Sistemas de Ecuaciones Lineales. Método de Reducción.
|
|
- Cristina Sáez Franco
- hace 7 años
- Vistas:
Transcripción
1 Sistemas de Ecuaciones Lineales. Método de Reducción Asturias: Red de Universidades Virtuales Iberoamericanas 1
2 Índice 1 Introducción a los Sistemas de Ecuaciones Lineales Tipos de sistemas de ecuaciones lineales Discusión de un sistema Sistemas Equivalentes Cuándo son equivalentes dos sistemas? Criterios de equivalencia Resolución de Sistemas de Ecuaciones Sistemas de dos ecuaciones Sistemas de tres ecuaciones Ejercicios Aplicados al Mundo Laboral ASTURIAS: RED DE UNIVERSIDADES VIRTUALES IBEROAMERICANAS 2016
3 Introducción Se denomina ecuación lineal a aquella que tiene la forma de un polinomio de primer grado, es decir las incógnitas no están elevadas a potencias, ni multiplicadas entre sí, ni en el denominador. Por ejemplo 4x+2y+3z =6 es una ecuación lineal con tres incógnitas. Las ecuaciones lineales con 2 incógnitas representan una recta en el plano. Si la ecuación lineal tiene 3 incógnitas, su representación gráfica es un plano en el espacio. Un conjunto de varias ecuaciones lineales forman un sistema de ecuaciones, y diremos que las ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones o geométricamente representan la misma ecuación en el plano. Los sistemas de ecuaciones lineales aparecen en casi todas las ciencias y en muchas situaciones de la vida real. Objetivos Estudiar los tipos de sistemas de ecuaciones lineales y su clasificación. Aprender a resolver sistemas de ecuaciones lineales de dos y tres ecuaciones, por el método de reducción o método de Gauss. Aplicar los conocimientos adquiridos sobre sistemas de ecuaciones lineales, a problemas reales. 03 ASTURIAS: RED DE UNIVERSIDADES VIRTUALES IBEROAMERICANAS 2016
4 1 Introducción a los Sistemas de Ecuaciones Lineales 1.1 Tipos de sistemas de ecuaciones lineales En sistemas de ecuaciones lineales, los coeficientes de las incógnitas y los términos independientes son números resales. a) Sistema de 2 ecuaciones lineales con 2 incógnitas ax + by = c a x + b y = c Representación gráfica: una ecuación lineal con dos incógnitas ax + by = c tiene por representación en el plano cartesiano una recta. Solución: la solución de este sistema de ecuaciones con 2 incógnitas son dos números reales S 1 y S 2 tales que al sustituir x por S 1 e y por S 2 se verifican a la vez las dos ecuaciones. Ejemplo: dado el siguiente sistema de ecuaciones con 2 incógnitas, comprobar que al sustituir las soluciones, se verifican las dos ecuaciones. Soluciones del sistema: S 1 =2 y S 2 =3 2x + 1y = 7 Sustituimos las soluciones S 1 =2 por x y S 2 =3 por y = = 12 Comprobamos que para las soluciones S 1 =2 por x y S 2 =3 por y se verifican las dos ecuaciones ya que para estos dos valores se cumplen las dos igualdades. b) Sistema de 3 ecuaciones lineales con 3 incógnitas ax + by + cz = d a x + b y + c z = d a x + b y + c z = d Representación gráfica: Una ecuación con tres incógnitas ax + by + cz = d tiene como presentación en el espacio cartesiano un plano. Solución: la solución de este sistema de ecuaciones con 3 incógnitas son tres números reales S 1 y S 2 y S 3 tales que al sustituir x por S 1 e y por S 2 y z por S 3 se verifican a la vez las tres ecuaciones. Ejemplo: dado el siguiente sistema de ecuaciones con 2 incógnitas, comprobar que al sustituir las soluciones, se verifican las dos ecuaciones. 04 ASTURIAS: RED DE UNIVERSIDADES VIRTUALES IBEROAMERICANAS 2016
5 Soluciones del sistema: S 1 =1, S 2 =2 y S 3 =3 2x + 2y + 2z = 12 3x + y + z = 8 x + 2y + 4z = 17 Sustituimos las soluciones S 1 =1 por x, S 2 =2 por y y S 3 =3 por z = = = 17 Comprobamos que para las soluciones S 1 =1 por x, S 2 =2 por y y S 3 =3 por z se verifican las dos ecuaciones ya que para estos 3 valores se cumplen las dos igualdades. 1.2 Discusión de un sistema Discutir un sistema de ecuaciones consiste en estudiar las soluciones que pueden presentarse en él. Los sistemas que tienen solución se llaman compatibles - Si la solución es única, el sistema es compatible determinado. - Si tiene más de una solución, el sistema es compatible indeterminado. (podemos afirmar que un sistema compatible indeterminado tiene infinitas soluciones) Si un sistema no tiene solución, se dice que es incompatible. 2 Sistemas Equivalentes El concepto de sistemas de ecuaciones equivalentes entre sí y los criterios que permiten pasar de unos a otros son básicos para su resolución. 2.1 Cuándo son equivalentes dos sistemas? Dos Sistemas de ecuaciones son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones. Dos sistemas equivalentes deben tener el mismo número de incógnitas, aunque no es necesario que tengan el mimo número de ecuaciones. Si en un sistema de ecuaciones se cambia el orden de las ecuaciones, el sistema resultante no solo es equivalente al inicial, sino que en esencia es el mismo. 05 ASTURIAS: RED DE UNIVERSIDADES VIRTUALES IBEROAMERICANAS 2016
