Integración por fracciones parciales

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Carolina Lara Sosa
hace 7 años
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1 Integración por fracciones parciales El cociente de dos polinomios se denomina función racional. La derivación de una función racional conduce a una nueva función racional que puede obtenerse por la regla de la derivada de un cociente. Por otra parte, la integración de una función racional puede conducirnos a funciones que no son racionales por ejemplo: ln + C y arctan + C + ahora daremos un método para calcular la integral de una función racional cualquiera y se verá que el resultado puede epresarse siempre por medio de polinomios, funciones racionales, arcotangentes y logaritmos. La idea del método es descomponer la función racional en fracciones simples y calcular las primitivas de tales fracciones. Supongamos entonces que f g es una función racional, si es impropia podemos simplemente dividir y nos queda f R Q + g g donde Q es un polinomio el cociente de la división y R es el resto de la división note que el grado del resto es menor que el del divisor g, de esta forma toda función racional se puede escribir como la suma de un polinomio con una función racional propia. Teorema 0.. Sea R P una función racional propia con P, Q R [], se tienen los siguientes casos: Q. Si R P α + β α + β α n + β n donde el denominador solo tiene raíces reales y ninguna repetida entonces eisten constantes A, A,... A n tales que P α + β α + β α n + β n A α + β + A α + β + + A n α n + β n. Si R P r n con r R entonces eisten constantes A, A,... A n tales que P r n A r + A r + + A n r n 3. Si R P /Q es tal que el denominador solo tiene raíces complejas distintas R P α + β + γ α + β + γ α n + β n + γ n donde β i 4α iγ i < 0 entonces eisten constantes E, E,... E n y F, F,..., F n tales que P α + β + γ α + β + γ α n + β n + γ n E + F α + β + γ + E + F α + β + γ + + E n + F n α n + β n + γ n 4. Si R P /Q tiene la forma P α + β + γ n con β 4α γ < 0 esto es raíces complejas repetidas entonces eisten constantes E, E,... E n y F, F,..., F n tales que P α + β + γ n E + F α + β + γ + E + F α + β + γ + + E n + F n α + β + γ n Piepi

2 5. Si el denominador tiene raíces reales repetidas y no repetidas, complejas y/o complejas repetidas entonces se aplica por cada factor las reglas anteriores. Ejemplo 0.. Ejemplo 0.. Ejemplo 0.3. Ejemplo 0.4. Ejemplo El método de descomposición de funciones racionales descrito anteriormente es llamado descomposición en fracciones parciales. y Sabemos que toda función racional propia se puede descomponer en suma de fracciones de la forma donde k, m N, a, b, c, A, B, C, α, β son constates y A α + β k B + C a + b + c m b 4ac < 0 en lo que nos dice que es una cuadrática sin raíces reales. Luego el calculo de la integral de una función racional, se reduce al calculo de integrales de polinomios que ya sabemos calcular y a cálculo de integrales de la forma A α + β k y aprenderemos a calcular este tipo de integrales. B + C a + b + c m Piepi

3 Ejemplo 0.6. Consideremos la integral La función racional es propia el grado del denominador es mayor que el del denominador podemos descomponerla en suma de fracciones parciales, para ello necesitamos conocer las raíces reales del denominador, como se sigue que luego por el método de las fracciones parciales, eisten constantes A y B tales que A B para determinar las constantes podemos utilizar alguno de los métodos conocidos, por ejemplo multiplicar ambos lados de la epresión por el denominador evaluando la igualdad en obtenemos evaluando la igualdad en 3 se obtiene A + B A 0 + 4B B A 4 + B 0 A 3 se sigue luego ln ln + C el procedimiento utilizado en este ejemplo es aplicable cuando el polinomio del denominador posee tantas raíces reales como el grado del polinomio y todas las raíces distintas. Ejercicios propuestos. Calcular. Calcular 3. Calcular Piepi 3

4 Veamos ahora que pasa si la raíces se repiten: Ejemplo 0.7. Calcular notemos que es una función racional propia, luego podemos efectuar directamente la descomposición en fracciones parciales no necesitamos dividir los polinomios luego desarrollando encontramos se sigue A + B + + A 3, B y C ln Es posible calcular sin problemas las integrales del tipo A α + β k para k la integral es C + + ln C A α + β A ln α + β + C α para k > podemos efectuar un cambio de variables u α + β eso implica du α de donde A du α + β k A αu k A u k+ α k + + C Ejemplo 0.8. Calcular A α + β k+ + C α k Desarrollo: Podemos hacer la sustitución u du se sigue 3 du 3 3 u 3 3 u 3 du u C 3 4 u + C C Ahora veamos que pasa con las integrales del tipo B + C a + b + c m con b 4ac < 0. Piepi 4

