Funciones de Una Variable Real II: Cálculo de Primitivas

Transcripción

1 Universidad de Murcia Departamento Matemáticas Funciones de Una Variable Real II: Cálculo de Primitivas B. Cascales, J. M. Mira y L. Oncina Universidad de Murcia Grado en Matemáticas Curso

2 Contents Contenido 1 Recordatorio: teorema Fundamental del Cálculo 3 en cos y sen

3 Teorema Fundamental del Cálculo Teorema fundamental del cálculo Sea f R[a, b]. Para cada x [a, b] se define F (x) := x a f. (1) La función F así definida recibe el nombre de integral indefinida y verifica las propiedades siguientes: 1 F es continua en [a, b]. Si f es continua en c [a, b], entonces F es derivable en c y F (c) = f (c).

4 Primitivas: Regla de Barrow Definición Dada f : [a, b] R se dice que g es una primitiva de f si g es derivable y g = f. Integración por partes Sean f, g R[a, b] y supongamos que tienen primitivas F, G respectivamente. Entonces, b b Fg = F (b)g(b) F (a)g(a) fg. a a Cambio de variable Sea ϕ : [c, d] [a, b] una función derivable con derivada continua tal que ϕ(c) = a y ϕ(d) = b. Sea f : [a, b] R continua. Entonces b d f = (f ϕ)ϕ. a c

5 Primeros resultados Recordatorio: teorema Fundamental del Cálculo Sea f : [a, b] R una función que admite primitiva en [a, b]. Denotaremos por f (x) dx a una primitiva cualquiera de f en [a, b]. Si f es continua en [a, b], el conjunto de todas las primitivas de f en [a, b] lo escribiremos como f (x) dx + K donde K es un número real cualquiera.

6 Primeros resultados Recordatorio: teorema Fundamental del Cálculo Sea f : [a, b] R una función que admite primitiva en [a, b]. Denotaremos por f (x) dx a una primitiva cualquiera de f en [a, b]. Si f es continua en [a, b], el conjunto de todas las primitivas de f en [a, b] lo escribiremos como f (x) dx + K donde K es un número real cualquiera. Proposición Sean f y g funciones continuas en [a,b], y sean α y β números reales cualesquiera. Entonces: (αf (x) + βg(x)) dx = α f (x) dx + β g(x) dx. f (x)g (x) dx = f (x)g(x) g(x)f (x) dx. f (x) dx = f (ϕ(t))ϕ (t) dt, donde ϕ : [c, d] [a, b] es una biyección de clase C 1 ([c, d]), ϕ(c) = a y ϕ(d) = b.

7 Sea u(x) una función. Recordatorio: teorema Fundamental del Cálculo u n (x) u (x) dx = un+1 (x) n+1 + C, n 1 e u(x) u (x) dx = e u(x) + C cos(u(x)) u (x) dx = sen(u(x)) + C cosh(u(x)) u (x) dx = senh(u(x)) + C u (x) dx = ln u(x) + C, u(x) 0 u(x) a u(x) u (x) dx = au(x) ln a + C, a > 0, a 1 sen(u(x)) u (x) dx = cos(u(x)) + C senh(u(x)) u (x) dx = cosh(u(x)) + C u (x) u (x)) sen dx = cot(u(x)) + C (x) cos dx = tan(u(x)) + C (u(x)) u (x) senh dx = coth(u(x)) + C u (x)) (x) cosh dx = tanh(u(x)) + C (u(x)) u (x) 1+u dx = arctan(u(x)) + C u (x) dx = arcsen(u(x)) + C (x) 1 u (x) ( ) u (x) 1 u = arg tanh(u(x)) = u(x) (x) ln + C 1 u(x) ( u (x) dx = arg senh(u(x)) + C = ln u(x) + u (x)+1 ( u (x) dx = arg cosh(u(x)) + C = ln u(x) + u (x) 1 Tabla de primitivas inmediatas. ) u (x) + 1 u (x) 1 ) + C + C

8 Primitivas de funciones racionales en cos y sen Sean P(x) y Q(x) polinomios. Se trata de resolver P(x) dx. En primer lugar Q(x) nos aseguraremos de que el gradp(x) < gradq(x), en caso contrario haremos la división, P(x) = C(x)Q(x) + R(x), con gradr(x) < gradq(x), y así P(x) Q(x) dx = C(x) dx + R(x) Q(x) dx. Podemos asumir en lo que sigue que gradp(x) < gradq(x).

