5 MECÁNICA ESTADÍSTICA CUÁNTICA DE GASES IDEALES

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Eva María Farías Franco
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1 ma 5 MCÁICA SADÍSICA CUÁICA D GASS IDALS stadística d rmi-dirac y stadística d Bos-isti. l límit clásico. Gas idal d rmi: lctros mtals. Gas idal d Bos: fotos y 4H líquido. Codsació d Bos-isti. [RI-9; HUA-8; HIL-; KUB-4; CAL-8]

2 stadísticas cuáticas. Itroducció a las stadísticas cuáticas. Partículas distiguibls idistiguibls. stadísticas d Bos-isti y d rmi-dirac. Gas idal d rmi: lctros mtals. Gas idal d Bos: l hlio. Codsació d Bos-isti. Gas d fotos.

3 Itroducció a las stadísticas cuáticas. Partículas distiguibls idistiguibls.

4 Itroducció a las stadísticas cuáticas. Partículas distiguibls idistiguibls. Hmos tratado partículas clásicas: (gas idal diluido) º stados accsibls >> º d partículas (muy difícil qu coicida los mismos os cuáticos) l fcto d qu las partículas sa distiguibls o idistiguibls s sólo stadístico:! : º d prmutacios d moléculas idistiguibls. Pro a altas dsidads o baas tmpraturas sí pud ocurrir qu varias partículas tga los mismos os cuáticos y habrá qu hacr cosidracios cuáticas sobr los stados prmitidos. Cuática: propidads d las fucios d oda d las partículas y d los stados los qu stá 4

5 Itroducció a las stadísticas cuáticas. Sistma: partículas {} idistiguibls stá u stado co fució d oda: Como so idistiguibls al itrcambiarlas: Ψ() Ψ( ) Ψ() s dcir al cambiarlas como mucho cambia l sigo d la fució d oda: Ψ( ) ± Ψ( ) stado simétrico: stado atisimétrico: Ψ( ) + Ψ() Ψ( ) Ψ() 5

6 Itroducció a las stadísticas cuáticas. Sistma: partículas {} stados posibls {ab}. l sistma pud star los stados : Por tato la fució d oda dl sistma srá: Ψ Ψ S A C C S A [ φa () φb () + φa () φb () ] [ φ () φ () φ () φ () ] a b a Ψ() φ () φ () a Ψ() φ () φ () Si a y b so l mismo stado: φ a φ b ΨA ΨS (Pricipio d xclusió d Pauli) b a b b Partículas co fució d oda atisimétrica: spi smitro frmios stadística d rmi-dirac Partículas co fució d oda simétrica: spi tro bosos stadística d Bos-isti 6

7 Itroducció a las stadísticas cuáticas. mplo: Sistma d partículas ivls d rgía ε co... úmro d stados accsibls para 8ε : clásicas frmios bosos p p p Clásicas (d) rmios (i) Bosos (i) 8ε 6-8ε 5 6 8ε 4 6 8ε - º d stados: 6 4 Ω Clas Idist. Ω D! Ω B Ω D! Ω 6 4 > >! 7

8 8 Itroducció a las stadísticas cuáticas. Ω i i i Z β β stados ivls dgració D B Ω Ω Ω! Cuado l º d stados accsibls sa muy grad las stadísticas cuáticas tid a la clásica (idistiguibl) D B Ω Ω Ω! D B Z Z Z!

9 Obtció d las fucios trmodiámicas. Sistma d u compot partículas idistiguibls si itracció. Método: úmro d stados y colctivo microcaóico Para y dados: Ω B Ω D : º d formas distitas d dividir tr las partículas si límit al º d partículas por ivl : º d formas distitas d dividir tr las partículas pro sólo ua partícula por ivl Ω B Ω D st tratamito s complicado para y grads y las rstriccios atriors (usar multiplicadors idtrmiados) Usamos l colctivo macrocaóico ( y dados) y s vita las rstriccios d y costats. Cosidramos como subsistma a u stado cuático uto co las partículas qu lo ocupa. studiarmos la ocupació d cada ivl y d ahí obtdrmos las fucios trmodiámicas. ( ) ( ) (d u ivl d ) quivalt a lo qu hicimos l gas idal co l colctivo caóico: Z total Z molécula! 9

10 stadísticas d Bos-isti y d rmi-dirac.

