el blog de mate de aida CSI: sistemas de ecuaciones. pág

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1 el blog de mte de id CSI: sistems de ecucioes pág SISTEMAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO U sistem de "m" ecucioes lieles co "" icógits,,,, es u cojuto de "m" igulddes de l form: m m b b m dode ij, b i ( i m, j ) so elemetos coocidos de R, deomidos coeficietes y térmios idepedietes, respectivmete U solució de u sistem de "m" ecucioes lieles co "" icógits es u cojuto de úmeros (s, s, s ) tles que l sustituirlos e lugr de,,, respectivmete, d lugr "m" idetiddes Si los térmios idepedietes so todos ulos: bi=0 co i m, el sistem se llm homogéeo Resolver u sistem es obteer ls solucioes del sistem b m CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS Los sistems de ecucioes lieles, segú ls solucioes que pose se clsific de l siguiete mer: - U sistem se dice que es comptible si l meos u solució Si es solució es úic, se dice comptible determido Si ls solucioes so ifiits, se dice que el sistem es comptible idetermido - Si u sistem o solució se dice que es icomptible E resume, NO lgú SISTEMA todos COMPATIBLE HOMOGÉNEO idepediete 0 INCOMPATIB LE o térmio los HOMOGÉNEO térmios idepedietes COMPATIBLE 0 l trivil l DETERMINAD O l solució es úic solució INDETERMIN ADO solucioes meos solució DETERMINAD O l solució trivil solució INDETERMIN ADO solucioes Discutir u sistem es verigur si es icomptible o comptible, determido o determido

2 el blog de mte de id CSI: sistems de ecucioes pág Dos sistems de ecucioes lieles, so equivletes, si ls misms solucioes Criterios de equivleci: Se trt de ver cuáles so ls trsformcioes que podemos efectur e u sistem ddo de mer que obtegmos otro sistem equivlete y más secillo Al itercmbir dos ecucioes culesquier de u sistem, result u sistem equivlete l ddo Al multiplicr tod u ecució de u sistem por u úmero distito de cero, result u sistem equivlete l ddo 3 Si e u sistem sustituimos u ecució por l sum de ell co u combició liel de otrs, result otro sistem equivlete l ddo 4 Si e u sistem de ecucioes lieles u ecució es combició liel de otrs, result otro sistem equivlete l ddo RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS Método de sustitució Los psos que debes seguir pr plicr el método de sustitució so los siguietes: º Despej u de ls icógits e u de ls ecucioes º Sustituye l epresió obteid e l otr ecució 3º Resuelve l ecució resultte, que es de primer grdo y co u icógit 4º Clcul l otr icógit sustituyedo, e u culquier de ls ecucioes, el vlor obteido Resolució de sistems: método de igulció Los psos que debes seguir pr plicr el método de igulció so los siguietes: º Despej l mism icógit e ls dos ecucioes º Igul ls dos epresioes resulttes 3º Resuelve l ecució resultte, que es de primer grdo y co u icógit 4º Clcul l otr icógit sustituyedo, e u culquier de ls ecucioes, el vlor obteido Resolució de sistems: método de reducció L regl e que se bs el método de reducció, es que si u ecució de u sistem se le sum o se le rest otr ecució del sistem, result u sistem equivlete l ddo Est regl permite elimir u icógit y obteer u ecució de primer grdo, siempre que los coeficietes de dich icógit se: - Igules: se rest ls ecucioes - Opuestos: se sum ls ecucioes *Sistems co coeficietes igules u opuestos: Los psos seguir será: º Sumr o restr ls ecucioes del sistem º Resolver l ecució de primer grdo resultte 3º Clculr l otr icógit sustituyedo, e u culquier de ls ecucioes, el vlor obteido *Sistems si coeficietes igules: Los psos seguir será: º Igulr los coeficietes slvo el sigo de u de ls icógits (Puede hcerse utilizdo los productos cruzdos si o se ecuetr otro método más secillo) º Sumr o restr, segú coveg, ls dos ecucioes del sistem, de modo que l operr se elimie u icógit

