SISTEMAS DE ECUACIONES. Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, x 1, x 2,, x n es un conjunto de m igualdades de la forma:

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1 TEMA Sistemas de ecuaciones SISTEMAS DE ECUACIONES. DEFINICIÓN SISTEMAS DE ECUACIONES Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas,,,, n es un conjunto de m igualdades de la forma: a a an n b a a a n n b Donde a ij, b i a a a b m m mn n m a ij son los coeficientes b i los términos independientes. CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Resolver un sistema, es encontrar todas sus soluciones. Según el número de soluciones, los sistemas de ecuaciones lineales se pueden clasificar así: determinados compatibles No homogéneos indeterminados Sistemas incompatibles determinados Homogéneos compatibles indeterminados SISTEMAS EQUIVALENTES Se dice que dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones. Las siguientes transformaciones nos permiten obtener sistemas equivalentes: a) Si en un sistema se multiplica una ecuación por un número no nulo, resulta un sistema equivalente al primero. b) Si en un sistema se intercambian ecuaciones se obtiene un sistema equivalente al anterior. c) Si en un sistema de ecuaciones se suprime o añade una ecuación que sea combinación lineal de las demás, se obtiene un sistema equivalente al dado. Dados los vectores: u, u,..., un formado del siguiente modo u, u,..., u vectores EJEMPLO: n de un espacio vectorial V r, r... r n. Al vector v v r u r u r u... n n se le llama combinación lineal de estos Si u = (,-,), v = (,,). El vector w = (9,-,6) es combinación lineal de w u v pág. u v a que: ISBN DEPÓSITO LEGAL CS-6997

2 TEMA Sistemas de ecuaciones d) Si a una ecuación se le añade una combinación lineal de las otras, se obtiene un sistema equivalente. EJEMPLO: Resuelve por reducción el sistema: (-) 9 8 a) = -/ = / ªec+ªec d) Si al sistema anterior le añadimos o suprimimos una ecuación que es suma de las otras dos (C.L. de ellas) el sistema es equivalente 9 Son equivalentes 9 RESOLUCIÓN DE SISTEMAS POR EL METODO DE GAUSS EJEMPLO () z z () z -()+() 7 6z () z ()+() z z + = z z 6z 7 () z z z ( ) 6z 7 () + () 6 6, 9 z z ; 6 6 Sistema compatible determinado. Como cada ecuación representa un plano en el espacio, estos tres planos se cortarán en un punto. Otra forma de colocarlo: Matriz asociada a un sistema de ecuaciones pág. ISBN DEPÓSITO LEGAL CS-6997

3 z z z z 6 6 = - 6 = - z - = -z = 9 z = +6-6= = Cuando la matriz asociada al sistema adopta esta forma: representa números cualesquiera representa números distintos de cero TEMA Sistemas de ecuaciones Ha tantas ecuaciones válidas como incógnitas De forma escalonada vamos obteniendo un valor numérico para cada incógnita. Sistema Compatible Determinado S.C.D. Solución única EJEMPLO z z z z z =+ z Solución (,, ) Sistema Compatible Indeterminado S.C.I soluciones Cuando la matriz asociada al sistema adopta esta forma pág. 6 ISBN DEPÓSITO LEGAL CS-6997

4 TEMA Sistemas de ecuaciones Ha menos ecuaciones válidas que incógnitas. Las incógnitas que están de más toman valores arbitrarios ( ) El sistema tiene infinitas soluciones S COMPATIBLE INDETERMINADO Interpretación geométrica: Los tres planos se cortan en una recta EJEMPLO z z z z 7 z 9 6 no ha solución. 6 Sistema incompatible. Interpretación geométrica: Los planos se cortan dos a dos Cuando la matriz asociada al sistema adopta esta forma: Esto significa que ha una ecuación: u =K; K, siendo K Es una igualdad imposible. El sistema no tiene solución SISTEMA INCOMPATIBLE RANGO DE UNA MATRIZ. DEFINICIÓN Las filas columnas de una matriz pueden considerarse como vectores, de ahí que: pág. 7 ISBN DEPÓSITO LEGAL CS-6997

