Tema 6 Algunos modelos de distribuciones discretas.

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Tema 6 Algunos modelos de distribuciones discretas."

Transcripción

1 Tema 6 Algunos modelos de distribuciones discretas. Una vez epuesta la teoría general sobre variables aleatorias y sus distribuciones de probabilidad, vamos a describir algunas distribuciones particulares que han demostrado, empíricamente, ser modelos apropiados para situaciones que ocurren en la vida real. A pesar de ello tales distribuciones presentan un carácter teórico en el sentido de que sus funciones de probabilidad o de densidad se deducen matemáticamente en base a ciertas hipótesis que se suponen válidas para los fenómenos aleatorios. La elección de una distribución de probabilidad para representar un fenómeno de interés práctico debe estar motivada tanto por la comprensión de la naturaleza del fenómeno en sí, como por la posible verificación de la distribución seleccionada a través de la evidencia empírica. En todo momento debe evitarse aceptar de manera tácita una determinada distribución de probabilidad como modelo de un problema práctico. Una distribución de probabilidad está caracterizada, de forma general, por una o más cantidades que reciben el nombre de parámetros de la distribución. Un parámetro puede tomar cualquier valor de un conjunto dado y, en ese sentido, se define una familia de distribuciones de probabilidad que tendrán la misma función genérica de probabilidad o función de densidad. En este tema estudiaremos varias distribuciones de tipo discreto de gran utilidad en aplicaciones. En cada caso, se epondrá detalladamente cómo surgen (el modelo probabilístico subyacente) y se deducirán sus momentos, función generatriz de momentos y otras características de interés 1. Distribución degenerada La distribución discreta más sencilla es la correspondiente a una variable aleatoria degenerada o constante, es decir, la asociada a un eperimento aleatorio que da lugar siempre al mismo resultado. Por tanto, dicha variable aleatoria tomará un único valor c. Su función masa de probabilidad es 1 = c P[X = ] = 0 c Algunas de sus características son: Función de distribución: 0 < c F () = P[X ] = 1 c Patricia Román Román 1

2 Momentos no centrados: Y, en particular, la MEDIA m k = E[X k ] = c k P[X = c] = c k, k = 1, 2, Momentos centrados: E[X] = c. Y, en particular, la VARIANZA µ k = E[(X c) k ] = 0, k = 1, 2, Var[X] = 0. Esta propiedad caracteriza a las distribuciones degeneradas; es decir, una variable aleatoria tiene varianza cero si y solamente si es degenerada en un punto (Propiedades de la varianza). Función generatriz de momentos: M(t) = E[e tx ] = e tc t R. Notas Si una variable aleatoria tiene función generatriz de momentos M X (t) = e 5t t R entonces, dado que la f.g.m. determina de forma única la distribución de la variable, X tiene una distribución degenerada en el punto 5, es decir P[X = 5] = 1 Si una variable aleatoria tiene función generatriz de momentos M X (t) = 1 t R entonces, dado que la f.g.m. determina de forma única la distribución de la variable, X tiene una distribución degenerada en el punto 0, es decir P[X = 0] = 1 Patricia Román Román 2

3 2. Distribución uniforme discreta Esta es la distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta que toma un número finito de valores que son equiprobables y se utiliza para modelizar variables aleatorias asociadas a eperimentos aleatorios que tienen un número finito de posibles resultados que son equiprobables. Su función masa de probabilidad es P[X = i ] = 1 n, i = 1, 2,, n Se dice entonces que la variable aleatoria X se distribuye uniformemente sobre los puntos 1, 2,, n y se notará X U( 1, 2,..., n ). Ejemplo La variable aleatoria asociada al eperimento aleatorio de lanzar un dado al aire (tiene seis resultados posibles y equiprobables si el dado está bien construido) P [X = i] = 1, i = 1, 2,, 6 6 Algunas de sus características son: Función de distribución: F () = 1 n (Número de valores i ) = 0 si < 1 i n si i < i+1, i = 1,..., n 1 1 si n Momentos no centrados: Y, en particular, la MEDIA m k = E[X k ] = 1 n n k i, k = 1, 2, i=1 Momentos centrados: E[X] = 1 n n i =. i=1 µ k = E[(X EX) k ] = 1 n n ( i ) k, k = 1, 2, i=1 Patricia Román Román 3

4 Y, en particular, la VARIANZA Var[X] = 1 n n ( i ) 2. i=1 Función generatriz de momentos: M(t) = E[e tx ] = 1 n n e t i t R. i=1 En el caso particular i = i, i = 1, 2,..., n 3. Distribución de Bernoulli E[X] = 1 n n i=1 i = 1 n(n+1) = n+1 n 2 2 E[X 2 ] = 1 n n i=1 i2 = 1 n(n+1)(2n+1) = (n+1)(2n+1) n 6 6 Var[X] = (n+1)(2n+1) (n+1)2 = n Supongamos un eperimento aleatorio que da lugar, únicamente, a dos posibles resultados que son mutuamente ecluyentes y ehaustivos. Los dos posibles resultados se denotan como: - éito (E), que será el suceso objeto de estudio, y - fracaso (F ), que es el complementario de E. Evidentemente E, F Ω, E F = Ω, E F =. A este tipo de eperimentos aleatorios se les llama eperimentos o pruebas de Bernoulli. Asociado a un eperimento o prueba de Bernoulli y a su correspondiente espacio muestral Ω = {E, F }, se define la variable aleatoria con distribución de Bernoulli como 1 si ocurre el suceso E X = 0 si no ocurre el suceso E (ocurre F ) Si se denota por p a la probabilidad del suceso éito (E) y, por tanto, la probabilidad del suceso fracaso será 1 p, la función masa de probabilidad de esta variable aleatoria será o bien, P[X = 1] = p P[X = 0] = 1 p Patricia Román Román 4

5 P[X = ] = p (1 p) 1, = 0, 1; 0 < p < 1 y se notará como X B(1, p). (Los casos p = 0 y p = 1 dan lugar a variables degeneradas) Ejemplos - La variable aleatoria asociada al eperimento aleatorio de lanzar una moneda (si la moneda está bien construida p = 1/2) - La variable aleatoria asociada a contabilizar ocurrencias, por ejemplo si una persona es votante de un partido o no, si una pieza manufacturada es defectuosa o no (variables indicadoras). Algunas de sus características son: Función de distribución F () = 0 < 0 1 p 0 < Momentos no centrados: m k = p, k = 1, 2, Y, en particular, E[X] = p, E[X 2 ] = p Momentos centrados: Y, en particular, µ k = (1 p) k p + ( p) k (1 p), k = 1, 2, Función generatriz de momentos: Var[X] = E[X 2 ] (E[X]) 2 = p p 2 = p(1 p) M(t) = pe t + (1 p) t R Patricia Román Román 5

6 Nota Si una variable aleatoria tiene función generatriz de momentos M X (t) = 0,8e t + 0,2 t R entonces, dado que la f.g.m. determina de forma única la distribución de la variable, X tiene una distribución B(1, 0,8). Ejemplo.- Un agente de seguros dedicado a la venta de seguros de vida, realiza visitas a posibles clientes con el fin de contratar un seguro de vida. Se sabe de su trayectoria como agente que en el 60 % de las visitas logra contratar un seguro. Definir la variable aleatoria asociada a este eperimento aleatorio y obtener su media y varianza. Tenemos un eperimento aleatorio o prueba de Bernoulli que consiste en realizar una visita a un cliente e intentar contratarle un seguro. Los dos posibles resultados serán: - El cliente contrata el seguro, suceso éito. - El cliente no contrata el seguro, suceso fracaso. La variable aleatoria asociada al eperimento se define como 1 si el cliente contrata el seguro (ocurre el suceso E) X = 0 si el cliente no contrata el seguro (no ocurre el suceso E) En este caso la probabilidad de éito es p = 0,6 y de aquí que la función masa de probabilidad de la variable aleatoria X es La media y la varianza son P[X = 1] = P (E) = 0,6 = p P[X = 0] = P (E) = 0,4 = 1 p 4. Distribución binomial E[X] = p = 0,6 Var[X] = p(1 p) = 0,6 0,4 = 0,24 Una generalización de la distribución de Bernoulli se obtiene cuando: - El eperimento o prueba de Bernoulli se repite n veces de forma independiente. - La probabilidad de éito p permanece constante en cada repetición del eperimento. Se define ahora una variable aleatoria X como el número de éitos en las n repeticiones independientes del eperimento que puede tomar los valores k = 0, 1,, n. Calculemos la probabilidad de que dicha variable tome cada uno de esos valores; esto es, P[X = k], k = 0, 1,, n, o lo que es lo mismo, la probabilidad de obtener k éitos (o realizaciones del suceso E) en las n pruebas de Bernoulli. Una de las posibles formas de obtener k éitos en las n pruebas sería que se realizara E en las k primeras pruebas y Ē en las n k restantes Patricia Román Román 6

7 EE k) EĒĒ n k) Ē Al ser las pruebas independientes, la probabilidad de la intersección de los n sucesos anteriores será el producto de las probabilidades de cada uno de los sucesos; esto es pp k) p(1 p)(1 p) n k) (1 p) = p k (1 p) n k Ahora habrá que multiplicar esta probabilidad por el número de posibles ordenaciones de los k éitos y los n k fracasos, que es el número de permutaciones de n elementos con repetición de k elementos de un tipo y n k de otro Por tanto P[X = ] = n! k!(n k)! = ( ) n p (1 p) n, ( ) n k = 0, 1,, n Definición.- Se dice que una variable aleatoria X sigue una distribución binomial de parámetros n y p, n N, p (0, 1) si modeliza el número de éitos en n repeticiones independientes de un ensayo de Bernoulli con probabilidad p de éito, manteniéndose ésta constante en las n repeticiones del eperimento; o bien, si su función masa de probabilidad es ( ) n P[X = ] = p (1 p) n, = 0, 1,, n. Se notará como X B(n, p). Nota.-Observemos que la distribución de Bernoulli no es más que un caso particular de la distribución binomial con n = 1. Probemos que, en efecto, es una función masa de probabilidad. En primer lugar, son valores mayores o iguales que cero y, en segundo lugar, su suma vale uno. En efecto, teniendo en cuenta el binomio de Newton n P[X = ] = n ( ) n p (1 p) n = [p + (1 p)] n = 1 Ejemplo: Número de caras al lanzar una moneda n veces de forma independiente. Aplicaciones Sus principales áreas de aplicación incluyen control de calidad, ventas, mercadotecnia, medicina, investigación de opiniones y otras. Patricia Román Román 7

