UNIDAD 6. CIRCUNFERENCIA

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1 UNIDAD 6. CIRCUNFERENCIA DEFINICIONES CIRCUNFERENCIA: Dados un plano, un punto O en dicho plano y un número real positivo r, (r > 0), se llama Circunferencia de centro O y radio r, C(O; r), al conjunto formado por todos los puntos P del plano, tales que OP = r. POSICIÓN RELATIVA ENTRE UN PUNTO Y UNA CIRCUNFERENCIA En un plano, dada una C(O; r) y un punto P: 1. P es INTERIOR a C(O; r), si OP < r. 2. P está SOBRE la C(O; r), si OP = r. 3. P es EXTERIOR a C(O; r), si OP > r. RADIO: Segmento que une el centro con un punto de la circunferencia, por ejemplo: OA, OB, OC, OD, OE y OF. CUERDA: Segmento cuyos extremos son puntos de la circunferencia, por ejemplo: AB, CD. DIÁMETRO: Cuerda que pasa por el centro de la circunferencia, por ejemplo: CD. ÁNGULO CENTRAL: Ángulo cuyo vértice es el centro de la circunferencia, por ejemplo: EOF. DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA CIRCUNFERENCIA TEOREMA: Dada una circunferencia C(O; r) y dado un punto P en su plano, entonces los extremos del diámetro AB, contenido en la recta OP, son los puntos de la circunferencia que están a la menor y a la mayor distancia del punto dado. La distancia del punto P a la C(O; r) es la distancia entre P y el extremo de dicho diámetro que esté más próximo a P, en la gráfica por ejemplo es PB. ARCO: Subconjunto de la circunferencia limitado por dos puntos de ella, por ejemplo: AB. Si son extremos de un diámetro, los arcos se llaman semicircunferencias, por ejemplo: CAD y CED. CIRCUNFERENCIAS CONCÉNTRICAS: Las que tienen el mismo centro. TEOREMA: En una circunferencia, todos los radios son congruentes; todos los diámetros son congruentes; el diámetro es el doble del radio y el diámetro es la mayor cuerda. TEOREMA: (L.G. r a) Dada una C(O; r) y dada una distancia a, (0 < a < r), el lugar geométrico de los puntos situados a una distancia a de la C(O; r) está formado por las circunferencias C(O; r a).

2 2 CIRCUNFERENCIA CIRCUNFERENCIAS QUE PASAN POR UN PUNTO DADO TEOREMA: Por un punto dado A pasan infinitas circunferencias. Para cada real positivo r, el lugar geométrico de los centros de éstas es la C(A; r). CIRCUNFERENCIAS QUE PASAN POR DOS PUNTOS DADOS TEOREMA: Por dos puntos dados A y B, pasan infinitas circunferencias. El lugar geométrico de los centros de éstas es la mediatriz del segmento AB y el radio mínimo es AB/2. TEOREMA: Por tres puntos colineales no pasa ninguna circunferencia. COROLARIO: Tres puntos de una circunferencia no pueden ser colineales. Intuitivamente la circunferencia no tiene ningún tramo rectilíneo. CIRCUNFERENCIAS QUE PASAN POR TRES PUNTOS NO ALINEADOS DADOS POSICIÓN RELATIVA ENTRE UNA RECTA Y UNA CIRCUNFERENCIA 1. Una recta es EXTERIOR a una circunferencia si no tiene puntos comunes con ella. 2. Una recta es TANGENTE a una circunferencia si tiene exactamente un punto común con ella, llamado punto de tangencia. 3. Una recta es SECANTE a una circunferencia si tiene exactamente dos puntos comunes con ella. TEOREMA: Si una recta es tangente a una circunferencia entonces es perpendicular al radio que llega al punto de tangencia. TEOREMA: Dadas una recta y una circunferencia de radio r, si d es la distancia del centro a la recta, entonces: 1. La recta es secante a la circunferencia si y sólo si d < r. 2. La recta es tangente a la circunferencia si y sólo si d = r. 3. La recta es exterior a la circunferencia si y sólo si d > r. TEOREMA: Por tres puntos A, B y C no alineados, pasa una y sólo una circunferencia que tiene por centro el circuncentro del ABC. GEOMETRÍA C.A.V.A.