6 2.2 Criterios de equivalencia Los criterios de equivalencia de sistemas utilizan dos operaciones: El producto de una ecuación por un número distinto de cero La suma o diferencia de ecuaciones Criterio del producto: si se multiplican los dos miembros de una ecuación de un sistema por un número distinto de cero, resulta otro sistema equivalente al dado. Ejemplo 2x + 1y = 7 4x + 2y = 14 9x + 6y = 36 Los dos sistemas son equivalentes, la primera ecuación del segundo sistema está multiplicada por 2 y la segunda por 3 Este criterio se utiliza para conseguir que los coeficientes de una incógnita en dos ecuaciones sean iguales en valor absoluto. Criterio de la suma: si a una ecuación de un sistema se le suma o resta otra ecuación del mismo, resulta otro sistema equivalente al dado 2x + 1y = 7 5x + 3y = 19 Los dos sistemas son equivalentes, la primera ecuación del segundo sistema es la suma de las ecuaciones del primer sistema. Este criterio se utiliza para eliminar incógnitas en las ecuaciones, siempre que los coeficientes sean iguales en valor absoluto. La eliminación de incógnitas permite así pasar a un sistema con una incógnita menos. 3 Resolución de Sistemas de Ecuaciones 3.1 Sistemas de dos ecuaciones La suma de ecuaciones permite eliminar una incógnita en una de las ecuaciones, y obtener una ecuación de primer grado, siempre que los coeficientes de esa incógnita sean opuestos. Si no son iguales ni opuestos hay que multiplicar cada una de las ecuaciones por número adecuados para obtener un múltiplo de los coeficientes de esta incógnita. Ejemplos resueltos 1. Resolver el siguiente sistema. 2x + 1y = 7 06 ASTURIAS: RED DE UNIVERSIDADES VIRTUALES IBEROAMERICANAS 2016
7 1º Observamos el sistema: vemos si a simple vista podemos sumar o restar las ecuaciones de modo que se nos anule alguna incógnita. En este caso si sumamos o restamos las ecuaciones no se nos anula ningún término. 2º Aplicamos los criterios de equivalencia. Multiplicamos una ecuación por un número: si multiplicamos la primera ecuación por 2 4x + 2y = 14 3º Sumamos o restamos las ecuaciones: a continuación realizamos la resta de la primera ecuación menos la segunda podemos observar que la incógnita y se anula, quedando una ecuación lineal con una incógnita y que se resuelve de forma directa Luego x=2 4x + 2y = 14 ec1 ec2 = 1x = 2 4º Sustituimos en valor de la incógnita hallada: podemos sustituir el valor obtenido para la incógnita x en cualquiera de las dos ecuaciones y obtenemos el valor de y- Si x= 2 y sustituimos en la primera ecuación 5º Comprobamos el resultado: y = 14 2y = 14 8 y = Siempre es conveniente comprobar que los resultados obtenidos son los correctos. Para comprobar los resultados podemos sustituir las soluciones obtenidas para x e y en la ecuación que no hemos usado, en este caso la segunda ecuación. = 3 Sustituimos por x=2 e y= = Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones 3x 2y = 6 9x + 4y = 108 1º Observamos el sistema: a simple vista sumar o restar las ecuaciones no nos garantiza que una de las incógnitas se elimine. 07 ASTURIAS: RED DE UNIVERSIDADES VIRTUALES IBEROAMERICANAS 2016
8 2º Multiplicamos una ecuación por un número: en este caso multiplicamos la primera ecuación por 3. 9x 6y = 18 9x + 4y = 108 3º Sumamos o restamos las ecuaciones: en este caso a la primera ecuación le restamos la segunda- Luego y=9 9x 6y = 18 ec1 ec2 = 0x 10y = 90 9x + 4y = 108 0x 10y = 90 y = = 9 4º Sustituimos en valor de la incógnita hallada: sustituimos y=9 por ejemplo en la segunda ecuación y obtenemos el valor de x. 5º Comprobamos el resultado: 9x + 4y = 108 9x = 108 9x = x = Sustituimos los valores de las incógnitas x=8 e y=9 en la primera ecuación y vemos si se cumple la igualdad. 9x 6y = 18 = = = ASTURIAS: RED DE UNIVERSIDADES VIRTUALES IBEROAMERICANAS 2016
9 3.2 Sistemas de tres ecuaciones La suma o diferencia de ecuaciones permite eliminar una incógnita y obtener un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Para ello se eligen dos pares de ecuaciones de los tres posibles 1ªecuación ± 2ªecuación, 1ªecuación ± 3ªecuación 2ªecuación ± 3ªecuación 1º Paso. Elegidas las dos parejas de ecuaciones más adecuadas se elimina la misma incógnita en ambas. El proceso es igual que el seguido para dos ecuaciones. 2º Paso. El sistema parcial de dos ecuaciones con dos incógnitas que se obtienes se resuelve utilizando de nuevo el método de reducción al igual que hemos resuelto los sistemas de dos ecuaciones. 3º Paso. Conocidas dos incógnitas se halla la tercera sustituyendo estos valores en una de las ecuaciones dadas. Ejemplos resueltos. 1º Resolver el siguiente sistema: x + y 2z = 9 2x y + 4z = 4 2x y + 6z = 1 1º Paso: elegimos dos pares de ecuaciones de los tres posibles. En este caso eliminamos la incógnita y eligiendo las ecuaciones 1ª ecuación + 2ª ecuación 1ª ecuación +3ª ecuación x + y 2z = 9 2x y + 4z = 4 1ªec + 2ªec = 3x + 0y + 2z = 13 1ªec + 2ªec = x + y 2z = 9 2x y + 6z = 1 3x + 0y + 4z = 8 Del resultado de estas operaciones hemos obtenido un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, que ya sabemos resolver. 2º Paso. Resolvemos el sistema de dos ecuaciones. -Observamos a simple vista si sumando o restando las ecuaciones podeos eliminar alguna incógnita. 09 ASTURIAS: RED DE UNIVERSIDADES VIRTUALES IBEROAMERICANAS 2016