5 TEMA Sistemas de ecuaciones Rango fila de una matriz es el maor número de filas linealmente independientes. Rango columna de una matriz es el maor número de columnas linealmente independientes. El rango fila rango columna de una matriz coincide, esto permite trabajar con las filas o con las columnas indistintamente a la hora de hallar el rango de una matriz.. PROPIEDADES a) Si en una matriz A, se intercambian entre sí dos filas ( columnas) se obtiene otra matriz A ( distinta del anterior) pero rango (A) = rango (A ). b) Si a una matriz A se suprime una fila (columna) que es combinación lineal de otras se obtiene una matriz A tal que rango (A) = rango (A ). c) Si a una fila (columna) de una matriz A se le añade una combinación lineal de otras varias se obtiene una matriz A tal que rango (A) = rango (A ). d) Si a una matriz A se suprime una fila (columna) que esta formada toda por ceros se obtiene una matriz A tal que rango (A) = rango (A ). e) Si reducimos la matriz A a la forma escalonada A aplicando las transformaciones anteriores, el rango de A es el número de filas distintas de cero. EJEMPLO Hallar el rango de A. A = rango (A)= Ejercicios: Complementarios nº,, 6, 6. FORMA MATRICIAL DE UN SISTEMA DE ECUACIONES Dado un conjunto de vectores, no nulos, u, u,..., u n se dice que es un conjunto libre o los vectores son linealmente independientes cuando ningún vector del conjunto es combinación lineal de los demás. Dado un conjunto de vectores, no nulos u, u,..., u n, se dice que es un conjunto ligado pág. 8 o los vectores son linealmente dependientes cuando alguno de ellos es combinación lineal de los demás. EjerciciosComplementaros nº ISBN DEPÓSITO LEGAL CS-6997

6 TEMA Sistemas de ecuaciones El siguiente sistema de ecuaciones: a a... an n b a a... a n n b es equivalente a la siguiente ecuación... a m a m... a mn n bm a a... an a a... a n a m a m... a mn n b b.. b o simplemente A X=B donde A=(a ij ), X= ( i ) B= (b i ) m A la matriz A se le llama matriz de coeficientes del sistema a la matriz (A/B) a a... an b a a... a b (A/B)= n se la llama matriz ampliada (es la matriz A a a m a m... a mn bm la que se añade la columna de los términos independientes). 7. RESOLUCIÓN DE SISTEMAS POR MEDIO DE LA INVERSA El sistema () de la pregunta anterior podría resolverse de la siguiente forma: ) Epresándolo matricialmente a a... an a a... a n a m a m... a mn n b b.. b o simplemente A.X = B ) Calculando A - ) Multiplicando la epresión A.X = B por A - se obtiene: A - (A.X) = A -.B I.X = A -.B X = A -.B m Ejercicios: Selectividad nº, 8,,, pág. 9 ISBN DEPÓSITO LEGAL CS-6997

7 TEMA Sistemas de ecuaciones 8. TEOREMA DE ROUCHÉ - FRÖBENIUS. a a... ann b Sea el sistema: () a a... ann b... a m a m... a mnn bm a a... an a a... a b sea: a a... a n a a... anb (A) (A / B) a a... a a a... a b m m mn n m m mn m La condición necesaria suficiente para que el sistema () tenga solución es que rango(a) = rango(a/b) a) Si rango (A) = rango (A/B) = n (n es el número de incógnitas) el sistema es compatible determinado. b) Si rango (A) = rango (A/B) = p < n. Es un sistema Compatible Indeterminado, de grado de indeterminación n-p (Las soluciones estarán en función de n p parámetros. RESUMIENDO: Rango (A)= rango (A / B) COMPATIBLE rango(a) rango(a / B) n Determinado rango(a) rango(a / B) n Indeterminado Rango ( A ) rango ( A / B ) INCOMPATIBLE. Ejercicios: Selectividad nº. 6 Complementarios nº (por det o por Gauss) 9.- REGLA DE CRAMER. Sirve para obtener la solución de un sistema de ecuaciones lineales. 9. EN SISTEMAS COMPATIBLES Y DETERMINADOS Tenemos un sistema de ecuaciones con incógnitas. pág. ISBN DEPÓSITO LEGAL CS-6997