8 - Número de unidades defectuosas en un proceso de fabricación. En un proceso de manufactura se produce un determinado producto en el que algunas unidades son defectuosas. Si la proporción de unidades defectuosas producidas por este proceso es constante durante un periodo razonable y si, como procedimiento de rutina, se seleccionan aleatoriamente un determinado número de unidades, entonces el número de artículos defectuosos en dicha muestra se puede modelizar mediante el empleo de la distribución binomial. - En aplicaciones de publicidad para la venta de un artículo, también puede considerarse la distribución binomial, si se supone que la probabilidad de venta es constante para todas las personas consideradas. - En Medicina, por ejemplo, para estudiar el número de individuos que contraen una enfermedad, si para un grupo determinado de la población la probabilidad de contraer tal enfermedad se mantiene constante. Algunas de sus características son: Función de distribución: F () = P[X ] = 0 < 0 P[X = 0] +... P[X = i] i < i + 1; i = 1, 2,..., n 1 1 n o bien, F () = [] k=0 0 < 0 ( ) n p k (1 p) n k k 0 < n 1 n donde [] denota la parte entera de. Dicha función de distribución es una función escalonada con n + 1 saltos en los puntos 0,, n de longitudes P[X = 0],..., P[X = n] Función generatriz de momentos M(t) = (pe t + (1 p)) n t R En efecto Patricia Román Román 8

9 = M(t) = E [ e tx] = n n ( ) n e t p (1 p) n ( ) n (pe t ) (1 p) n = [pe t + (1 p)] n Momentos: Dado que la variable está acotada, eisten los momentos de todos los órdenes, pero nos limitaremos a calcular hasta los de orden dos. Media E[X] = np lo cual se puede probar, o bien a partir de la función generatriz de momentos o bien, directamente. Veamos la obtención directa E[X] = n ( ) n p (1 p) n = n n!!(n )! p (1 p) n = n =1 n! ( 1)!(n )! p (1 p) n = np Tomando y = 1 y m = n 1, entonces E[X] = np m y=0 n =1 (n 1)! ( 1)!(n )! p 1 (1 p) n m! y!(m y)! py (1 p) m y = np dado que los términos de la última suma corresponden a la función masa de probabilidad de una B(m, p) y, por tanto, suman uno. Varianza Var[X] = np(1 p) dado que el momento no centrado de orden dos es m 2 = E[X 2 ] = n(n 1)p 2 + np. Este se puede obtener a partir de la función generatriz de momentos o bien directamente. Veamos esta última forma E[X 2 ] = E[X(X 1)] + E[X] Dado que E[X] ya es conocida, obtengamos la otra Patricia Román Román 9

10 E[X(X 1)] = n ( ) n ( 1) p (1 p) n = n n! ( 1)!(n )! p (1 p) n n =2 n! ( 2)!(n )! p (1 p) n = n(n 1)p 2 n =2 (n 2)! ( 2)!(n )! p 2 (1 p) n Tomando ahora y = 2 y m = n 2, de forma análoga a la media, se obtiene E[X(X 1)] = n(n 1)p 2 m y=0 m! y!(m y)! py (1 p) m y = n(n 1)p 2 dado que los términos de la última suma corresponden a la función masa de probabilidad de una B(m, p) y, por tanto suman uno. Propiedad de simetría.- Si X B(n, p), entonces la variable aleatoria que contabiliza el número de fracasos, Y = n X B(n, 1 p) y, además P[X = ] = P[Y = n ] Se puede probar calculando la función generatriz de momentos. M Y (t) = E[e t(n X) ] = e tn M X ( t) = e tn ( pe t + (1 p) ) n = ( (1 p)e t + p ) n. Cálculo de probabilidades y representaciones gráficas (Ver apuntes y scripts de R, y applets de Java con Geogebra) EJERCICIOS 1.- Un club nacional de automovilistas comienza una campaña telefónica con el propósito de aumentar el número de miembros. En base a eperiencia previa, se sabe que una de cada 20 personas que reciben la llamada se une al club. Si en un día, 25 personas reciben la llamada telefónica, cuál es la probabilidad de que por lo menos dos de ellas se inscriban al club? Cuál es el número esperado? Solución: Si cada persona que recibe la llamada se une o no al club, independientemente del resto, entonces, X : Número de personas que se unen al club de las 25 llamadas Patricia Román Román 10

11 X B(25, 1/20) = 1 P[X 2] = 1 P[X < 2] = 1 [P[X = 0] + P[X = 1]] = [ (25 0 ) ( 1 20 ) 0 ( ) ( ) ( E[X] = np = = 1.25 ) 1 ( ) ] = Un representante realiza cinco visitas cada día a los comercios de su ramo y, por eperiencia anterior, sabe que la probabilidad de que le hagan un pedido en cada visita es 0.4. Calcular a) La distribución del número de pedidos por día. b) Media y varianza del número de pedidos por día. c) Probabilidad de que el número de pedidos que realiza durante un día sea 4. d) La probabilidad de que realice por lo menos dos pedidos. e) La probabilidad de que el número de pedidos que realiza durante un día esté comprendido entre 1 y 3. Solución: Supuesto que en cada visita se hace un pedido o no independientemente de lo que se haga en otra visita: a) X : Número de pedidos diarios B(5, 0.4) b) E[X] = = 2, V ar[x] = = 1.2 c) P (X = 4) = ( 5 4) = Con R, dbinom(4,5,0.4)= d) P (X 2) = 1 P (X < 2) = 1 P (X 1) = 1 (P (X = 0) + P (X = 1)) = Con R, 1-pbinom(1,5,0.4)= , o bien, dado que P (X 2) = P (X > 1), pbinom(1,5,0.4,lower.tail=false)= e) P (1 X 3) = P (X = 1)+P (X = 2)+P (X = 3) = ( ) ( ) ( 5 3) = = Con R, sum(dbinom(1:3,5,0.4))=0.8352, o bien, pbinom(3,5,0.4)-pbinom(0,5,0.4)= Se envían 20 invitaciones a los representantes estudiantiles para asistir a una conferencia. De eperiencias anteriores se sabe que la probabilidad de aceptar la invitación es 0.8. Si las decisiones de aceptar estas invitaciones son independientes, determinar la probabilidad de que como mínimo 17 estudiantes acepten la invitación. Solución: X : Número de representantes que aceptan la invitación B(20, 0.8) Patricia Román Román 11

12 P (X 17) = P (X = 17) + P (X = 18) + P (X = 19) + P (X = 20) Con R, pbinom(16,20,0.8,lower.tail=false)= Distribución de Poisson Esta distribución sirve para representar el número de ocurrencias de un determinado suceso durante un periodo de tiempo fijo o en una región fija del espacio, cuando el número de ocurrencias sigue unas determinadas pautas: El número de ocurrencias en un intervalo o región especificada debe ser independiente del número de ocurrencias en cualquier otro intervalo o región. Si se considera un intervalo de tiempo muy pequeño (o una región muy pequeña), la probabilidad de una ocurrencia es proporcional a la longitud del intervalo (al volumen de la región) y la probabilidad de dos o más ocurrencias es prácticamente nula (despreciable). Definición: Una variable aleatoria X tiene distribución de Poisson de parámetro λ (λ > 0) si su función masa de probabilidad es Se nota X P(λ). P[X = ] = e λ λ, = 0, 1,...! Probemos que en efecto es una función masa de probabilidad. En primer lugar, son valores mayores o iguales que cero y, en segundo lugar, su suma vale uno. En efecto, teniendo en cuenta el desarrollo de la eponencial Aplicaciones P[X = ] = λ λ e! = e λ Esta distribución sirve para representar, por ejemplo: λ! = e λ e λ = 1 - Número de accidentes que ocurren durante un determinado espacio de tiempo en una determinada carretera. - Número de llamadas telefónicas a una oficina (en un determinado intervalo de tiempo). - Número de bacterias en un cultivo. En general, las situaciones reales en las que se usa la distribución de Poisson se caracterizan porque la probabilidad del suceso cuyo número de ocurrencias se contabiliza es pequeña y por ello suele denominarse la LEY DE LOS SUCESOS RAROS. Algunas de sus características son: Patricia Román Román 12

13 Función de distribución F () = [] k=0 0 < 0 λ λk e k! 0 donde [] denota la parte entera de. Función generatriz de momentos M(t) = e λ(et 1) t R En efecto M(t) = e t λ λ e! = e λ (e t λ)! = e λ e etλ = e λ(et 1) Media E[X] = λ lo cual se puede probar o bien directamente, o a partir de la función generatriz de momentos. Veamos la obtención directa E[X] = λ λ e! = λe λ =1 λ 1 ( 1)! = λe λ e λ = λ Por tanto, el parámetro λ de la distribución es el número medio de ocurrencias en el intervalo de tiempo o región del espacio considerada. Varianza Var[X] = λ Razonando de forma análoga a la binomial y calculando E[X(X 1)] E[X(X 1)] = λ λ ( 1)e! = λ2 e λ =2 λ 2 ( 2)! = λ2 e λ e λ = λ 2 se obtiene E[X 2 ] = λ 2 + λ, de donde se deduce el valor de la varianza. Patricia Román Román 13