9 Primitivas de funciones racionales en cos y sen Si conocemos la factorización del polinomio del denominador Q(x) = (x a 1) m1 (x a r ) mr (x + p 1x + q 1) n1 (x + p sx + q s) ns, donde q i > p i P(x), i = 1,,..., s. Se puede demostrar que se puede expresar 4 Q(x) de manera única como suma de fracciones simples: P(x) Q(x) = A 1 1 (x a A m1 1 1) (x a 1) m A1 r + M1 1 x + N Mn1 1 x + Nn 1 1 x + p 1x + q 1 (x + p 1x + q ) n 1 + M1 s x + Ns 1 (x + p sx + q Mns s x + Ns ns s) (x + p sx + q, s) ns donde A i k, M i k, N i k son numeros reales a determinar. (x a r ) A mr r (x a r ) mr

10 Primitivas de funciones racionales en cos y sen Se trata pues de ser capaz de calcular la primitiva de cada una de las fracciones tipo que aparecen en la descomposición. Así tenemos: A dx = A ln x a + K. x a A dx = A (x a) n n 1 1 (x a) n 1 + K, n =, 3,... Mx+N dx = M ln [ (x + p x +px+q ) + c ] + N M p arctan c ( p ) x+. c

11 Primitivas de funciones racionales en cos y sen Cuando aparecen raíces complejas múltiples usaremos el método de Hermite u Ostrogadsky. Se trata de expresar la fracción como: ( ) P(x) Q(x) = d A(x) + B(x) dx D 1(x) D ; (x) con grada(x) < gradd 1(x), gradb(x) < gradd (x); D 1(x) es el máximo común divisor de Q(x) y Q (x), es decir, todos los factores que aparecen en Q(x) con un grado menos; D (x) = Q(x) D 1, es decir, D(x) son todos los (x) factores de Q(x) con multiplicidad 1. Por lo tanto, P(x) A(x) B(x) dx = Q(x) D + 1(x) D dx. (x)

12 Recordatorio de identidades trigonométricas en cos y sen 6.3 Funciones racionales en seno y coseno 47 Identidades trigonométricas sen x +cos x =1 sen(x + π )=cosx cos(x + π )= sen x tg x = sen x cos x cotg x = cos x sen x 1+tg x = 1 cos x sen x +seny =sen x + y sen x sen y =sen x y cos x y cos x + y sen(x + y) =senx cos y +cosx sen y cos(x + y) =cosx cos y sen x sen y sen x =senxcos x cos x =cos x sen x sen 1 cos x x = cos x = 1+cosx cos x +cosy =cos x + y cos x cos y = sen x + y cos x y sen x y Cuadro 6.1: Relaciones trigonométricas básicas. Estas relaciones, que seguramente

13 Funciones que contienen cos x y sen x en cos y sen Sea f (u, v) una función racional de dos variables y nos planteamos calcular f (sen(x), cos(x))dx.

14 Funciones que contienen cos x y sen x en cos y sen Sea f (u, v) una función racional de dos variables y nos planteamos calcular f (sen(x), cos(x))dx. En general haremos el cambio de variable t = tan( x ) y así: cos(x) = 1 t t ; sen(x) = 1 + t 1 + t ; dx = 1 + t dt.