8 TEMA Sistemas de ecuaciones a a a b a a a b Puesto que A Ran (A)==Ran(A/B) el sistema a a a b es compatible determinado. Si llamamos: A al resultado de sustituir en A la columna de los coeficientes de por la de los términos independientes. A al resultado de sustituir en A la columna de los coeficientes de por la de los términos independientes. A z al resultado de sustituir en A la columna de los coeficientes de z por la de los términos independientes Su solución es: A A A A z Esta regla se puede generalizar a los sistemas de n ecuaciones con n incógnitas. Ejercicios: Selectividad nº (Resolver por Cramer por Gauss),,,, 8 Az A 9. EN SISTEMAS COMPATIBLES E INDETERMINADOS Consideramos un sistema de m ecuaciones n incógnitas Como A = Ran (A) = Ran (A/B)= p< n sobran m-p ecuaciones que se quitan (nos quedamos con aquellas que son independientes) n p incógnitas que se toman como parámetros se pasan a la columna de los términos independientes. EJERCICIOS: Selectividad: nº,, 7,,,6, 8, 9,,, 6, 9,,,,,,.- SISTEMAS HOMOGENEOS Un sistema de ecuaciones lineales, tal que todos sus términos independientes son nulos, se llama sistema homogéneo. a a... ann a a... ann S... a a... a m m mn n Todo sistema homogéneo cumple las propiedades: - tiene solución, pues se verifica para: = =...= n.= Esta es la solución trivial (,,...). - Para que tenga otras soluciones distintas de la trivial, es necesario suficiente que Ran (A)<número de incógnitas EJERCICIOS; Selectividad nº,7, 7, pág. ISBN DEPÓSITO LEGAL CS-6997

9 EJERCICIOS SELECTIVIDAD TEMA Sistemas de ecuaciones.- Pon tres ejemplos de sistemas de tres ecuaciones con dos incógnitas que sean respectivamente compatibles determinado, compatible indeterminado e incompatible. Interpreta geométricamente cada uno..- representa en la forma matricial AX=B el siguiente sistema de ecuaciones construe resuelve a continuación el sistema de ecuaciones representado por:.- Encuentra el conjunto de soluciones del sistema z 6 z z (99) z 7.- Resuelve el sistema: z, sólo en el caso en que el sistema tenga az infinitas soluciones. En ese caso, interpreta geométricamente el significado de cada ecuación del sistema. z.- Considera el sistema de ecuaciones: z. Determina: mz 7 a) el valor de m para que el sistema tenga soluciones. Para este valor de m calcula todas las soluciones del sistema. b) Los valores de m para los que el sistema carece de solución. ( Junio 996- Junio 999) z 6.- Resuelve el sistema z Supongamos que S es el conjunto de soluciones z obtenido, que: S es el conjunto de soluciones de ++z= S es el conjunto de soluciones de +z= S es el conjunto de soluciones de +z=. Razona cuales de las siguientes afirmaciones son ciertas o falsas: a) S S S b) S S (Sep 996) c) S S S d) S S S pág. ISBN DEPÓSITO LEGAL CS-6997

10 TEMA Sistemas de ecuaciones 7.-Estudiar, según los valores del parámetro, el sistema de ecuaciones lineales z. Resolverlo en los casos en que sea compatible. (Junio 997) z 8.- Resuelve los sistemas de ecuaciones:. Encuentra la relación entre las soluciones obtenidas la matriz inversa de la matriz de los coeficientes.(junio 997) 9.- Resuelve los sistemas: encuentra la relación entre las soluciones anteriores las soluciones del sistema: a justificando la b relación obtenida bien por matrices o por otro método. (Sep 997).- Estudiar, según los valores del parámetro, del sistema de ecuaciones lineales: z z No es necesario resolver el sistema para ningún valor de. z.-resolver el sistema formado por las tres ecuaciones: ++z=; =; - ++z= justificar si tiene o no las mismas soluciones que el sistema: ++z=; =..- Obtén la inversa de la matriz de los coeficientes de las incógnitas del sistema: utiliza esta matriz para resolver el sistema. Si la matriz cuadrada A verifica que A +7A=I, encontrar razonadamente la inversa A -.- Indica el valor de a para que el sistema de ecuaciones lineales: z z tenga soluciones distintas de (,,), en este caso halla todas az las soluciones del sistema, interpretando el resultado obtenido como una intersección de planos. (Sep 998) pág. ISBN DEPÓSITO LEGAL CS-6997