10 -Si no se da el caso anterior multiplicamos una de las ecuaciones por un número de manera que el resultado nos dé una ecuación equivalente que nos permita sumarla o restarla a la otra ecuación dada para eliminar alguna incógnita. 3x + 2z = 13 3x + 4z = 8 En este caso podemos restar la 1ª ecuación - 2ª ecuación y eliminamos la incógnita x 3x + 2z = 13 1ªec 2ªec = 3x + 4z = 8 = 2z = 5 Luego podemos obtener el valor de z 2z = 5 z = 5 2 Conocida la incógnita z podemos obtener el valor de la incógnita x sustituyendo el valor de z en una de las dos ecuaciones anteriores. Por ejemplo en la segunda ecuación 3x + 4z = 8 3x + 4 ( 5 2 ) = 8 x = 18 3 = 6 x = 6 3º Paso. Conocidas dos incógnitas hallamos la tercera por sustitución. volvemos a escribir el sistema de ecuaciones inicial (el que nos proporciona el enunciado). x + y 2z = 9 2x y + 4z = 4 2x y + 6z = 1 Sustituimos los valores de x y z que ya conocemos, en una de las tres ecuaciones. Por ejemplo en la 1ª ecuación. x + y 2z = y 2 ( 5 2 ) = y + 5 = 9 y = ASTURIAS: RED DE UNIVERSIDADES VIRTUALES IBEROAMERICANAS 2016
11 Las soluciones para este sistema son : x = 6, y = 2, z = 5 2 Comprobación: Para comprobar que el sistema está bien resuelto, sustituimos los valores de las soluciones y verificamos que se cumplen las tres igualdades. 6 + ( 2) 2 ( 5 2 ) = ( 2) + 4 ( 5 2 ) = ( 2) + 6 ( 5 2 ) = 1 2 Resolver el siguiente sistema: x + y + z = 2 2x + 3y + 5z = 11 x 5y + 6z = 29 1º Paso: elegimos dos pares de ecuaciones de los tres posibles. En este caso vamos a elegir las siguientes: 2 * (1ª ecuación) - 2ª ecuación 1ª ecuación - 3ª ecuación Nota: a la 1ª ecuación la multiplicamos por 2 para que al restarla la 2ª eliminemos una incógnita. 2x + 2y + 2z = 4 (2x + 3y + 5z) = (11) 1ªec 2ªec = 0x y 3z = 7 x + y + z = 2 (x 5y + 6z) = 29 1ªec 3ªec = 6y 5z = 27 2º Paso: Resolvemos el sistema de dos ecuaciones que hemos obtenido. y 3z = 7 6y 5z = 27 Multiplicamos la 1ª ecuación por 6 y a continuación sumamos la 1ª ecuación + 2ª ecuación para eliminar la incógnita y. 6y 18z = 42 1º ec + 2ºec = 23z = 69 6y 5z = ASTURIAS: RED DE UNIVERSIDADES VIRTUALES IBEROAMERICANAS 2016
12 23z = 69 z = = 3 3º Paso: Conocido el valor de z sustituimos en una de las ecuaciones del sistema de dos ecuaciones y obtenemos el valor de y. Por ejemplo en la 1ª ecuación y 3z = 7 y 3 3 = 7 y = 2 Conocido el valor de z y de y, sustituimos los valores en una de las ecuaciones del sistema inicial y obtenemos el valor de x. x + y + z = 2 2x + 3y + 5z = 11 x 5y + 6z = 29 Por ejemplo en la 1ª ecuación que es la más sencilla. x + y + z = 2 x = 2 x = 1 Las soluciones del sistema son x=1 y=-2 z=3. Si queremos cerciorarnos de que el sistema está bien resuelto, sustituimos estos valores en el sistema de ecuaciones y comprobamos si se cumplen las igualdades. x + y + z = 2 2x + 3y + 5z = 11 x 5y + 6z = 29 para x = 1, y = 2 z = = ( 2) = ( 2) = 29 Podemos concluir que el sistema está bien resuelto pues para los valores obtenidos de x y z, se cumplen las tres ecuaciones. 012 ASTURIAS: RED DE UNIVERSIDADES VIRTUALES IBEROAMERICANAS 2016
13 4 Ejercicios Aplicados al Mundo Laboral Ejercicio 1 Una aseguradora ofrece 2 tipos de productos: seguro para coches y un seguro para motos. Eduardo ha conseguido vender 1 seguro de coche y 1 seguro de moto en el mes de Abril de este año, por un importe de 7um. Patricia ha vendido 2 seguros de coche y 3 seguros de moto por un importe de 19um. a) Cuánto cuesta contratar un seguro de coche? y un seguro de moto? b) Si su compañero Hugo, vende 5 seguros de coche y 2 seguros de moto, Qué Solución resultado económico debe obtener por estas ventas? a) Cuánto cuesta contratar un seguro de coche? y un seguro de moto? Vamos a denominar x al seguro de coches e y al de motos. Para resolver el ejercicio planteamos el siguiente sistema de ecuaciones- Resolvemos por reducción. x + y = 7 2x + 3y = 19 Para resolver por reducción primero vamos a obtener un sistema equivalente aplicando el criterio de equivalencia del producto, y multiplicamos la primera ecuación por 2 Sistema equivalente x + y = 7 2x + 3y = 19 2x + 2y = 14 2x + 3y = 19 Resolvemos el sistema, primera ecuación menos segunda ecuación. 2x + 2y = 14 2x 3y = 19 y = 5 y = 5um Obtenemos el valor de x, para ello sustituimos en una de las dos ecuaciones del sistema inicial, por ejemplo en la primera. x + y = 7 x + 5 = ASTURIAS: RED DE UNIVERSIDADES VIRTUALES IBEROAMERICANAS 2016
