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1 Universidad de Sevilla Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales Licenciatura de Economía Universidad de Sevilla ESTADÍSTICA I RELACIÓN 5 MODELOS Y DATOS ESTADÍSTICOS DEPARTAMENTO DE ECONOMÍA APLICADA I LICENCIATURA DE CIENCIAS ECONÓMICAS CURSO

2 1) Un agente de seguros vende pólizas a 5 individuos, todos de la misma edad. De acuerdo con las tablas actuariales, la probabilidad de que un individuo con esa edad tomado al azar viva 30 años más es de 3/5. Determinar la probabilidad de que dentro de 30 años, vivan: a) Los cinco individuos b) Al menos tres. c) Sólo dos. d) Al menos uno. ) Un establecimiento comercial dispone a la venta dos artículos en una de sus secciones, de precios p 1 y p, de manera que el 70% de las unidades se ofrecen al precio p y el resto lo son al precio 1 p. Si en un día determinado se venden 0 unidades, calcular la probabilidad de que 1 correspondan al artículo de precio p 1. 3) Supongamos que el número de individuos que llegan a la cola del cine, por unidad de tiempo, se distribuyen según una distribución de Poisson de media 5. Se pide calcular: a) La probabilidad de que lleguen más de cinco individuos en una unidad de tiempo. b) La probabilidad de que el número de individuos que llegan a la cola del cine en una unidad de tiempo esté comprendido entre dos y ocho, ambos inclusive. 4) En un taller hay 10 máquinas iguales. Se ha visto que una máquina tomada al azar está averiada un día de cada cinco. Calcular la probabilidad de que en un día haya más de 4 máquinas averiadas. 5) Una central telefónica recibe un promedio de 60 llamadas por hora. Calcular la probabilidad de que, durante 30 segundos que falta la telefonista, no haya llamadas telefónicas. 6) En una máquina calculadora electrónica se sabe que fallan de media dos transistores en una hora. Los fallos de los transistores siguen una distribución de Poisson. La máquina de calcular no funciona cuando se le estropean dos o más transistores. Qué probabilidad tiene una operación de tres horas de ser llevada a cabo? 7) En una determinada zona geográfica se pretende introducir un nuevo producto del que es razonable esperar sea demandado por el 40% de los habitantes de dicha zona. Determinar la probabilidad de que, consultados 10 de estos habitantes tomados al azar, dicho producto sea demandado por: a) Tres o más. b) Cinco o más.

3 8) Las erratas de impresión de una página de cierta edición siguen una distribución de Poisson, y hay dos erratas de media por página. En una revista de 0 páginas, calcular la probabilidad de que en una ó más páginas se encuentren más de 5 erratas. 9) Supongamos que lanzamos al aire una moneda mal construida, de modo que la probabilidad de obtener cara es 1/3. Calcular a) La probabilidad de obtener 5 cruces antes de la primera cara. b) La probabilidad de que el número de cruces antes de la primera cara sea menor que siete, si sabemos que dicho número es mayor que dos. 10) Consideremos una urna con 8 bolas, de las cuales dos son blancas y el resto negras. Extraemos al azar 5 bolas sin reemplazamiento. Cuál es la probabilidad de que el número de bolas negras sea menor o igual a 3? 11) Una caja de 0 bombillas es sometida a un control de calidad. La caja entera es rechazada si hay al menos una bombilla defectuosa en un lote de cinco elegidas aleatoriamente. Cuál es la probabilidad de que una caja sea rechazada, si contiene el 5% de las bombillas defectuosas? 1) Calcular la probabilidad de que una mujer tenga cuatro hijos antes de tener una hija, suponiendo que los nacimientos no son múltiples, que hay independencia y que la probabilidad de que nazca niña es de 0 51 en cada nacimiento. 13) Se lanza al azar un dado no trucado tantas veces como sea necesario para obtener un 6. Dado que no sale en la primera tirada, cuál es la probabilidad de que sean necesarias más de 4 tiradas? 14) Se arroja al azar una moneda no trucada al aire tantas veces como sea necesario para obtener 5 caras. a) Calcular la probabilidad de que haya que lanzar la moneda 1 veces. b) La probabilidad de lanzarla al menos 9 veces 15) Un mayorista vende sus productos a 10 almacenes diferentes. Cada uno de ellos puede enviar una orden de pedido para el próximo día con probabilidad 0 4, independientemente de las órdenes de los otros almacenistas. Calcular a) El número medio de órdenes de pedido b) La probabilidad del número medio de órdenes. 3

