VARIEDADES LINEALES. Por Javier de Montoliu Siscar, Dr. Ing. Ind. 2ª Edición. Enero 1997.

Transcripción

1 VARIEDADES LINEALES Po Jvie de Montoliu Sisc, D. Ing. Ind. ª Edición. Eneo 997.

2 TABLA DE CONTENIDO TABLA DE CONTENIDO... I VARIEDADES LINEALES... A.- PREAMBULO.... B.- GENERALIDADES Definición de viedd linel Rect o viedd de dimensión Viedd Vm m-dimensionl (m<n; n Dim E) Plelismo Otogonlidd y pependiculidd Sum e intesección de subespcios C. ECUACION DE º GRADO DE COEFICIENTE VECTORIAL Ecución genel Intesección de plnos Posiciones eltivs de dos vieddes D.- ECUACION DE º GRADO CON COEFICIENTE TENSORIAL Ecución genel Convesión de ecuciones Posiciones eltivs Intesecciones Resolución de lgunos sistems de ecuciones en un espcio tidimensionl E.-PROYECCIONES ORTOGONALES DE TENSORES Poyección otogonl de un vecto sobe un subespcio Poyección sobe un plno INDICE DE ECUACIONES I

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4 B.- GENERALIDADES..- Definición de viedd linel. Denominmos viedd linel de un espcio vectoil n- dimensionl E sobe K, tod pte A de E que veific: v,w K A λ : λv (-λ) w A De est definición se infiee que culquie punto, ect o plno del espcio geomético odinio son vieddes lineles. P culquie dimensión, tmbién son vieddes lineles E y, unque ests últims, slvo excepción, no ls vmos conside de ho en delnte. Est definición de viedd linel, no se ve fectd po el punto de efeenci doptdo...- En este texto llmemos ects ls vieddes lineles unidimensionles y plnos ls vieddes lineles (n- )-dimensionles. A ls vieddes lineles ls denominemos simplemente vieddes...- Definición de subespcio vectoil. Llmmos subespcio vectoil y culquie viedd que conteng l punto de efeenci u oigen, y es subespcio vectoil culquie pte E' de E que veifique: v,w E λ, K : λ λ v λ v E.3.- Intesección de vieddes. Es ot viedd, y sólo l intesección de subespcios es un subespcio..- Rect o viedd de dimensión...- Un viedd que contiene puntos distintos y b es un ect cundo puede expesse po: R {x / x λ λ b ; λ,λ K; λ λ } Est ect seá un subespcio cundo uno de los puntos tl como, se pued expes po µb con lgún µ K (Recodemos que el petenece K). 3

5 Evidentemente l ect seá un subespcio cundo uno de los dos puntos distintos, es el oigen. Si po ejemplo uno de ellos es b y el oto es,l expesión nteio qued en: R {x / x λ ; λ K}..- En consecuenci, como el vecto nulo no es un vecto independiente de ningún conjunto, dos puntos de un ect están epesentdos po vectoes independientes si, y solo si l ect no es un subespcio. 3.- Viedd Vm m-dimensionl (m<n; n Dim E). Contiene m puntos distintos que l deteminn, de los cules po lo menos m puntos coesponden un sistem de vectoes independiente En función de m vectoes independientes, l viedd puede epesentse sí: V m {x / x m λ i ; ( i): λ i i K; m λ i } 3..- Si uno de los m puntos que deteminn l viedd es el oigen, l viedd detemind po el esto de m puntos coespondientes vectoes independientes, es un subespcio que psá expesse sí: E m {x / x m λ i i ; ( i): λ i K } En lo sucesivo y p bevi, l vecto coespondiente un punto tmbién le llmemos punto. 4.- Plelismo Decimos que l viedd A es plel l B cundo p lgún punto de vecto v se veific: v A B y esto solo es posible cundo l dimensión de A no es myo que l dimensión de B. Pueden ocui dos csos:.- P A B, B contiene A.- P A B, B y A no tienen ningún punto común. De est definición se deduce que un punto es plelo culquie viedd excepto. 4

6 4..- Decimos que dos vieddes A y B son plels ente sí o mutumente plels, cundo l vez A es plel B y B es plel A, y esto sólo es posible cundo A y B tienen igul dimensión. Dos vieddes A y B seán mutumente plels siempe que exist un punto de vecto v tl que veifique: v A B Siempe existe un subespcio mutumente plelo un viedd dd. Cundo B no es un subespcio se veific: ( α K ): A αb y p α considemos que el poducto es el subespcio mutumente plelo B Denominmos diección contenid en un viedd A, todo subespcio unidimensionl plelo A. 5.- Otogonlidd y pependiculidd Dos vieddes son otogonles suplementis cundo lo son los subespcios mutumente plelos ells. L sum de sus dimensiones es l dimensión del espcio, y su intesección es un punto. Dd un viedd A, y un punto de l mism, hy un viedd otogonl suplementi y solmente un, que teng este punto en común. Tl punto es l intesección de ls vieddes Sen dos vieddes A y B, los subespcios E A y E B mutumente plelos ls misms y los subespcios E A y E B otogonles suplementios los nteioes. Pocedeemos ls siguientes definiciones: A y B son otogonles si y sólo si E A E B, lo que equivle E B E A. A y B son pependicules si y sólo si E A E B, lo que equivle E B E A Popieddes de un p A y B de vieddes otogonles. ) Los subespcios E A y E B son subespcios otogonles. Es deci: ( ; E A )( b ; b E B ): b b) Dim A Dim B n (dimensión del espcio). 5

7 c) Tods ls diecciones de un viedd son otogonles tods ls diecciones de l ot. d) Un punto es otogonl culquie viedd Popieddes de un p A y B de vieddes pependicules. ) Dim A Dim B n (dimensión del espcio). b) Cd viedd contiene ls diecciones otogonles tods ls diecciones de l ot. Ejemplo: Dos plnos pependicules del espcio geomético odinio Como continución de '5. podemos señl ls siguientes popieddes de un p A,B de vieddes otogonles suplementis, l considels l vez como vieddes otogonles en genel y como vieddes pependicules, en fom de situción límite común mbs ctegoís. ) E A E B sí como E B E A b) Dim A Dim B n (dimensión del espcio). c) Ls diecciones de A son exctmente tods ls otogonles B y ecípocmente Si dos vieddes son otogonles o pependicules, lo son tmbién sus subespcios otogonles suplementios. 6.- Sum e intesección de subespcios L sum de subespcios es un subespcio y l de vieddes es un viedd. Se incluye quí como subespcio o viedd l espcio totl. L intesección de subespcios es un subespcio y l de vieddes no plels es un viedd Sen dos pes E,E y E,E de subespcios otogonles suplementios. El subespcio otogonl suplementio de E E ess E E. Pues po un pte, tod diección de E E po petenece E y E es otogonl E y E y po tnto E E. Y po ot, tod diección otogonl E E lo seá E y E, po lo que peteneceá E y E y en consecuenci E E. Análogmente demostímos que el subespcio otogonl suplementio de E E... E n es E E...E n. 6