3 CIRCUNFERENCIA 3 POSICIÓN RELATIVA ENTRE DOS CIRCUNFERENCIAS Dos circunferencias son : TEOREMA: Dadas dos circunferencias C(O; r) y C(O ; r ), entonces ellas son: 1. Exteriores OO > r + r 1. EXTERIORES: Si todos los puntos de cada una de ellas son exteriores a la otra. 2. TANGENTES EXTERIORES: Si tienen un punto común y los demás puntos de cada una de ellas son exteriores a la otra. 3. SECANTES: Si tienen exactamente dos puntos comunes. 2. Tangentes exteriores OO = r + r 4. TANGENTES INTERIORES: Si tienen un punto común y los demás puntos de una de ellas son interiores a la otra, entonces la primera es tangente interior a la segunda. 5. INTERIORES: Si no tienen puntos comunes y todo los puntos de una de ellas son interiores a la otra, entonces la primera es interior a la segunda. 3. Secantes r r < OO < r + r TEOREMA: Si dos circunferencias no concéntricas tienen un punto común exterior a la recta de los centros entonces son secantes y recíprocamente. TEOREMA: Si dos circunferencias son secantes entonces la línea de sus centros es la mediatriz de su cuerda común y es la bisectriz de los ángulos centrales subtendidos por la cuerda. 4. Tangentes interiores OO = r r 5. Interiores OO < r r TEOREMA: Si dos circunferencias son tangentes entonces los centros y su punto de tangencia son colineales y recíprocamente.

4 4 CIRCUNFERENCIA ARCOS Y CUERDAS CIRCUNFERENCIAS CONGRUENTES: Dos circunferencias son congruentes si sus radios tienen igual medida. ARCOS CONGRUENTES: Dos arcos de una misma circunferencia o de circunferencias congruentes son congruentes si subtienden ángulos centrales congruentes. ARCOS DESIGUALES: Dos arcos de una misma circunferencia o de circunferencias congruentes son desiguales si subtienden ángulos centrales desiguales y será mayor el que subtienda mayor ángulo central. PROPIEDADES DE UN DIÁMETRO PERPENDICULAR A UNA CUERDA TEOREMA: Dada una cuerda, si otra cuerda secante a ella cumple dos de las siguientes propiedades entonces las cumple todas: 1. Es diámetro. 2. Es perpendicular a la cuerda. 3. Pasa por el punto medio de la cuerda. 4. Pasa por el punto medio del arco menor. 5. Pasa por el punto medio del arco mayor. 6. Es bisectriz del ángulo central que la cuerda subtiende. MEDIDA ANGULAR DE UN ARCO: La medida angular de un arco es la medida del ángulo central que subtiende. TEOREMA: En una misma circunferencia o en circunferencias congruentes: 1. Dos ángulos centrales son congruentes sii subtienden cuerdas congruentes. 2. Dos cuerdas son congruentes sii subtienden arcos congruentes. 3. La menor de dos cuerdas desiguales subtiende un arco menor y un ángulo central menor y recíprocamente. 4. Dos cuerdas congruentes equidistan del centro y recíprocamente. ARCOS Y PARALELAS TEOREMA: Dos arcos o dos cuerdas comprendidos entre dos rectas paralelas son congruentes. TEOREMA: (Criterio de paralelismo): Si en una circunferencia dos cuerdas o dos arcos son congruentes entonces sus extremos determinan un par de rectas paralelas. 5. La mayor de dos cuerdas desiguales está más próxima al centro y recíprocamente. GEOMETRÍA C.A.V.A.