4 16) Acerca de la cantidad aleatoria demandada durante un cierto tiempo por una empresa textil, sólo se sabe que está acotada entre el valor nulo y una tonelada, y que la probabilidad de que sea menor o igual que una determinada cantidad es proporcional a dicha cantidad. Determinar, para dicho período de tiempo: a) La probabilidad de que la cantidad demandada no supere los 900 kilos. b) La probabilidad de que la cantidad demandada esté comprendida entre 800 y 900 kilos. c) La demanda media d) La probabilidad de que la demanda coincida con la demanda media. 17) El tiempo de funcionamiento (medido en horas y sus fracciones) sin fallo de un cierto aparato está distribuido según un modelo Exponencial de parámetro Hallar la probabilidad de que el aparato funcione sin fallos más de 100 horas y el tiempo esperado de funcionamiento. 18) Una variable aleatoria X tiene una distribución Uniforme en el intervalo (0,1). Determinar un valor A tal que, tomando al azar 4 valores de X, la probabilidad de que al menos uno de los 4 valores sea superior a A resulte ser de ) Se eligen al azar 10 valores en el intervalo ( 0,1 ), siendo la probabilidad de elegir un valor en cualquier subintervalo de ( 0,1 ) igual a la longitud del intervalo. Determinar la probabilidad de que 4 de ellos sean menores que 1/3. Cuántos valores habría que elegir al azar en dicho intervalo para asegurar con una probabilidad de 0 95 que al menos uno de ellos sea menor que 1/3?. 0) El tiempo (en miles de horas) que funciona una máquina, se distribuye según un modelo Exponencial de parámetro 0 5. Calcular: a) La probabilidad de que la máquina funcione al menos 1000 horas. b) La probabilidad de que la máquina funcione entre 1500 y 3000 horas. c) El tiempo esperado de funcionamiento. d) Si la máquina lleva funcionando 1500 horas Cuál es la probabilidad de que funcione menos de 3000? 1) Las calificaciones obtenidas en un test realizado en un conjunto de personas sigue una distribución Normal( 500,100 ). Entonces, a) Qué tanto por ciento obtuvieron calificaciones superiores a 600 puntos? b) Qué tanto por ciento obtuvieron calificaciones inferiores a 400 puntos? c) Qué tanto por ciento obtuvieron calificaciones entre 400 y 600 puntos? 4