15 Funciones que contienen cos x y sen x en cos y sen Sea f (u, v) una función racional de dos variables y nos planteamos calcular f (sen(x), cos(x))dx. En general haremos el cambio de variable t = tan( x ) y así: cos(x) = 1 t t ; sen(x) = 1 + t 1 + t ; dx = 1 + t dt. Queda entonces una función racional en la variable t, f ( t, 1 t ) dt 1+t 1+t 1+t

16 tado que la herramienta informáticaprimitivas proporciona de fracciones conracionales el que aparece escrito en la fórmula anterior. Coinciden losprimitivas resultados? de fracciones Explique racionales razonadamentesu cos y sen respuesta. Recordatorio: teorema Fundamental del Cálculo Otras integrales que contienen cos x y sen x En algunos casos particulares pueden hacerse otros cambios más específicos que, Caso frecuentemente, R(, ) = R(, dan ) lugar a primitivas más sencillas de calcular. Si R es una función par en seno y coseno, es decir, R( sen x, cos x) =R(sen x, cos x), lo que significa que cambiando simultáneamente sen x por sen x y cos x por cos x se obtiene la misma función, entonces puede comprobarse que el cambio 6.3 Funciones racionales en seno y coseno t =tgx 49 permite reducir también la primitiva a una del tipoanálisis considerado Matemático en la sec-ción 6.. Se tiene la siguiente fórmula J. M. Mira S. Sánchez-Pedreño t =tg x = sen x cos x = sen x 1 sen x que permite expresar sen x en función de t. Procediendodeformasimilarcon la función coseno se obtienen, finalmente, las siguientes fórmulas: sen x = t, cos x = 1 dt, dx = 1+t 1+t 1+t. 1

17 El lector debería B. Cascales, comparar J. M. Mirael y L. cambio Oncina de Funciones variable de Unaempleado Variable Real II en este caso en R(sen x, cos x) = sen x cos x +cos x = Recordatorio: teorema Fundamental del Cálculo = Otras integrales que contienen cos x y sen x en cos y sen 1 = R( sen x, cos x) ( sen x)( cos x)+( cos x) Entonces el cambio de variable t = tgx es adecuado y más sencillo que t =tg(x/); así: 1 sen x cos x +cos x dx = 1 dx tg x +1 cos x dt = =log 1+t + C =log 1+tgx + C Caso R es una función impar en el1+t seno Si R es una función impar en seno es decir, R( sen x, cos x) = R(sen x, cos x), entonces el cambio t =cosx permite reducir la primitiva a una del tipo considerado en la sección 6. como es fácil comprobar. Ejemplo sen 3 x 1+cos x dx = sen x 1 cos 1+cos x sen xdx= x sen xdx 1+cos x 1 t = 1+t dt = 1+ dt = t arctgt + C 1+t =cosx arctg(cosx)+c.

18 Otras integrales que contienen cos x y sen x en cos y sen 50 Cálculo de primitivas Caso R es una función impar en el coseno Si R es una función impar en coseno, es decir, R(sen x, cos x) = R(sen x, cos x), entonces el cambio t =senx permite reducir la primitiva a la de una función racional, del tipo considerado en la sección 6.. Ejemplo cos x dx = = 1 cos x cos xdx= 1 cos xdx 1 sen x 1 1 t dt = 1 ( 1 1+t + 1 ) = 1 1 t dt log 1+t 1 t + C =log 1+sinx B. Cascales, J. M. Mira y L. Oncina + C Funciones de Una Variable Real II

19 Funciones que contienen cos x y sen x en cos y sen Merece la pena hacer especial mención del caso cos n (x) sen m (x) dx, n, m N. 1 Si n es impar, haremos el cambio t = sen(x). Si m es impar, haremos el cambio t = cos(x). 3 Si n y m son pares, usaremos cos (x) = 1+cos(x) y sen (x) = 1 cos(x) para reducir el grado en el integrando.

20 Ejemplos Recordatorio: teorema Fundamental del Cálculo en cos y sen Calcular las siguientes primitivas 1 1 dx = arctan ( 1 tan( x )). 5+4 cos(x) 3 3

21 Ejemplos Recordatorio: teorema Fundamental del Cálculo en cos y sen Calcular las siguientes primitivas 1 1 dx = arctan ( 1 tan( x )). 5+4 cos(x) cos (x) dx = 1 ln 1+sen(x) cos(x)(1+sen (x)) 4 1 sen(x) + 3 arctan(sen(x)).

