Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas es un conjunto de m igualdades del tipo:......

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas es un conjunto de m igualdades del tipo:......"

Transcripción

1 1. Sistemas de m ecuacioes lieales co icógitas U sistema de m ecuacioes lieales co icógitas es u cojuto de m igualdades del tipo: a11x 1 a1 x... a1 x b1 a1x1 ax... ax b (1)... am1x1 amx... amx bm Los úmeros a11, a1,..., a m so, geeralmete, coocidos y se llama coeficietes. Los úmeros b1, b,..., b m so tambié coocidos y se llama térmios idepedietes. Los úmeros x1, x,..., x so descoocidos y se llama icógitas. Mietras o digamos otra cosa supodremos que todos los úmeros ateriores so reales. Obsérvese además que todas la ecuacioes lieales so de primer grado. 9x1 4x x3 x4 5 Por ejemplo, x1 x3 8x4 0, es u sistema de 3 ecuacioes lieales co 4 icógitas. 6x x3 E el resto del tema cuado hablemos de sistemas os referiremos a sistemas de m ecuacioes lieales co icógitas.. Clasificació de los sistemas lieales Dado u sistema de ecuacioes lieales, se llama solució de dicho sistema a u cojuto de úmeros: 1,,..., tales que al sustituir e las igualdades x 1 por 1, x por,, x por, dichas igualdades se cumple efectivamete. Puede ocurrir que u sistema tega úica solució, que o tega igua o que tega ifiitas. Por ejemplo: x1x 7 El sistema tiee ua úica solució, que es x1 3, x (compruébalo). x1 5x 4 x13x 5 El sistema o tiee igua solució (iteta resolverlo y verás como llegas a u absurdo o x1 6x 6 cotradicció). 4x13x 5 El sistema tiee ifiitas solucioes, tales como x1, x 1, x1 5, x 5, 8x16 x 10 x1 1, x 3, etcétera. Todas las solucioes de este sistema puede obteerse dado a todos los valores reales posibles e la expresió x1 3, x 1 4 la cual se llama solució geeral del sistema. Segú el úmero de sus solucioes los sistemas se clasifica e compatibles (si tiee algua solució) e icompatibles (si o tiee igua solució). A su vez los sistemas compatibles se clasifica e determiados (si tiee solució úica) e idetermiados (si tiee ifiitas solucioes). Por otro lado, dos sistemas de ecuacioes lieales se dice equivaletes cuado tiee las mismas solucioes. 3. Matriz de los coeficietes y matriz ampliada Dado u sistema de m ecuacioes co icógitas como el de expresió (1) llamaremos matriz de los coeficietes A y matriz ampliada A ', respectivamete, a las matrices siguietes: a11 a1... a1 a11 a1... a1 b1 a1 a... a A a1 a... a b A' am1 am... am am1 am... am bm 1

2 4. Regla de Cramer a11x 1 a1 x... a1 x b1 a1x1 ax... ax b Dado u sistema de ecuacioes lieales co icógitas, si el determiate de... a1x1 ax... ax b a a... a la matriz de los coeficietes, y su solució es: A a a... a 1... a a... a 1, es distito de cero, el sistema es compatible determiado, b a... a a b... a a a... b b a... a a b... a a a... b b a... a a 1 b... a a 1 a... x 1 ; x ;... ; x A A A Por ejemplo, el sistema de tres ecuacioes co tres icógitas porque 1 3 A Su solució es: b x y 3z 1 3x y 7z 0, es compatible determiado 5x 4y z x ; y 3 ; z Observa que la regla de Cramer permite el cálculo de cualquier icógita si ecesidad de calcular previamete las demás. 5. Teorema de Rouché-Frobeius a11x 1 a1 x... a1 x b1 a1x1 ax... ax b Sea u sistema de m ecuacioes lieales co icógitas y sea tambié... am1x1 amx... amx bm a11 a1... a1 a11 a1... a1 b1 a1 a... a A a1 a... a b y A' la matriz de los coeficietes y la matriz ampliada, am1 am... am am1 am... am bm respectivamete, asociadas al sistema. Llamemos r al rago de la matriz A. Etoces: 1) Si rago de A rago de A ', el sistema es icompatible. ) Si rago de A rago de A ', el sistema es compatible. Además a) Si rago de A rago de A ' y r, el sistema es compatible determiado (solució úica). b) Si rago de A rago de A ' y r, el sistema es compatible idetermiado (ifiitas solucioes). E este caso se puede expresar r icógitas e fució de las r restates. Al úmero r se le llama grado de libertad del sistema.

3 5.1. Alguos ejemplos secillos de aplicació del Teorema de Rouché-Frobeius Dado el sistema 3 5 A' orde de A distito de cero: x3y 5 x y, la matriz de los coeficietes es 3x y 6 3 A y la matriz ampliada es. Es fácil ver que r( A) ( r( A ) es, simbólicamete, rago de A) pues hay u meor de Además ra ( ') 3 pues Etoces r( A) r( A') y, por el teorema de Rouché-Frobeius, el sistema es icompatible. 3x y 5z t E el sistema x y z t 3 x y 3z t Como teemos que A y A' , r r( A) r( A') 3 4, del teorema de Rouché-Frobeius se deduce que el sistema es compatible idetermiado (ifiitas solucioes). Como su grado de libertad es r 43 1, etoces tres de las icógitas se expresará e fució de ua restate. Como el meor distito de cero que hemos escogido para calcular el rago está formado por las tres primeras columas, tomaremos como icógita libre la última, que pasaremos al segudo miembro, y aplicaremos la regla de Cramer. Es decir si 3x y 5z llamamos t, el sistema se puede escribir así: x y z 3, cuyas solucioes so: x y 3z x 1 ; y 10 3 ; z x y z x y z Por último, e el sistema, teemos que A y A'. E x y z x y 5z este caso ra ( ) 3 pues y ra ( ') 3 ya que 0 (compruébalo) Así, r( A) r( A') 3, co lo que el sistema es compatible determiado (solució úica). Para resolverlo podemos elimiar la última ecuació pues, por ser ra ( ') 3, depederá liealmete de las demás. Utilizado la regla de Cramer las solucioes so: x 3 1, y 7 1, z 3 4 (compruébalo tambié). 3