8 6.3.- Sen dos pes E,E y E,E de subespcios otogonles suplementios. Si y sólo si E E tendemos E E. Pues si y sólo si E E E (ó se E E ) tendemos E E E, o se E E. 7

9 C. ECUACION DE º GRADO DE COEFICIENTE VECTORIAL..- Ecución genel Se un espcio E n-dimensionl. L ecución genel de gdo de coeficiente vectoil, es: (,x E; ; α K): x α..- TEOREMA º.- L solución X de l ecución genel de º gdo de coeficiente vectoil es un viedd (n-)-dimensionl o plno. ) Hy po lo menos un punto solución: x α - como es fácil compob. b) X es un viedd linel, pues si l solución es un solo punto éste es un viedd y si hy dos x ' y x " lo seán tmbién todos los puntos ( λ; λ K): λx (-λ)x de l ect que deteminn, como vmos veific: [λx (-λ)x ] α λ x (-λ) x λα (-λ)α λ( x α) (-λ)( x α) c) Conociendo un punto x de X, l ecución puede ponese en l siguiente fom: () (x -x ) puesto que: x x' α α (x x)' x' X plno. d) X es un viedd linel de dimensión n- ó se un Puesto que con l ecución en l fom () vemos que X- x ' es el subespcio otogonl suplementio de l ect de diección. P α es un subespcio plno...- Pié de l ect otogonl X desde el oigen. 9

10 Es el punto: () p α - que petenece X. Efectivmente, éste es el vlo que esult de elimin λ (λ K) en el sistem: p λ p λ p α ( λ) α p λ α λ α p α λ Si X es un subespcio, quedá p..3.- Ecución de X en función de p no nulo. Se deduce inmeditmente de () y (): p (x -p ).4.- Condición de equivlenci ente ls dos ecuciones: x α x α Es que exist un escl λ no nulo que veifique: λ ; α λα Pues como solo hy un diección otogonl X, y, que no pueden se nulos p que existn ecuciones, debeán tene l mism diección. Y po tnto λ con λ. En tl cso multiplicndo l segund ecución po λ tendemos los siguiente sistems equivlentes: x λ x α λα α x λα α.5.- TEOREMA º.- Tod viedd linel X de dimensión n- es solución de lgun ecución de º gdo. Pues podemos detemin p pié de l otogonl desde el oigen. Si no es nulo, l ecución seá:

11 p (x -p ) y si p, tendemos X y X seá el subespcio de ecución x siendo culquie vecto de l únic diección otogonl X..6.- TEOREMA 3º.- Los coeficientes de l ecución x α del plno que ps po los n puntos {x i } que fomn un sistem independiente, son: [(x -x ) (x -x )... (x -x )] 3 n siendo l expesión de exteio. α - x l del vecto pol de un poducto Po se independiente el sistem {x i }, no seá nulo Si x es solución, l ecución podá ponese en l fom (x -x ) y sustituyendo po el vlo signdo, po álgeb tensoil tendemos: (x -x ) [(x -x ) (x 3 -x )... (x n -x )(x -x ] con lo que qued evidente que los puntos ddos son soluciones de l mism..7.- TEOREMA 4º.- El coeficiente de l ecución x del subespcio plno que contiene los n- puntos {x i ) que fomn un sistem independiente, es: (x x... x n- ) Análogmente l cso nteio, tenemos: x (x x... x n- ) x (x x... x n- x ) y con no nulo, x se nul p los puntos ddos..8.- TEOREMA 5º.- Se un conjunto { i } de n vectoes independientes. Adoptndo un bse culquie hllemos los coeficientes de cd vecto y ls mtices fil { i } coespondientes. Podemos fom un mtiz A de deteminnte A que teng sus fils A i { }. i Si { j } es el conjunto dul de { i } y fommos un mtiz A cuys columns esulten de multiplic po A ls mtices column de los j. tendemos:

12 A j { j } A Se veific que A es l mtiz djunt de A. Efectivmente. Si multiplicmos mticilmente ls mtices A y A esult: AA A A. An { ' A' A ' n } A AA' AA' A na' n AA' AA' n AA' AA' n A na' A na' Tendemos: AA A i A j A' j i j A {δ ij } A ; { j } A y po consiguiente A es l mtiz djunt de A. Recodemos del cálculo mticil, que l mtiz A djunt de A, y que cumple l nteio popiedd, es l mtiz en l que todo témino de column i y fil j es el cofcto del elemento de A de fil i y column j.

13 .- Intesección de plnos...- Intesección de n plnos de un espcio n- dimensionl cuys ecuciones tienen los coeficientes vectoiles fomndo un sistem independiente. Hll l intesección equivle esolve el sistem: x x... nx n con l condición V(.. n ). P ello multipliquemos odendmente ls ecuciones po los vectoes de l bse { i } dul de l { i }. Obtendemos un sistem equivlente: ( x ) ( x )... n( nx n) Sumndo miembo miembo tendemos: i ( i x ) α i i ( i i )x α i i x α i i y po tnto l solución es el punto: (3) x - α i i..- Aplicción l espcio bidimensionl: Se ε el tenso coespondiente l plicción gio positivo de 9º de mtiz { ε } en bse otonoml y sen dos puntos y con ( ) V. Recodndo el lgeb tensoil, tendemos: V -ε ; V ε ; y plicndo l fómul hlld tenemos: x ( ) ( ) - α ε α ε ( ) 3