14 x = 2um b) Si su compañero Hugo, vende 5 seguros de coche y 2 seguros de moto, Qué resultado económico debe obtener por estas ventas? Si vende 5 seguros de coche sabiendo que cada seguro de coche es 2um y 2 seguros de moto sabiendo que cada seguro de moto es 5um, entonces obtendrá el siguiente resultado. Ejercicio 2 5x + 2y =? = 20um Una fábrica textil que extiende su negocio al mercado internacional, suministra su producto a tres empresas textiles A,B,C situadas en diferentes puntos del mundo. Para hacer llegar el producto a cada una de las empresas textiles, en cada ruta se usan tres medios de transporte, Barco =x Tren=y y camión=z. Para la ruta A, es necesario recorrer 8.000km en Barco 400km en tren y 200km en camión. y el importe total por el transporte asciende a um Para la ruta B, es necesario recorrer 4000km en Barco 700km en tren y 200km en camión por un importe de 8310um Para la ruta C es necesario recorrer 4000km en Barco, 200km en tren y 50km en camión. En este caso el importe es de 8110um Cuánto cuesta el km en cada medio de transporte? 8000x + 400y + 200z = um 4000x + 700y + 200z = um 4000x + 200y + 50z = um Resolvemos el sistema por reducción: Podemos multiplicar la ruta B por x y realizar Ruta A-Ruta B 8000x + 400y + 200z = um 8000x y + 400z = um 4000x + 200y + 50z = um 8000x + 400y + 200z = um 8000x 1400y 400z = um 1000y 200z = Para obtener la siguiente ecuación simplificada, podemos hacer Ruta B - Ruta C 4000x + 700y + 200z = um 4000x 200y 50z = um 500y + 150z = ASTURIAS: RED DE UNIVERSIDADES VIRTUALES IBEROAMERICANAS 2016
15 De esta forma tenemos un sistema simplificado que también resolveremos por reducción. 1000y 200z = y + 150z = Multiplicamos por 2 la segunda ecuación y Sumamos las dos ecuaciones y 200z = y + 300z = y 200z = y + 300z = z = 100 z = = 1um Sustituimos el valor de z en una de las ecuaciones y obtenemos el valor de y. 500y + 150z = y = y = = 5um Conocido el valor de z y de y obtenemos el valor de x sustituyendo en una de las ecuaciones del sistema inicial. Por ejemplo en la tercera ecuación: Solución: 4000x + 200y + 50z = x = um x = = 7um Por cada km que recorre en avión supone un coste de 7um cada km recorrido en tren supone un coste de 5um y cada km recorrido en camión supone un coste de 1um. 015 ASTURIAS: RED DE UNIVERSIDADES VIRTUALES IBEROAMERICANAS 2016
5 REPASO Y APOYO OBJETIVO 1
5 REPASO APOO OBJETIVO ESTUDIAR SISTEMAS DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS Un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas es un conjunto de dos ecuaciones de la forma: Incógnitas: x, y Coeficientes
Más detallesTEMA 6. Sistemas de dos Ecuaciones de Primer grado con dos Incógnitas
TEMA 6 Sistemas de dos Ecuaciones de Primer grado con dos Incógnitas 1. Ecuación de Primer grado con dos incógnitas Vamos a intentar resolver el siguiente problema: En una bolsa hay bolas azules y rojas,
Más detallesEcuaciones, inecuaciones y sistemas
008 _ 00-0.qd 9/7/08 9:7 Página 0 Ecuaciones, inecuaciones y sistemas INTRODUCCIÓN Para resolver ecuaciones de primer grado aprendemos a transponer términos, resolviendo ecuaciones de primer grado con
Más detallesIDENTIFICAR SISTEMAS DE ECUACIONES Y SUS ELEMENTOS
OBJETIVO 1 IDENTIFICAR SISTEMAS DE ECUACIONES Y SUS ELEMENTOS NOMBRE: CURSO: FECHA: Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas es un conjunto de dos ecuaciones de las que se busca una solución
Más detalles" Cumple la ecuación.
OBJETIVO 1 IDENTIFICAR SISTEMAS DE ECUACIONES Y SUS ELEMENTOS NOMBRE: CURSO: FECHA: SISTEMAS DE ECUACIONES Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas está formado por dos ecuaciones lineales
Más detallesSistemas de ecuaciones
. Sistemas de ecuaciones lineales Ecuación lineal con dos incógnitas Una ecuación de primer grado se denomina ecuación lineal. Una ecuación lineal con dos incógnitas es una igualdad algebraica del tipo:
Más detalles2. Ecuaciones de primer grado: (sencillas, con paréntesis, con denominadores).
Bloque 3. ECUACIONES Y SISTEMAS (En el libro Temas 4 y 5, páginas 63 y 81) 1. Ecuaciones: Definiciones. Reglas de equivalencia. 2. Ecuaciones de primer grado: (sencillas, con paréntesis, con denominadores).
Más detallesTEMA 6 SISTEMAS DE ECUACIONES
TEMA 6 SISTEMAS DE ECUACIONES 6.1 Ecuaciones con dos incógnitas. Soluciones. Actividades página 11 1. Comprueba si cada uno de los pares de valores siguientes es solución de la ecuación 4x y 1 c) x 0,
Más detallesTEMA 7 SISTEMAS DE ECUACIONES
TEMA 7 SISTEMAS DE ECUACIONES 7.1 Ecuaciones lineales con dos incógnitas Actividades página 111 1. Obtén dos soluciones de cada ecuación y representa las rectas correspondientes. b) x y Esto se lee como
Más detallesSistemas de Ecuaciones Lineales, Método de Gauss. Parte I
Sistemas de Ecuaciones Lineales, Método de Gauss Parte I Ecuación lineal con n incógnita ES cualquier expresión del tipo: a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 +... + a n x n = b, donde a i, b. Los valores a i se
Más detallesTema 3 Algebra. Ecuaciones. Sistemas de ecuaciones: Inecuaciones Índice
Tema 3 Algebra. Ecuaciones. Sistemas de ecuaciones: Inecuaciones Índice 1. ECUACIONES... 2 1.1. Ecuaciones de primer grado... 2 1.2. Ecuaciones de segundo grado... 3 1.2.1. Ecuación de segundo grado completa...