4 6. Sistemas lieales homogéeos Decimos que u sistema de ecuacioes lieales es homogéeo cuado todos los térmios idepedietes so ulos. U sistema homogéeo siempre tiee al meos ua solució, x1 x x3... x 0, que llamaremos solució trivial. U teorema importate sobre sistemas lieales homogéeos es el siguiete: Cosideremos u sistema homogéeo de m ecuacioes co icógitas, y sea r el rago de la matriz de los coeficietes. Etoces: Si r el sistema es compatible determiado y, cosecuetemete, la úica solució es la trivial. Si r el sistema es compatible idetermiado y tiee ifiitas solucioes, además de la trivial. x y z t 0 Por ejemplo, el sistema homogéeo x 3y z 8t 0 tiee ifiitas solucioes distitas de la trivial pues x 7y z 1t 0 el rago r de la matriz de los coeficietes cumplirá r 3 y como 4, os ecotramos e el segudo de los casos ateriores ( r ). x y 4z 0 x y z 0 Si embargo, e el sistema homogéeo, el rago de la matriz de los coeficietes x y z 0 5x 3y z A vale 3 pues hay u meor de orde 3 distito de cero: , y como 3, se tiee que r, co lo que el sistema sólo tiee la solució trivial. U caso particular del teorema aterior se da cuado el sistema homogéeo tiee el mismo úmero de ecuacioes que de icógitas: U sistema homogéeo de ecuacioes co icógitas tiee solucioes o triviales si y sólo si el determiate de la matriz de los coeficietes es ulo. x y z Por ejemplo, el sistema x y z 0 tiee úicamete la solució trivial ya que x y z U caso todavía más particular es el de los sistemas homogéeos de tres ecuacioes co tres icógitas: a11x a1 y a13 z 0 a1x a y a3z 0. Supogamos que r( A), es decir, que el determiate de la matriz de los coeficietes a31x a3 y a33z 0 a11 a1 es ulo y que, ordeadas coveietemete las ecuacioes si fuera ecesario, 0. Etoces es fácil a a 1 demostrar que la solució geeral del sistema viee dada por la proporcioalidad siguiete: x y z a1 a13 a11 a13 a11 a1 a a a a a a x y 4z Para verlo vamos a resolver el sistema x 5y z 0. Se tiee que y que x 13y 5z x y z x y z Etoces. Igualado a : x 19, y 6, z

5 7. Discusió de sistemas de ecuacioes lieales Es corriete que, dado u sistema de ecuacioes lieales, alguo o alguos de los coeficietes o de los térmios idepedietes sea descoocidos y depeda de uo o más parámetros. Discutir u sistema de ecuacioes depediete de uo o más parámetros es idetificar para qué valores de los parámetros el sistema es compatible, distiguiedo los casos e que es determiado o idetermiado. Es posible discutir sistemas de ecuacioes lieales utilizado el método de Gauss. Veamos cómo hacerlo co la ayuda de los determiates. Lo mejor es hacer u ejemplo. x y z 1 Clasificar, e fució del parámetro m, el sistema de ecuacioes x3y 1. Resuélvelo, si es x y mz m 3 posible, para m 7. (PAEG UCLM Septiembre 001. Propuesta B. Ejercicio úmero 3) La matriz de los coeficietes es A 3 0, cuyo determiate es A 3 0 m 7. Como el 1 m 1 m meor , el rago de A es al meos. Además, si A 0, es decir si m 7, teemos que 3 r( A) r( A') 3 (úmero de icógitas), y el sistema será compatible determiado (solució úica). Si embargo, si A 0, es decir si m 7, se tiee que r( A). E este caso la matriz ampliada es A' 3 0 1, cuyo rago tambié es ya que todos los meores de orde 3 so ulos (compruébalo) Resumiedo, si m 7, r( A) r( A') 3, co lo que el sistema es compatible idetermiado (ifiitas solucioes). El grado de libertad del sistema es 1. Por tato dos de las icógitas depede de ua tercera. Podemos elimiar la tercera fila y, como hemos escogido el meor de orde dos distito de cero procedete de las dos primeras columas, llamaremos z y la pasaremos al segudo miembro, co lo que el sistema queda de la forma: x y 1 x 3y 1 Por la regla de Cramer: x y Dos observacioes de importacia: tipos de parámetros Para cada valor del parámetro m distito de 7, o es que haya ifiitas solucioes, sio que cada uo de ellos da lugar a u sistema distito. Es decir, para cada m distito de 7, hay ifiitos sistemas, cada uo de ellos co solució úica. E el caso m 7, observa que las solucioes depede de u parámetro:. Esto quiere decir que solamete hay u sistema y que este sistema tiee ifiitas solucioes, ua para cada valor que le queramos dar a. E el caso de los sistemas compatibles idetermiados esto siempre es así: las solucioes depede de u parámetro si el grado de libertad es 1, de dos parámetros si el grado de libertad es, etcétera. Ta importate es saber extraer las ifiitas solucioes de u sistema compatible idetermiado y expresarlas e fució de parámetros como, dadas las solucioes de u sistema compatible idetermiado, saber escribir el sistema del que procede. Esto se cooce co el ombre de elimiació de parámetros, cuestió que abordaremos a cotiuació como último puto de este tema. 5

6 8. Elimació de parámetros Ya hemos cometado que cuado u sistema de ecuacioes lieales es idetermiado, su solució geeral viee expresada e fució de ua o varias letras llamadas parámetros. Cuado dichos parámetros va tomado valores reales, se va obteiedo la solucioes del sistema. Recíprocamete, si teemos la solució geeral del sistema, el proceso cosistete e obteer el sistema cuya solució es la dada se llama elimiació de parámetros. Para realizar la elimiació de parámetros, se aplica a la solució geeral dada el método de Gauss, cosiderado los parámetros como icógitas. Las ecuacioes que queda al fial, e las cuales o figura los parámetros, so las ecuacioes buscadas. Veamos u par de ejemplos: x 3 y 1 Elimiar los parámetros y e el sistema z t 4 3 x y 1 Escribamos el sistema así: z 4 t Aplicado el método de Gauss cosiderado como icógitas y teemos: 3 x 3 x 3 f f 1 x 3y 5 x 3y 5 3 f3 f1 7 x 3z 4 f3 7 f 0 9x 1y 6z 7 3 f4 4 f 1 7 4x 3t 8 f4 7 f 0 15x 1y 6t 51 Las dos últimas ecuacioes, e las que o figura y, so las del sistema buscado. Simplificado la 3x 7y z 9 primera por 3 queda fialmete: 15 x 1y 6t 51 Cualquier otro sistema equivalete a éste tambié es solució del problema. x 4 Elimiar el parámetro e el sistema y 5 3 z 1 5 x 4 Escribamos el sistema así: 3 y 5 5 z 1 Aplicado el método de Gauss cosiderado como icógita : x 4 f 3 f1 0 3x y f35 f 1 0 5x z 3xy Por lo tato la solució es, o cualquier otro sistema equivalete. 5x z 6