14 Relación entre las distribuciones binomial y de Poisson La distribución de Poisson se puede obtener como límite de una distribución binomial: Consideramos una variable que modeliza el número de sucesos ocurridos en un intervalo de tiempo, y dividimos dicho intervalo en n subintervalos tan pequeños de forma que en cada uno de ellos pueda ocurrir a lo sumo un suceso con probabilidad no nula, a la que llamaremos p. De esta forma el número de sucesos que ocurren en cada subintervalo tiene una distribución B(1, p) y, al ocurrir los sucesos de forma independiente en los subintervalos, el número de sucesos en el intervalo es una B(n, p). Claramente, cuando n aumenta, p disminuye ya que al aumentar n disminuye la amplitud de los intervalos y, por tanto, la probabilidad de que ocurra un suceso en él. En consecuencia, considerando un número n grande de pruebas de Bernoulli independientes, con probabilidad de ocurrencia p pequeña, y tomando λ = np, se obtiene la distribución de Poisson como límite de la binomial cuando n. Es decir, si n, p 0 y np λ la distribución binomial tiende a una Poisson, es decir En efecto, lím n p 0 np λ P[X = ] = [( n )p (1 p) n ] = e ( ) n p (1 p) n = λ λ! = 0, 1, n! (np)!(n )! n (1 p)n = = (np) n(n 1) (n + 1) (1 p) n! n Ahora tomando límites cuando n, p 0 de forma que np λ, se tiene dado que lím n p 0 np λ [( ] n )p (1 p) n = e λ λ! lím n lím n p 0 lím np λ (np)! = λ! n(n 1) [n ( 1)] n = 1 (1 p) n = e lím(n )( p) = e λ Cálculo de probabilidades y representaciones gráficas (Ver apuntes y scripts de R, y applets de Java con Geogebra) Patricia Román Román 14

15 EJERCICIOS 1.- En una cierta empresa constructora el número de accidentes es por término medio de 3 por mes. Calcular: a) La probabilidad de que no ocurra ningún accidente en un mes dado. b) La probabilidad de que ocurran menos de 5 accidentes en un mes dado. c) La probabilidad de que ocurran más de 3 accidentes en un mes dado. d) La probabilidad de que ocurran eactamente 3 accidentes en un mes dado. Si suponemos que los accidentes cuando ocurren son independientes unos de otros y además, que ocurren con una tasa de ocurrencia constante, la variable aleatoria número de accidentes en un mes dado tiene una distribución de Poisson. Dado que el número medio de accidentes al mes es 3 y el parámetro λ de una Poisson es el valor medio (λ = 3), la distribución considerada es una P(3). Las probabilidades solicitadas son a) P[X = 0] = 30 0! e 3 = Con R, dpois(0,3)= b) P[X < 5] = P[X 4] = P[X = 0] + P[X = 1] + P[X = 2] + P[X = 3] + P[X = 4] = Con R, ppois(4,3)= λ λ0 λ1 λ2 λ3 λ4 = e + e λ + e λ + e λ + e λ 0! 1! 2! 3! 4! = = = c) P[X > 3] = 1 P[X 3] Con R, 1-ppois(3,3) o ppois(3,3,lower.tail=false)= d) P[X = 3] = Con R, dpois(3,3)= Desde el año 1980 el número medio de empresas, con más de 100 trabajadores, que han presentado suspensión de pagos ha sido de 6.8 por año, y admitimos que el número de empresas con más de 100 trabajadores, X, que han presentado suspensión de pagos durante un periodo determinado de tiempo sigue una distribución de Poisson. Obtener a) La probabilidad de que ninguna empresa de más de 100 trabajadores presente suspensión de pagos durante un trimestre. b) La probabilidad de que por lo menos dos empresas de más de 100 trabajadores presenten suspensión de pagos durante un determinado año. La distribución que sigue X, el número de empresas con más de 100 trabajadores que han presentado suspensión de pagos durante un periodo de tiempo es una Poisson de parámetro λ. a) Como las empresas de mas de 100 trabajadores presentan suspensión de pagos a razón de 6.8 por año, en un trimestre será Patricia Román Román 15

16 6.8 4 = 1.7 Luego la variable Y, número de empresas con más de 100 trabajadores que han presentado suspensión de pagos durante un trimestre es una Poisson de parámetro λ = 1.7 y la probabilidad pedida Con R, dpois(0,1.7)= P[Y = 0] = e 0! = b) Para obtener ahora la probabilidad de que por lo menos dos empresas de más de 100 trabajadores presenten suspensión de pagos durante un determinado año consideraremos la variable aleatoria X P(6.8). Luego P[X 2] = 1 P[X = 0] P[X = 1] = = Con R, ppois(1,6.8, lower.tail=false)= , o bien 1-ppois(1,6.8). 3.- A una calculadora le fallan, por término medio en cada hora de trabajo, dos transistores. Se sabe que el número de fallos de los transistores sigue una distribución de Poisson. La calculadora deja de funcionar cuando se le averían seis o más transistores. Calcular la probabilidad de que una operación de tres horas se pueda realizar sin avería. X: Número de fallos en tres horas P(6) Se pide P(X < 6) = P(X 5) = = Con R, ppois(5,6)= P (X = ) = 5 e 6 6 = Distribución binomial negativa Consideremos ahora un eperimento aleatorio consistente en repeticiones independientes de ensayos de Bernoulli con probabilidad de éito constante, hasta que aparezca el éito k-ésimo. Es decir, en lugar de fijar el número de ensayos y observar el número de éitos en esas n realizaciones, se repiten las realizaciones hasta obtener un número determinado de éitos y contabilizamos los fracasos. Definimos la variable aleatoria con distribución binomial negativa como aquella que modeliza el número de fracasos antes de que aparezca el éito k-ésimo. Nota.- Si en vez de contabilizar el número de fracasos antes del k-ésimo éito se contabiliza el número de pruebas necesarias (variable aleatoria Y = X + k), se obtiene la distribución de Pascal que verifica Patricia Román Román 16

17 P[Y = n] = P[X = n k]. La variable aleatoria X puede tomar los valores = 0, 1, 2,... y k debe ser un entero positivo, es decir, k = 1, 2,.... Calculemos la función masa de probabilidad de la variable aleatoria binomial negativa; esto es, P[X = ], = 0, 1, 2,... Uno de los posibles sucesos para el cual ocurre {X = } sería que en las primeras repeticiones apareciera fracaso, en las k 1 siguientes éito y en la ultima éito E. ).. E E k 1)... E E y como las repeticiones de las pruebas de Bernoulli son independientes, la probabilidad del suceso anterior será [ ] P E. ).. EE. k).. E = P(E) ) P(E) P(E) k) P(E) = (1 p) p k Pero la obtención de los fracasos y los k 1 éitos se pueden obtener de tantas maneras como las permutaciones con repetición de + k 1 elementos en los que hay iguales y k 1, es decir ( ) + k 1 = ( + k 1)!!(k 1)! Por tanto, la función masa de probabilidad de esta variable aleatoria es ( ) + k 1 P[X = ] = (1 p) p k, = 0, 1, 2, (k = 1, 2, ; 0 p < 1) y se notará como X BN(k, p). Comprobemos que es, en efecto, una función masa de probabilidad. Para ello tengamos en cuenta lo siguiente α R, ( α 0 ) = 1 α R, N, ( α ) = α(α 1) (α +1)! (1 + t) α = ( α ) t, t < 1, α R Propiedad: Para cualquier número real α > 0 ( ) α r ( ) α + r 1 = ( 1) r r Patricia Román Román 17

18 En primer lugar, es evidente que P[X = ] 0, = 0, 1, 2,... y = P[X = ] = ( k ( ) k + 1 (1 p) p r ) [ (1 p)] p k = p k [1 (1 p)] k = p k p k = 1 Observemos que, de hecho, otra epresión de la función masa de probabilidad de la binomial negativa es ( ) k P[X = ] = [ (1 p)] p k Ejemplos - Número de preguntas falladas en un eamen tipo test antes de tener el décimo acierto. - Número de unidades defectuosas antes de obtener un número concreto de correctas. Algunas de las características de la distribución binomial negativa son: Función de distribución: F () = P[X ] = Función generatriz de momentos: En efecto, [] i=0 ( i + k 1 i 0 < 0 ) (1 p) i p k 0 ( ) k p M(t) = t < ln(1 p) 1 (1 p)e t E [ e tx] = e t P[X = ] = ( ) k e t ( (1 p)) p k que converge si e t ( (1 p)) < 1 e t (1 p) < 1 t < ln(1 p) = ( ) k ( (1 p)e t ) p k = p k = p k (1 (1 p)e t ) k ( ) k ( (1 p)e t ) Patricia Román Román 18

19 Momentos: Eisten todos dado que eiste la función generatriz de momentos. Nos limitaremos a obtener los momentos de primer y segundo orden. Media Veamos la obtención de forma directa: ( ) k E[X] = ( (1 p)) p k = p k p k ( (1 p)) Varianza E[X] = =1 k(1 p) p ( k)( k 1) ( k + 1) ( (1 p)) = ( 1)! ( ) k 1 ( k) ( (1 p)) 1 = k(1 p)p k (1 (1 p)) k 1 = 1 =1 Var[X] = k(1 p) p 2 Razonando de forma análoga al caso binomial, se obtiene E[X 2 ] = k(k + 1)(1 p)2 p 2 + de donde se deduce la epresión de la varianza. k(1 p), p Relación entre las distribuciones binomial y binomial negativa k(1 p) p Si X es una variable aleatoria con distribución BN(k, p), el suceso {X = } significa la intersección de los sucesos A = B = {se han obtenido k 1 éitos en los primeros k + 1 ensayos de una serie de pruebas independientes de Bernoulli} {se ha obtenido un éito en el siguiente ensayo de la serie} El suceso A equivale a {Y = k 1}, con Y B(k + 1, p), y el segundo es independiente del primero y ocurre con probabilidad p. Entonces P[X = ] = P[Y = k 1] p Caso particular: Distribución Geométrica La distribución geométrica es un caso particular de la distribución binomial negativa para el caso de k = 1. Es decir, modeliza el número de fracasos antes del primer éito en repeticiones independientes de ensayos de Bernoulli con probabilidad de éito p. Su función masa de probabilidad es Patricia Román Román 19

20 y se notará como X G(p). Sus características más relevantes son P[X = ] = (1 p) p, = 0, 1, 2, (0 < p < 1) Función de distribución: F () = P[X ] = [] i=0 0 < 0 (1 p) i p 0 Pero como 1 [] i=0 [] (1 p) i p = p (1 p) i = p i=0 1 (1 p)[]+1 1 (1 p) = 1 (1 p) []+1 se puede reescribir la función de distribución como 0 < 0 F () = P[X ] = 1 (1 p) []+1 0 Función generatriz de momentos: ( ) p M(t) = 1 (1 p)e t t < ln(1 p) Media: E[X] = 1 p p Varianza: Var[X] = 1 p p 2 1 Recordemos que la suma de los n términos de una progresión geométrica a n de razón r es S n = a 1 a n r 1 r Patricia Román Román 20