Más detallesTema 4: Ecuaciones y sistemas de ecuaciones.
Tema : Ecuaciones y sistemas de ecuaciones.. Ecuaciones de º grado Ejemplo Resuelve las siguientes ecuaciones de º grado:. 0 x x a Ecuación de º grado completa con La fórmula es x b b ac a 9 9 0 b c 0
Más detallesSISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS. (http://profeblog.es/blog/luismiglesias)
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS. (http://profeblog.es/blog/luismiglesias) 1. Ecuaciones con dos incógnitas. En este apartado vamos a tratar con ecuaciones con dos incógnitas. Por ejemplo,
Más detallesTEMA 5 ANEXO II SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
TEMA 5 ANEXO II SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES A) INTRODUCCIÓN Una ecuación puede tener dos incógnitas. Después de simplificar nos queda una ecuación del tipo ax + by = c, donde x e y son las incógnitas,
Más detallesBloque 1. Aritmética y Álgebra
Bloque 1. Aritmética y Álgebra 12. Sistemas de ecuaciones 1. Sistemas de ecuaciones Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas que conforman un problema matemático
Más detallesDefiniciones I. Una solución de una ecuación son aquellos valores que al sustituirlos en la ecuación hacen que la igualdad sea cierta.
Ecuaciones Definiciones I Una ecuación es una igualdad algebraica que se verifica únicamente para un conjunto determinado de valores de las variables o indeterminadas que forman la ecuación. a + b 2 =
Más detallesSistemas de Ecuaciones Lineales SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES DEFINICIONES, TIPOS DE SISTEMAS Y DISTINTAS FORMAS DE EXPRESARLOS
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES DEFINICIONES, TIPOS DE SISTEMAS Y DISTINTAS FORMAS DE EXPRESARLOS 1.- DEFINICIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Definición: se llama sistema de ecuaciones lineales al
Más detallesUnidad 1: SISTEMAS DE ECUACIONES. MÉTODO DE GAUSS
Unidad 1: SISTEMAS DE ECUACIONES. MÉTODO DE GAUSS 1.1.- SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Ecuación lineal Las ecuaciones siguientes son lineales: 2x 3 = 0; 5x + 4y = 20; 3x + 2y + 6z = 6; 5x 3y + z 5t =
Más detallesSISTEMAS DE ECUACIONES Y DE INECUACIONES
SISTEMAS DE ECUACIONES Y DE INECUACIONES SISTEMAS DE ECUACIONES 1.- Sistemas de ecuaciones lineales Un sistema ( ecuaciones y incógnitas) es un sistema de la forma: Ï a 11 x + a 1 y = b 1 Ó a 1 x + a y
Más detallesIDENTIFICAR SISTEMAS DE ECUACIONES Y SUS ELEMENTOS
7 Y APOYO OBJETIVO 1 IDENTIFICAR SISTEMAS DE ECUACIONES Y SUS ELEMENTOS SISTEMAS DE ECUACIONES Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas está formado por dos ecuaciones lineales con dos
Más detallesSistemas de ecuaciones.
1 CONOCIMIENTOS PREVIOS. 1 Sistemas de ecuaciones. 1. Conocimientos previos. Antes de iniciar el tema se deben de tener los siguientes conocimientos básicos: Operaciones básicas con polinomios. Resolución
Más detalles3º ESO ECUACIONES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. SAGRADO CORAZÓN COPIRRAI_Julio César Abad Martínez-Losa ECUACIONES
º ESO ECUACIONES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. ECUACIONES.- ECUACIONES Una ecuación es una igualdad donde se desconoce el valor de una letra (incógnita o variable). El valor de la variable que hace que
Más detallesSistemas de ecuaciones lineales
Ecuación lineal con n incógnitas Sistemas de ecuaciones lineales Es cualquier expresión del tipo: a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 +... + a n x n = b, donde a i, b. Los valores a i se denominan coeficientes,
Más detallesMATEMÁTICAS I: 1º BACHILLERATO Capítulo 2: Álgebra
MATEMÁTICAS I: º BACHILLERATO Capítulo : Autores: José Antonio Encabo de Lucas Eduardo Cuchillo Índice SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.. RESOLUCION POR EL MÉTODO DE GAUSS. DISCUSION DE SISTEMAS APLICANDO
Más detallesSISTEMAS DE ECUACIONES 3x3
SISTEMAS DE ECUACIONES x DEFINICIÓN: Una ecuación con tres incógnitas es de la forma ax by cz d,con a,b,c, d. a x b y c z d Tres de este tipo: a a x b y c z d x b y c z d constituyen un SISTEMA, cuando
Más detallesPRÁCTICA FINAL. Mª Esther Ruiz Morillas
PRÁCTICA FINAL Mª Esther Ruiz Morillas Repasamos Números x y =z y Álgebra Logaritmos Sucesiones: Aritméticas Geométricas Ecuaciones: De primer grado De segundo grado De grado superior Algebraicas Irracionales
Más detallesTema 3: Ecuaciones. 1.- Ecuaciones de primer y segundo grado. 2.- Ecuaciones del tipo.