Sistemas de Ecuaciones Lineales. M. en I. Gerardo Avilés Rosas

Sistemas de Ecuaciones Lineales. M. en I. Gerardo Avilés Rosas Sistemas de Ecuacioes Lieales M. e I. Gerardo Avilés Rosas Octubre de 206 Tema 5 Sistemas de Ecuacioes Lieales Objetivo: El alumo formulará, como modelo matemático de problemas, sistemas de ecuacioes lieales

Más detalles

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. SISTEMS DE ECUCIONES LINELES. SISTEMS DE ECUCIONES LINELES. U sistema de ecuacioes lieales es u cojuto de m ecuacioes co icógitas de la forma: a x + a2 x2 + a3 x3 + + a x b a2 x + a22 x2 + a23 x3 + + a2

Más detalles

DISCUSIÓN Y RESOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES. TEOREMA DE ROUCHE. REGLA DE CRAMER. MÉTODO DE GAUSS-JORDAN

DISCUSIÓN Y RESOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES. TEOREMA DE ROUCHE. REGLA DE CRAMER. MÉTODO DE GAUSS-JORDAN DISCUSIÓN Y RESOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES. TEOREMA DE ROUCHE. REGLA DE CRAMER. MÉTODO DE GAUSS-JORDAN Ídice. INTRODUCCIÓN2 2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES2 Defiicioes básicas.2 Iterpretació vectorial3

Más detalles

CRIPTOGRAFIA BASICA Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

CRIPTOGRAFIA BASICA Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MATEMÁTICA I - 0 - Capítulo 6 ------------------------------------------------------------------------------------ CRIPTOGRAFIA BASICA Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Las matrices iversas se puede usar

Más detalles

Series infinitas de números reales. Series convergentes

Series infinitas de números reales. Series convergentes Series ifiitas de úmeros reales. Series covergetes Series ifiitas de úmeros reales. Series covergetes Las sucesioes de úmeros reales se itrodujero co la iteció de poder cosiderar posteriormete sus sumas

Más detalles

INTEGRAL INDEFINIDA. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN

INTEGRAL INDEFINIDA. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Matemáticas II - º Bachillerato INTEGRAL INDEFINIDA. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Método de itegració por cambio de variable Cosiste e sustituir por ua fució adecuada para que la epresió resultate sea más secilla

Más detalles

R. Urbán Introducción a los métodos cuantitativos. Notas de clase Sucesiones y series.

R. Urbán Introducción a los métodos cuantitativos. Notas de clase Sucesiones y series. R. Urbá Itroducció a los métodos cuatitativos. Notas de clase Sucesioes y series. SUCESIONES. Ua sucesió es u cojuto umerable de elemetos, dispuestos e u orde defiido y que guarda ua determiada ley de

Más detalles

UNIDAD 1 Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

UNIDAD 1 Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden UNIDAD UNIDAD Ecuacioes Difereciales de Primer Orde Defiició lasificació de las Ecuacioes Difereciales Ua ecuació diferecial es aquélla que cotiee las derivadas o difereciales de ua o más variables depedietes

Más detalles

INTEGRAL INDEFINIDA. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 2 1+ x dx

INTEGRAL INDEFINIDA. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 2 1+ x dx INTEGRAL INDEFINIDA. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Método de itegració por cambio de variable Cosiste e sustituir por ua fució adecuada para que la epresió resultate sea más secilla de itegrar que la primera.

Más detalles

SUCESIONES Y SERIES Una sucesión es un conjunto de números ordenados bajo cierta regla específica. 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25,...

SUCESIONES Y SERIES Una sucesión es un conjunto de números ordenados bajo cierta regla específica. 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25,... SUCESIONES Y SERIES. Ua sucesió es u cojuto de úmeros ordeados bajo cierta regla específica. E muchos problemas cotidiaos se preseta sucesioes, como por ejemplo los días del mes, ya que se trata del cojuto

Más detalles

GUIA DE ESTUDIO Nro 1

GUIA DE ESTUDIO Nro 1 MATERIA: MATEMÁTICA I CURSO: I AÑO EJE ESTRUCTURAL I: CONCEPTOS FUNDAMENTALES DEL ALGEBRA GRUPOS CONCEPTUALES: - Epresioes algebraicas. Poliomios. - Ecuacioes. Iecuacioes. TEMARIO: GUIA DE ESTUDIO Nro

Más detalles

2.- ESPACIOS VECTORIALES. MATRICES.

2.- ESPACIOS VECTORIALES. MATRICES. 2.- ESPACIOS VECTORIALES. MATRICES. 2.1. -ESPACIOS VECTORIALES Sea u cojuto V, etre cuyos elemetos (a los que llamaremos vectores) hay defiidas dos operacioes: SUMA DE DOS ELEMENTOS DE V: Si u, v V, etoces

Más detalles

Unidad 1: Las Ecuaciones Diferenciales y Sus Soluciones

Unidad 1: Las Ecuaciones Diferenciales y Sus Soluciones Uidad : Las Ecuacioes Difereciales y Sus Solucioes. Itroducció. Tato e las ciecias como e las igeierías se desarrolla modelos matemáticos para compreder mejor los feómeos físicos. Geeralmete, estos modelos

Más detalles

UNIDAD 2 Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior

UNIDAD 2 Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior UNIDAD Ecuacioes Difereciales Lieales de Orde Superior. Defiició Ua ecuació diferecial lieal de orde tiee la forma: d y a a a a y= g d d d Si las fucioes a a so todas costates (o cero) etoces se dice que

Más detalles

Sistemas de Ecuaciones lineales.

Sistemas de Ecuaciones lineales. UTN Facultad Regioal Bahía Blaca Álgebra y Geometría Aalítica Sistemas de Ecuacioes lieales Ídice de temas 1-Itroducció 11-Ecuació lieal de 1er grado e ua o más icógitas 3 1-Solució de ua ecuació lieal

Más detalles

Sucesiones de números reales Sucesiones convergentes: límite de una sucesión

Sucesiones de números reales Sucesiones convergentes: límite de una sucesión Sucesioes de úmeros reales Sucesioes covergetes: límite de ua sucesió Tato e la educació secudaria obligatoria como e el bachillerato se habla poco de las sucesioes de úmeros reales. Si acaso se dedica

Más detalles

IES IGNACIO ALDECOA 1 AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS 4º ESO CURSO 10/11

IES IGNACIO ALDECOA 1 AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS 4º ESO CURSO 10/11 IES IGNACIO ALDECOA AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS º ESO CURSO 0/ TEMA : SUCESIONES DE NÚMEROS REALES Se llama sucesió a u cojuto de úmeros dispuestos uo a cotiuació de otro. Podemos cosiderar ua sucesió como