21 Propiedad de olvido o falta de memoria: Esta propiedad se formula de la siguiente forma: Si X es una variable aleatoria con distribución geométrica de parámetro p, G(p), entonces se verifica que P[X h + k X h] = P[X k], h, k = 0, 1, 2,... Si se ha realizado la h-ésima repetición del eperimento o prueba de Bernoulli y no se ha obtenido ningún éito, entonces la probabilidad de que se realicen por lo menos otras k repeticiones sin que se presente ningún éito, es decir que se realicen por lo menos h + k repeticiones, es la misma que si consideramos que la primera repetición es la h + 1-ésima; es decir, esa probabilidad es la misma que la probabilidad de que realicemos al menos k repeticiones sin obtener el primer éito, y por consiguiente se olvidan las h repeticiones realizadas inicialmente. Vamos a demostrarla, si X G(p) P[X ] = 1 P[X < ] = 1 F ( 1) = 1 (1 (1 p) ) = (1 p). Por tanto, si k, h, N P[X h + k X h] = P[X h + k, X h] P[X h] = P[X h + k] P[X h] = (1 p)h+k (1 p) h = (1 p) k = P[X k] Esta propiedad, además, caracteriza a la distribución geométrica como la única entero valuada (positiva) que la cumple. La distribución de probabilidad geométrica se aplica frecuentemente en el estudio de la distribución de la duración de tiempos de espera. Así pues, si las repeticiones del eperimento se realizan a intervalos regulares de tiempo, entonces la variable aleatoria con distribución geométrica nos dará el número de intervalos de tiempo transcurridos hasta que aparezca el primer éito. EJERCICIOS 1.- Un eamen de Estadística consta de 20 preguntas tipo test y se conoce de eperiencias anteriores que un alumno tiene probabilidad 0.7 de contestar bien cada pregunta. Obtener: a) La probabilidad de que la primera pregunta que contesta bien sea la cuarta. b) Sabiendo que para aprobar el eamen es necesario contestar bien a 10 preguntas, cuál es la probabilidad de que apruebe al contestar la pregunta duodécima? a) X= Número de fallos antes del primer éito, X G(0.7) Patricia Román Román 21

22 P[X = 3] = (0.3) = Con R, dgeom(3,0.7)= b) X= Número de fallos antes del décimo éito, X BN(10, 0.7) ( ) ( ) P[X = 2] = (0.3) 2 (0.7) 10 = (0.3) 2 (0.7) Con R, dnbinom(2,10,0.7)= Esta probabilidad se puede obtener mediante la relación con la binomial Y = Número de éitos en las 11 primeras pruebas, Y B(11, 0.7) P [X = 2] = P [Y = 9] Una máquina dedicada a la fabricación de piezas de alta precisión produce las piezas de una en una, siendo independiente la fabricación de cada pieza. La probabilidad de fabricar una pieza defectuosa es Obtener a) La probabilidad de que la primera pieza defectuosa durante ese día sea la número 40. b) Sabiendo que en la fabricación de cada pieza se tardan 20 segundos cuál será el tiempo medio que hay que esperar hasta que sea producida la primera pieza defectuosa? c) Probabilidad de que las ocho primeras piezas fabricadas sean todas buenas. a) X= Número de piezas buenas antes de la primera defectuosa, X G(0.15) Con R, dgeom(39,0.15)= P [X = 39] = (0.85) b) EX = 1 p = 0.85 = que es el número medio de piezas buenas antes de la primera p 0.15 defectuosa. Por tanto, el tiempo pedido es 20 ( ) = segundos. c) P [X 8] = 1 F (7) = 1 P [X 7] Con R, 1-pgeom(7,0.15) o pgeom(7,0.15, lower.tail=false)= Si consideramos Y = Número de piezas buenas en las 8 primeras, Y B(8, 0.85) Con R, dbinom(8,8,0.85)= P [Y = 8] 7. Distribución hipergeométrica Se denomina población a cualquier colección de individuos, objetos o elementos arbitrarios y una muestra de tamaño n de esa población es cualquier subconjunto con n elementos. El procedimiento de selección de muestras de una población se denomina muestreo y éste puede realizarse de distintas formas, dando lugar a distintos tipos de muestras de las que aquí vamos a distinguir las dos siguientes (suponiendo una población finita): Patricia Román Román 22

23 MUESTRA ALEATORIA CON REEMPLAZAMIENTO (CON DEVOLUCIÓN O SIMPLE). Se selecciona al azar un elemento de la población (suponiendo que todos tienen la misma probabilidad de ser seleccionado), se devuelve a la población (después de anotar las características de interés) y se selecciona otro también de forma aleatoria; se continua el proceso hasta completar el tamaño muestral deseado. Notemos que una muestra aleatoria con reemplazamiento puede contener elementos repetidos y, en ciertas ocasiones, esto no es conveniente (incluso puede no ser posible, por ejemplo, al estudiar la duración de vida de cierto tipo de bombillas). MUESTRA ALEATORIA SIN REEMPLAZAMIENTO (SIN DEVOLUCIÓN). Se selecciona al azar un elemento de la población (suponiendo que todos tienen la misma probabilidad de ser seleccionado); a continuación, sin devolverlo a la población, se selecciona otro suponiendo que los restantes tienen la misma probabilidad de ser elegidos y así sucesivamente. Notemos que ahora todos los elementos de la muestra serán distintos. El muestreo sin reemplazamiento es útil en muchas situaciones prácticas. Por ejemplo, consideremos una población con N individuos que deben elegir entre dos candidatos A y B a cierto puesto. Con objeto de realizar un sondeo de opinión antes de la elección se efectúa un muestreo de n individuos para ver su preferencia. En una situación de este tipo parece lógico hacer un muestreo sin reemplazamiento, que proporcionará más información sobre la intención de voto al tener todos los individuos diferentes. Observemos que si en la población hay N 1 votantes de A y la muestra se elige con reemplazamiento, cada elemento de la muestra tiene probabilidad N 1 /N de ser votante de A. Por tanto, la selección de la muestra equivale a la repetición de n pruebas de Bernoulli independientes con probabilidad constante de éito (ser votante de A) y la variable X: Número de votantes de A en la muestra B(n, N 1 N ) Por el contrario, si el muestreo se realiza sin reemplazamiento, la probabilidad de éito varía después de cada selección y las pruebas de Bernoulli no son independientes: La probabilidad de que el primer individuo seleccionado vote al candidato A es N 1 N La probabilidad de que el segundo individuo seleccionado vote al candidato A depende de lo que haya ocurrido en la primera prueba P (2A/1A) = N 1 1 N 1, P (2A/1B) = N 1 N 1. Por tanto, la variable X: Número de votantes de A en la muestra, no tiene ahora una distribución binomial, sino que su distribución es la denominada HIPERGEOMÉTRICA. Antes de introducir formalmente esta distribución notemos que, a efectos de calcular probabilidades, el muestreo sin reemplazamiento equivale a la selección simultánea de n elementos Patricia Román Román 23

24 de la población, suponiendo que todos los subconjuntos de n elementos tienen la misma probabilidad de ser elegidos. En efecto, si la selección se realiza simultáneamente no cabe distinguir entre dos muestras que tengan los mismos elementos (no se tiene en cuenta el orden) y hay en total ( N n) muestras distintas y la probabilidad de elegir una cualquiera de ellas (esto es, que n individuos 1 determinados formen parte de la muestra) es ( N n). Por otra parte, si la selección se realiza elemento a elemento, dos muestras con los mismos elementos en distinto orden serán distintas y, en total, hay N(N 1) (N n + 1) muestras distintas; la probabilidad de que una muestra esté formada por n individuos concretos es que es igual a la anterior. n! N(N 1) (N n + 1) = ( 1 N n) Definición Supongamos una población de N individuos divididos en dos categorías de N 1 y N 2 (= N N 1 ) individuos cada uno. Se elige una muestra de n individuos de la población (sin reemplazamiento o simultáneamente). La variable aleatoria X que contabiliza el número de individuos de la primera categoría en la muestra se dice que tiene distribución hipergeométrica de parámetros N, N 1 y n y se nota X H(N, N 1, n), Función masa de probabilidad n, N 1, N N {0}, n, N 1 N Evidentemente, un valor de la variable X debe ser un número natural (debe incluirse el cero) verificando má(0, n (N N 1 )) mín(n, N 1 ) pues como hay N 1 elementos en la primera subpoblación y N 2 en la segunda subpoblación se tiene que cumplir n, N 1 mín(n, N 1 ) 0, n N 2 má(0, n N 2 ) Obtengamos la función masa probabilidad de dicha variable aleatoria, esto es la P[X = ], para los diferentes valores posibles de. P{X = } = ( N 1 )( N N 1 n ) ( N n) N 1 N 1 1 N1 ( 1) N N 1 N ( 1) = (N 1 )( N N 1 n ) ( N n) N N 1 N N N 1 1 N 1 N N ( 1 (n 1) n N n+1 ) Muestra simultánea (Regla de Laplace) Muestra con reemp. Patricia Román Román 24

25 Luego la función masa de probabilidad de esta variable aleatoria será ) P[X = ] = ( N1 )( N N1 n ( N n) má(0, n (N N 1 )) mín(n, N 1 ) Probemos que es una función masa de probabilidad. En efecto, las probabilidades son no negativas y además 2 mín(n,n 1 ) =má(0,n (N N 1 )) P[X = ] = mín(n,n 1 ) =má(0,n (N N 1 )) ( N1 )( N N1 n ) ( N n) = ( N1 +N N 1 n ) ( N n) = ( N n) ( N n) = 1 Ejemplos y/o aplicaciones La distribución hipergeométrica se aplica en el control estadístico de calidad de una fabricación en serie. Así pues, si el lote bajo control contiene N 1 elementos buenos y N 2 = N N 1 elementos defectuosos, cuando tomamos una muestra de tamaño n sin reemplazamiento estaremos interesados en saber el número de elementos buenos que han aparecido en la muestra de tamaño n para así determinar la calidad del proceso de fabricación. En sondeos de opinión también tiene aplicación la distribución hipergeométrica. Podemos realizar una encuesta para intentar conocer si los individuos de una población tienen o no intención de votar en las próimas elecciones de tal manera que el número de individuos, de una muestra sin reemplazamiento, que tienen intención de votar sigue una distribución hipergeométrica. Algunas de sus características son: 2 Usando que dados dos números cualesquiera a y b y un entero positivo n, se verifica n ( )( ) a b = n ( ) a + b aunque realmente, dado que ( a ) = 0 si > a al haber un término nulo en a(a 1) (a + 1) se debe tomar a, y dado que ( b n ) = 0 si n > b se debe tomar n b. Por tanto la suma parte de má(0, n b) y llega a mín(n, a) y realmente se tiene mín(n,a) =má(0,n b) n ( )( ) a b = n ( ) a + b n Patricia Román Román 25