14 .3.- Aplicción l espcio tidimensionl. Emplendo el poducto vectoil de signo, ecodemos del álgeb tensoil: V -( 3 ) ( 3 ); V -( 3 ) ( 3 ) V 3 ( ) ( ); V ( ) ( 3 ) 3 y po consiguiente: x α( 3) α( 3 ) α3( ) - ( ) Método mticil genel p hll l intesección de n plnos dds sus ecuciones cundo sus coeficientes vectoiles { i } fomn un sistem independiente. Se bs en fom un mtiz A con sus fils A i { }', y i hll su deteminnte y su mtiz djunt A. Como sbemos po '.8 que ls columns de A son A j { j } A, l plic l fómul (3) obtenemos: {x } - α A i i A.5.- Vmos pone un ejemplo con l esolución de un sistem de ls siguientes ccteístics: A { 3 }: A { }; A 3 { }; A 4 { }; α α - α 3 α 4 - Pocedeemos sí: 3 A A A ;A ;A 3 ;A 3 Po ot pte tenemos A -. Po consiguiente: {x } - α A i A i () (-) () (-) L esolución del poblem nteio y l de los 4

15 que siguen sobe intesección de plnos, se educe esolve sistems escles de n ecuciones con n incógnits, y p ello pueden emplese los distintos métodos que señln los textos sobe l mtei. Como estos métodos los suponemos conocidos y se sepn de nuesto objetivo, nos bstendemos de desolllos quí..7.- Intesección de m plnos (m<n), dds sus ecuciones que tienen sus coeficientes vectoiles fomndo un sistem independiente. Podemos hll su intesección ñdiendo los m plnos n-m plnos más con coeficientes vectoiles que completen un bse del espcio, y con coeficientes escles indetemindos, psndo pocede después como en '.5. Se { } {,,..., p m m n } el sistem de coeficientes vectoiles ñdido. El subespcio genedo po { p } es evidentemente otogonl suplementio l subespcio genedo po los coeficientes oiginles {,,..., }. m Tendemos pues, p el punto solución: {x α A i i } - A n i m α A i i - A i - n α A i m A i Asignndo un vlo bitio cd uno de los elementos de {α p }{α m,α m,..,α n } obtendemos un vlo del témino del º miembo de l iguldd nteio que epesentá un punto y l que coespondeá un vlo de {x } y un punto de l intesección buscd. El conjunto de los vloes bitios posibles de tl º témino seá, po lo visto en '.8: n α A p m S - A p n... p p α m y coesponde l subespcio genedo po los { p }, que según cbmos de ve, es el otogonl suplementio l subespcio genedo po los { } oiginles. i Como el pime témino es un vecto s que epesent un punto, tendemos finlmente: X s S y, po lo tnto, l intesección buscd es un viedd linel mutumente plel S, o se otogonl suplementi l subespcio genedo po los { i } oiginles y de dimensión n-m. 5

16 .8.- Ejemplo. Se un sistem de dos ecuciones de ls ccteístics siguientes: A { 3 }; A { } α α - Añdiemos dos ecuciones bitis cuyos coeficientes vectoiles completen un bse del espcio: A 3 { ): A 4 { } α 3 K α 4 K En est situción, el poblem qued educido l del ejemplo de '.4. Como hemos dispuesto los coeficientes de modo que coincidn, excepto po l indeteminción de α 3 y α 4, tendemos nálogmente: {x } () (-) α 3 α 4 α 3 α4 α3 α4 5 α3α Intesección de m plnos en genel. L condición p que exist solución es l comptibilidd del sistem de sus ecuciones y l condición p que no exist ningún plno supefluo es l ieductibilidd del sistem de sus ecuciones. L condición conjunt, es evidentemente que el conjunto de coeficientes vectoiles fome un sistem independiente. L condición es necesi, puesto que si hy comptibilidd, hbá po lo menos un punto común x y el sistem podá dopt l fom: (x -x ) (x -x )... m (x -x ) y si hy ieductibilidd, todos los coeficientes seán independientes. L condición es suficiente, pues hemos visto en los páfos nteioes que, si se cumple, existe po lo menos un punto común, que l solución es un viedd linel de dimensión n-m y que no se puede pescindi de ningun ecución...- Tnsfomción de un sistem de ecuciones en oto equivlente e ieducible. 6

17 P ello nos vemos obligdos ecui l cálculo mticil odinio. Un citeio de comptibilidd mticil es: A { } { } ; B { } m { } { } { } m Rngo de A Rngo de B Si el sistem es comptible, o se que veific este citeio, seá equivlente culquie oto que podmos fom con quells ecuciones que esulten fectds po culquie mtiz del ngo de A extíd de A. De est mne hemos obtenido un sistem comptible e ieducible y el poblem se sitú en los csos y estudidos. 7

18 3.- Posiciones eltivs de dos vieddes. Vmos estudi en pime lug ls posiciones eltivs de dos plnos ddos po sus ecuciones A: x α ; B: x α y veemos que vienen deteminds po ls siguientes condiciones: ( λ): λ... Secntes.... Pependicules.... No pependicules. ( λ): λ... Plelos. α λα... Coinciden. α λα... Sin punto común P λ, podemos fom un sistem independiente {,,.. } eligiendo vloes p,,..,. n 3 4 n y A, B y n- plnos más tienen un punto común y con myo zón lo tienen A y B. No coinciden A y B pues sus ecuciones no eúnen l condición de equivlenci. P que sen pependicules, seá peciso que l únic diección otogonl A ó se l de esté contenid en B. Como l ecución de B tmbién es: (x B): (x -x ) l condición de pependiculidd se educe Si λ, y tienen igul diección y po consiguiente A y B seán mbos plelos l subespcio plno otogonl y ) y po tnto seán plelos ente sí. P que coincidn seá peciso α λα, completándose sí ls condiciones de equivlenci de ls ecuciones Se un viedd linel A dd po el sistem siguiente de ecuciones comptibles: A.. x α x α mx α Se veific que {,,.., m } es un bse del subespcio E A otogonl suplementio de A. 8 m