Más detalles

6. ECUACIONES DE RECURRENCIA.

6. ECUACIONES DE RECURRENCIA. 6. ECUACIONES DE RECURRENCIA. 6.1. Itroducció. Las relacioes de recurrecia puede cosiderarse como técicas avazadas de coteo. Resuelve problemas cuya solució o puede obteerse usado variacioes, permutacioes,

Más detalles

Tema 2. Espacios vectoriales, aplicaciones lineales, diagonalización

Tema 2. Espacios vectoriales, aplicaciones lineales, diagonalización Tema 2. Espacios vectoriales, aplicacioes lieales, diagoalizació Asigatura: Matemáticas I Grado e Igeiería Electróica Idustrial Uiversidad de Graada Prof. Rafael López Camio Uiversidad de Graada 3 de septiembre

Más detalles

Sistema de ecuaciones lineales

Sistema de ecuaciones lineales Uiversidad de Atofagasta Fac. de Ciecias Básicas Depto. de Matemáticas A. Alarcó, L. Media, E. Rivero, R. Zuñiga Segudo Semestre 204 Sistema de ecuacioes lieales El sistema de ecuacioes lieales a, + a,2

Más detalles

y = c n x n : Sustituyendo en la ecuación de partida obtenemos n=0 Si escribimos todas las potencias con el mismo exponente se obtiene:

y = c n x n : Sustituyendo en la ecuación de partida obtenemos n=0 Si escribimos todas las potencias con el mismo exponente se obtiene: Ejercicio. Obteer los cuatro primeros térmios o ulos de la solució e forma de serie de potecias de x del problema de valores iiciales < (x + )y y = y() = : y () = Solució Como os pide que resolvamos u

Más detalles

Solución del Examen Extraordinario de Algebra y Matemática Discreta, Primer Curso, Facultad de Informática

Solución del Examen Extraordinario de Algebra y Matemática Discreta, Primer Curso, Facultad de Informática Solució del Exame Extraordiario de Algebra y Matemática Discreta, 0-09-2008. Primer Curso, Facultad de Iformática Putuació Máxima Posible: 20 putos Ejercicio Primero (Grafos, etc). a) ( puto) Defia Grafo

Más detalles

Límite y Continuidad de Funciones.

Límite y Continuidad de Funciones. Límite Cotiuidad de Fucioes. Eleazar José García. eleagarcia9@hotmail.com. Límite de ua fució.. Defiició de límite de ua fució.. Ifiitésimo.. Ifiitésimos equivalete.. Límite por la izquierda.. Límite por

Más detalles

EJERCICIOS DE RECURRENCIA

EJERCICIOS DE RECURRENCIA EJERCICIOS DE RECURRENCIA (co alguas solucioes) Resolver la recurrecia = 5 6 =, = y tambié ésta: = =, = Resolvamos la primera E primer lugar otamos que es ua recurrecia lieal, pues pasado todos los térmios

Más detalles

INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS Ua ecuació diferecial es ua ecuació que cotiee las derivadas de ua o más variables depedietes co respecto de ua ó mas variables idepedietes. Clasificació

Más detalles

Ecuaciones en Diferencias Recíprocas y Semirrecíprocas

Ecuaciones en Diferencias Recíprocas y Semirrecíprocas Ecuacioes e Diferecias Recíprocas y Gustavo Adolfo Juárez; Silvia Iés Navarro Facultad de Ciecias Exactas y Naturales, Uiversidad Nacioal de Catamarca. E-mail: juarez.catamarca@gmail.com Recepció: 20/05/2014

Más detalles

CAP ITULO I ALGEBRA LINEAL. 1

CAP ITULO I ALGEBRA LINEAL. 1 CAPÍTULO I ÁLGEBRA LINEAL 1 Tema 1 Espacios Vectoriales Notaremos por R al cuerpo de los úmeros reales Defiició 11 Sea E u cojuto o vacío e el que se tiee defiida ua ley de composició itera (llamada suma):

Más detalles

Guía Semana 9 1. RESUMEN. Universidad de Chile. Ingeniería Matemática

Guía Semana 9 1. RESUMEN. Universidad de Chile. Ingeniería Matemática 1. RESUMEN Igeiería Matemática FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo e Varias Variables 08-1 Igeiería Matemática Guía Semaa 9 Teorema de los multiplicadores de Lagrage

Más detalles

9. Hallar un número de cuatro cifras que sea igual al cubo de la suma de las cifras.

9. Hallar un número de cuatro cifras que sea igual al cubo de la suma de las cifras. Hoja de Problemas º Algebra II 9. Hallar u úmero de cuatro cifras que sea igual al cubo de la suma de las cifras. Solució: Sea el úmero buscado co a que si o, o seria de cuatro cifras. Teemos que ( ) como

Más detalles

Vectores y matrices. x 1. x 2. x n. vector columna. X x 1, x 2,...,x n vector fila. a 11 a a 1m. a 21 a a 2m... a n1 a n2...

Vectores y matrices. x 1. x 2. x n. vector columna. X x 1, x 2,...,x n vector fila. a 11 a a 1m. a 21 a a 2m... a n1 a n2... Vectores y matrices x 1 X x 2. x vector columa X x 1, x 2,...,x vector fila a 11 a 12... a 1m A a 21 a 22... a 2m............ a 1 a 2... a m Matriz traspuesta a 11 a 21... a 1 A a 12 a 22... a 2............

Más detalles

Construcción de los números reales.

Construcción de los números reales. B Costrucció de los úmeros reales. E el cojuto C de las sucesioes de Cauchy de úmeros racioales defiimos la relació siguiete: si (x ) =1 e (y ) =1 so dos sucesioes de C etoces (x ) =1 (y ) =1, si lím (x

Más detalles

UNITAT 2. ÁLGEBRA 1.- POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS

UNITAT 2. ÁLGEBRA 1.- POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS UNITAT. ÁLGEBRA 1.- POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 1.1.- POLINOMIOS FACTORIZACIÓN. REGLA DE RUFFINI U poliomio co idetermiada x es ua expresió de la forma: Los úmeros que acompaña a la icógita se

Más detalles

Polinomio de una sola variable. , llamaremos polinomio de la variable x a toda expresión algebraica entera de la forma:

Polinomio de una sola variable. , llamaremos polinomio de la variable x a toda expresión algebraica entera de la forma: Semiario Uiversitario de Igreso 07 oliomio de ua sola variable a0; a; a;...; a úmeros reales y N 0, llamaremos poliomio de la variable a toda epresió algebraica etera de la forma: a0 a a... a Los poliomios

Más detalles

Sucesiones de números reales

Sucesiones de números reales Sucesioes de úmeros reales Sucesioes Ejercicio. Prueba que si x

Más detalles

Curso: 3 E.M. ALGEBRA 8

Curso: 3 E.M. ALGEBRA 8 Colegio SSCC Cocepció - Depto. de Matemáticas Uidad de Apredizaje: POLINOMIOS Capacidades/Destreza/Habilidad: Racioamieto Matemático/ Aplicació / Calcular, Resolver Valores/ Actitudes: Respeto, Solidaridad,

Más detalles

SERIES NUMÉRICAS. SECCIONES A. Series de términos no negativos. B. Ejercicios propuestos.