26 Función de distribución: F () = 0 < má(0, n (N N 1 )) [] ( Np i )( N(1 p) n i ) i=0 ( N n) 1 > mín(n, N 1 ) má(0, n (N N 1 )) mín(n, N 1 ) Función generatriz de momentos: Eiste t R porque la variable toma un número finito de valores. M X (t) = mín(n,n 1 ) =má(0,n (N N 1 )) No se conoce una forma funcional específica. Media: ( N1 e t )( N N1 n ( N n) ) En efecto, E[X] = n N 1 N EX = mín(n,n 1 ) =má(0,n (N N 1 ) haciendo 1 = k = N 1 ( N n) Varianza: ( N1 mín(n 1,N 1 1) )( N N1 n ( N n k=má(0,(n 1) (N N 1 ) ) ) = ( 1 N n) mín(n,n 1 ) =má(1,n (N N 1 ) ( )( N1 1 N N1 ) k (n 1) k Var[X] = n(n n)n 1(N N 1 ) N 2 (N 1) ( )( ) N1 1 N N1 N 1 = 1 n = N 1 ( N n) ( ) N 1 = nn 1 n 1 N Para ello, calculemos en primer lugar el momento no centrado de orden dos; es decir E[X 2 ] = E[X(X 1)] + E[X] Patricia Román Román 26

27 haciendo 2 = k E[X(X 1)] = = N 1(N 1 1) ( N n) = N 1(N 1 1) ( N n) mín(n,n 1 ) =má(2,n (N N 1 ) mín(n,n 1 ) =má(2,n (N N 1 ) mín(n 2,N 1 2) k=má(0,(n 2) (N N 1 ) = N 1(N 1 1) ( N n) ( 1) ( N1 )( N N1 n ) ( N n) = ( )( ) N1 2 N N1 = 2 n ( )( ) N1 2 N N1 = k (n 2) k ( ) N 2 = n(n 1)N 1(N 1 1) n 2 N(N 1) E[X 2 ] = n(n 1)N 1(N 1 1) N(N 1) de donde se deduce la epresión de la varianza. EJERCICIOS V ar[x] = n(n 1)N 1(N 1 1) N(N 1) + nn 1 N + nn 1 N n2 N1 2 = n(n n)n 1(N N 1 ) N 2 N 2 (N 1) 1.- Sea una baraja de 40 cartas. De ella se toma una muestra de 5 cartas sin reemplazamiento. Obtener la probabilidad de obtener al menos dos ases. Tenemos 40 cartas, de las cuales 4 son ases y se realiza un muestreo de tamaño 5 sin reemplazamiento. X: Número de ases en la muestra H(40, 4, 5) y se pide ( 4 )( 36 ) ( 4 )( 36 ) P[X 2] = 1 P[X = 0] P[X = 1] = 1 ( 40 ) ( 40 ) = 0, Con R los parámetros de la distribución hipergeométrica son: tamaño de la primera subpoblación (N 1 ), tamaño de la segunda subpoblación (N 2 ) y tamaño de la muestra. Así, la probabilidad pedida se calcula mediante phyper(1, 4,36,5,lower.tail=FALSE)= Una determinada empresa quiere aumentar su plantilla de vendedores en 20 personas y se presentan 40 personas al proceso de selección. Determinar la probabilidad de que, después de Patricia Román Román 27

28 realizar todas las pruebas de selección, entre las 20 personas seleccionadas estén los 10 mejores de las 40 personas que se presentaron. Consideramos la variable aleatoria X: Número de los mejores vendedores entre los 20 seleccionados. Nos piden P[X = 10] = Con R, dhyper(10,10,30,20)= X H(40, 10, 20) ( 10 )( ( ) ) = 0, Patricia Román Román 28

Tema 3: Variables aleatorias y vectores aleatorios bidimensionales

Tema 3: Variables aleatorias y vectores aleatorios bidimensionales Estadística 38 Tema 3: Variables aleatorias y vectores aleatorios bidimensionales El concepto de variable aleatoria surge de la necesidad de hacer más manejables matemáticamente los resultados de los experimentos

Más detalles

todas especialidades Soluciones de las hojas de problemas

todas especialidades Soluciones de las hojas de problemas Universidad Politécnica de Cartagena Dpto. Matemática Aplicada y Estadística Ingeniería Técnica Industrial Métodos estadísticos de la ingeniería Métodos estadísticos de la ingeniería Ingeniería Técnica

Más detalles

MATEMÁTICAS 1º BACH CCSS - DISTRIBUCIÓN BINOMIAL = 0 3125.

MATEMÁTICAS 1º BACH CCSS - DISTRIBUCIÓN BINOMIAL = 0 3125. MATEMÁTICAS º BACH CCSS - DISTRIBUCIÓN BINOMIAL ˆ EJERCICIO En una ciudad se han elegido al azar 7 habitantes. ¾Cuál es la probabilidad de que cuatro de ellos hayan nacido el 7 de mayo? p = P (haber nacido

Más detalles

Modelos de distribuciones discretas

Modelos de distribuciones discretas Tema 4 Modelos de distribuciones discretas En este capítulo estudiaremos las distribuciones discretas más importantes. importancia es doble, por las aplicaciones y por su relevancia conceptual. De nuevo,

Más detalles

Métodos Estadísticos 2.3. Distribuciones discretas de probabilidad

Métodos Estadísticos 2.3. Distribuciones discretas de probabilidad 2.3. DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD Parámetros de un problema Saber: Explicar el concepto de variable discreta. Explicar los conceptos y métodos de la distribución binomial, hipergeométrica,

Más detalles

Estadística aplicada y modelización. 10 de septiembre de 2005

Estadística aplicada y modelización. 10 de septiembre de 2005 Estadística aplicada y modelización. 10 de septiembre de 005 SOLUCIÓN MODELO A 1. Una persona se está preparando para obtener el carnet de conducir, repitiendo un test de 0 preguntas. En la siguiente tabla

Más detalles

Tema 3 VARIABLE ALEATORIA DISCRETA. PRINCIPALES DISTRIBUCIONES

Tema 3 VARIABLE ALEATORIA DISCRETA. PRINCIPALES DISTRIBUCIONES Tema 3 VARIABLE ALEATORIA DISCRETA. PRINCIPALES DISTRIBUCIONES 1.- Definición de variable aleatoria discreta. Normalmente, los resultados posibles (espacio muestral Ω) de un experimento aleatorio no son

Más detalles

SUCESOS. PROBABILIDAD. BACHILLERATO. TEORÍA Y EJERCICIOS SUCESOS

SUCESOS. PROBABILIDAD. BACHILLERATO. TEORÍA Y EJERCICIOS SUCESOS 1 SUCESOS Experimento aleatorio. Es aquel que al repetirlo en análogas condiciones, da resultados diferentes, es decir, no se puede predecir el resultado que se va a obtener. Ejemplos: - Lanzar una moneda

Más detalles

1. a) Definimos X =número de personas con síntomas si examino sólo una persona, la cual sigue una distribución B(1, p), donde

1. a) Definimos X =número de personas con síntomas si examino sólo una persona, la cual sigue una distribución B(1, p), donde Soluciones de la relación del Tema 6. 1. a) Definimos X =número de personas con síntomas si examino sólo una persona, la cual sigue una distribución B1, p), donde p = P X = 1) = P la persona presente síntomas)

Más detalles

Modelos de distribuciones discretas y continuas

Modelos de distribuciones discretas y continuas Modelos de distribuciones discretas y continuas Discretas En la versión actual de Rcdmr podemos encontrar las distribuciones discretas estudiadas en este curso y para cada una de ellas están disponibles

Más detalles

Unidad Temática 1: Unidad 3 Probabilidad Temas 6 y 7

Unidad Temática 1: Unidad 3 Probabilidad Temas 6 y 7 Unidad Temática 1: Unidad 3 Probabilidad Temas 6 y 7 Definiciones: 1- La probabilidad estudia la verosimilitud de que determinados sucesos o eventos ocurran o no, con respecto a otros sucesos o eventos

Más detalles

2) Un establecimiento comercial dispone a la venta dos artículos en una de sus secciones, de precios p

2) Un establecimiento comercial dispone a la venta dos artículos en una de sus secciones, de precios p Universidad de Sevilla Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales Licenciatura de Economía Universidad de Sevilla ESTADÍSTICA I RELACIÓN 5 MODELOS Y DATOS ESTADÍSTICOS DEPARTAMENTO DE ECONOMÍA APLICADA

Más detalles

Introducción a la Teoría de Probabilidad

Introducción a la Teoría de Probabilidad Capítulo 1 Introducción a la Teoría de Probabilidad Para la mayoría de la gente, probabilidad es un término vago utilizado en el lenguaje cotidiano para indicar la posibilidad de ocurrencia de un evento

Más detalles

Tema 3. Concepto de Probabilidad

Tema 3. Concepto de Probabilidad Tema 3. Concepto de Probabilidad Presentación y Objetivos. El Cálculo de Probabilidades estudia el concepto de probabilidad como medida de incertidumbre. En situaciones donde se pueden obtener varios resultados

Más detalles

12 Las distribuciones binomial y normal

12 Las distribuciones binomial y normal Las distribuciones binomial y normal ACTIVIDADES INICIALES.I. Calcula la media, la varianza y la desviación típica de la variable X, cuya distribución de frecuencias viene dada por la siguiente tabla:

Más detalles

NOCIONES BÁSICAS DE ESTADÍSTICA ACTUARIAL VIDA

NOCIONES BÁSICAS DE ESTADÍSTICA ACTUARIAL VIDA NOCIONES BÁSICAS DE ESTADÍSTICA ACTUARIAL VIDA A NTONIO F ERNÁNDEZ M ORALES MÁLAGA, 2006 Nociones Básicas de Estadística Actuarial Vida Antonio Fernández Morales Málaga, 2006 Nociones Básicas de Estadística

Más detalles

Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada

Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada FUNCIONES CONTINUAS. La mayor parte de las funciones que manejamos, a nivel elemental, presentan en sus gráficas una propiedad característica que es la continuidad. La continuidad de una función definida

Más detalles

Variables aleatorias continuas

Variables aleatorias continuas Variables aleatorias continuas Hemos definido que una variable aleatoria X es discreta si I X es un conjunto finito o infinito numerable. En la práctica las variables aleatorias discretas sirven como modelos

Más detalles

Definición 2.1.1. Se llama suceso aleatorio a cualquier subconjunto del espacio muestral.