19 Pues es un sistem independiente de vectoes, y cd uno de ellos i es otogonl tods ls diecciones del plno incluíds ls comunes todos los plnos del sistem po petenece su intesección y se po tnto ls únics diecciones de l viedd A. Po consiguiente todos los i son otogonles A y petenecen E A. Como A es (n-m)-dimensionl, y el subespcio E A es m-dimensionl el sistem independiente { i } constituye un bse de E A Pependiculidd u otogonlidd de vieddes lineles A y B dds po sendos sistems de ecuciones comptibles e ieductibles. Sen ls vieddes siguientes: A.. x x mx α α α m B.. bx bx bpx β β β p con ls siguientes bses de sus subespcios otogonles: E A :,,.., m ; E B ; b,b,..,b p y l siguiente mtiz de poductos escles: M b b b p b mb b mb bp mbp A continución estudiemos los dos csos que se pueden pesent Pime cso: (mp)-n Dim A Dim B n De cuedo con B'5.4, no es posible l otogonlidd no suplementi y sí lo es l pependiculidd, en l que consideemos incluíd est otogonlidd suplementi. Hemos visto en B'5.4 que l condición de pependiculidd ente A y B es que B conteng tods ls diecciones otogonles A. Como ls diecciones de B fomn pte del conjunto de diecciones comunes los p plnos indicdos, l condición nteio equivle deci que tods ls diecciones otogonles A, que son ls i, estén contenids en 9

20 cd uno de los p plnos cuy intesección poduce B. L siguiente ecución expes pues est condición: ( i)( j): i b j M Segundo cso: (mp)-n> Dim A Dim B < n L pependiculidd no es posible. Estudiemos l otogonlidd. Supongmos tmbién m>p. Consideemos M como un mtiz cudd ñdiendo m-p fils nuls y estudiemos el poducto mticil de M po culquie vecto column Q peteneciente Núc M. Se Q ~ {λ λ... λ m } Se veificá: M m λ λ λ b b b b b b b b b p m m p p m m m m λ λ λ λ λ λ λ λ λ MQ )b ( )b ( )b ( p m m m m m m λ λ λ λ λ λ λ λ λ ( j): (λ λ... λ m m )b j Siendo { i } un bse de E A, el péntesis seá un vecto de E A. Este vecto petenece E B si y sólo si el poducto indicdo p todo j es nulo y esto sólo ocue cundo el vecto Q utilizdo petenece l Núcleo de M. A un bse de Núc M coespondeá biunívocmente un bse del subespcio E A E B y po tnto este subespcio y Núc M tendán igul dimensión. Aho bien, l condición de otogonlidd de A y B es, según se vió en B'5., que E B esté contenido en E A, ó se que se veifique E A E B E B y evidentemente esto ocuiá si y sólo si l dimensión de Núc M es igul l dimensión de E B o se n-p.

21 Como l dimensión de M es m, esto es lo mismo que deci que l dimensión de Im M ó se Rngo M se m -(n-p). L condición de otogonlidd es pues: Rngo M m-(n-p) (mp)-n Plelismo ente dos vieddes lineles A y B, dds po sendos sistems de ecuciones comptibles e ieducibles. Sen ls vieddes A y B expesds en '3.4 y estblezcmos m p. L condición p que A se plel B es: E A E B E A E B Si epesentmos { } po A y {b } po B i i i i se puede ve po cálculo mticil que l condición de plelismo es l pime de ls expesiones que siguen y que cundo se cumple ést, l de E A E B es l segund. A A Rngo Am B Bp A α A α m; Rngo Am αm B β Bp βp m

22 D.- ECUACION DE º GRADO CON COEFICIENTE TENSORIAL.- Ecución genel. Se un espcio vectoil E n-dimensionl popimente euclidino. L ecución de º gdo con coeficiente tensoil es: x v en l cul los coeficientes y v son, espectivmente, un tenso de oden no nulo y un vecto, mbos constuídos sobe E...- TEOREMA º.- L solución X de l ecución genel de pime gdo con coeficiente tensoil, es un viedd linel mutumente plel Nuc, cundo existe, y existe si y sólo si el coeficiente v petenece Im. ) L ecución puede ponese en l fom equivlente: v (-x ) y po tnto l condición de que exist un punto x ' solución de l mism es que se veifique v Im escibi: ) Se un punto x solución de l ecución. Podemos x v x v ( x x) (x x) Nuc x X x X y po tnto, p x X, tenemos X-x Nuc y finlmente X x Nuc..- TEOREMA º.- Tod ecución con solución puede tnsfomse en ot equivlente de coeficiente tensoil simético,po multiplicción contct de sus dos miembos po el tenso ~ tnspuesto de. ) Sbiendo po cálculo tensoil que: l nuev ecución seá: ~ ( x ) ( ~ )x ~ ( x v) ( ~ )x ~ v que se veificá p todos los puntos solución de l nteio. Po álgeb tensoil sbemos que ~ es un tenso simético. 3

23 b) L nuev ecución tendá solución si y sólo si l pime ecución l tiene. Pues l nuev condición es ~ v Im ( ~ ) y evidentemente se veificá si y sólo si se veific l nteio condición, ó se que p lgún vecto se veific v. Po tnto, v Im tmbién se podá estblece como condición p que l nuev ecución teng solución. c) L nuev ecución es equivlente ( ~ )x ~ v ~ ( x v ) x v Nuc y como tmbién se veific: v Im x v Im y se sbe po cálculo tensoil que Nuc ~ es el subespcio otogonl Im, y que sólo tienen en común el vecto nulo, l nuev ecución tmbién seá equivlente x v y mbs ecuciones tendán ls misms soluciones..3.- En delnte, de no dvetise pevimente lo contio, consideemos que ls ecuciones tienen solución y que el coeficiente tensoil tiene núcleo e imgen otogonles, lo que siempe ocue si es simético o egul. punto:.4.- Pié de l noml X desde el oigen. Es el (v Im ): p - - v ) Petenece X: (- - v ) v -( * - )v v - v v -v 'v b) L diección p es otogonl X pues petenece Im y po tnto es otogonl Nuc y en consecuenci X. c) Po consiguiente tmbién se veific que el punto p es l intesección ente Im y X: p Im X.5.- Solución genel de x v : L expesión genel cundo x es el pié de l noml desde el oigen, es l siguiente: 4

