3. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

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1 Sistems de Ecuciones Hemients infomátics p el ingenieo en el estudio del lgeb linel SISEMAS DE ECUACIONES LINEALES 1 DEFINICIONES PREVIAS 2 EOREMA DE ROUCHÉ-FROBENIUS MÉODO DE RESOLUCIÓN DE GAUSS 4 MÉODO DE RESOLUCION DE CHOLESKY Mª Isbel Egui Ribeo Mª José González Gómez

2 Sistems de Ecuciones Hemients infomátics p el ingenieo en el estudio del lgeb linel 1 DEFINICIONES PREVIAS MARICES Se denomin sistem de m ecuciones lineles con n incógnits un conjunto de ecuciones definido po: 11x1 + 12x2 + 1x + LL + 1nx n = b1 21x1 + 22x2 + 2x + LL + 2nx n = b2 1x1 + 2x2 + x + LL + nx n = b 1 LLLLLLLLLLLLLLLLL m1x1 + m2x2 + mx + LL + mnx n = bm El sistem de ecuciones lineles nteio, tmbién se puede escibi en fom mticil como: L 1n x1 b L 2n x2 b2 1 2 L n x = b [ 2] L L L L L L L m1 m2 m mn x n b L n siendo ij ( 1 i m ) y ( 1 j n) L expesión [ ] y b i númeos eles conocidos 2 se llm fom mticil del sistem, en notción educid el sistem se expes po A A = ij es un mtiz de oden ( m n), se llm mtiz de coeficientes b1 b 2 b = b ó b = b1 b2 b bm L b m ( L ) Mª Isbel Egui Ribeo Mª José González Gómez [ ] es un vecto de tmño m que se denomin vecto de téminos independientes [ A / b] es un mtiz de oden m, ( n + 1) ecibe el nombe de mtiz umentd o mtiz mplid x1 x2 x = x ó x = ( x1 x2 x L xn ) es el vecto de incógnits L x n

3 Sistems de Ecuciones Hemients infomátics p el ingenieo en el estudio del lgeb linel Ls componentes de este vecto x son desconocids y se deben clcul en el cso de que existn, esolviendo el sistem Ddo un sistem de ecuciones lineles A se pesentn dos cuestiones 1 El sistem popuesto tiene solución? 2 Si tiene solución, cuánts tiene? Si tiene solución puede ocui que se únic o que se obteng un expesión en función de vios pámetos, en consecuenci infinits soluciones Ambos poblems se esuelven medinte l plicción diect del teoem de Rouchè-Fobenius Se el sistem A exte de él l mtiz umentd [ ] de m ecuciones lineles con n incógnits Se A / b fomd po ls n columns de l mtiz A y l únic column del vecto b Los sistems se pueden clsific de dos foms, bien tendiendo l ntulez del témino independiente b, o teniendo en cuent l existenci de soluciones Clsificción de los sistems - Si el vecto b 0 el sistem se denomin no homogéneo o heteogéneo - Si el vecto b = 0 el sistem se denomin homogéneo - Si el sistem A dmite solución se llm comptible - Si el sistem A no dmite solución se llm incomptible - Si el sistem A dmite solución únic se llm comptible y detemindo - Si el sistem A dmite más de un solución se llm comptible e indetemindo 2 EOREMA DE ROUCHÈ-FROBENIUS ) Si b 0, el sistem: A = ngo A / b = n(nº de incógnits) - iene solución únic ssi el ngo( ) ( ) - iene infinits soluciones ssi el ngo( A) = ngo ( A / b) = < n - No tiene soluciones ssi el ngo( A) < ngo ( A / b) b) Si b = 0, el sistem: - iene solución únic ssi el ngo ( A) = n L solución en este cso es x = ( x 1, x 2, x, KK, xn ) = 0 = ( 0,0,0, KK,0) denomind tivil o impopi - iene infinits soluciones ssi el ngo ( A) = < n, es deci, si el ngo de l mtiz A es infeio l númeo de incógnits Mª Isbel Egui Ribeo Mª José González Gómez

4 Sistems de Ecuciones Hemients infomátics p el ingenieo en el estudio del lgeb linel MÉODO DE RESOLUCIÓN DE GAUSS Se el sistem de m ecuciones lineles con n incógnits de l fom A y se conside l mtiz umentd [ A / b ], l que se plicn opeciones elementles po fils en l que existn ceos po encim y po debjo de l digonl pincipl Se denomin opeción elementl po línes (fils o columns) de un mtiz A, cd un de ls siguientes opeciones: 1 Sum un líne (fil o column) de A un múltiplo de ot líne (fil o column) 2 Multiplic un líne (fil o column) de A po un escl no nulo Intecmbi ente sí dos línes (fil o column) de A L esolución de un sistem po este método compot dos fses: l pime se llm fse de eliminción pogesiv y l segund fse de sustitución egesiv 1 Fse de eliminción pogesiv Se el sistem de m ecuciones lineles con n incógnits 11x1 + 12x 2 + KK + 1nx n = b1 21x1 + 22x 2 + KK + 2nx n = b2 1x1 + 2x2 + KK + nx n = b LLLLLLLLLLLLLL m1x1 + m2x 2 + KK + mnx n = bm [1] donde l mtiz umentd es [ A / b] L M b L M b L M b n n n = L L L L M L L L L L M L m1 m2 mn b L M m Se supone que 11 0, entonces se sum l segund ecución l pime /, l tece ecución l pime multiplicd po multiplicd po ( ) ( 1) / 11 ( ) / m ;, l m-ésim se le sum l pime ecución multiplicd po Mª Isbel Egui Ribeo Mª José González Gómez