22 Ejemplos Recordatorio: teorema Fundamental del Cálculo en cos y sen Calcular las siguientes primitivas 1 1 dx = arctan ( 1 tan( x )). 5+4 cos(x) cos (x) dx = 1 ln 1+sen(x) cos(x)(1+sen (x)) 4 1 sen(x) + 3 arctan(sen(x)). 3 sen (x) dx = ( ) 1 arctan 1+cos (x) tan(x) x.

23 Ejemplos Recordatorio: teorema Fundamental del Cálculo en cos y sen Calcular las siguientes primitivas 1 1 dx = arctan ( 1 tan( x )). 5+4 cos(x) cos (x) dx = 1 ln 1+sen(x) cos(x)(1+sen (x)) 4 1 sen(x) + 3 arctan(sen(x)). 3 sen (x) dx = ( ) 1 arctan 1+cos (x) tan(x) x. 4 sen (x) cos (x) dx = 1 x 1 sen(4x). 8 3

24 Funciones de la forma f (e x ) en cos y sen Si f es una fracción racional, las primitivas de la forma f (e x ) dx se calculan haciendo el cambio t = e x, y entonces f (e x ) dx = f (t) dt = f 1(t) dt, t donde f 1 es también una fracción racional.

25 Funciones de la forma f (e x ) en cos y sen Si f es una fracción racional, las primitivas de la forma f (e x ) dx se calculan haciendo el cambio t = e x, y entonces f (e x ) dx = f (t) dt = f 1(t) dt, t donde f 1 es también una fracción racional. Hay que mencionar que toda fracción racional de cosh(x) y senh(x) se transforma en una de las anteriores sin más que expresar dichas funciones hiperbólicas en función de la exponencial: cosh(x) = ex +e x y senh(x) = ex e x. Recordar que las inversas se pueden escribir también como: arg cosh(x) = ln(x + x 1), arg senh(x) = ln(x + x + 1).

26 Funciones de la forma f (e x ) en cos y sen Si f es una fracción racional, las primitivas de la forma f (e x ) dx se calculan haciendo el cambio t = e x, y entonces f (e x ) dx = f (t) dt = f 1(t) dt, t donde f 1 es también una fracción racional. Hay que mencionar que toda fracción racional de cosh(x) y senh(x) se transforma en una de las anteriores sin más que expresar dichas funciones hiperbólicas en función de la exponencial: cosh(x) = ex +e x y senh(x) = ex e x. Recordar que las inversas se pueden escribir también como: arg cosh(x) = ln(x + Calcular ( ) 1+sinh(x) dx = ln (e x +1). 1+cosh(x) e x e x +1 x 1), arg senh(x) = ln(x + x + 1).

27 Funciones que contienen ax + bx + c R(x, ax + bx + c)dx = 1 3 que es ya una función racional (I 3 ) 3 1+t 1+t 1 u 3 R(x, ax + bx + c) dx en cos y sen u 3 u 3u (1 u 3 )+u 3 3u du = (1 u 3 ) (1 u 3 ) du Aquí R representa a una función racional de dos variables y suponemos, obviamente, que ax + bx + c tiene sentido. Este tipo de primitivas se conoce con el nombre de irracionales cuadráticas. Por calcular las primitivas de este tipo de funciones basta observar que mediante un adecuado cambio de variable afín (del tipo t = αx + β) laprimitivapropuesta da origen a una de las siguientes: t 1, t +1o 1 t,dependiendode los valores de a, b y c. Setrataahoradecalcularlasprimitivasdecadaunade ellas. 1 t. Puede calcularse de forma sencilla mediante el cambio de variable z =sent. Los otros casos Análisis Matemático I Cuando despues del cambio de variable se obtienen expresiones J. M. Mira de la forma S. Sánchez-Pedreño t 1 o t + 11 se hacen cambios del tipo t por una función hiperbólica. Veáse OCW.