11 stadísticas d Bos-isti y d rmi-dirac: Obtció d las fucios trmodiámicas. Sistma d u compot partículas idistiguibls si itracció. Método: úmro d stados y colctivo microcaóico Para y dados: Ω B Ω D : º d formas distitas d dividir tr las partículas si límit al º d partículas por ivl : º d formas distitas d dividir tr las partículas pro sólo ua partícula por ivl Ω B Ω D st tratamito s complicado para y grads y las rstriccios atriors (usar multiplicadors idtrmiados) Usamos l colctivo macrocaóico ( y dados) y s vita las rstriccios d y costats. Cosidramos como subsistma a u stado cuático uto co las partículas qu lo ocupa. studiarmos la ocupació d cada ivl y d ahí obtdrmos las fucios trmodiámicas. quivalt a lo qu hicimos l gas idal co l colctivo caóico: ( ) ( ) (d u ivl d ) Z total Zmolécula!

12 stadísticas d Bos-isti y d rmi-dirac Usamos colctivo macrocaóico Cosidramos como subsistma a u stado cuático uto co las partículas qu lo ocupa. studiarmos la ocupació d cada ivl y d ahí obtdrmos las fucios trmodiámicas. ( ) ( ) ( ) (d u ivl d ) ( ) / / quivalt a lo qu hicimos l gas idal co l colctivo caóico: Z total Z molécula! -D para cada ivl d rgía la ocupació sólo pud sr o. + ( ) / / / B- o hay límit a la ocupació d cada ivl d rgía. / / / sta sri covrg si: / <

13 stadística d rmi-dirac ) ( ) ( / / / ) ( + úmro mdio d partículas l sistma: l l l / ) ( / / + +

14 4 stadística d Bos-isti ) ( ) ( úmro mdio d partículas l sistma: l l l / ) ( / / / / /

15 Ocupació d los ivls d rgía: rmi-dirac Bos-isti Clásica(Boltzma) D clásica B D ( ) / B ( ) / Cl ( ) / + ( ) / 5

16 Ocupació d los ivls d rgía: rmi-dirac D ( ) / fiitos: + Dsidad cro / fiito ct : > < Dsidad ifiita A todas las partículas lla todos los stados hasta fució d ( ) / Límit clásico: ( ) / ( ) / Z Distribució d Boltzma Z / Z / P 6

17 Ocupació d los ivls d rgía: Bos-isti B ( ) / / / / sta sri covrg si: / < < / < : : si > Si hacmos ( ) / / / ( ) Pro pud sr todo lo grad qu haga falta A todas las partículas stá l stado fudamtal. Límit clásico: / / / odos los so muy pquños: hay muchos más stados qu partículas como la stadística d Boltzma. 7

18 Obtció d las fucios trmodiámicas ( ) / ± + D - B l l ( ) / ( ) / ± ± cuació d stado: S l S p + k l l ± l ( ) ( ) / ± [ l ( ) l( )] k ± 8

19 Gas idal d rmi: lctros mtals. 9

20 Gas idal d rmi: lctros mtals Gas d lctros ua caa: L y z R R x x L L + y + z ( m) R (m) π π 4 π L / ( ) R (m) 8 6 Γ π π º d stados co rgía mor qu / Dsidad d stados: d Γ( ) ω ( ) d d d (m) 4π / / d d Si grad ivls muy utos cotiuo d Dsidad d stados: dsidad d stados ocupació d cada stados m ω( ε ) dε 4π h / ε / dε / / m ε 4π ( ε )/ h dε +

21 Gas idal d rmi: lctros mtals Codicios para límit clásico: Usamos dl gas idal: Potcial químico y rgía libr d Gibbs: G + G p l Z l Z k mπ k l h / k mπ k l h / k p / / m h π xp l π h P m / Λ << Λ <<

22 Límit clásico: / << Λ << Pro... masa - << masa molécula: a K 5 o val lo cásico!! Límit clásico d lctros sólo si > 5 K!!! A.A. los lctros ya stá l límit d baa tmpratura!!!! (ya stá l límit ) A todas las partículas lla los stados co <. h Λ πm / m m / 8π 4π d ε ε h h / º d lctros º d stados cuáticos co < ivl d rmi: / h (varios ) 8m π

