ECUACIONES (4º ESO Op B)

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1 ECUACIONES ( ESO Op B) IDENTIDADES, IGUALDADES FALSAS Y ECUACIONES.- Un iguldd lgebric está formd por dos epresiones lgebrics (un de ells puede ser un número), seprds por el signo. Ejemplos ( + 1 ) ; ( 1) + En un iguldd lgebric: A ls vribles que intervienen se les llm incógnits. ; 0 Al epresión lgebric que está delnte del signo igul se le llm primer miembro de l iguldd, y l que está detrás del signo igul, segundo miembro de l iguldd. Ls igulddes lgebrics pueden ser de tres clses: Identiddes o ecuciones triviles: L iguldd es ciert pr todos los vlores reles por el que sustituymos l incógnit (o incógnits en el cso de que hy más de un) ( ) le demos. Pr 1: Pr ; pr culquier vlor de, se cumple l iguldd: + y ( 1+ 1) : ( ) + ( ) y ( + 1) 1 Igulddes flss: L iguldd no se cumple pr ningún vlor que se le dé l incógnit: ( 1) +, pues: +, y sí ocurre pr todos los vlores que no se puede cumplir que quitndo uniddes y ñdiéndole uniddes l mismo número ( ), slg lo mismo. Ecuciones: L iguldd se cumple solo pr lgunos vlores de l incógnit y no se cumple pr otros. Ejemplo 1: 1 + es válid sólo pr. Ejemplo : 0 es válid pr y, y no es válid pr el resto de los vlores reles que demos. Vmos centrr nuestro estudio en ls ecuciones. ECUACIÓN.- Un ecución es un propuest de iguldd, en l que interviene un o más letrs denominds incógnits, que es ciert solo pr lgún (o lgunos) vlor de l incógnit (o incógnits), llmdo solución (o soluciones) de l ecución.

2 Ls soluciones de l ecución son, por lo tnto, los vlores de l incógnit (o incógnits) que hcen que l iguldd se ciert. Resolver un ecución es hllr tods sus soluciones. En generl vmos resolver igulddes lgebrics (no solo ecuciones), y que tienen el mismo specto ntes de su resolución. Resolver un iguldd lgebric es hllr su solución o soluciones, o llegr l conclusión de que todos los vlores de ls incógnits son soluciones (identidd), o de que no tiene ningun (iguldd fls). ECUACIONES EQUIVALENTES.- Dos ecuciones son equivlentes si tienen ectmente ls misms soluciones o mbs crecen de solución. Pr resolver un ecución, hemos de despejr l medinte un serie de psos. Cd pso consiste en trnsformr l ecución en otr equivlente en l que l esté más próim ser despejd. Ls trnsformciones que permiten psr de un ecución otr equivlente hst conseguir despejr : Trnsformción Regl práctic Sumr o restr el mismo número o l mism Lo que está sumndo en uno de los dos epresión lgebric en los dos miembros de l miembros, ps restndo l otro miembro, iguldd y vicevers / / + / / Multiplicr o dividir los dos miembros por el mismo número distinto de cero. / / 6 6 : Lo que está multiplicndo todo lo demás de un miembro ps dividiendo todo lo demás del otro. Y vicevers. Tipos de ecuciones.- Eisten diversos tipos de ecuciones, entre ells estudiremos: Polinómics: En ells, l incógnit prece solmente en epresiones polinómics. El grdo de un ecución polinómic es el grdo del término que teng myor grdo Rcionles: En ells hy frcciones lgebrics y l incógnit prece en lgún denomindor. Irrcionles: L incógnit está dentro de un ríz. ECUACIONES LINEALES O POLINÓMICAS DE PRIMER GRADO.- Un ecución de primer grdo es un iguldd lgebric que se puede reducir l form 0. Tiene un únic solución. b, siendo Ls igulddes lgebrics que precen ecuciones de primer grdo y que, sin embrgo, no tienen solución (igulddes flss) o tienen infinits soluciones (identiddes): Ejemplo 1.- ( 1) ó 0 5 Ejemplo.- 6 ( ) ó 0 0 soluciones. No tiene solución. Tiene infinits Relmente, ests igulddes sbemos que no son ecuciones (pues crecen del término en ). Sin embrgo, puesto que ntes de simplificr no sbemos en qué vn quedr, ls trtremos como ecuciones. Pr resolver ls ecuciones de primer grdo seguiremos los siguientes psos:

3 1.- Desrrollr los préntesis, si los hy..- Quitr denomindores, si los hy, reduciendo previmente mbos miembros común denomindor (m.c.m de todos los denomindores) y multiplicndo mbos miembros por él..-después de reducir términos semejntes en los dos miembros, psmos los términos en un miembro y los números l otro miembro..- Reducimos términos semejntes en cd miembro. 5.- Despejmos l, obteniendo, sí, l solución. Comprobción: Sustituir l solución en cd miembro de l ecución inicil pr comprobr que coinciden los resultdos. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO.- Es un ecución que se puede epresr de l form: + b + c 0 con, b, y c, números reles conocidos y 0. Ls ecuciones de º grdo puede ser: Complets: Cundo b 0 y c 0. Se resuelve usndo l fórmul: Incomplets: Cundo b 0 ó c 0 b ± b c. Se resuelven sin necesidd de utilizr l fórmul nterior: Si b 0 : + c 0 despejr c ± despejr c c : + b 0 ( + b) Si b scmos fctor común pr queel producto de dos fctores se 0 0 b despejo Pr resolver un ecución de º grdo: Si tiene un form complicd, rrégll: suprime préntesis, quit denomindores, grup términos semejntes y páslos todos l primer miembro, etc. Sólo cundo esté simplificd, plic el método que correspond pr resolverl. Si l ecución de segundo grdo es complet, plic l fórmul. Si l ecución de segundo grdo es incomplet, resuélvel sin l fórmul, scndo fctor común o despejndo, según del tipo que se. Ejemplos: ; 1± ( ) 8 1± 9 1± (dos soluciones) ; ± 16 1 ± ± (un solución doble) 1± ± 1 1± ; R (sin solución)

4 ; ; ; ( 1) 0 ; 1 1 ± ± (dos soluciones) ; ; 0 ; ± 0 ± 0 ; 0 1 (dos soluciones) (un solución doble) NÚMERO DE SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN DE º GRADO.- En los ejemplos observmos que el número de soluciones (un, dos o ningun) de un ecución de º grdo depende del signo del rdicndo de l ríz que form prte de l fórmul de l ecución de º grdo, que notremos con l letr grieg: (delt), llmdo discriminnte de l ecución: Si Si Si Discriminnte b c > 0 L ecución tiene dos soluciones reles y distints 0 L ecución tiene un sol solución, llmd solución doble. < 0 L ecución no tiene solución. ECUACIONES POLINÓMICAS DE GRADO SUPERIOR A DOS.- Son ecuciones polinómics en ls que el término de myor grdo tiene grdo myor o igul que tres. Se resuelven de l siguiente form: 1º. Se epresn con el segundo miembro igul 0: ( ) 0 P en cso de que no esté epresd sí. º.Se fctoriz el polinomio P ( ) en fctores de grdo 1 y y se escribe l ecución fctorizd: (...) (...)... (...) 0 º. Pr que un producto de vrios fctores se 0, es necesrio que se 0 culquier de ellos (...) 0 ; (...) 0 ;..; (...) 0. Se despej l de cd uno de los fctores, escribiendo tods sus soluciones º ( + 1) ( ) ( 5 + ) ECUACIONES REDUCIBLES A ECUACIONES DE º GRADO.- ( + 1) 0 1 ( doble) 0 0 º Hy ecuciones que, sin ser de primer ni de segundo grdo, se pueden resolver utilizndo los recursos que y tenemos: ECUACIONES BICUADRADAS Y BICÚBICAS.- Son ecuciones polinómics que se pueden epresr de l form: 6 + b + c 0 (bicudrds) y + b + c 0 (bicúbics) con 0.

5 Pr resolverls: Se hce un cmbio de vrible de l form siguiente: Bicudrds: t, con lo que ( ) t, quedndo: + bt + c 0 t (ecución de º grdo en t). Se despej t con el procedimiento que proced según el tipo de ecución deº grdo que se y un vez obtenido t, se deshce el cmbio pr conseguir los vlores de con: ± t. + 0 ; hcemos: t ± 16 1 ±, quedndo: t t + 0 ; despejmos t: + ± 1 t deshciendo el cmbio: t t 1 ± 1 ± 1 ± 1 Bicúbics: t 6, con lo que ( ) t, quedndo: + bt + c 0 t (ecución de º grdo en t). Se despej t con el procedimiento que proced según el tipo de ecución deº grdo que se y un vez obtenido t, se deshce el cmbio pr conseguir los vlores de con: t ; hcemos: t 7 ± 9 1 ( 8), quedndo: t 7t 8 0 ; despejmos t: ± 81 7 ± t deshciendo el cmbio: t t ECUACIONES RACIONALES.- Ls ecuciones en ls que precen frcciones lgebrics, se denominn ecuciones rcionles. Pr resolver este tipo de ecuciones, se multiplicn sus dos miembros por el mínimo común múltiplo de todos los denomindores. Un vez elimindos los denomindores se resuelve l ecución polinómic obtenid. Al multiplicr los dos miembros de l ecución por un mism epresión lgebric, debemos suponer que est es distint de 0. Si entre ls soluciones obtenids hy lgun que nule lgún denomindor, debemos rechzrl, por eso se debe comprobr que ls soluciones obtenids no nuln los denomindores que intervienen en l ecución.