Tema 3: Ecuaciones. En este tema, estudiaremos las denominadas ecuaciones, que no son más que igualdades entre expresiones algebraicas, junto con una incógnita que debemos encontrar. Empezaremos dando
Más detallesEs una ecuación polinómica de grado uno con una o varias incógnitas. Por ejemplo, son ecuaciones lineales: 2x 3y 4z
1. Ecuación lineal Es una ecuación polinómica de grado uno con una o varias incógnitas. Por ejemplo, son ecuaciones lineales: x y 4z 8 x 6y z 5 7y z 1. Sin embargo, no son, ecuaciones lineales: x y z 1,
Más detallesSistemas de ecuaciones lineales. El método de Gauss
Sistemas de ecuaciones lineales. El método de Gauss En los artículos anteriores se ha hablado de ecuaciones lineales de primer grado con dos incógnitas y de ecuaciones lineales de primer grado con tres
Más detallesSistemas de ecuaciones.
1 CONOCIMIENTOS PREVIOS. 1 Sistemas de ecuaciones. 1. Conocimientos previos. Antes de iniciar el tema se deben de tener los siguientes conocimientos básicos: Operaciones básicas con polinomios. Resolución
Más detallesUNIDAD II SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
Licenciatura en Administración Mención Gerencia y Mercadeo UNIDAD II SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Elaborado por: Ing. Ronny Altuve Raga, Esp. Ciudad Ojeda, febrero 07 Sistema de dos ecuaciones lineales
Más detallesUna ecuación puede tener ninguna, una o varias soluciones. Por ejemplo: 5x 9 = 1 es una ecuación con una incógnita con una solución, x = 2
Podemos definir a las ecuaciones como una igualdad entre expresiones algebraicas (encadenamiento de números y letras ligados por operaciones matemáticas diversas),en la que intervienen una o más letras,
Más detallesECUACIONES. Las letras representan números y se llaman incógnitas.
ECUACIONES. Una ecuación es una expresión algebraica (un conjunto de letras y números), unidos entre sí por signos aritméticos, de radicalización y potenciación. Las letras representan números y se llaman
Más detallesEcuaciones de 1er Grado 2. Incógnitas. Ing. Gerardo Sarmiento Díaz de León
Ecuaciones de 1er Grado 2 Incógnitas Ing. Gerardo Sarmiento Díaz de León 2009 Teoría sobre ecuaciones de primer grado con 2 icognitas solución por los 3 metodos CETis 63 Ameca, Jalisco Algebra Área matemáticas
Más detallesSISTEMAS DE ECUACIONES. Nacho Jiménez
SISTEMAS DE ECUACIONES Nacho Jiménez 1. Ecuaciones con dos incógnitas. Soluciones. 1.1 Representación gráfica. Sistemas de ecuaciones. Sistemas equivalentes..1 Sistemas compatibles determinados. Sistemas
Más detallesMatemáticas B 4º E.S.O.- Ecuaciones, Inecuaciones y Sistemas. 1
Matemáticas B 4º E.S.O.- Ecuaciones, Inecuaciones y Sistemas. 1 ECUACIONES INECUACIONES Y SISTEMAS ECUACIONES Una ecuación es una propuesta de igualdad en la que interviene alguna letra llamada incógnita.
Más detallesUna igualdad algebraica está formada por dos expresiones algebraicas separadas por el signo igual (=). Las igualdades algebraicas son de dos tipos:
7. Ecuaciones y sistemas de primer grado 1. Ecuaciones 1.1. Ecuaciones de primer grado 1.2. Transposición de términos 2. Sistemas de ecuaciones lineales 2.1. Ecuaciones lineales con dos incógnitas. 2.2.
Más detallesA1.- Determina a y b sabiendo que el sistema de ecuaciones. x + 3y +z = 1 -x + y +2z = -1 ax + by + z = 4 tiene, al menos, dos soluciones distintas.
A1.- Determina a y b sabiendo que el sistema de ecuaciones x + 3y +z = 1 -x + y +z = -1 ax + by + z = 4 tiene, al menos, dos soluciones distintas. Para que el sistema tenga, al menos, dos soluciones distintas
Más detallesUNIDAD 2: ECUACIONES E INECUACIONES. SISTEMAS DE ECUACIONES
UNIDAD 2: ECUACIONES E INECUACIONES. SISTEMAS DE ECUACIONES 1. IDENTIDADES Y ECUACIONES 2. ECUACIONES POLINÓMICAS 3. ECUACIONES BICUADRADAS 4. ECUACIONES RACIONALES 5. ECUACIONES IRRACIONALES 6. ECUACIONES
Más detallesEn este apartado vamos a tratar con ecuaciones con dos incógnitas. Por ejemplo, 2x 5y = 7 es una ecuación con dos incógnitas.
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. 1. Ecuaciones con dos incógnitas. En este apartado vamos a tratar con ecuaciones con dos incógnitas. Por ejemplo, 2x 5y = 7 es una ecuación con dos incógnitas. El par de
Más detallesEspacios Vectoriales Asturias: Red de Universidades Virtuales Iberoamericanas 1
Espacios Vectoriales 201 6Asturias: Red de Universidades Virtuales Iberoamericanas 1 Índice 1 Espacios Vectoriales... 4 1.1 Definición de espacio vectorial... 4 1.2 Definición de subespacio vectorial...