24 Como I - podemos escibi: X - - v Nuc es el tenso unitio de Núc, tmbién X {x / x - - v (I - )w ; w E}.6.- Ots expesiones de l condición v Im. ) De cuedo con lo que cbmos de ve, tendemos: (I - )v b) Genelmente es más útil l compobción mticil: (T { } ; V {v }): Rngo {TV} Rngo T.7.- P que l solución genel se un subespcio, l condición es v. Puesto que debeá contene l solución y entonces: v v.8.- Resolución de un ecución..- Aunque no se simético ni egul, podemos hll X utilizndo los vloes de y - obtenidos po el método de l ecución ccteístic de, tendiendo sus popieddes..- Si hy solución, podemos esolve l ecución equivlente { x } {v } { } peo con coeficiente mticil simético, que esult del poducto de l ecución po { ~ }. Entonces, l solución que se hlle es igul l obtenid pti de un bse otonoml y un simético de igul núcleo. P v no peteneciente Im, como no hy solución, l compobción de l solución que se encuent de est mne, esultá negtiv..9.- Ejemplo de esolución de un ecución. Vmos esolve l de los coeficientes siguientes: { } 6 {v } 3 3 en donde tiene los siguientes invintes (coeficientes de l 5

25 6 ecución ccteístic): ; 43; 3 48; 4. Teniendo pesente el lgeb tensoil, pocedeemos sí: ) Cálculo de y de Deducimos de ests igulddes: { } 3 3 ; { - } b) Existenci de solución (I - )v {(I - )v } c) Cálculo de l solución p {- - v } {p} d) Cálculo de Nuc. Podemos detemin Nuc sbiendo que ls mtices de sus vectoes son tods ls geneds po ls mtices column de {I - }. Tmbién podemos deteminlo desollndo {I - } {w } y dndo {w } componentes bitis. e) Expesión mticil de l solución genel:

26 7 X α α α α..- Oto ejemplo: { } ; {v } ; ; ; 3 4; 4 ) Cálculo de y ( 3 - ); - 4 ( - ) { } ; { - } 4 3 b) Existenci de solución: {(I - )v } c) Cálculo de l solución p {- - v } {p } d) Expesión mticil de l solución genel:

27 {x } β β β β..- Rect de ecución ( ): x b en un espcio tidimensionl. Tendemos en cuent ls popieddes del poducto vectoil. ) Condición de solución: b Im ( ) ( m): b m Es: b ó b (diección b otogonl diección ) b) Nuc { ). El núcleo de un tenso ntisimético de º oden es unidimensionl, y po tnto X es un ect. Sen dos puntos x y x solución. Tendemos: x b (x -x ) x b Po consiguiente l diección de l ect es plel y po tnto, p b, otogonl b. c) X es un subespcio, o se que el oigen petenece X, si y sólo si b. Pues es evidente que ést es l condición p que l ecución se veifique p x. d) Si X no es un subespcio, tod solución x coesponde un vecto otogonl b, ddo que sbemos que un poducto vectoil es otogonl cd uno de los fctoes. e) Si X no es un subespcio, el vecto que define el pié de l noml X desde el oigen, po se noml X es otogonl, y po c) es otogonl b. Podemos pues epesentlo po p α(b ) p lgún vlo α escl. Como p es un punto de X, veificá: b [α(b )] α[ (b )] α( b -( b ) ] α b y po consiguiente: α p b Como el poducto vectoil veific: 8

28 9 (b )(b ) b [ (b )] b [ b -( b ) ] b l distnci del oigen l pié de l noml seá: p ) )(b (b b b b.-convesión de ecuciones. Pso de un sistem de m ecuciones de pime gdo de coeficientes escles en un espcio popimente euclidino n- dimensionl, l expesión equivlente de coeficiente tensoil, y viceves. Adoptemos un método mticil. ) Cso º: mn. Se A i { i } y el vecto v con {v } n α α α Tendemos: x x x n n α α α x.. x x n n α α α n A A A {x } n α α α { } {x } {v } x v Este poceso l ives es el que podemos segui p ps de un expesión tensoil l sistem equivlente, se culquie el tenso. b) Cso º: m<n. Podemos segui el poceso nteio considendo ñdids n-m ecuciones de coeficientes nulos. Vmos pone un ejemplo. Sen 3 ecuciones de ls siguientes ccteístics: { } A { - }; { } A { -}; { 3 } A 3 { - } α - α α 3 -

29 3 Tendemos: { } T ; {v } V El poceso inveso es sencillo. Si hy solución, podemos hll un ecución equivlente, multiplicndo los dos miembos de l ecución mticil po T ~. Los nuevos coeficientes seán: { s }' T~ T 6 {v s } T~ V 3 3 c) Cso 3: m>n. Se un sistem de ls ccteístics siguientes: { } { - }; { } { -}; { 3 } { - }; α -; α ; α 3 -; { 4 } {4 }; { 5 } {3 -} α 4 ; α 5 T 3 4 ; V Siendo 3 el ngo de T, sí como el de {TV}, el sistem se educe l del cso nteio. Como se que V Im, tmbién podemos hll un ecución equivlente si considemos que nos hllmos en un espcio vectoil de más de n dimensiones, de l siguiente mne:

30 3 { } T ~ T {v } T ~ V Posiciones eltivs Plelismo. Sen ls vieddes: X... x v ; X... x v TEOREMA 3º.- P que X se plelo X, l condición necesi y suficiente es: * Puesto que evidentemente X seá plelo X si y sólo si se veific. Nuc Nuc Im Im ( v ): ( v ) v * y si lo suponemos simético, el último poducto mticil es pemutble. Hubiésemos podido utiliz en vez de con nálogo esultdo. Es fácil ve que un condición necesi peo no suficiente es: Rngo Rngo X plelo X está contenido en X cundo demás se veifique: v ( - v ) Puesto que existiendo el plelismo, bstá que

31 tengn un punto común, tl como el pié de l noml desde el oigen X. O se: (- - v ) v v ( - v ) X y X seán mutumente plelos cundo: pues los núcleos de mbos tensoes debeán coincidi Como consecuenci de los dos últimos páfos, dos ecuciones seán equivlentes, es deci, X X, si y sólo si se veific: - v - v Pues entonces X y X son mutumente plels con igul pié de noml Otogonlidd o pependiculidd. Sen ls vieddes: X... x v ; X... x v con y tensoes siméticos. TEOREMA 4º.- Ls condiciones de otogonlidd o pependiculidd son ls siguientes: Pependiculidd: Nuc Im Otogonlidd: Nuc Im Otogonlidd suplementi: Nuc Im Pues X y X seán pependicules u otogonles si y sólo si lo son Nuc y Nuc. Como po se siméticos mbos tensoes, su núcleo es otogonl suplementio su imgen, l elción buscd ente núcleos equivle un elción de inclusión ente Nuc y Im Vmos ve ls foms que pueden dopt ests condiciones según sen ls dimensiones m de Nuc y m de Nuc. Recodemos del álgeb tensoil que se tiene: Im Im Nuc (I - ) 3