Definición 2.1.1. Se llama suceso aleatorio a cualquier subconjunto del espacio muestral. Capítulo 2 Probabilidades 2. Definición y propiedades Al realizar un experimento aleatorio nuestro interés es obtener información sobre las leyes que rigen el fenómeno sometido a estudio. El punto de partida

Más detalles

INFERENCIA ESTADÍSTICA

INFERENCIA ESTADÍSTICA Capítulo 4 INFERENCIA ESTADÍSTICA 4.1. Introducción Inferir: Sacar una consecuencia de una cosa. Sacar consecuencia o deducir una cosa de otra. La estadística, ciencia o rama de las Matemáticas que se

Más detalles

Tema 3. Variables aleatorias. Inferencia estadística

Tema 3. Variables aleatorias. Inferencia estadística Estadística y metodología de la investigación Curso 2012-2013 Pedro Faraldo, Beatriz Pateiro Tema 3. Variables aleatorias. Inferencia estadística 1. Introducción 1 2. Variables aleatorias 1 2.1. Variable

Más detalles

Un problema sobre repetidas apuestas al azar

Un problema sobre repetidas apuestas al azar Un problema sobre repetidas apuestas al azar Eleonora Catsigeras 1 10 de marzo de 2003. Resumen En estas notas se da el enunciado y una demostración de un conocido resultado sobre la probabilidad de éxito

Más detalles

Se pide: 1. Calcular las principales medidas de posición y dispersión para los datos anteriores.

Se pide: 1. Calcular las principales medidas de posición y dispersión para los datos anteriores. 2.2.- Ha sido medida la distancia de frenado (en metros) de una determinada marca de coches, según el tipo de suelo y velocidad a la que circula, los resultados en 64 pruebas aparecen en el listado siguiente:

Más detalles

Tema 7: Estadística y probabilidad

Tema 7: Estadística y probabilidad Tema 7: Estadística y probabilidad En este tema revisaremos: 1. Representación de datos e interpretación de gráficas. 2. Estadística descriptiva. 3. Probabilidad elemental. Representaciones de datos Cuatro

Más detalles

DISTRIBUCIONES DISCRETAS CON EXCEL Y WINSTATS

DISTRIBUCIONES DISCRETAS CON EXCEL Y WINSTATS DISTRIBUCIONES DISCRETAS CON EXCEL Y WINSTATS A) INTRODUCCIÓN Una distribución de probabilidad es una representación de todos los resultados posibles de algún experimento y de la probabilidad relacionada

Más detalles

Algunas Distribuciones de Probabilidad

Algunas Distribuciones de Probabilidad Relación de problemas 7 Algunas Distribuciones de Probabilidad 1. En un hospital se ha comprobado que la aplicación de un tratamiento en enfermos de cirrosis produce una cierta mejoría en el 80 % de los

Más detalles

Clase 5: Variables Aleatorias y Distribuciones de Probabilidad

Clase 5: Variables Aleatorias y Distribuciones de Probabilidad Clase 5: Variables Aleatorias y Distribuciones de Probabilidad Variables Aleatorias Una variable aleatoria es una función que asocia un número real con cada elemento del EM. Ejemplo 1: El EM que da una

Más detalles

Algunas distribuciones importantes de probabilidad

Algunas distribuciones importantes de probabilidad Capítulo 5 Algunas distribuciones importantes de probabilidad En los temas anteriores se presentaban ejemplos de distintos experimentos aleatorios y de variables aleatorias que expresan sus resultados.

Más detalles

Unidad 6. Distribuciones de probabilidad continua, muestreo y distribución de muestras

Unidad 6. Distribuciones de probabilidad continua, muestreo y distribución de muestras Unidad 6 Distribuciones de probabilidad continua, muestreo y distribución de muestras Introducción La unidad 5 se enfocó en el estudio de las distribuciones de probabilidad discreta, entre las cuales

Más detalles

Variables aleatorias. Función de distribución y características asociadas

Variables aleatorias. Función de distribución y características asociadas Índice 3 Variables aleatorias. Función de distribución y características asociadas 3.1 3.1 Introducción.......................................... 3.1 3.2 Concepto de variable aleatoria................................

Más detalles

Capítulo 7: Distribuciones muestrales

Capítulo 7: Distribuciones muestrales Capítulo 7: Distribuciones muestrales Recordemos: Parámetro es una medida de resumen numérica que se calcularía usando todas las unidades de la población. Es un número fijo. Generalmente no lo conocemos.

Más detalles

0 en el resto. P 2 X 4 c) Obtener x tal que P( X x)=0.3. Se pide: a) La variable aleatoria es discreta o x si 0 x 4

0 en el resto. P 2 X 4 c) Obtener x tal que P( X x)=0.3. Se pide: a) La variable aleatoria es discreta o x si 0 x 4 .- Sea la función de probabilidad de una variable aleatoria: i 4 5 Probabilidad k P X. Se pide. A) La función de distribución. B) Primer cuartil. C) k si,. Si la función de densidad de una v. a. continua

Más detalles

5. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES

5. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES 5. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES Dr. http://academic.uprm.edu/eacunaf UNIVERSIDAD DE PUERTO RICO RECINTO UNIVERSITARIO DE MAYAGUEZ DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES Se introducirá el concepto de variable

Más detalles

Tema 5. Variables aleatorias discretas

Tema 5. Variables aleatorias discretas Tema 5. Variables aleatorias discretas Resumen del tema 5.1. Definición de variable aleatoria discreta 5.1.1. Variables aleatorias Una variable aleatoria es una función que asigna un número a cada suceso

Más detalles

RELACIÓN DE EJERCICIOS DE ESTADÍSTICA. PROBLEMAS DE ESTADÍSTICA: PROBABILIDAD

RELACIÓN DE EJERCICIOS DE ESTADÍSTICA. PROBLEMAS DE ESTADÍSTICA: PROBABILIDAD 1 UNIVERSIDAD DE CASTILLA-LA MANCHA Facultad de Químicas. RELACIÓN DE EJERCICIOS DE ESTADÍSTICA. PROBLEMAS DE ESTADÍSTICA: PROBABILIDAD Ejercicio 1º.- Se lanzan dos monedas y un dado. Se pide: 1) Describir

Más detalles

Universidad Simón Bolívar CO3121. Probabilidades para Ingenieros. Enero-Marzo 2010 Problemario I

Universidad Simón Bolívar CO3121. Probabilidades para Ingenieros. Enero-Marzo 2010 Problemario I Universidad Simón Bolívar CO3121. Probabilidades para Ingenieros. Enero-Marzo 2010 Problemario I 1. Supongamos que Ω = A B y P (A B) = 0.2. Hallar: (a) El máximo valor posible para P (B), de tal manera

Más detalles

Explicación de la tarea 3 Felipe Guerra

Explicación de la tarea 3 Felipe Guerra Explicación de la tarea 3 Felipe Guerra 1. Una ruleta legal tiene los números del 1 al 15. Este problema corresponde a una variable aleatoria discreta. La lectura de la semana menciona lo siguiente: La

Más detalles

2. Probabilidad. Estadística. Curso 2009-2010. Ingeniería Informática. Estadística (Aurora Torrente) 2. Probabilidad Curso 2009-2010 1 / 24

2. Probabilidad. Estadística. Curso 2009-2010. Ingeniería Informática. Estadística (Aurora Torrente) 2. Probabilidad Curso 2009-2010 1 / 24 2. Probabilidad Estadística Ingeniería Informática Curso 2009-2010 Estadística (Aurora Torrente) 2. Probabilidad Curso 2009-2010 1 / 24 Contenidos 1 Experimentos aleatorios 2 Algebra de sucesos 3 Espacios

Más detalles

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Y DISTRIBUCIÓN NORMAL

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Y DISTRIBUCIÓN NORMAL Capítulo 3 DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Y DISTRIBUCIÓN NORMAL 3.1. Introducción Estudiaremos en este tema dos de las distribuciones de probabilidad más importantes y que son imprescindibles a la hora de adentrarnos

Más detalles

TEMA 6: VARIABLES ALEATORIAS. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD 1. VARIABLES ALEATORIAS

TEMA 6: VARIABLES ALEATORIAS. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD 1. VARIABLES ALEATORIAS TEMA 6: VARIABLES ALEATORIAS. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD 1. VARIABLES ALEATORIAS 1.1 Variables aleatorias Considera el experimento aleatorio consistente en lanzar dos monedas. El espacio muestral de

Más detalles

PRINCIPALES DISTRIBUCIONES DISCRETAS

PRINCIPALES DISTRIBUCIONES DISCRETAS PRINCIPALES DISTRIBUCIONES DISCRETAS Objetivos generales del tema En este tema definiremos y discutiremos diversas e imortantes distribuciones discretas, es decir, funciones masa de robabilidad o funciones

Más detalles

Apuntes de Matemática Discreta 7. Relaciones de Orden

Apuntes de Matemática Discreta 7. Relaciones de Orden Apuntes de Matemática Discreta 7. Relaciones de Orden Francisco José González Gutiérrez Cádiz, Octubre de 2004 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas ii Lección 7 Relaciones de Orden Contenido

Más detalles

TEMA 2: INTRODUCCIÓN A LA INFERENCIA ESTADÍSTICA. Las principales ventajas de estudiar una población a partir de una muestra son:

TEMA 2: INTRODUCCIÓN A LA INFERENCIA ESTADÍSTICA. Las principales ventajas de estudiar una población a partir de una muestra son: TEMA 2: INTRODUCCIÓN A LA INFERENCIA ESTADÍSTICA 2.- Tipos de muestreo. Muestreo aleatorio Las principales ventajas de estudiar una población a partir de una muestra son: - Coste reducido: Si los datos

Más detalles

1.1. Introducción y conceptos básicos

1.1. Introducción y conceptos básicos Tema 1 Variables estadísticas Contenido 1.1. Introducción y conceptos básicos.................. 1 1.2. Tipos de variables estadísticas................... 2 1.3. Distribuciones de frecuencias....................