SERIES NUMÉRICAS. SECCIONES A. Series de términos no negativos. B. Ejercicios propuestos. CAPÍTULO IX. SERIES NUMÉRICAS SECCIONES A. Series de térmios o egativos. B. Ejercicios propuestos. 40 A. SERIES DE TÉRMINOS NO NEGATIVOS. Dada ua sucesió {a, a 2,..., a,... }, se llama serie de térmio

Más detalles

Combinatoria. Tema Principios básicos de recuento

Combinatoria. Tema Principios básicos de recuento Tema 4 Combiatoria La combiatoria, el estudio de las posibles distribucioes de objetos, es ua parte importate de la matemática discreta, que ya era estudiada e el siglo XVII, época e la que se platearo

Más detalles

CAPITULO 0 CONCEPTOS BASICOS DE ALGEBRA Y PROGRAMACION LINEAL Algebra lineal Notación básica.

CAPITULO 0 CONCEPTOS BASICOS DE ALGEBRA Y PROGRAMACION LINEAL Algebra lineal Notación básica. 5 CAPIULO 0 CONCEPOS BASICOS DE ALGEBRA Y PROGRAMACION LINEAL Este capítulo proporcioa u pequeño resume acerca de coceptos básicos de álgebra y programació lieal que resulta fudametales para el bue etedimieto

Más detalles

Introducción a las medidas de dispersión.

Introducción a las medidas de dispersión. UNIDAD 8: INTERPRETEMOS LA VARIABILIDAD DE LA INFORMACION. Itroducció a las medidas de dispersió. Como su ombre lo idica, las medidas de dispersió so parámetros que os idica qué ta dispersos está los datos.

Más detalles

4.- Aproximación Funcional e Interpolación

4.- Aproximación Funcional e Interpolación 4- Aproximació Fucioal e Iterpolació 4 Itroducció Ua de las mayores vetajas de aproximar iformació discreta o fucioes complejas co fucioes aalíticas secillas, radica e su mayor facilidad de evaluació y

Más detalles

GUÍA DE ESTUDIO ÁLGEBRA LINEAL

GUÍA DE ESTUDIO ÁLGEBRA LINEAL GUÍ DE ESUDIO ÁLGER LINEL ema. Espacios Vectoriales ) LOS NÚMEROS El sistema de úmeros reales cosiste e u cojuto R de elemetos llamados úmeros reales y dos operacioes deomiadas: adició y multiplicació,

Más detalles

Series de términos no negativos

Series de términos no negativos Tema 0 Series de térmios o egativos Vamos a presetar aquí alguos criterios útiles para estudiar la covergecia de series de térmios o egativos. Empezamos co u método básico que cosiste e comparar la serie

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2005 (Modelo 3) Solución Germán-Jesús Rubio Luna OPCIÓN A

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2005 (Modelo 3) Solución Germán-Jesús Rubio Luna OPCIÓN A IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 005 (Modelo 3) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO _A ( putos) Dibuje el recito defiido por las siguietes iecuacioes: + y 6; 0 y; / + y/3 ; 0; ( puto) Calcule

Más detalles

INTERÉS SIMPLE COMO FUNCIÓN LINEAL.

INTERÉS SIMPLE COMO FUNCIÓN LINEAL. INTERÉS SIMPLE COMO FUNCIÓN LINEAL. EJERCICIOS PROPUESTOS. 1.- Grafica las fucioes Moto e Iterés: a) C = + 0, co C e miles de pesos ; : meses y R. Para graficar estar fucioes, debemos dar valores a, por

Más detalles

Departamento de Matemáticas

Departamento de Matemáticas MA5 Clase 5: Series de potecias. Operacioes co series de potecias. Series de potecias Elaborado por los profesores Edgar Cabello y Marcos Gozález Cuado estudiamos las series geométricas, demostramos la

Más detalles

2 Algunos conceptos de convergencia de sucesiones de variables aleatorias

2 Algunos conceptos de convergencia de sucesiones de variables aleatorias INTRODUCCIÓN A LA CONVERGENCIA DE SUCESIONES DE VARIABLES ALEATORIAS Juliá de la Horra Departameto de Matemáticas U.A.M. 1 Itroducció Se puede utilizar diferetes coceptos de covergecia para las sucesioes

Más detalles

CAPÍTULO I. Conceptos Básicos de Estadística

CAPÍTULO I. Conceptos Básicos de Estadística CAPÍTULO I Coceptos Básicos de Estadística Capítulo I. Coceptos Básicos de Estadística. CAPÍTULO I CONCEPTOS BÁSICOS DE ESTADÍSTICA Para realizar estudios estadísticos es ecesario registrar la ocurrecia

Más detalles

Notas en Desigualdades versión 0.1. Leonardo Urbina

Notas en Desigualdades versión 0.1. Leonardo Urbina Notas e Desigualdades versió 0. Leoardo Urbia leoardourbia@gmail.com Marzo de 006 Prólogo Estas otas so u primer acercamieto al tópico de desigualdades dirigido a aquellos participates de olimpíadas de

Más detalles

TALLER DE MATEMÁTICAS DESIGUALDADES

TALLER DE MATEMÁTICAS DESIGUALDADES TALLER DE MATEMÁTICAS DESIGUALDADES NOTAS Es bie sabido que e el cojuto de los úmeros reales existe ua relació de orde atural : se dice que x < y cuado y x es u úmero positivo Co esta relació, el cojuto

Más detalles

Probabilidad FENÓMENOS ALEATORIOS

Probabilidad FENÓMENOS ALEATORIOS Probabilidad FENÓMENOS ALEATORIOS E el mudo real hay feómeos regidos por leyes de tipo empírico (basadas e la experiecia), lógico o deductivo, e los que el efecto está determiado por ciertas causas. El

Más detalles

Una ecuación diferencial lineal de orden superior general tendría la forma. (1) dx dx

Una ecuación diferencial lineal de orden superior general tendría la forma. (1) dx dx .7 Ecuacioes difereciales lieales de orde superior 6.7 Ecuacioes difereciales lieales de orde superior Ua ecuació diferecial lieal de orde superior geeral tedría la forma d y d y dy a( ) a ( )... a ( )