32 Im Im es otogonl suplementio de Im(I - ) ) Cso º: m m > n Sólo es posible l pependiculidd. L condición es: Nuc Im y en función de los subespcios otogonles y suplementios mbos miembos, seá: Im Im (I - ) y po consiguiente: ( v ): (I - )( v ) v y como el pime miembo esult: (I - )( v ) I ( v ) - ( v ) v - ( * )v sustituyendo qued: ( v ): v - ( )v v ( v ): -( )v y finlmente: ( ) b) Cso º: m m < n Sólo es posible l otogonlidd. L condición es Nuc Im Im(I - ) Im ( v ): [(I - )v ] (I - )v (I - ) I - - I ( ) c) Cso 3º: m m n L condición es I que se deduce inmeditmente de hbese de cumpli l vez ls dos condiciones nteioes. Recípocmente, de cumplise est últim condición se cumplen tmbién ls ots dos. Efectivmente, multiplicndo mticilmente los dos miembos de l condición po se 33

33 obtiene: I y con ello se deduce inmeditmente l condición que flt. 34

34 4.- Intesecciones TEOREMA 5º.- Ddos dos tensoes siméticos y, se veific: Nuc( ) Nuc Nuc Nuc( - ) Nuc Nuc Im Im Podemos conside el espcio totl como l eunión de cuto conjuntos disjuntos que se señln continución po, b, c y d, de mne que todo vecto m no nulo peteneceá uno de estos conjuntos y sólo uno y vmos ve qué ocue en cd cso con el vecto ( ± )m ) (m Nuc : m Nuc ): ( ± )m m ± m b) (m Nuc ; m Nuc ): ( ± )m m c) (m Nuc ; m Nuc ): ( ± )m ± m d) (m Nuc ; m Nuc ): ( ± )m m ± m m i±m i Deducimos de quí que todos los vectoes del conjunto petenecen tnto Nuc( ) como Nuc( - ), y que los vectoes de los conjuntos b y c no petenecen ninguno de los dos. En cunto los del conjunto d, ddo que m i y m i po hipótesis no pueden se nulos, hbá dos subcsos: d) Si los sumndos m y m i i su sum no podá nulse. no tienen igul diección, d) Si l diección es l mism, ést hbá de petenece Im m m Im. Po ot pte tendemos entonces m i i i, pues coesponden un únic poyección otogonl de m sobe l diección común. L ect poyectnte únic debe se plel Nuc y Nuc y po tnto Nuc Nuc. Así pues, de cuedo con lo y visto, l condición de que m se de igul diección que m i i equivle : (m n Nuc Nuc ; m i Im Im ): m m n m i y po consiguiente el cso d) qued desdobldo en: ( )m m m m i i i 4..- Consecuenci: ( - )m m - m i i 35

35 36 Nuc ( ) Nuc ( - ) P hll l intesección de dos vieddes expesds po sus ecuciones tensoiles, puede pocedese tnsfom sus ecuciones en dos sistems equivlentes de coeficientes vectoiles y esolve el sistem conjunto, según se vió en C'. después de ve su comptibilidd y elimin ls ecuciones supeflus. Cundo cd ecución tiene solución tmbién podemos pocede tensoilmente sí: v x X : v x X : v x v x v v )x ( :' X v v )x ( :' X Los sistems equivlentes nteioes nos indicn que X X X X. Como po el páfo nteio hemos visto que X es plelo X, l solución seá X siempe que uno de sus puntos veifique l ecución de X, y no hbá solución en cso contio.

36 5.- Resolución de lgunos sistems de ecuciones en un espcio tidimensionl Intesección de l ect de ecución x b y del plno de ecución c x α. deci: Supondemos pevimente que existen ect y plno, es ; c ; b Los puntos x de l ect veificán: x b ( x ) c b c (c x ) - (c )x b c ) Si se tiene: c, α b c se veificá: (c x ) α c x α y l ect seá plel l plno sin punto común con él. b) Si se tiene: c, α b c se veificá: (c x ) α c x α y l ect está contenid en el plno. c) Si se tiene c se veificá: x α b c c y l ect cotá l plno en este punto Intesección de un ect de ecución n x y de ot ect de ecución m x b. Po ttse de dos ects tendemos: n ; m, n ; b m ) Si se tiene m λn p lgún escl λ, es deci, que m y n tienen l mism diección, ls ects son plels ente sí, pues l pime contiene l diección de n y l segund l de m. ) b λ. Ls ecuciones son equivlentes y ls ects coinciden. ) b λ. Ls ecuciones no tienen solución común y ls ects son plels. 37

37 b) m y n independientes. Ls ects no son plels. Multiplicndo l ecución de l pime ect po m y l de l segund po n, se obtiene: m (n x ) m (m n )x m n (m x ) n b (n m )x n b Evidentemente, l pime ecución coesponde un plno que contiene l pime ect y l segund ecución un plno que contiene l segund ect. Como mbos plnos tienen coeficientes opuestos, son mutumente plelos. b) m -n b. Los plnos no tienen ningún punto común y po lo tnto lo mismo sucede con ls ects, que se cuzn sin cotse. b) m -n b. Los plnos coinciden en uno solo, y como entonces, ls dos ects no plels están contenids en él, se cotn en un punto En este último cso, p hll el punto de intesección pocedeemos hll el de intesección de los tes plnos que tienen ls siguientes ecuciones: (m n )x m (p, m, n ) positivo (p n )x -p (p m )x p b y en que p es un vecto bitio independiente de m y de n. El pime plno hemos visto que contiene ls dos ects. El segundo contiene l pime ect pues su ecución es l ecución de l ect multiplicd po p. Y po motivo nálogo el tece plno contiene l segund ect. Po consiguiente l intesección de los tes plnos coincide con el punto de intesección de ls dos ects del poblem. 38