Más detalles

Curso de Estadística no-paramétrica

Curso de Estadística no-paramétrica Curso de Estadística no-paramétrica Sesión 1: Introducción Inferencia no Paramétrica David Conesa Grup d Estadística espacial i Temporal Departament d Estadística en Epidemiologia i Medi Ambient i Investigació

Más detalles

OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS

OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS 008 _ 0-048.qxd 9/7/08 9:07 Página 405 4 Probabilidad INTRODUCCIÓN En la vida cotidiana tienen lugar acontecimientos cuya realización es incierta y en los que el grado de incertidumbre es mayor o menor

Más detalles

Problemas. Variables Aleatorias. Modelos de Probabilidad

Problemas. Variables Aleatorias. Modelos de Probabilidad Problemas. Variables Aleatorias. Modelos de Probabilidad Ejemplos resueltos y propuestos Variables Aleatorias Discretas Una variable aleatoria discreta X de valores x 1, x 2,..., x k con función de probabilidad

Más detalles

Problemas resueltos del Tema 3.

Problemas resueltos del Tema 3. Terma 3. Distribuciones. 9 Problemas resueltos del Tema 3. 3.1- Si un estudiante responde al azar a un examen de 8 preguntas de verdadero o falso Cual es la probabilidad de que acierte 4? Cual es la probabilidad

Más detalles

ESTIMACIÓN. puntual y por intervalo

ESTIMACIÓN. puntual y por intervalo ESTIMACIÓN puntual y por intervalo ( ) Podemos conocer el comportamiento del ser humano? Podemos usar la información contenida en la muestra para tratar de adivinar algún aspecto de la población bajo estudio

Más detalles

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA 1. Sean A y B dos sucesos y A, B sus complementarios. Si se verifica que p( B) = 2 / 3, p( A B) = 3 / 4 y p( A B) = 1/ 4, hallar: p( A), p( A B), y la probabilidad condicionada

Más detalles

Tema 10. Estimación Puntual.

Tema 10. Estimación Puntual. Tema 10. Estimación Puntual. Presentación y Objetivos. 1. Comprender el concepto de estimador y su distribución. 2. Conocer y saber aplicar el método de los momentos y el de máxima verosimilitud para obtener

Más detalles

Probabilidad y sus aplicaciones en ingeniería informática

Probabilidad y sus aplicaciones en ingeniería informática Probabilidad y sus aplicaciones en ingeniería informática Víctor Hernández Eduardo Ramos Ildefonso Yáñez c Víctor Hernández, Eduardo Ramos, Ildefonso Yánez EDICIONES CDÉMICS Probabilidad y sus aplicaciones

Más detalles

PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA (C) Práctica 2

PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA (C) Práctica 2 PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA (C) Práctica 2 1. Se eligen tres autos al azar y cada uno es clasificado N si tiene motor naftero o D si tiene motor diesel (por ejemplo, un resultado posible sería NND). a)

Más detalles

Métodos generales de generación de variables aleatorias

Métodos generales de generación de variables aleatorias Tema Métodos generales de generación de variables aleatorias.1. Generación de variables discretas A lo largo de esta sección, consideraremos una variable aleatoria X cuya función puntual es probabilidad

Más detalles

TEMA 4. MODELOS DE PROBABILIDAD DISCRETOS

TEMA 4. MODELOS DE PROBABILIDAD DISCRETOS TEMA 4. MODELOS DE PROBABILIDAD DISCRETOS 4.1 Distribución binomial 4.1.1 Definición. Ejemplos 4.1.2 La media y la varianza 4.1.3 Uso de tablas 4.1.4 Aditividad 4.2 Distribución de Poisson 4.2.1 Definición.

Más detalles

Capítulo 10. Análisis descriptivo: Los procedimientos Frecuencias y Descriptivos

Capítulo 10. Análisis descriptivo: Los procedimientos Frecuencias y Descriptivos Capítulo 10 Análisis descriptivo: Los procedimientos Frecuencias y Descriptivos Al analizar datos, lo primero que conviene hacer con una variable es, generalmente, formarse una idea lo más exacta posible

Más detalles

Tema 1: Test de Distribuciones de Probabilidad

Tema 1: Test de Distribuciones de Probabilidad Tema 1: Test de Distribuciones de Probabilidad 1.- Una compañía de seguros tiene 1000 asegurados en el ramo de accidentes. Si la el modelo mejor para el número de siniestros en un año es: a) Normal (5;,3).

Más detalles

PRACTICA 2: Distribuciones de probabilidad discretas

PRACTICA 2: Distribuciones de probabilidad discretas Fn(x) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1 0 1 2 3 4 5 x PRACTICA 2: Distribuciones de probabilidad discretas 1. Clasi que las siguientes variables como discretas o continuas: (a) Número de crías (b) Peso del contenido

Más detalles

Tema 1 con soluciones de los ejercicios. María Araceli Garín

Tema 1 con soluciones de los ejercicios. María Araceli Garín Tema 1 con soluciones de los ejercicios María Araceli Garín Capítulo 1 Introducción. Probabilidad en los modelos estocásticos actuariales Se describe a continuación la Tarea 1, en la que se enumeran un

Más detalles

Clase 3: Introducción a las Probabilidades

Clase 3: Introducción a las Probabilidades Clase 3: Introducción a las Probabilidades Introducción Tal vez estemos acostumbrados con algunas ideas de probabilidad, ya que esta forma parte de la cultura cotidiana. Con frecuencia escuchamos a personas

Más detalles

Bachillerato. Matemáticas. Ciencias y tecnología

Bachillerato. Matemáticas. Ciencias y tecnología Bachillerato º Matemáticas Ciencias y tecnología Índice Unidad 0 Números reales........................................... 7. Evolución histórica................................... 8. Números reales......................................

Más detalles

Iniciaremos nuestro estudio de teoría combinatoria enunciando los principios aditivo y multiplicativo de conteo.

Iniciaremos nuestro estudio de teoría combinatoria enunciando los principios aditivo y multiplicativo de conteo. COMBINATORIA Introducción a la Combinatoria Recuento A menudo se presenta la necesidad de calcular el número de maneras distintas en que un suceso se presenta o puede ser realizado. Otras veces es importante

Más detalles

TEMA II VARIABLES ALEATORIAS. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Y NORMAL

TEMA II VARIABLES ALEATORIAS. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Y NORMAL TEMA II VARIABLES ALEATORIAS. DISTRIBUCIÓN. BINOMIAL Y NORMAL I.- Variable aleatoria. Concepto. Antes de definir el concepto de varibale aleatoria, veamos algunos ejemplos (ya estás empezando a comprobar

Más detalles

2. Probabilidad y. variable aleatoria. Curso 2011-2012 Estadística. 2. 1 Probabilidad. Probabilidad y variable aleatoria

2. Probabilidad y. variable aleatoria. Curso 2011-2012 Estadística. 2. 1 Probabilidad. Probabilidad y variable aleatoria 2. Probabilidad y variable aleatoria Curso 2011-2012 Estadística 2. 1 Probabilidad 2 Experimento Aleatorio EL término experimento aleatorio se utiliza en la teoría de la probabilidad para referirse a un

Más detalles

Clase 8: Distribuciones Muestrales

Clase 8: Distribuciones Muestrales Clase 8: Distribuciones Muestrales Distribución Muestral La inferencia estadística trata básicamente con generalizaciones y predicciones. Por ejemplo, podemos afirmar, con base a opiniones de varias personas

Más detalles

Muestreo estadístico. Relación 2 Curso 2007-2008

Muestreo estadístico. Relación 2 Curso 2007-2008 Muestreo estadístico. Relación 2 Curso 2007-2008 1. Para tomar la decisión de mantener un determinado libro como texto oficial de una asignatura, se pretende tomar una muestra aleatoria simple entre los

Más detalles

(x + y) + z = x + (y + z), x, y, z R N.

(x + y) + z = x + (y + z), x, y, z R N. TEMA 1: EL ESPACIO R N ÍNDICE 1. El espacio vectorial R N 1 2. El producto escalar euclídeo 2 3. Norma y distancia en R N 4 4. Ángulo y ortogonalidad en R N 6 5. Topología en R N 7 6. Nociones topológicas

Más detalles

Introducción al Cálculo de Probabilidades a través de casos reales

Introducción al Cálculo de Probabilidades a través de casos reales MaMaEuSch Management Mathematics for European Schools http://www.mathematik.unikl.de/ mamaeusch Introducción al Cálculo de Probabilidades a través de casos reales Paula Lagares Barreiro * Federico Perea

Más detalles

DESCRIPCIÓN DEL EXAMEN

DESCRIPCIÓN DEL EXAMEN DESCRIPCIÓN DEL La duración del eamen es de horas y 0 minutos. Con preguntas de teoría (8 preguntas) donde debemos de demostrar la respuesta y práctica (3 problemas). TEORÍA. Señale la respuesta correcta:

Más detalles

INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD.

INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD. INTRODUCCIÓN A LA ROBABILIDAD. Departamento de Matemáticas Se denomina experimento aleatorio a aquel en que jamás se puede predecir el resultado. El conjunto formado por todos los resultados posibles de

Más detalles

TEORIA DE LA PROBABILIDAD

TEORIA DE LA PROBABILIDAD TEORIA DE LA PROBABILIDAD 2.1. Un poco de historia de la teoría de la probabilidad. Parece evidente que la idea de probabilidad debe ser tan antigua como el hombre. La idea es muy probable que llueva mañana

Más detalles

Generación de valores de las variables aleatorias

Generación de valores de las variables aleatorias Generación de valores de las variables aleatorias Juan F. Olivares-Pacheco * 14 de junio de 007 Resumen En todo modelo de simulación estocástico, existen una o varias variables aleatorias interactuando.

