Si la probabilidad de ocurrencia de uno no se ve afectada por la ocurrencia del otro. Eventos mutuamente ecluyentes: Cuando la ocurrencia de uno imposibilita la ocurrencia del otro. i1 P i PX1 X PX1 PX 1

16 Principios de la Probabilidad. Probabilidad Total Espacio muestral dividido en m eventos, A 1, A,, A m, entonces: A1 P A... P Am 1 Teorema de la Probabilidad Total P E1 E E3 E4 A PA = PA/E1+ PA/E+PA/E3+ PA/E i

17 3. Complementariedad Si es el complemento de, entonces: 4. Probabilidad Condicional Si y son independientes: / B P A B P A A A A 1 A P A P / A P B A P A B P B P A P B A P B A

18 Funciones de Probabilidad y Frecuencia Histograma de frecuencia Función de frecuencia relativa f s Estimado de: i P n n La probabilidad de que la v.a. caiga en el intervalo: i i X i, i i

19 Función de frecuencia acumulada Estimado de F i s i s j j1 P X i Probabilidad acumulada de i f n Función de frecuencia relativa FFR: cuando fdp Función de frecuencia acumulada FFA: cuando 0 fda f lim n 0 fs

20 También 1 i i i i i F F X P P u f F X P lim 0 f f s n d df f

21 FFR, FFA y fdp son adimensionales. df f d rango 0,. Tiene dimensiones de 1 y varia sobre el df f d f representa la derivada o concentración de probabilidad en el intervalo., d

22 Distribución Normal Variable normal estandarizada 1 e f z z u z du e z f z e f 1 1

23 USOS DE LA NORMAL Aproimar la distribución de probabilidades de errores aleatorios. Comparar distribuciones: las propiedades de una muestra de variables no normales pueden compararse con las de variables normales. Muchos estadísticos pueden ser normalmente distribuidos, como, por ejemplo, la media de la mayoría de las variables hidrológicas.

24 DISTRIBUCIÓN NORMAL FDP : f X σ Parámetros: Media y desviación estandar. La asimetria = 0. Media = Moda = Mediana 1 π e μ σ μ μ /σ F u f u u = u = 1 π 1 π - e e u - - w dμ La variable u es llamada variable estandarizada media cero y desviación estándar uno

25

26 USOS DE LA TABLA

27 USOS TABLA

28 Estimación de Parámetros El método de los momentos fue desarrollado en 190 por Karl Pearson. El consideró que un buen estimativo de los parámetros de una distribución de probabilidades es aquél para el cual los momentos de la función de densidad de probabilidades son iguales a los momentos correspondientes de la muestra.

29 Estimación de parámetros Usos de la estadística: Etraer la información esencial de una muestra de datos, para determinar las características y el comportamiento de la población. Las características estadísticas básicas se calculan como el valor esperado E de alguna función de una v.a. Valor esperado de una función g de una v.a. se define como: g E g u f u du Donde: f u: Función de distribución de probabilidades fdp de la variable.

30 Parámetros Estadísticos Media, : Valor esperado de la variable. Es el primer momento con respecto al origen. Es una medida de la tendencia central de la distribución. E= = - fd Estimación muestral: 1 n n i1 i Varianza, : Mide la variabilidad de los datos, dispersión de los mismos alrededor de la media. Es el segundo momento con respecto a la media. E[ -μ ] = σ = - -μ fd Estimación muestral:

31 Desviación estandar, : Es una medida de la variabilidad con las mismas dimensiones de. Es la raíz cuadrada de la varianza. E[ -μ ] 1/ = = - -μ fd 1/ Estimación muestral: S = 1 n -1 n i=1 i 1/

32 Características principales Asimetría: La distribución de los valores de una distribución alrededor de la media. Tercer momento alrededor de la media. E[ -μ 3 ] = - -μ fd La asimetría se hace adimensional dividiendo la anterior ecuación por 3, se obtiene el coeficiente de asimetría. 3

33 Coeficiente de variacíon, CV: Esta definido por la relación de la desviación estandar y la media. Medida ademensional de la variabilidad. CV = σ μ Estimación muestral: CV S Coeficiente de asimetría, : n 3 n 3 E - 3 i i1 = Estimación muestral: e 3 s = 3 n 1 n S

34 Usos de la distribución normal Aproimar la distribución de probabilidades de errores aleatorios. Comparar distribuciones: las propiedades de una muestra de variables no normales pueden compararse con las de variables normales. Muchos estadísticos pueden ser normalmente distribuidos, como, por ejemplo, la media de la mayoría de las variables hidrológicas.

35 Función de distribución de probabilidad f 1 e

36 Parámetros Media Desviación estandar Asimetría = 0 Media = Moda = Mediana z f f z z 1 e 1 z e u du z La variable z es llamada variable estandarizada media cero y desviación estándar uno.

37 Tabla de distribución: Normal tipificada N0,1

38 Usos de la tabla

39 Estimación de parámetros ˆ 1 N N i 1 i ˆ 1 N i N 1 1/ ˆ

40 Ejemplo: Distribución Normal Los caudales medios anuales de un río con media 1.5 m 3 /s y desviación estándar de 0.6 m 3 /s se distribuyen normalmente. Cuál es la probabilidad de que se produzca un caudal medio igual o menor a 1 m 3 /s, en cualquier año? 1 ˆ P X 1 P P P 0.83 ˆ 0.6 P -0.83=1-P 0.83 = = 0.03

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