Más detallesECUACIONES Y SISTEMAS: TEORÍA, EJEMPLOS Y EJERCICIOS
ECUACIONES Y SISTEMAS: TEORÍA, EJEMPLOS Y EJERCICIOS Una ecuación es una igualdad que contiene números, letras y operaciones, las letras se llaman incógnitas y dicha igualdad es cierta solamente para algunos
Más detalles7 Sistemas de ecuaciones
89485 _ 0309-0368.qxd 1/9/0 15:3 Página 31 Sistemas de ecuaciones INTRODUCCIÓN Aunque no es el objetivo de este curso, los alumnos deben ser capaces de reconocer ecuaciones con dos incógnitas y obtener
Más detallesEcuaciones de primer grado
Ecuaciones de primer grado º ESO - 3º ESO Definición, elementos y solución de la ecuación de primer grado Una ecuación de primer grado es una igualdad del tipo a b donde a y b son números reales conocidos,
Más detallesTema 4: Sistemas de ecuaciones e inecuaciones
Tema 4: Sistemas de ecuaciones e inecuaciones Sistemas Lineales pueden ser de No lineales Gráficamente Ecuaciones se clasifican se resuelven Algebraicamente Compatible determinado Compatible indeterminado
Más detallesEcuaciones de 2º grado
Ecuaciones de 2º grado Una ecuación de segundo grado es toda expresión de la forma: ax 2 + bx +c = 0 con a 0. Resolución de ecuaciones de segundo grado Para resolver ecuaciones de segundo grado utilizamos
Más detallesSISTEMA DE ECUACIONES LINEALES. Ecuación lineal con dos incógnitas Una ecuación de primer grado se denomina ecuación lineal.
Liceo A 10 Manuel Barros Borgoño Departamento de Matemática SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Ecuación lineal con dos incógnitas Una ecuación de primer grado se denomina ecuación lineal. Una ecuación lineal
Más detallesÁmbito Científico-Tecnológico Módulo III Bloque 3 Unidad 5 Las letras y los números, un cóctel perfecto (2)
Ámbito Científico-Tecnológico Módulo III Bloque 3 Unidad 5 Las letras y los números, un cóctel perfecto (2) Ahora que ya sabes resolver ecuaciones, nos adentramos en los sistemas de ecuaciones donde vamos
Más detallesECUACIONES Y SISTEMAS
ECUACIONES Y SISTEMAS 1. ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA. Puedes observar en la figura que los platillos de la balanza están equilibrados, de modo que se puede establecer una relación de igualdad
Más detallesTEMA 3. Algebra. Teoría. Matemáticas
1 1 Las expresiones algebraicas Las expresiones algebraicas son operaciones aritméticas, de suma, resta, multiplicación y división, en las que se combinan letras y números. Para entenderlo mejor, vamos
Más detallesRESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES
RESOLUCIÓN DE SISTEMS MEDINTE DETERMINNTES Página 0 REFLEXION Y RESUELVE Resolución de sistemas Ò mediante determinantes y Resuelve, aplicando x x e y, los siguientes sistemas de ecuaciones: 3x 5y 73 a
Más detallesTEMA 2: ÁLGEBRA 1. TEOREMA DEL RESTO Y APLICACIONES
TEMA 2: ÁLGEBRA 1. TEOREMA DEL RESTO Y APLICACIONES Dado un polinomio P(x) y un número real a, el resto de la división de P(x) entre (x a) es P(a) (es decir, el resultado de sustituir el valor de x por
Más detallesUn sistema de dos ecuaciones con dos variables (incógnitas) son dos ecuaciones de las que se busca una solución común.
3.1.. ECUACIONES EN DOS VARIABLES Un sistema de dos ecuaciones con dos variables (incógnitas) son dos ecuaciones de las que se busca una solución común. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES EN DOS VARIABLES.
Más detallesSISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. Método de reducción o de Gauss. 1º DE BACHILLERATO DPTO DE MATEMÁTICAS COLEGIO MARAVILLAS AUTORA: Teresa González.
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Método de reducción o de Gauss 1º DE BACHILLERATO DPTO DE MATEMÁTICAS COLEGIO MARAVILLAS AUTORA: Teresa González. SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS.
Más detallesSISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES TRABAJO PRÁCTICO Nº 3
BLOQUE I: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES TRABAJO PRÁCTICO Nº 3 Los sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas pueden ser: única solución infinitas soluciones no tienen solución rectas que se cortan
Más detallesU2: Sistema de Ecuaciones lineales. Una ecuación lineal de primer grado se denomina ecuación lineal.
Qué es una ecuación lineal? Una ecuación lineal de primer grado se denomina ecuación lineal. El grado de una ecuación es el grado máximo de los exponentes de las variables que la componen. Sistemas de
Más detalleslasmatemáticas.eu Pedro Castro Ortega materiales de matemáticas Expresiones algebraicas. Ecuaciones de primer grado
lasmatemáticaseu Pedro Castro Ortega Epresiones algebraicas Ecuaciones de primer grado 1 Epresiones algebraicas 11 Definición de epresión algebraica Una epresión algebraica es un conjunto de números letras
Más detallesECUACIONES DE 2º GRADO. Se resuelve mediante la siguiente fórmula:
ECUACIONES DE 2º GRADO Una ecuación de segundo grado es toda expresión de la forma: ax 2 + bx +c = 0 con a 0. Se resuelve mediante la siguiente fórmula: ( 1). Si es a
Más detallesModalidad virtual. Matemática
EXPRESIONES ALGEBRAICAS, FÓRMULAS, ECUACIONES 1 En matemática es habitual trabajar con relaciones numéricas en las que una o más cantidades son desconocidas. Estas cantidades se denominan incógnitas o
Más detallesSISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CONCEPTO Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas es un sistema de la forma: a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n b 2.........................
Más detallesEcuaciones. Ecuaciones de primer grado con una incógnita.