Más detalles

Técnicas para problemas de desigualdades

Técnicas para problemas de desigualdades Técicas para problemas de desigualdades Notas extraídas del libro de Arthur Egel [] 5 de marzo de 00 Medias Comezamos co dos de las desigualdades más básicas pero al mismo tiempo más importates Sea x,

Más detalles

Tema 8 Límite de Funciones. Continuidad

Tema 8 Límite de Funciones. Continuidad Tema 8 Límite de Fucioes. Cotiuidad 1. Operacioes co límites. Los límites de las sucesioes a b, c, d y e so los idicados e la tabla siguiete:, a b c d e - 0 1 Di cual es el límite de: a) lim( a b ) c)

Más detalles

. Una de las aplicaciones más importantes de los coeficientes binomiales es el Binomio de Newton : n k)

. Una de las aplicaciones más importantes de los coeficientes binomiales es el Binomio de Newton : n k) Permutacioes. E Matemáticas, dado u cojuto fiito co todos sus elemetos diferetes, llamamos permutació a cada ua de las posibles ordeacioes de los elemetos de dicho cojuto. Por ejemplo, e el cojuto 1, 2,

Más detalles

METODO DE ITERACION DE NEWTON

METODO DE ITERACION DE NEWTON METODO DE ITERACION DE NEWTON Supogamos que queremos resolver la ecuació f( ) y lo que obteemos o es la solució eacta sio sólo ua buea aproimació, para obteer esta aproimació observemos la siguiete figura

Más detalles

Sumatoria, Progresiones y Teorema del Binomio

Sumatoria, Progresiones y Teorema del Binomio Capítulo Sumatoria, Progresioes y Teorema del Biomio.. Símbolo Sumatorio Es u símbolo muy útil y coveiete que permite escribir sumas e forma abreviada. Este símbolo se represeta mediate la letra griega

Más detalles

Teoremas de convergencia. Integral sobre... Convergencia... Convergencia...

Teoremas de convergencia. Integral sobre... Convergencia... Convergencia... covergecia este capítulo teemos como objetivo demostrar las propiedades más importates de la Itegral de Lebesgue. teemos que demostrar todavía las propiedades fudametales de liealidad y aditividad respecto

Más detalles

CUADRATURA GAUSSIANA

CUADRATURA GAUSSIANA CUADRATURA GAUSSIANA Este método de basa e muestrear el itegrado de la fució cuya itegral se desea ecotrar, a valores que represeta raíces de poliomios ortogoales Los más populares de éstos so los poliomios

Más detalles

1. Relaciones de recurrencia homogéneas con coeficiente

1. Relaciones de recurrencia homogéneas con coeficiente 1. Relacioes de recurrecia homogéeas co coeficiete costate 1. Demuestra que la sucesió {a } es ua solució de la recurrecia a = a 1 + 2a 2 + 2 9 si a) a = + 2 b) a = 5( 1) + 2 c) a = 3( 1) + 2 + 2 d) a

Más detalles

- Fernando Sánchez - Departamento de Matemáticas - Universidad de Extremadura

- Fernando Sánchez - Departamento de Matemáticas - Universidad de Extremadura - Ferado Sáchez - - 5 Números Cálculo I complejos 14 10 2015 E el cuerpo de los úmeros reales ecuacioes como x 2 + 1 = 0 o tiee solució: el poliomio x 2 + 1 o tiee raíces reales. Hace falta exteder el

Más detalles

Series de números reales

Series de números reales Tema 6 Series de úmeros reales 6. Series de úmeros reales. Defiició 6. Sea {a } ua sucesió de úmeros reales y cosideremos la sucesió {S }, defiida por S = a + a + + a, para cada IN, que llamaremos sucesió

Más detalles

Expresiones Algebraicas

Expresiones Algebraicas Semiario Uiversitario Matemática Módulo Expresioes Algebraicas Difícilmete se pueda estudiar cualquier rama de la matemática actual si u maejo algebraico razoable. Usamos la palabra maejo y o la de estudio,

Más detalles

MINITAB y MODELOS DE REGRESIÓN

MINITAB y MODELOS DE REGRESIÓN Prácticas de Fudametos Matemáticos para el estudio del Medio Ambiete www.um.es/docecia/jpastor jpastor@um.es MINITAB y MODELOS DE REGRESIÓN 1. Itroducció Ua de las cuestioes de mayor iterés e las Ciecias

Más detalles

Cálculo de límites Criterio de Stolz. Tema 8

Cálculo de límites Criterio de Stolz. Tema 8 Tema 8 Cálculo de límites El presete tema tiee u iterés emietemete práctico, pues vamos a estudiar alguos métodos cocretos para resolver idetermiacioes. Etre ellos destaca el criterio de Stolz, del que

Más detalles

4. Sucesiones de números reales

4. Sucesiones de números reales 4. Sucesioes de úmeros reales Aálisis de Variable Real 2014 2015 Ídice 1. Sucesioes y límites. Coceptos básicos 2 1.1. Defiició de sucesió... 2 1.2. Sucesioes covergetes... 2 1.3. Sucesioes acotadas...

Más detalles

Más sobre límites de sucesiones Sucesiones parciales. Sucesiones monótonas.

Más sobre límites de sucesiones Sucesiones parciales. Sucesiones monótonas. Más sobre límites de sucesioes Sucesioes parciales. Sucesioes moótoas. E u artículo aterior habíamos hablado de las sucesioes de úmeros reales y del cocepto de límite de ua sucesió. Tambié, e otro artículo,

Más detalles

Sucesiones y series de números reales

Sucesiones y series de números reales 38 Matemáticas : Cálculo diferecial e IR Capítulo Sucesioes y series de úmeros reales Sucesioes Defiició 37- Llamaremos sucesió de úmeros reales a cualquier aplicació f: N R y la represetaremos por { a,

Más detalles

Importancia de las medidas de tendencia central.

Importancia de las medidas de tendencia central. UNIDAD 5: UTILICEMOS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL. Importacia de las medidas de tedecia cetral. Cuado recopilamos ua serie de datos podemos resumirlos utilizado ua tabla de clases y frecuecias. La iformació

Más detalles

CLASE SOBRE APLICACIONES LINEALES

CLASE SOBRE APLICACIONES LINEALES Álgebra Mauel Hervás Curso 0-0 CLAS SOBR APLICACIONS LINALS. INTRODUCCIÓN l problema que se va a abordar es la forma de RLACIONAR los elemetos de dos espacios vectoriales, mediate expresioes matemáticas.