3 el blog de mte de id CSI: sistems de ecucioes pág 3 3º Resolver l ecució de primer grdo resultte 4º Clculr l otr icógit sustituyedo, e u culquier de ls ecucioes, el vlor obteido SISTEMAS DE TRES ECUACIONES CON TRES INCÓGNITAS U sistem de tres ecucioes de primer grdo co tres icógits puede escribirse sí: 3 3 y y y z b z b z b dode los coeficietes de ls icógits y los térmios idepedietes so úmeros reles Método de sustitució Cosiste e despejr u icógit e u de ls ecucioes y sustituir l epresió obteid e ls otrs dos ecucioes Así se ob u sistem de dos ecucioes co dos icógits 3 Método de igulció Cosiste e despejr l mism icógit e ls tres ecucioes e igulr ls epresioes obteids dos dos Así se ob u sistem de dos ecucioes co dos icógits Método de reducció Cosiste e elimir l mism icógit etre dos prejs distits de ecucioes pr obteer u sistem de dos ecucioes co dos icógits Pr elimir l icógit elegid se sum o se rest ls ecucioes previmete multiplicds por los úmeros decudos pr que los coeficietes se ule y 3z 3y z 3 y z 3 6 Elegimos elimir l : 4y 6z 4 3 6y 9z 6 3y z 3 3 y z 6 7z 7 4y 8z 7z 7 y, z 4y 8z El sistem obteido es: EL MÉTODO DE GAUSS: U sistem de ecucioes se dice que form esclod cudo cd u de ls ecucioes u icógit meos que l terior Co secills trsformcioes podemos psr u sistem otro de form esclod equivlete Después, e cd pso, clculmos u icógit cuyo vlor se sustituye e l ecució terior Este procedimieto se llm método de Guss pr l resolució de sistems de ecucioes lieles Criterios de equivleci: Se trt de ver cuáles so ls trsformcioes que podemos efectur e u sistem ddo de mer que obtegmos otro sistem equivlete y más secillo Al itercmbir dos ecucioes culesquier de u sistem, result u sistem equivlete l ddo

4 el blog de mte de id CSI: sistems de ecucioes pág 4 Al multiplicr tod u ecució de u sistem por u úmero distito de cero, result u sistem equivlete l ddo 3 Si se sum u mismo úmero o u epresió lgebric los dos miembros de u ecució, o vrí su cojuto de solucioes 4 Si e u sistem de ecucioes lieles se suprime ó se ñde u ecució que se combició liel de ls demás se ob u sistem equivlete l ddo y z y z y 3z 9 Vmos elimir de l ª y 3ª ecucioes l Pr elimir l de l ª ecució, multiplicmos l ª ecució por - (--y-z=-4) y se l summos l ª Pr elimir l de l 3ª ecució, le restmos l ª El sistem equivlete resultte, será: y z 3y 3z 3 3y z 7 Elimimos hor de l 3ª ecució l y Le restmos l ª ecució queddo, e defiitiv el siguiete sistem: y z 3y 3z 3 5z 0 Es u sistem esclodo de solució úic: Despejdo z e l 3ª ecució z= y, sustituyedo este vlor e l ª ecució, qued: -3y-6=-3 Despejdo y e est ecució, y=- y sustituyedo mbos vlores e l ª ecució result: -+=, de dode = Discusió de u sistem de ecucioes por el método de Guss: Se u sistem de 3 ecucioes lieles co 3 icógits Si después de reducirlo form esclod o trigulr: ) Se ob lgu ecució de l form 0=c, co c0, el sistem es icomptible b) Si o es sí el sistem es comptible E este cso, si llmmos r l úmero de ecucioes o triviles (que o se 0=0) que el sistem e su form esclod: - Si r=, hy solució úic (es sistem comptible y determido) - Si r<, preset ifiits solucioes, y cd u de ells depede de -r prámetros (es sistem comptible e idetermido) 3y 7z 0 5 y z 8 4y 0z Trsformádolo e u sistem esclodo, qued: 3y 7z 0 0 7z 0 El sistem es comptible, pero idetermido, co ifiits solucioes que depede de 3-= prámetro Qued sí: 3y 0 7z 7z L solució es 7 7 y 3 7 z

5 el blog de mte de id CSI: sistems de ecucioes pág 5 SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES Los métodos coocidos pr resolver sistems de ecucioes lieles sirve pr resolver sistems de ecucioes o lieles El cso más simple es el de sistems formdos por u rect y u prábol Resolver el sistem es ecotrr, si los hy, los putos de corte de l rect co l prábol Por lo tto, el sistem puede teer u, dos o igu solució Vemos lguos ejemplos: Ejemplo º: Resuelve el siguiete sistem gráfic y líticmete: Solució: (-,0) y (4,0) y 5 4 y 8 Ejemplo º: Resuelve el siguiete sistem gráfic y líticmete: Solució: No hy (sistem icomptible) y 4 4 y