38 E.-PROYECCIONES ORTOGONALES DE TENSORES.- Poyección otogonl de un vecto sobe un subespcio. Recodemos del lgeb tensoil que, ddo un tenso de núcleo otogonl su imgen, l poyección otogonl de un vecto v sobe el subespcio Nuc es (I - )v, siendo I el tenso idéntico ó fundmentl y el tenso unidd del subespcio Im. Diemos ho que l poyección otogonl de un vecto v sobe un viedd linel X de ecución x efeid un punto de l mism, es: v (I - )v y diemos que v es de X cundo v v...- Poyección otogonl de un tenso. Se un tenso σ culquie considedo como un sumtoio de poductos tensoiles de vectoes. Definimos como poyección otogonl de un tenso σ en genel, sobe un viedd X, l tenso σ que esult de sustitui en el sumtoio de los poductos tensoiles de σ cd vecto fcto po su vecto poyección otogonl sobe X: σ ( i b i.. ) σ i ( b.. ) i i i Evidentemente el tenso σ tendá po lo menos ls misms simetís y ntisimetís que el tenso σ oiginl. Diemos de un tenso σ que es de X cundo todos sus fctoes son vectoes de X...- TEOREMA º.- Si l poyección otogonl de σ sobe un viedd X de ecución x es σ y µ es un tenso de X (ó se µ µ ), se veific: (σ µ ) σ µ Pues cundo σ y µ son poductos tensoiles únicos, po ejemplo: σ.. m.. σ.... m µ b b.. b m podemos escibi: 39

39 (σ µ ) ( b )( b )..( m b m )( m.. ) (σ µ ) ( b )( b )..( m b m )( m.. ) (σ µ ) ( b )( b )..( m b m )( m.. ) Peo tenemos (I - ) (I - )(I - ) que es un tenso simético, sí como v (I - )v ', y po consiguiente: i b i i [(I - )b i ] [(I - ) i ]b i i b i Veificándose l iguldd p poductos tensoiles únicos debeá veificse tmbién p sumtoios de poductos tensoiles..3.- L poyección otogonl de un tenso σ sobe un viedd X es únic. Pues si hubie dos distints tles como σ y σ, po el teoem nteio en el espcio X se veificí: ( µ / µ X): σ µ σ µ σ σ.4.- El teoem nteio se puede enunci tmbién de est ot mne: Si en el espcio puntul fín, σ es el tenso de l plicción linel tl que el tenso µ tiene po imgen el tenso σ µ, σ es el tenso de X que coesponde l plicción que todo µ, cundo µ petenece X, hce coesponde el tenso (σ µ ) de X, o se el tenso poyección otogonl sobe X del tenso imgen de σ. Decimos entonces, que po lo que espect tl plicción, σ es el tenso inducido en X po el tenso σ del espcio puntul fín..5.- Cundo el tenso σ que poyectmos sobe X es pecismente de º oden, tmbién podemos escibi: σ (I- ) σ (I - ) Y que, en genel, p µ y ω tensoes siméticos de º oden y expesndo σ po i b i podemos escibi p todo v : [µ ( i b i ) ω ]v µ [( i b i )(ω v )] µ [ i (ω v )]b i µ [(ω i )v ]b i [(ω i )v )](µ b i ) (ω i µ b i )v y po consiguiente: µ ( i b ) ω ω i µ b i 4

40 y en pticul, p µ ω I -, se tiene: (I - ) ( i b i ) (I - ) [(I - ) i ] [(I - )b i ] y como el º miembo po definición es σ,tendemos: (I - ) σ (I - ) σ.- Poyección sobe un plno. Consideemos desde ho, que l viedd X es un plno o viedd (n-)-dimensionl, de veso noml b y que el tenso que poyectmos sobe él es un tenso simético σ de segundo oden. Tendemos b b...- TEOREMA º.- Se veific: ) σ b. b) σ σ - (σ b b ) - (b σ b ) [(b b )σ ](b b ) L pime poposición es evidente po se b otogonl l plno X. En cunto l segund, desollndo l expesión de σ tenemos: σ (I- ) σ (I - ) σ - σ - σ σ Opendo sobe cd uno de los sumndos º 3º y 4º del segundo miembo pevimente multiplicdos po un vecto v culquie, obtenemos: ( σ )v (σ v )(b b )(σ v )[b (σ v )]b [(σ b )v ]b(σ b b )v σ σ b b (σ )v σ ( v )σ [(b b )v ]σ [(b v )b ](σ b )(b v )(b σ b )v σ o b σ b ( σ )v [(σ )v ] (b b )[(b σ b )v ](b b )(b v )(σ b ) (b v )[b (σ b )]b [b (σ b )](b b )v [σ (b b )](b b )v σ [σ (b b )]b b ) Sustituyendo los vloes hlldos, tenemos l iguldd 4

41 que se queí demost...- Se l poyección de un tenso simético σ de º oden sobe un plno de veso noml b, Vmos estudi ls condiciones que deben existi p que no siendo nulo el tenso σ, se nul su poyección σ sobe el plno. P ello exminemos este poblem en los divesos csos distintos en que nos podemos hll. ) b Nuc σ. Tendemos evidentemente σ b y con ello l expesión hlld p σ se educe que σ es igul σ que no es nulo po hipótesis y po tnto σ en este cso no puede se nulo. b) b Im σ ; σ b λb (ó se b es veso popio de σ ). Aplicndo l mism expesión, ó se: σ σ - (σ b b) - (b σ b) [(σ b)b](b b) sustituyendo σ b po λb y simplificndo, se obtiene: σ σ - λ(b b) y hbá dos posibiliddes: b) σ λ(b b ) σ b) σ λ(b b ) σ c) b Im σ ; σ b λb ; Dim (Im σ ). Po hipótesis σ b y σ b b petenecen Im σ y son independientes. Po tnto no es posible Dim (Im σ ) < c) Dim (Im σ ) <. Es un cso imposible c) Dim (Im σ ) >. En este cso siempe hbá un veso popio de σ simético, que petenezc Im σ, se independiente de σ b y de σ b, y que teng un vlo popio α no nulo. Efectundo l multiplicción contct de expesión genel de σ, obtenemos: po l σ σ - [σ b b] - [b σ b] [(b b)σ ](b b) σ σ - [ (σ b)]b - ( b)(σ b) ( b)[(b b)σ ]b L nulidd de σ exige σ y po tnto que el º 4