Más detalles

CURSO CERO. Departamento de Matemáticas. Profesor: Raúl Martín Martín Sesiones 18 y 19 de Septiembre

CURSO CERO. Departamento de Matemáticas. Profesor: Raúl Martín Martín Sesiones 18 y 19 de Septiembre CURSO CERO Departamento de Matemáticas Profesor: Raúl Martín Martín Sesiones 18 y 19 de Septiembre Capítulo 1 La demostración matemática Demostración por inducción El razonamiento por inducción es una

Más detalles

Inferencia Estadística

Inferencia Estadística EYP14 Estadística para Construcción Civil 1 Inferencia Estadística El campo de la inferencia estadística está formado por los métodos utilizados para tomar decisiones o para obtener conclusiones sobre

Más detalles

Clase 4: Probabilidades de un evento

Clase 4: Probabilidades de un evento Clase 4: Probabilidades de un evento Definiciones A continuación vamos a considerar sólo aquellos experimentos para los que el EM contiene un número finito de elementos. La probabilidad de la ocurrencia

Más detalles

Un grafo G es un par (V,E) donde V es un conjunto (llamado conjunto de vértices) y E un subconjunto de VxV (conjunto de aristas).

Un grafo G es un par (V,E) donde V es un conjunto (llamado conjunto de vértices) y E un subconjunto de VxV (conjunto de aristas). TEMA 5.- GRAFOS 5.1.- DEFINICIONES BÁSICAS Un grafo G es un par (V,E) donde V es un conjunto (llamado conjunto de vértices) y E un subconjunto de VxV (conjunto de aristas). Gráficamente representaremos

Más detalles

Clase 7: Algunas Distribuciones Continuas de Probabilidad

Clase 7: Algunas Distribuciones Continuas de Probabilidad Clase 7: Algunas Distribuciones Continuas de Probabilidad Distribución Uniforme Continua Una de las distribuciones continuas más simples en Estadística es la Distribución Uniforme Continua. Esta se caracteriza

Más detalles

Introducción. Estadística 1. 1. Introducción

Introducción. Estadística 1. 1. Introducción 1 1. Introducción Introducción En este tema trataremos de los conceptos básicos de la estadística, también aprenderemos a realizar las representaciones gráficas y a analizarlas. La estadística estudia

Más detalles

Ejercicios distribuciones discretas probabilidad

Ejercicios distribuciones discretas probabilidad Ejercicios distribuciones discretas probabilidad 1. Una máquina que produce cierta clase de piezas no está bien ajustada. Un porcentaje del 4.2% de las piezas están fuera de tolerancias, por lo que resultan

Más detalles

Práctica 3. Distribuciones de probabilidad

Práctica 3. Distribuciones de probabilidad Práctica 3. Distribuciones de probabilidad Estadística Facultad de Física Objetivos Distribuciones Representaciones gráficas Ejercicios Aplicaciones 1 Introducción En esta práctica utilizaremos una herramienta

Más detalles

Relación de problemas: Variables aleatorias

Relación de problemas: Variables aleatorias Estadística y modelización. Ingeniero Técnico en Diseño Industrial. Relación de problemas: Variables aleatorias 1. Se lanza tres veces una moneda y se observa el número de caras. (a) Calcula la distribución

Más detalles

Curso. Análisis Estadístico de Datos Climáticos

Curso. Análisis Estadístico de Datos Climáticos Curso I-1 Análisis Estadístico de Datos Climáticos Distribuciones de Probabilidad Mario Bidegain (FC) Alvaro Diaz (FI) Universidad de la República Montevideo, Uruguay 2011 I-2 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

Más detalles

1. Simule estas situaciones y concluya: a) Se tira una moneda equilibrada 10 veces y se observa qué proporción de veces salió cara en

1. Simule estas situaciones y concluya: a) Se tira una moneda equilibrada 10 veces y se observa qué proporción de veces salió cara en 1. Simule estas situaciones y concluya: a) Se tira una moneda equilibrada 10 veces y se observa qué proporción de veces salió cara en las sucesivas tiradas, se repite el experimento en condiciones similares

Más detalles

Tema 3 Probabilidades

Tema 3 Probabilidades Probabilidades 1 Introducción Tal vez estemos acostumbrados con algunas ideas de probabilidad, ya que esta forma parte de la cultura cotidiana. Con frecuencia escuchamos a personas que hacen afirmaciones

Más detalles

Academia de Matemáticas. Apuntes para la Materia de Estadística II. Guía Básica para el Estudio de la Estadística Inferencial.

Academia de Matemáticas. Apuntes para la Materia de Estadística II. Guía Básica para el Estudio de la Estadística Inferencial. UNIVERSIDAD MICHOACANA DE SAN NICOLÁS DE HIDALGO Facultad de Contaduría y Ciencias Administrativas Academia de Matemáticas Apuntes para la Materia de Estadística II Guía Básica para el Estudio de la Estadística

Más detalles

Tema 7. Límites y continuidad de funciones

Tema 7. Límites y continuidad de funciones Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Análisis: Límites y continuidad de funciones 55 Límite de una función en un punto Tema 7 Límites y continuidad de funciones Idea inicial Si una función f está

Más detalles

15 Distribuciones continuas. La distribución normal

15 Distribuciones continuas. La distribución normal Distribuciones continuas. La distribución normal ACTIVIDADES INICIALES Solucionario.I. Representa la función valor absoluto: x si x 0 y x x si x 0 Y O X.II. Representa la función: 2x 3 si x f(x) si x 4

Más detalles

Tema 12: Contrastes Paramétricos

Tema 12: Contrastes Paramétricos Tema 1 Tema 1: Contrastes Paramétricos Presentación y Objetivos. Se comienza este tema introduciendo la terminología y conceptos característicos de los contrastes de hipótesis, típicamente a través de

Más detalles

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA Notas de clase Profesores: A. Leonardo Bañuelos S. Nayelli Manzanarez Gómez TEMA IV MODELOS PROBABILÍSTICOS COMUNES INTRODUCCIÓN Las variables aleatorias sirven para modelar

Más detalles

Curso de Estadística Básica

Curso de Estadística Básica Curso de SESION 1 INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA M. en C. Objetivo Crear una imagen inicial del campo de la estadística así como introducir y comprender los términos básicos aplicados en su estudio. Agenda

Más detalles

MUESTREO TIPOS DE MUESTREO

MUESTREO TIPOS DE MUESTREO MUESTREO En ocasiones en que no es posible o conveniente realizar un censo (analizar a todos los elementos de una población), se selecciona una muestra, entendiendo por tal una parte representativa de

Más detalles

Problemas de Probabilidad Soluciones

Problemas de Probabilidad Soluciones Problemas de Probabilidad Soluciones. En una carrera participan los caballos A, B, C y D. Se estima que la probabilidad de que gane A es el doble de la probabilidad de que gane cada uno de los otros tres.

Más detalles

COMBINACIONES página 29 COMBINACIONES

COMBINACIONES página 29 COMBINACIONES página 29 DEFINICIÓN: Dados n elementos, el número de conjuntos que se pueden formar con ellos, tomados der en r, se llaman combinaciones. Por ejemplo, sean cuatro elementos formar con esos cuatro elementos

Más detalles

Definición 1.1.1. Dados dos números naturales m y n, una matriz de orden o dimensión m n es una tabla numérica rectangular con m filas y n columnas.

Definición 1.1.1. Dados dos números naturales m y n, una matriz de orden o dimensión m n es una tabla numérica rectangular con m filas y n columnas. Tema 1 Matrices Estructura del tema. Conceptos básicos y ejemplos Operaciones básicas con matrices Método de Gauss Rango de una matriz Concepto de matriz regular y propiedades Determinante asociado a una

Más detalles

ANÁLISIS ESTADÍSTICO Calculadora Gráfica TI 83 Plus José Carlos Vega Vilca, Ph.D.

ANÁLISIS ESTADÍSTICO Calculadora Gráfica TI 83 Plus José Carlos Vega Vilca, Ph.D. UNIVERSIDAD DE PUERTO RICO FACULTAD DE ADMINISTRACION DE EMPRESAS INSTITUTO DE ESTADISTICA ANÁLISIS ESTADÍSTICO Calculadora Gráfica TI 83 Plus, Ph.D. Presentación Este curso ofrece al estudiante, la posibilidad

Más detalles

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES CAPÍTULO 7 Curso preparatorio de la prueba de acceso a la universidad para mayores de 25 años curso 2010/11 Nuria Torrado Robles Departamento de Estadística Universidad

Más detalles

Espacios Vectoriales

Espacios Vectoriales Espacios Vectoriales Departamento de Matemáticas, CCIR/ITESM 4 de enero de 2 Índice 3.. Objetivos................................................ 3.2. Motivación...............................................

Más detalles

Definición 1.1.1. Sea K un cuerpo. Un polinomio en x, con coeficientes en K es toda expresión del tipo

Definición 1.1.1. Sea K un cuerpo. Un polinomio en x, con coeficientes en K es toda expresión del tipo POLINOMIOS 1.1. DEFINICIONES Definición 1.1.1. Sea K un cuerpo. Un polinomio en x, con coeficientes en K es toda expresión del tipo p(x) = a i x i = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a n x n + ; a i, x K; n N

Más detalles

Problemas de Probabilidad resueltos.

Problemas de Probabilidad resueltos. Problemas de Probabilidad resueltos. Problema 1 El profesor Pérez olvida poner su despertador 3 de cada 10 dias. Además, ha comprobado que uno de cada 10 dias en los que pone el despertador acaba no levandandose

Más detalles

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y DISPERSIÓN

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y DISPERSIÓN MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y DISPERSIÓN Suponga que le pedimos a un grupo de estudiantes de la asignatura de estadística que registren su peso en kilogramos. Con los datos del peso de los estudiantes

Más detalles