5 ) Un proceso de producción fabrica rodamientos de diámetros que siguen un modelo Normal( 0'5,0'0 ). Cuál es la probabilidad de que un rodamiento tomado al azar tenga un diámetro no inferior a 0 46 pulgadas y no superior a 0 56 pulgadas? Cuál es la probabilidad de que un rodamiento tomado al azar tenga un diámetro de por lo menos 0 44 pulgadas? 3) Se acepta que las bombillas producidas por una fábrica tienen una vida distribuida según una ley Normal( 1000,500 ). Determinar la probabilidad de que una bombilla tomada al azar se queme en: a) Menos de 900 horas. b) Entre 900 y 1500 horas. c) Menos de 1100 horas. 4) En una fábrica de bebidas carbónicas, la embotelladora automática llena las botellas 1' 05, 0' 05. Las botellas se consideran (en litros) según una distribución Normal ( ) aceptables si contienen al menos un litro. Calcular la probabilidad de que una botella sea defectuosa. Las botellas se almacenan en cajas de doce unidades. Calcular la probabilidad de que en una caja tomada al azar contenga al menos una botella defectuosa. En el control de calidad, una caja es rechazada si al extraer una muestra de cuatro botellas se encuentra al menos una defectuosa. Si una caja contiene tres botellas defectuosas, cuál es la probabilidad de rechazar esta caja? 5) Una máquina produce unas piezas cuya longitud en milímetros es una variable aleatoria que puede considerarse Normal( 17,' ). Las piezas son consideradas defectuosas si su longitud es a lo sumo 14 mm. Las piezas se almacenan en paquetes de 10 unidades. Cuál es la probabilidad de que un paquete contenga cuatro piezas defectuosas? 6) En una de las secciones de producción de una planta embotelladora hace diez minutos que se produjo una avería. Durante este tiempo se han envasados productos defectuosos en un total de 50 cajas, con 10 envases cada una. Se ha contado el número de envases defectuosos que se han embalado en cada una de estas 50 cajas. Los datos obtenidos han sido:

6 ) En la inspección de los apuntes en el diario de la contabilidad de una empresa, se supone que los errores numéricos se suceden de manera aleatoria. En cada una de las 30 cuentas, con un número elevado de apuntes en cada una, se ha contado el número de apuntes examinados hasta que se encuentra el primer error de este tipo. Los datos obtenidos han sido:

7 ) En la centralita de teléfonos de un gran edificio de oficinas se reciben las llamadas de una manera continua. Durante una hora se han contado las llamadas recibidas en un intervalo de tiempo de un minuto. Los sesenta datos observados han sido:

8 ) Se está desarrollando un sistema de alarma contra incendios que se puede activar, además de cuando hay razones justificadas para ello, cuando interprete de manera errónea una determinada señal. Este sistema inspecciona sus sensores cada 30 segundos. Para minimizar las alarmas infundadas se ha diseñado un circuito que retarda la activación de la alarma hasta que se hayan producido 10 detecciones de incendio (justificadas o no). En el periodo de pruebas se ha medido el tiempo transcurrido entre dos activaciones consecutivas de la alarma. Estos tiempos, en unidades de 30 segundos, en las 50 primeras activaciones infundadas del sistema de alarma, han sido

9 ) Una sucursal de una entidad bancaria desea ofrecer un nuevo producto financiero dirigido a los pensionistas que tienen domiciliada sus nóminas en dicha sucursal. Del total de 1564 cuentas de depósito de sus clientes no se tiene constancia de cuantas corresponden a dichos pensionistas, por lo que el director de esa sucursal decide realizar extracciones al azar de 0 cuentas, simultáneamente, de su fichero de clientes y contar en cada una de estas extracciones cuantos pensionistas hay. Repite este proceso 30 veces, reponiendo siempre el fichero de clientes a su estado inicial antes de cada extracción. El resultado de estas 30 observaciones ha sido:

10 3) Se han recogido precios, medidos en miles de pesetas por cuarto de kilo, de un mismo artículo en 5 puestos diferentes, en un mismo día. Los datos obtenidos han sido: ) La cantidad de efectivo en caja de un supermercado al finalizar la jornada varía de un día a otro, debido a la variabilidad en el número de clientes y a la variabilidad de los precios y las cantidades de los artículo vendidos en cada día. En los últimos treinta días en los que abrió el supermercado, al finalizar la jornada se contabilizaron las siguientes cantidades (medidas en millones de pesetas):

11 ) Se ha preguntado a 60 familias jóvenes con titulación universitaria superior, que han accedido a la propiedad de su vivienda, el tiempo que han tardado desde que consiguieron su primer trabajo hasta que pudieron acceder a la vivienda en propiedad. Los resultados, medidos años y fracciones decimales de un año, han sido:

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