42 miembo de l iguldd pecedente se nulo. Teniendo en cuent que σ α, este º miembo es un función de los vectoes independientes, σ b y b, y po consiguiente, p su nulción, debeá nulse cd uno de sus coeficientes. Así pues, como el coeficiente α del témino en, po hipótesis no es nulo, en este cso c) nunc podá se nulo σ. d) b Im σ ; σ b λb ; Dim (Im σ ). El tenso σ seá nulo si, y sólo si, su poducto po todos los vectoes de un bse es nulo. Consideemos l bse fomd po los vectoes b σ b, - σ b de Im σ y po un bse {v } de Nuc σ i. El vecto σ - b es independiente de b puesto que si no fue sí se veificí σ - b βb y po consiguiente σ b β - b, lo que es imposible po hipótesis. Siendo sí, podemos conside l bse fomd po los vectoes b σ b, σ - b de Im σ y po un bse {v i } de Nuc σ. El poducto σ 'b es nulo según el teoem nteio. El poducto de σ po culquie v del núcleo de σ i lo podemos obtene sustituyendo en l expesión de σ del cso nteio el vecto po el vecto v i, con lo cul se ve inmeditmente que el esultdo es nulo po selo σv y v b i i. Qued po tnto como condición necesi y suficiente p tene σ el que se veifique σ (σ - b ). Como siempe tenemos σ(σ - b )σ b l expesión genel de σ (σ - b ) deducid de l de σ que hemos visto, seá σ (σ -b ) σ b -[(σ -b )(σ b )]b -[(σ -b )b ](σ b )[σ (b b )][(σ -b )b ]b Sbemos que ho el pime témino del desollo es igul b y vmos ve continución que se nul con el segundo témino. El coeficiente de -b en el º témino del º miembo es (σ - b )(σ b ) σ [b (σ - b )] y po se simético σ tmbién tendemos: (σ - b )(σ b ) σ [(σ - b ) b ] [σ (σ - b )]b (σ b )b b b y el segundo témino qued en -b, o se opuesto l º. Po lo tnto,p este cso podemos escibi: 43

43 σ (σ - b ) -[(σ - b )b ](σ b ) [σ (b b )][(σ - b )b ]b P σ ' seá necesio que, en el º miembo, función de b y σ b independientes, los coeficientes de mbos vectoes sen nulos, y po consiguiente se deduce inmeditmente del único témino en σ b, que un condición necesi es que se veifique: (σ - b )b σ - (b b ) Si tenemos en cuent que l cumplise est condición, no sólo se nul el témino º de l expesión educid, sino que tmbién se nul evidentemente el último témino, l condición necesi nteio h psdo se tmbién suficiente. Así pues podemos estblece: d) σ - (b b ) σ d) σ - (b b ) σ Obsevemos que p b Imσ no nulo, l condición nteio, ó se σ - (b b ), incluye que se veifique σ b λb. Pues si se veific entonces σ b λb, λ seí un vlo popio no nulo de σ, y se veificí σ - b λ - b sí como σ - (b b )λ - b. e) b Im σ ; b Nuc σ ; σ b λb i El vecto b i σ b es l poyección otogonl de b sobe Im σ y no puede se nulo ni igul b. Se l expesión genel ntes obtenid p σ (σ - b ), en que se h sustituído σ b po b i : σ (σ - b ) b -[(σ - i b )(σ b )]b -[(σ - b )b ](σ b )[σ (b b )][(σ - b )b ]b El sistem {b,b i,σ b } es independiente, pues σb y b i unque de distint diección petenecen mbos Im σ y no pueden gene b que no petenece Im σ. Po est expesdo σ (σ - b) en función de tes vectoes independientes, p nulse pecisá que sen nulos los tes coeficientes coespondientes y como el de b i siempe es uno, no puede nulse y po tnto tmpoco puede nulse σ. f) b Im σ ; b Nuc σ ; σ b λb i. Tendemos ho: σ b λb ; i i b b i (b i b n )b i b i b i Po tnto b i es vecto popio de σ con vlo popio λ que tendá ho igul diección que σ b, y se veificá: - σ b σ - b i λ- b i 44

44 Sustituyendo los nuevos vloes en cd témino del miembo de l expesión genel hlld p σ (σ - b ), esult: º. σ b b i º. -[(σ - b )(σ b )]b -[(λ - b i )(λb i )]b -(b i b i )b 3º. -[(σ - b )b ](σ b ) -[(λ - b i )b ](λb i )]-(b i b )b i -(b i b i )b i 4º. [σ (b b )][(σ - b )b ]b [(σ b )b ]][(σ - b )b ]b [(λb i )b ][(λ - b i )b ]b (b i b i )(b i b i )b Sustituyendo se tiene: σ (σ - b ) b - (b b )b i i i -(b b )b (b b )(b b )b i i i i i i i b [-b b ] - [(b b )b ][-b b ] i i i i i i i [-b b ][b -(b b )b i i i i i ] Est expesión esultnte no puede nulse, pues el pime cochete no puede se nulo poque b b i i siempe seá meno que uno, y el º cochete tmpoco podá selo, y que b y b son i de distint diección se nulo. Po consiguiente en este cso f) el tenso σ ' no puede.3.- Resumen del cso nteio. L poyección otogonl σ de un tenso σ simético de º oden no nulo, sobe un plno otogonl un veso b, se nul si, y sólo si, estmos en uno de los dos csos siguientes: º.- ( λ): σ λ(b b ) º.- b Im σ ; σ - (b b ) ; Dim (Im σ ).4.- P que l poyección otogonl σ de un tenso simético de º oden no nulo sobe un plno otogonl un veso b, se igul σ (en su espcio) l condición necesi y suficiente es que se veifique: σ b b Nuc σ. Pues dd l expesión hlld p σ siendo un vecto culquie: σ σ - [ (σ b)]b - ( b)(σ b) ( b)[(b b)σ ]b es evidente que l condición es: 45

45 ( ): [ (σ b )]b ( b )(σ b ) ( b )[(σ b )b ]b y po tnto seá necesio que se veifique: ( λ): σ b λb Sustituyendo este vlo en l ecución nteio obtenemos l condición en est fom: ( ): ( λb )b ( b )λb ( b )(λb b )b ( b )λb ( ): ( λb )b λ (b b ) Po consiguiente, como es peciso λ, l condición necesi es σ b que se ve fácilmente que tmbién es suficiente. 46

46 INDICE DE ECUACIONES ()... 9 ()... (3)