11 TEMA Sistemas de ecuaciones.- Representa matricialmente los sistemas:. Calcula las soluciones mira si eiste alguna relación entre las soluciones obtenidas la inversa de la matriz. Justifica la relación obtenida. (Sep 999).- calcula el valor de para que admita infinitas soluciones el sistema: z z. Obtén todas las soluciones e interpreta geométricamente el z resultado obtenido, recordando que cada ecuación del sistema representa un plano. (Sep 999) 6.- Averigua para que valores de tiene una única solución el sistema: z z obtener razonadamente para que valores de el sistema tiene z infinitas soluciones. Dar el significado geométrico de que el sistema tenga infinitas soluciones, recordando que cada una de las ecuaciones del sistema representa un plano. (Junio ) 7.- Calcular el valor de para el que tiene infinitas soluciones el sistema: z z. Obtener todas las soluciones correspondientes a ese valor de e interpretar geométricamente por qué el sistema tiene infinitas soluciones. (Sep ) z 8.- Obtener el función de λ las soluciones del sistema:. Eplica la z relación entre el conjunto de soluciones obtenidas la intersección de los planos: : = - : - +z= (Sep ) 9.- Dado el sistema de ecuaciones lineales z z z del parámetro, se pide: i) Determinar para que valores de el sistema es compatible determinado, compatible indeterminado e incompatible. (, puntos) ii) Obtener el conjunto S de soluciones del sistema para el caso compatible indeterminado ( punto), dependiente pág. ISBN DEPÓSITO LEGAL CS-6997

12 TEMA Sistemas de ecuaciones iii) Obtener el vector de S ortogonal (perpendicular) al vector (,,). ( punt) (Sep ) z.- Dado el sistema de ecuaciones lineales z, dependiente del parámetro z, se pide: a) Determinar para que valores de el sistema es: compatible determinado, compatible indeterminado e incompatible. (, puntos) b) Obtener las soluciones en los casos compatible determinado compatible indeterminado. ( puntos) (Junio ) z.- Dado el sistema de ecuaciones lineales z con parámetro real, z 6 se pide: a) Determinar razonadamente para qué valores de λ es compatible determinado, compatible indeterminado e incompatible. (. puntos) b) Hallar el conjunto de soluciones del sistema para el caso compatible determinado. ( punto) c) Hallar el conjunto de soluciones del sistema para el caso compatible indeterminado. ( punto) (Junio ).- Calculeu tots els valors reals,,z,t per als quals es verifica AX=XA,on X = i A=. Set Sol: z t / /.- El sistema de ecuaciones lineales depende del parámetro real a. Discutir para qué valores de a es incompatible, compatible determinado compatible indeterminado ( puntos), resuélvelo en los casos compatibles (, puntos) a a z a az a (Junio ) a a z a z.- Dado el sistema de ecuaciones con incógnitas,, z 6 z, se pide: 7z a) Determinar razonadamente el valor de α para el cual el sistema es compatible (, p) b) Para ese valor obtenido en a) de α, calcular el conjunto de soluciones del sistema. (,p) c) Eplicar la posición relativa de los tres planos definidos por cada una de las tres ecuaciones del sistema, en función de los valores de α. (,8 p) Junio 6 pág. ISBN DEPÓSITO LEGAL CS-6997

13 TEMA Sistemas de ecuaciones a z 9.- Dado el sistema de ecuaciones lineales z 9, se pide: a z 9 a) Probar que siempre es compatible, obteniendo los valores de a para los que es indeterminado ( puntos) b) Resolver el sistema anterior para a=7. (, puntos) Junio 7 6 z 6.- Dado el sistema de ecuaciones lineales 6z, se pide: z a) Justificar que para cualquier valor del parámetro real, el sistema tiene solución única. ( punto) b) Hallar la solución del sistema en función del parámetro.(, puntos) c) Determinar el valor de para que la solución (,,z) del sistema satisfaga ++z= ( punto) Septiembre Dadas las matrices A= X=, se pide: a) Obtener razonadamente los valores de para los que es la única solución de la ecuación matricial AX= X. (, puntos) b) Resolver la ecuación matricial AX= X (,8 puntos) Septiembre 7 z 8.- Dado el sistema dependiente del parámetro real z, se pide: z a) Determinar, razonadamente, los valores de para los que el sistema es compatible determinado, compatible indeterminado e incompatible. (, puntos) b) Resolver el sistema cuando es compatible determinado. (, puntos) c) Obtener, razonadamente, la solución del sistema cuando = (,7 p) Junio 8 z a 9.- Dado el sistema de ecuaciones lineales z a, se pide: a z a) Probar que es compatible para todo valor de a. (, puntos) b) Obtener razonadamente el valor de a para el que el sistema es indeterminado. ( punto) c) resolver el sistema cuando a =, escribiendo los cálculos necesarios para ello. ( punto) Septiembre 8.- Dado el sistema de ecuaciones lineales pág. 6 ISBN DEPÓSITO LEGAL CS-6997