6 + 1 1 ( 1) ( + 1) ( 1) ( + 1) ( 1) ( + 1) ( 1) ( + 1) ( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 ( ) ± ± 6 ± 6 0 y 1/ 1 1 nul los dos denomindores, sí que h que rechzrl. L solución es: ECUACIONES IRRACIONALES.- Ls ecuciones irrcionles, o ecuciones con rdicles, son quells que tienen l incógnit en el rdicndo (bjo el signo rdicl) Pr resolver un ecución irrcionl, se siguen los siguientes psos: 1º Si l ecución tiene un solo rdicl: Se ísl el rdicl en uno de los dos miembros, psndo l otro miembro el resto de los términos. Si l ecución tiene dos o más rdicles: Se ísl uno culquier de ellos en uno de los dos miembros, psndo l otro miembro el resto de los términos, unque tengn tmbién rdicles. º Se elevn l cudrdo los dos miembros de l ecución. º Si l ecución tiene vrios rdicles, se repiten ls dos primers fses del proceso hst eliminrlos todos. Se resuelve l ecución obtenid. 5º Es imprescindible, en este tipo de ecuciones, comprobr si ls soluciones obtenids verificn l ecución inicil, y que hy que tener en cuent que l elevr l cudrdo un ecución se obtiene otr que tiene ls misms soluciones que l dd y, demás ls de l ecución que se obtiene cmbindo el signo de uno de los miembros de l ecución. Elevr l cudrdo los dos miembros de l ecución, no es un trnsformción que permit psr de un ecución otr equivlente en todos los csos; por ejemplo: L ecución: tiene como solución: Al elevr sus dos miembros l cudrdo: que tiene como soluciones: Observmos que no tienen ectmente ls misms soluciones; sin embrgo, l solución de l primer ecución ( ) se encuentr entre ls soluciones de l segund ( y ), por eso bst con resolver l segund ecución y rechzr ls soluciones de dich ecución que no cumpln l ecución inicil ( / ). 1º º ( 9) ( + ) ( + )

7 (posibles soluciones) Descrtmos ls soluciones no válids (5º): Pr 5 : Luego 5 es solución de l ecución inicil. Pr : Luego 1 9 no es solución. En ls ecuciones irrcionles, l comprobción de ls soluciones form prte de su resolución En este tipo de ecuciones, ls soluciones no se compruebn pr estr seguros de que no nos hemos equivocdo l resolverls, sino pr descrtr ls soluciones etrñs que se hn podido introducir l elevr los dos miembros l cudrdo. ECUACIONES EXPONENCIALES Ecuciones eponenciles son quells en ls que l incógnit está en el eponente. Pr resolver ests ecuciones se plicn ls propieddes de ls potencis (leíds en los dos sentidos) y se tiene en cuent que: y y En lguns ecuciones result útil tomr logritmos en mbos miembros de l ecución; o plicr l definición de logritmo. En otrs es conveniente relizr un cmbio de incógnit del tipo epresión. t, pr que simplifique l Ejemplos: Resolver ls ecuciones: ) 1 1 ± b) Hcemos el cmbio de vrible: + 7 t t + t + t 1 + t + t 7 7t 1 t Deshcemos el cmbio de vrible: t 1 t

8 ECUACIONES LOGARÍTMICAS Ecuciones logrítmics son quells en ls que l incógnit prece en l bse o en el rgumento de un logritmo. Pr resolverls se modificn sus dos miembros con l yud de ls propieddes de los logritmos, y se tiene en cuent que: log M log N M N Es necesrio comprobr si ls soluciones obtenids son válids, teniendo en cuent solo que no están definidos los logritmos de cero ni de los números negtivos, y demás l bse tiene que ser positiv y distint de 1. log + log( + 5) log[ ( + 5)] log100 ( + 5) ± (5) ( 100) 5 ± ( válid) 5 ± (no vle) 6

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