Más detalles

UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES Instituto de Ciencias Básicas. Álgebra Lineal. Isabel Arratia Zárate

UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES Instituto de Ciencias Básicas. Álgebra Lineal. Isabel Arratia Zárate UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES Istituto de Ciecias Básicas Álgebra Lieal Isabel Arratia Zárate Matrices y Sistemas de ecuacioes lieales Algebra Lieal - I. Arratia Z. Matrices: defiicioes y otacioes básicas

Más detalles

1. Intervalos de Conanza

1. Intervalos de Conanza M. Iiesta Uiversidad de Murcia INFERENCIA ESTADÍSTICA Tema 3.: Itervalos de coaza Objetivos Costruir itervalos de coaza para los parámetros más importates. Aplicar coveietemete los IC atediedo a cada situació

Más detalles

Técnicas Cuantitativas II Muestra y Estadísticos Muestrales. TC II Muestra y Estadísticos Muestrales 1 / 20

Técnicas Cuantitativas II Muestra y Estadísticos Muestrales. TC II Muestra y Estadísticos Muestrales 1 / 20 Técicas Cuatitativas II 2012-2013 Muestra y Estadísticos Muestrales TC II Muestra y Estadísticos Muestrales 1 / 20 Ídice Ídice Cocepto de muestra y Alguos ejemplos de variaza de la media Cocepto de muestra

Más detalles

Hoja de Problemas Tema 3. (Sucesiones y series)

Hoja de Problemas Tema 3. (Sucesiones y series) Depto. de Matemáticas Cálculo (Ig. de Telecom.) Curso 23-24 Hoja de Problemas Tema 3 (Sucesioes y series) Sucesioes de úmeros reales. Sea {a } N, {b } N sucesioes de úmeros reales. Demostrar o refutar

Más detalles

ECUACIONES DIFERENCIALES Problemas de Valor Frontera

ECUACIONES DIFERENCIALES Problemas de Valor Frontera DIVISIÓN DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS DPTO. TERMODINÁMICA Y FENÓMENOS DE TRANSFERENCIA MÉTODOS APROXIMADOS EN ING. QUÍMICA TF-33 ECUACIONES DIFERENCIALES Problemas de Valor Frotera Esta guía fue elaborada

Más detalles

Aritmética. Introducción. De la definición anterior se pueden deducir las siguientes propiedades:

Aritmética. Introducción. De la definición anterior se pueden deducir las siguientes propiedades: Aritmética Itroducció Bautizo: Decimos a divide a b (a factor de b, a es divisor de b, b es múltiplo de a, b es divisible por a) si existe u etero c tal que b=ac Lo aterior se simboliza como a b, e caso

Más detalles

) se obtiene un valor específico del estimador que recibe el nombre de estimación del parámetro poblacional θ y lo notaremos por = g ( x 1

) se obtiene un valor específico del estimador que recibe el nombre de estimación del parámetro poblacional θ y lo notaremos por = g ( x 1 ESTIMACIÓN PUNTUAL. ESTIMACIÓN POR INTERVALOS DE CONFIANZA. 1. INTRODUCCIÓN A LA INFERENCIA ESTADÍSTICA El objetivo básico de la iferecia estadística es hacer iferecias o sacar coclusioes sobre la població

Más detalles

UNEFA C.I.N.U. Matemáticas

UNEFA C.I.N.U. Matemáticas RADICACIÓN: DEFINICIÓN Y PROPIEDADES Ates de etrar e el tema Radicació, vamos a comezar por recordar u poco sore Poteciació: Saemos que e lugar de escriir, utilizamos la otació: de Poteciació, dode el

Más detalles

Álgebra I Práctica 3 - Números enteros (Parte 1)

Álgebra I Práctica 3 - Números enteros (Parte 1) FCEyN - UBA - 1er cuatrimestre 015 Divisibilidad y algoritmo de divisió Álgebra I Práctica 3 - Números eteros (Parte 1 1. Decidir cuáles de las siguietes afirmacioes so verdaderas a, b, c Z i a b c a c

Más detalles

Expresiones Algebraicas

Expresiones Algebraicas Semiario Uiversitario Matemática Módulo Epresioes Algebraicas Difícilmete se pueda estudiar cualquier rama de la matemática actual si u maejo algebraico razoable. Usamos la palabra maejo y o la de estudio,

Más detalles

Series de números reales

Series de números reales Series de úmeros reales Covergecia de series uméricas Ejercicio. series: a) ) + b) 3 3 ) c) +) Aplicar el criterio de la raíz para estudiar la posible covergecia de las siguietes Solució. a) Aplicamos

Más detalles

TEMA 3 RECURRENCIA. FUNCIONES GENERATRICES

TEMA 3 RECURRENCIA. FUNCIONES GENERATRICES Gregorio Herádez Peñalver Departameto de Matemática Aplicada, Facultad de Iformática, UPM TEMA 3 RECURRENCIA. FUNCIONES GENERATRICES RELACIONES DE RECURRENCIA Ua relació de recurrecia para ua sucesió A=(a

Más detalles

Capítulo 9. Método variacional

Capítulo 9. Método variacional Capítulo 9 Método variacioal 9 Miimizació de la eergía 9 Familia de fucioes 9 Partícula ecerrada e ua dimesió etre [-aa] 9 Oscilador armóico e ua dimesió 93 Átomo de helio 93 Combiació lieal de fucioes

Más detalles

Rudimentos 5: Teorema del Binomio Profesor Ricardo Santander

Rudimentos 5: Teorema del Binomio Profesor Ricardo Santander Rudimetos 5: Teorema del Biomio Profesor Ricardo Satader Este capitulo esta destiado a presetar coteidos y actividades que permitirá al estudiate: Operar co simbología matemática, desarrollar expresioes

Más detalles

TEMA 2: Potencias y raíces. Tema 2: Potencias y raíces 1

TEMA 2: Potencias y raíces. Tema 2: Potencias y raíces 1 TEMA : Potecias y raíces Tema : Potecias y raíces ESQUEMA DE LA UNIDAD.- Cocepto de potecia..- Potecias de expoete atural..- Potecias de expoete etero egativo..- Operacioes co potecias..- Notació cietífica...-

Más detalles

Los números irracionales

Los números irracionales Los úmeros irracioales Los úmeros irracioales E las matemáticas de la Educació Secudaria Obligatoria se preseta los úmeros irracioales como aquellos que o so racioales, es decir, aquellos que o se puede

Más detalles

Preguntas más Frecuentes: Tema 2

Preguntas más Frecuentes: Tema 2 Pregutas más Frecuetes: Tema 2 Pulse sobre la preguta para acceder directamete a la respuesta 1. Se puede calcular la media a partir de las frecuecias absolutas acumuladas? 2. Para calcular la media aritmética,