5 CIRCUNFERENCIA 5 ÁNGULOS RELACIONADOS CON LA CIRCUNFERENCIA 3. Un ángulo interior mide la semisuma del arco comprendido entre sus lados y el arco comprendido entre las prolongaciones de ellos, por ejemplo GHK (GK K'G') 2. (INTERIOR) 4. Un ángulo exterior mide la semidiferencia de los arcos mayor y menor comprendidos entre sus lados, por ejemplo : LMR (LNR LN'R) 2, (EXTERIOR) LMN (LN LN') 2, (EXTERIOR) NMP (NP N'P') 2 (EXTERIOR) COROLARIOS: 1. ÁNGULO INSCRITO: El vértice es un punto de la circunferencia y sus lados son dos semirrectas secantes a la circunferencia, por ejemplo el ABC. 2. ÁNGULO SEMIINSCRITO: El vértice es un punto de la circunferencia y sus lados son dos semirrectas una tangente y la otra secante a la circunferencia, por ejemplo el DEF. 3. ÁNGULO INTERIOR: El vértice es punto interior a la circunferencia y sus lados son dos semirrectas secantes a la circunferencia, por ejemplo el GHK. 4. ÁNGULO EXTERIOR: El vértice es punto exterior a la circunferencia y sus lados son semirrectas tangentes y/o secantes a la circunferencia, por ejemplo el LMR, el LMN y el NMP, 1. Todos los ángulos inscritos que subtienden el mismo arco son congruentes. 2. Todos los ángulos inscritos en una semicircunferencia son rectos. ARCO CAPAZ (LG) TEOREMA: Dado un segmento AB y dado un ángulo, 0 < < 180, entonces existen dos arcos de extremos A y B, (sobre circunferencias congruentes y simétricas con respecto a la recta AB), tales que la unión de dichos arcos, excepto los puntos A y B, forman el lugar geométrico de los puntos P del plano, para los cuales APB=. TEOREMA: angulares: En una circunferencia, en medidas 1. Un ángulo inscrito mide la mitad del arco comprendido entre sus lados, por ejemplo ABC AC 2. (INSCRITO) 2. Un ángulo semiinscrito mide la mitad del arco comprendido entre sus lados, por ejemplo DEF DE 2. (SEMIINSCRITO)

6 6 CIRCUNFERENCIA ARCO CAPAZ: Dado un segmento AB y dado un, 0 < < 180, el Arco capaz del segmento AB bajo el, es cada uno de los arcos a los que se refiere el teorema anterior. TEOREMA: El arco capaz de un segmento, bajo 90 es la semicircunferencia que le tiene por diámetro CONSTRUCCIÓN DE RECTAS TANGENTES TEOREMA: Las rectas tangentes a una C(O; r) trazadas desde un punto P exterior a ella, pasan por los puntos de intersección entre ella y la circunferencia de diámetro OP. PROPIEDADES DE LAS RECTAS TANGENTES DESDE UN PUNTO EXTERIOR TEOREMA: Sean PA y PB los segmentos tangentes a una circunferencia trazados desde un punto P exterior a ella, (A y B puntos de tangencia) entonces: TEOREMA: Las rectas tangentes comunes a dos circunferencias de distinto radio, no tangentes interiores y no interiores, son paralelas a las rectas tangentes trazadas desde el centro de la menor, a la circunferencia concéntrica con la mayor y de radio igual a la diferencia o a la suma de los radios. CUADRILÁTEROS INSCRITOS Y CIRCUNSCRITOS 1. Las tangentes son congruentes PA = PB. 2. OP es bisectriz del AOB y del APB. 3. AOB= P exterior del cuadrilátero PAOB. TEOREMA: Si un cuadrilátero convexo está inscrito en una circunferencia entonces sus ángulos opuestos son suplementarios y recíprocamente si un cuadrilátero convexo tiene un par de ángulos opuestos suplementarios entonces es inscriptible en una circunferencia. TEOREMA: Si un cuadrilátero convexo está circunscrito a una circunferencia entonces las sumas de las medidas de sus lados opuestos son iguales y recíprocamente si en un cuadrilátero convexo las sumas de las medidas de sus lados opuestos son iguales entonces es circunscriptible a la circunferencia. GEOMETRÍA C.A.V.A.