23 A todas la rgía s ciética: ε i i i 5 d P 5 ) ( ε ε ω ε Prsió: tropía: A S Si >: / h π π π d C S k C π

24 Gas idal d Bos: l hlio. Codsació d Bos-isti. 4

25 Gas idal d Bos: l hlio. masa H >> masa lctró : lo fctos cuáticos o stá a.a. sólo a baa La codició para comportamito clásico s: Λ h << Λ π m k / Para l hlio líquido (4.K): Λ /.5 por tato habrá fctos cuáticos. La dgració sólo srá pquña si hay baa dsidad o alta tmpratura. ratamos l límit d dgració débil: (usamos colctivo macrocaóico) / / mπ k k l k l h Λ Λ << Λ << 5

26 Gas idal d Bos: l hlio. Λ h << Λ π m k / Λ << cuació d stado: p l ± π k / m / / l ( ± )d h + D - B Para pquño dsarrollado l l itgrado térmio a térmio: Gas idal clásico mooatómico: p p Λ ( ) Λ : ucios trmodiámicas: (límit d dgració débil) p C k Λ ± 5 / Λ ± Λ 7 / / C k Λ 7 / 5 / So sris : Λ l Λ ± +... / S 5 Λ l Λ ± / k +... Λ / 6

27 7 Gas idal d Bos: l hlio. Ahora studiamos l límit d alta dgració: grad / ) ( º d moléculas l stado fudamtal:. d h m d / / ) ( π ω + / / / π d h m º total d moléculas : / Dtro d la itgral multiplicamos umrador y domiador por Dsarrollamos sri ( ) / Itgramos térmito a térmio α α π α h k m ) ( / / Rima d ζ σ ζ α α σ σ σ σ σ σ σ σ ) ( () ) ( ) (

28 Gas idal d Bos: l hlio. Otra forma d hacrlo: Supomos dsidad costat: α α ct ( α ) α ( ) ( ) ( para α > y < ) sta situació l º d moléculas l stado fudamtal s dsprcibl frt a alta: α << α grad ( α) dl caso atrior + baa: α dismuuy hasta su límit α a ua ( ) 8

29 9 ( ) + ) / ( / / ) ( ) ( d m g d D f ε ε ε π ε ε ε / fugacidad: ( ) + / / / d m g ε ε ε π < < < Cosrvació dl úmro d bosos: ( ) ( ) g k m g B Λ ) ( ) ( / / / / π π... ) ( / / r r r dod: GAS D BOS:

30 l límit clásico: << Λ << os qudamos co l primr térmio dl dsarrollo sri y g s dcir Λ ( g ) Λ Aálogamt: U co: / π B 5/ B 5/ g ( π ) m 4 g Λ 5/ ( k ) ( ) k ( ) U r 5 / ( ) / r 4 9 r Comparado las dos xprsios: U k B 5/ / ( ) ( )

31 U k B 5/ / ( ) ( ) ξ

32 / ( ) 5/ () / () () 5/ d d ξ ( ) / ( 5/ / ().6 5 / (). 4 5 / ' () / () ).6 / ' ()

33 { } g / ( ) pro co: ). 6 Λ ( / Λ... y si >.6??? g Λ * Cuado / ( ). 6 g y por tato Codsació d Bos-isti cuado B : Λ ( g ).6 k B B π m.6 ( g ) /

34 B : + / + ( g ) Λ / () B / U k B 5 / (.5) / () () k B B / C v.9kb B / 4

35 5

36 6

37 Gas d fotos. 7

38 Gas idal d Bos: fotos Radiació lctromagética quilibrio térmico. Sistma aislado rgía. La frcucia pud variar o stá fio. otó: spi B polarizacios dgració. o ti masa. Sistma dfiido por y (o por ) Dsidad d stados: p / m p h / hν / c 8π p dp ω ( ε ) dε G( ν ) dν h rmodiámica: quilibrio 8π ν dν c hν S max rspcto d co y cts. (y G) mi rspcto d co P (y ) ct y ct. S 8

39 p 8π c ν hν / 8π c dν ν l ( hν / ) 8π h c dν ν hν / dν fució d distribució d rgía dl curpo gro Plack 9 8π h c ν hν / dν 48π h c h 4 4 π 9 Ly d stfa-boltzma 4. rgía total d la radiació C p / fc d 6π. hc.7 p /.9 p sólo. tropía: + p S S + p 4 S S( ) 9

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