5 Sistems de Ecuciones Hemients infomátics p el ingenieo en el estudio del lgeb linel Se obtiene un sistem del tipo: 11x1 + 12x2 + KK + 1nx n = b1 f22x2 + KK + f2nx n = c2 f2x2 + KK + nx n = c LLLLLLLLLLLLLL fm2x 2 + KK + mnx n = cm [2] Este poceso se vuelve plic l sistem nteio Se supone que f22 0 entonces se sum l tece ecución l segund f / f ; l cut l segund multiplicd po ecución multiplicd po ( 2 ) 22 ( f ) / f ;, l m-ésim se le sum l segund multiplicd po ( f ) / f m2 22 L plicción eited del método eductivo expuesto llev un de ests tes posibiliddes: CASO 1 Se obtiene un sistem del tipo: 11x1 + 12x2 + K+ 1nxn = b1 g22x2 + K+ f2nxn = c2 O M O M O M h x = d mn n m [ ] 2 Fse de sustitución egesiv A continución, en l fse de sustitución egesiv, se expone l fom de clcul los vloes de ls incógnits: x m, x m 1, KK, x 2, x1 0,g 0, KK, h 0 Entonces l últim ecución pemite el Sen nn cálculo de xn dm hmn m 1 ésim ecución, pemite clcul xn 1, posiguiendo ests sustituciones hci tás se lleg l pime ecución que pemite hll x 1 El sistem en este cso es COMPAIBLE y DEERMINADO Si lguno de los vloes: 11,g 22, K,hmn fuese nulo, puede sucede que l plic el lgoitmo y lleg l ecución que tiene el coeficiente nulo se obteng o un identidd o un contdicción En el cso de identidd el sistem que se obtiene seá COMPAIBLE e INDEERMINADO, y que l incógnit cuyo coeficiente se nul puede tom culquie x, x, K, x vlo ( ) = L sustitución de este vlo en l ( ) 1 2 n Mª Isbel Egui Ribeo Mª José González Gómez

6 Sistems de Ecuciones Hemients infomátics p el ingenieo en el estudio del lgeb linel En el cso de contdicción (un númeo igul oto que se distinto), el sistem es INCOMPAIBLE CASO 2 Puede ocui que en el sistem [ 1 ] soben lguns ecuciones Se obtiene un sistem que contiene l sistem del tipo ddo en[ ] l que se le plic lo expuesto en el cso 1ª, y demás tendí ots ecuciones Se debe compob que ls soluciones obtenids en [ ], veificn el esto de ecuciones CASO Si l plic el lgoitmo fltn ecuciones, se h obtenido un sistem del tipo en el que l últim ecución contiene vis incógnits (en lug de un sol) [ ] Entonces un culquie de ells se despej en función de ls estntes y se plic el método ddo en el cso 1º En este cso el sistem puede se COMPAIBLE INDEERMINADO o INCOMPAIBLE 4 MÉODO DE CHOLESKY Este método se us p esolve sistems de n ecuciones lineles con n incógnits Se distinguen dos csos, que l mtiz del sistem se o no simétic ) L mtiz A es cudd y simétic Se el sistem A ( 1) cuy mtiz A es cudd, simétic con todos los menoes ngules no nulos Los menoes citdos se obtienen como deteminntes fomdos con k fils y k columns de l mtiz A, p k vindo desde 1 hst n, siendo n = númeo de fils y columns de l mtiz A siendo Se demuest que = ( t ij ), mtiz tingul supeio tl que se cumple: l mtiz tspuest de A = ( ) ( ) x = y 2 A ( ) y = b L mtiz no es únic Puede gntizse l unicidd si se impone un condición dicionl Resolve el sistem Ax = b equivle esolve los sistems ( 2 ) y ( ) Pimeo el sistem ( 2 ) y después el sistem ( ) Ls mtices ( ) ( ) y supeio espectivmente 2 y son tingul infeio Mª Isbel Egui Ribeo Mª José González Gómez

7 Sistems de Ecuciones Hemients infomátics p el ingenieo en el estudio del lgeb linel b) L mtiz A es cudd, no simétic con menoes ngules no nulos Existen un mtiz tingul infeio B = ( b ij ) y ot tingul supeio C = ( c ij ) con 1 de elementos en l digonl pincipl que cumplen: Entonces A = B C Cx = y ( 2) A ( 1) ( B C) By = b ( ) P esolve el sistem A ( 1) en mbos csos I y II se siguen ls dos etps siguientes que se denominn método de Cholesky - L mtiz A es cudd con menoes ngules no nulos (1) Si A es simétic se tiene un mtiz tingul supeio / A = (1b) Si A no es simétic, se obtienen dos mtices: un tingul infeio B = ( b ij ) y ot tingul supeio con elementos 1 en l digonl pincipl / A = B C P conseguilo bst con eliz l multiplicción B C e igul sus coeficientes los de l mtiz A y esolve el sistem que esulte - Resolve el sistem ( 2 ) : y = b o el By = b En mbos csos se obtiene un vecto de soluciones denomindo Y 0 - Se esuelve el sistem: x = Y0 o el Cx = Y0, siendo Y0 el vecto obtenido en el ptdo nteio L solución obtenid en culquie de los sistems nteioes es válid p el sistem inicil A L descomposición dd en el pso 1 de este método se puede sustitui po el poducto ente un mtiz tingul infeio y ot supeio Es el cso de l fctoizción LU Mª Isbel Egui Ribeo Mª José González Gómez