Más detalles

DETERMINANTES II. Solución. 2. Calcula, aplicando la regla de Sarrus, el siguiente determinante: A = Solución

DETERMINANTES II. Solución. 2. Calcula, aplicando la regla de Sarrus, el siguiente determinante: A = Solución DETERMINNTES II 1 0 4-1 1. Halla los deermiaes de las siguiees marices: = B = 5-1 05 B 4 1 1 10-1 0. Calcula, aplicado la regla de Sarrus, el siguiee deermiae: = 0 0 1-6 -1 0 1 0 0 0 1 00 11 6 00 1 0 0

Más detalles

una sucesión de funciones de A. Formemos una nueva sucesión de funciones {S n } n=1 de A de la forma siguiente:

una sucesión de funciones de A. Formemos una nueva sucesión de funciones {S n } n=1 de A de la forma siguiente: Tema 8 Series de fucioes Defiició 81 Sea {f } ua sucesió de fucioes de A Formemos ua ueva sucesió de fucioes {S } de A de la forma siguiete: S (x) = f 1 (x) + f 2 (x) + + f (x) = f k (x) Al par de sucesioes

Más detalles

De esta forma, el problema de encontrar la mejor recta se concentra en calcular los valores de la pendiente (m) y de la ordenada al origen (b)

De esta forma, el problema de encontrar la mejor recta se concentra en calcular los valores de la pendiente (m) y de la ordenada al origen (b) MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS E muchos de los experimetos que se realiza e Física, se obtiee u cojuto de parejas de úmeros (abscisa, ordeada) por los cuales ecesitamos, para obteer u modelo matemático que

Más detalles

Ejercicios para exámenes de Matemáticas (CCAA y CTA) Vectores

Ejercicios para exámenes de Matemáticas (CCAA y CTA) Vectores Ejercicios para exámees de Matemáticas (CCAA y CTA Vectores Jua-Miguel Gracia 7 de octubre de 014 Ejercicio Sea a, b vectores de R 5 que satisface a = 10, a + b = 11, a b = 9 Demostrar que existe u β R

Más detalles

Factorizar es escribir o representar una expresión algebraica como producto de sus factores: Factor común:

Factorizar es escribir o representar una expresión algebraica como producto de sus factores: Factor común: PERIODO I FACTORIZACIÓN Factorizar es escribir o represetar ua expresió algebraica como producto de sus factores: Ejemplo: x 4 = (x + ) (x ) = (x + ) (x + ) (x ) Ua expresió queda completamete factorizada

Más detalles

1) Considera el sistema de ecuaciones:

1) Considera el sistema de ecuaciones: SESIÓN 4: Álgebra lieal umérica ) Cosidera el sistema de ecuacioes: x + aa aa y a) Calcula las matrices iterativas de los métodos de Jacobi y Gauss-Seidel. b) Para qué valores de a coverge el método de

Más detalles

Tema 4: Relaciones de recurrencia

Tema 4: Relaciones de recurrencia Tema 4: Relacioes de recurrecia A Médez, E Martí, C Ortiz y J Sedra Abril de 011 Ídice Guía del tema II 1 Itroducció a las relacioes de recurrecia 1 Relacioes de recurrecia lieales de primer orde 4 1 Relació

Más detalles

( ) = 1= + + ( ) + + lim 3x 5 = lim 3x lim5 = lim3 lim x lim5 = = 12 5 = 7

( ) = 1= + + ( ) + + lim 3x 5 = lim 3x lim5 = lim3 lim x lim5 = = 12 5 = 7 LÍMITES DE FUNCIONES POLINÓMICAS Límites de ua fució costate f k, k El límite de ua fució costate es la misma costate f k f k k k a a Límites de la fució idetidad I I a a a I I Límites e u puto fiito.

Más detalles

SESIÓN 8 DESCRIPCIONES DE UNA RELACIÓN

SESIÓN 8 DESCRIPCIONES DE UNA RELACIÓN SESIÓN 8 DESCRIPCIONES DE UNA RELACIÓN I. CONTENIDOS: 1. Regresió lieal simple.. Iterpretació de gráficas de regresió. 3. Cálculo de coeficiete de correlació. 4. Iterpretació del coeficiete de correlació.

Más detalles

CLAVES DE CORRECCIÓN GUÍA DE EJERCITACIÓN FACTORES Y PRODUCTOS PREGUNTA ALTERNATIVA Nivel

CLAVES DE CORRECCIÓN GUÍA DE EJERCITACIÓN FACTORES Y PRODUCTOS PREGUNTA ALTERNATIVA Nivel x Estimado alumo: Aquí ecotrarás las claves de correcció, las habilidades y los procedimietos de resolució asociados a cada preguta, o obstate, para reforzar tu apredizaje es fudametal que asistas a la

Más detalles

CAPÍTULO XIV. SERIES NUMÉRICAS ARBITRARIAS

CAPÍTULO XIV. SERIES NUMÉRICAS ARBITRARIAS CAPÍTULO XIV. SERIES NUMÉRICAS ARBITRARIAS SECCIONES A. Series de térmios de sigo variable. B. Series depedietes de parámetros. C. Ejercicios propuestos. 193 A. SERIES DE TÉRMINOS DE SIGNO VARIABLE. E

Más detalles

El tema de este capítulo es el estudio de las sucesiones de números reales. Una sucesión no es más que un conjunto ordenado de números.

El tema de este capítulo es el estudio de las sucesiones de números reales. Una sucesión no es más que un conjunto ordenado de números. Capítulo 3 Sucesioes 3 Defiicioes Geerales El tema de este capítulo es el estudio de las sucesioes de úmeros reales Ua sucesió o es más que u cojuto ordeado de úmeros Por ejemplo, 2, 4, 6, 8, 0, 2,, 2,

Más detalles

LIMITES DE FUNCIONES. Ejemplo: Sea la función F(x) = 3X 2, evalúe la función para valores de X cercanos a 2, es decir

LIMITES DE FUNCIONES. Ejemplo: Sea la función F(x) = 3X 2, evalúe la función para valores de X cercanos a 2, es decir PRECONCEPTO. LIMITES DE FUNCIONES. Ejemplo: Sea la fució F() = X, evalúe la fució para valores de X cercaos a, es decir X se acerca hacia el umero por la izquierda ( - ) X,,7,5,47,68,89,9,96,99,99,995,

Más detalles

Suma y resta de monomios Para sumar o restar monomios semejantes se suman o restan los coeficientes y se deja la misma parte literal.

Suma y resta de monomios Para sumar o restar monomios semejantes se suman o restan los coeficientes y se deja la misma parte literal. 1º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I TEMA.- ÁLGEBRA PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Más detalles