14 TEMA Sistemas de ecuaciones ( ) z ( )z, se pide, razonando las respuestas: ( ) z a) Justificar que para = el sistema es incompatible. (, puntos). b) Determinar los valores del parámetro para que el sistema sea compatible determinado. (, puntos). c) Resolver el sistema para los valores del parámetro para el cual es compatible indeterminado. (, puntos). Junio 9.- Dado el sistema de ecuaciones lineales, se pide: a) Deducir, razonadamente, para qué valores de α el sistema solo admite la solución (,, z) =(,, ) (, Puntos) b) Resolver, razonadamente, el sistema para el valor de α que lo hace indeterminado. (,8 Puntos) Septiembre 9.- Dado el sistema de ecuaciones que depende de los parámetros a, b c, se pide: a) Justificar razonadamente que para los valores de los parámetros a=, b=- c= es incompatible. ( puntos) b) Determinar razonadamente los valores de los parámetros a, b c, para los que se verifica (,, z) = (,, ) es solución del sistema. ( puntos) c) Justificar si la solución (,, z) = (,, ) del sistema del apartado b) es, o no, única. ( puntos) Junio.- Dado el sistema de ecuaciones lineales donde es un parámetro real, se pide: a) Deducir, razonadamente, para qué valores de es compatible determinado ( puntos). b) Deducir, razonadamente, para qué valores de es compatible indeterminado ( puntos). c) Resolver el sistema en todos los casos en que sea compatible indeterminado. ( puntos). Septiembre.- Sea el sistema de ecuaciones pág. 7 S: Donde m es un parámetro real. Obtener razonadamente: a) Todas las soluciones del sistema S cuando m=. ( puntos) b) Todos los valores de m para los que el sistema S tiene una solución única ( puntos) ISBN DEPÓSITO LEGAL CS-6997

15 c) El valor de m para el que el sistema S admite la solución (,,z)=(/, - /, ). ( puntos) Junio TEMA Sistemas de ecuaciones.- Se da el sistema de ecuaciones:, donde es un parámetro real. Obtener razonadamente: a) La solución del sistema S cuando =. ( puntos). b) Todas las soluciones del sistema S cuando = - (puntos). c) El valor de para el que el sistema S es incompatible. ( puntos). Jun 6.- Obtener razonadamente: a) Todas las soluciones de la ecuación =. ( puntos) b) El determinante de la matriz cuadrada B de dos filas, que tiene matriz inversa que verifica la ecuación B = B. ( puntos) c) El determinante de la matriz cuadrada A que tiene cuatro filas que verifica la ecuación: = Sabiendo además que el determinante de A es positivo. ( puntos). Jun pág. 8 ISBN DEPÓSITO LEGAL CS-6997

16 TEMA Sistemas de ecuaciones pág. 9 ISBN DEPÓSITO LEGAL CS-6997 EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS SISTEMAS DE ECUACIONES.- Calcula el rango de las siguientes matrices ) ) 8 ) ) d c b a Soluciones:,,,.- Estudia el rango de las siguientes matrices según el valor del parámetro a a a N a a M.- Comprueba si las siguientes vectores son L.D. o L.I. a) (,,,), (,-,,), (,,,), (,-,,-) b) (,,,), (,-,,), (,,,), (,,,) c) (,-,7), (,,), (,,) d) (,,), (,,), (,,).- Aplica el teorema de Rouché para averiguar si los siguientes sistemas son compatibles o incompatibles. Resuélvelos cuando sea posible: t z t z.- Estudia el rango de las siguientes matrices: B A

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