5 Ejemplo 0.9. Calcular + + note que en este caso, es denominador no posee raíces reales < 0 y + + ya es una fracción parcial no tenemos que aplicar la técnica de descomposición, para calcular este tipo de integrales intentamos llevarla a una de la forma dv v + que sabemos calcular arctan v completemos cuadrados en el denominador, luego si hacemos el cambio de variable luego u + du u du u + udu u + du u + note que la primera es calculable por una simple sustitución v u + esto es general para las integrales del tipo + α m las cuales pueden ser calculadas mediante el cambio de variables v + α dv conocida, luego udu u + du u + ln u + arctan u + C volvemos a la variable original + + ln + + arctan + + C y la segunda es Toda integral de la forma la podemos escribir como pero B + C a + b + c m B a + b + c m + C B a + b + c m B a a + b b a + b + c m B a + b a a + b + c m Bb a a + b + c m a + b + c m Piepi 5

6 de esta forma B + C a + b + c m B a a + b a + b + c m + C Bb a a + b + c m la integral a + b a + b + c m se puede calcular mediante la sustitución u a + b + c du a + b, por lo que no presenta mayor dificultad. El problema ahora, es calcular integrales del tipo a + b + c m completemos cuadrado de binomio a + b + c a + b note que b 4ac < 0 4ac b > 0 obtenemos a + b + c m hagamos el cambio de variables entonces se sigue a m a + b a a m a + b 4a + 4ac b 4a b 4a + c a + b a + 4ac b 4a + b a + 4ac b 4a + b 4ac b a 4a v 4ac b 4a dv + b m a + 4ac b 4a a m a m de donde obtenemos que el cálculo de las integrales de la forma a + b + c m puede ser reducido al cálculo de integrales de la forma dv v + m m m 4ac b 4a dv 4ac b 4a v + 4ac b 4a 4ac b 4a 4ac b m 4a dv v + m y estas pueden ser enfrentadas por sustituciones trigonométricas o integración por partes. m Piepi 6

7 Ejemplo 0.0. Calcular + Desarrollo: Pongamos tan u sec udu entonces sec + udu sec 4 u cos udu u + sin u + C 4 volvemos a la variable original + + arctan + C Con todo esto estamos en condiciones de calcular la integral de una función racional cualquiera aunque nuestros cálculos se ven limitados por tener que encontrar las raíces que nos permitan hacer la descomposición en fracciones parciales Ejercicios propuestos a d b e + g h Sustitución tangente del ángulo medio c f 4 3 i Para integrales de la forma R sin, cos donde R es una función racional, utilizamos la sustitución t tan de ella obtenemos lo siguiente: además entonces y arctan t dt + t sin cos t + t + t sin sin cos t + t cos cos t + t sin Piepi 7

8 así Ejemplo 0.. Calcular la integral R sin, cos Usamos la sustitución t tan entonces + sin + cos + sin + cos ln t R + t, t dt + t + t dt +t + t +t + t +t dt ln t + + C + t tan + + C Ejercicios propuestos cos sin + cos cos + cos Sustituciones trigonométricas Primitivas de funciones que involucran epresiones del tipo a, a y + a pueden ser calculadas en algunas ocasiones mediante sustituciones trigonométricas. La siguiente tabla indica el cambio adecuado en cada caso: Epresión Sustitución Identidad a a sen θ, θ [ π, π ] a + a tan θ, θ ] π, π [ a a sec θ, θ [ 0, π [ [ [ π, 3π sen θ cos θ + tan θ sec θ sec θ tan θ Por ejemplo, al considerar a y hacer a sen θ con θ [ π, ] π entonces a a a sen θ a sen θ a cos θ a cos θ pero si θ [ π, ] π entonces cos θ 0 entonces a a cos θ Piepi 8

9 Ejemplo 0.. Calcular 9 Desarrollo: Ponemos 3 sen θ entonces 3 cos θ dθ así 9 3 cos θ 9 sen 3 cos θ dθ θ cos θ sen θ dθ cot θdθ csc θ dθ cot θ θ + C para retornar a la variable original notar que sen θ /3 de donde obtenemos cot θ arc sen + C 3 Ejemplo 0.3. Calcular Ejemplo 0.4. Calcular así Observación 0.. No siempre que aparecen las epresiones a, a y + a las sustituciones anteriores son el camino más conveniente, por ejemplo la integral + puede ser calculada rápidamente mediante la sustitución u + en lugar de hacer una sustitución trigonométrica. Piepi 9

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