Ecuaciones Recuerda: Una ecuación es una igualdad algebraica en la cual aparecen letras (incógnitas) con valor desconocido. El grado de una ecuación viene dado por el eponente maor de la incógnita. Solucionar
Más detalles5 Sistemas de ecuaciones
Sistemas de ecuaciones INTRODUCCIÓN La resolución de problemas es uno de los fundamentos de las Matemáticas. A la hora de resolver muchos problemas reales se hace patente la necesidad de los sistemas de
Más detalles5 Sistemas de ecuaciones
863 _ 099-031.qxd 7/4/07 13:3 Página 99 Sistemas de ecuaciones INTRODUCCIÓN La resolución de problemas es uno de los fundamentos de las Matemáticas. A la hora de resolver muchos problemas reales se hace
Más detallesSistemas de ecuaciones lineales
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas es un conjunto de ecuaciones de la forma: ax + a2x 2 +... + an xn = b a2x + a22x 2 +... + a2nxn = b2... amx + am2x 2
Más detalles5 Sistemas de ecuaciones
8966 _ 09-008.qd 7/6/08 09: Página 97 Sistemas de ecuaciones INTRODUCCIÓN Los sistemas de ecuaciones son necesarios para plantear solucionar numerosos problemas reales, por lo que los alumnos deben ser
Más detallesSistemas de ecuaciones lineales
Sistemas de ecuaciones lineales TIPOS DE SISTEMAS. DISCUSIÓN DE SISTEMAS. Podemos clasificar los sistemas según el número de soluciones: Incompatible. No tiene solución Compatible. Tiene solución. Compatible
Más detallesTEMA 3. ECUACIONES DE 1 er GRADO CON UNA INCÓGNITA.
TEMA 3. ECUACIONES DE 1 er GRADO CON UNA INCÓGNITA. 3.1 ECUACIONES Una ecuación es una epresión algebraica relacionada mediante el signo =, en la que las variables se denominan incógnitas. Llamamos primer
Más detallesCurso º ESO. UNIDADES 6 Y 7: EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y ECUACIONES Departamento de Matemáticas IES Fray Bartolomé de las Casas de Morón
2º ESO UNIDADES 6 Y 7: EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y ECUACIONES Departamento de Matemáticas IES Fray Bartolomé de las Casas de Morón OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS Lenguaje algebraico. Normas y Traducción
Más detallesRESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES
3 RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES Página 74 Determinantes de orden 2 Resuelve cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones y calcula el determinante de la matriz de los coeficientes:
Más detallesMATEMÁTICAS. TEMA 1 Sistemas de Ecuaciones. Método de Gauss.
MATEMÁTICAS TEMA Sistemas de Ecuaciones. Método de Gauss. ÍNDICE. Introducción. 2. Ecuaciones lineales.. Sistemas de ecuaciones lineales. 4. Sistemas de ecuaciones escalonado ó en forma triangular.. Métodos
Más detalles4 Ecuaciones e inecuaciones
Ecuaciones e inecuaciones INTRODUCCIÓN Comenzamos esta unidad diferenciando entre identidades y ecuaciones, y definiendo los conceptos asociados a cualquier ecuación: miembros, términos, coeficientes,
Más detallesSe distinguen tres métodos algebraicos de resolución de sistemas:
MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Se distinguen tres métodos algebraicos de resolución de sistemas: Sustitución Igualación Reducción Notas: 1) Es importante insistir en que la solución
Más detallesSistema de ecuaciones Parte II
Regla de Cramer Sistema de ecuaciones Parte II La regla de Cramer sirve para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Se aplica a sistemas que cumplan las dos condiciones siguientes: El número de ecuaciones
Más detallesTEMA 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Luis compró 5 cuadernos y 4 plumones y gastó en total $ 84.00. Si la diferencia en el costo del cuaderno y del plumón es de $ 6.00. Cuánto
Más detallesTema 2: Polinomios, ecuaciones y sistemas de ecuaciones.
Tema 2: Polinomios, ecuaciones y sistemas de ecuaciones. Polinomios Ecuaciones Ecuaciones de primer grado Ecuaciones de segundo grado Ecuaciones polinómicas de grado superior Ecuaciones racionales Ecuaciones
Más detallesSISTEMAS DE ECUACIONES
Universidad de Granada Máster de Profesorado U. D. SISTEMAS DE ECUACIONES Director del trabajo : D. Antonio López Megías SISTEMAS DE ECUACIONES Pilar FERNÁNDEZ CARDENETE Granada,
Más detalles( ) ( ) ( ) Reduce a común denominador el siguiente conjunto de fracciones: x 1 2. Solución: Común denominador: 1 =
Repaso MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CCSS I Profesor:Féli Muñoz Reduce a común denominador el siguiente conjunto de fracciones: + ; y Común denominador: ( + )( ) MCM + ( )( ) ( )( + )( ) ( ) ( )( + )( )
Más detallesEcuaciones, inecuaciones y sistemas
Ecuaciones, inecuaciones y sistemas. Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I 1 Ecuaciones, inecuaciones y sistemas Ecuaciones con una incógnita. Ecuación.- Una ecuación es una igualdad de expresiones
Más detallesFICHAS REPASO 3º ESO. Para restar números enteros, se suma al minuendo el opuesto del sustraendo y después se aplican las reglas de la suma.
FICHAS REPASO º ESO OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta al prescindir del signo. Por ejemplo, el valor absoluto de es y el valor absoluto
Más detallesExamen bloque Álgebra Opcion A. Solución
Examen bloque Álgebra Opcion A EJERCICIO 1A (2 5 puntos) Halle la matriz X que verifique la ecuación matricial A2 X = A B C, siendo A, B y C las matrices Halle la matriz X que verifique la ecuación matricial
Más detallesCLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. DETERMINADO Tiene una única solución. COMPATIBLE Tiene solución
CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES DETERMINADO Tiene una única solución SISTEMA COMPATIBLE Tiene solución INCOMPATIBLE No tiene solución INDETERMINADO Tiene infinitas soluciones I.E.S.
Más detallesINECUACIONES Y SISTEMAS
www.matesronda.net José A. Jiménez Nieto INECUACIONES Y SISTEMAS. DESIGUALDADES E INECUACIONES En todos los ámbitos encontramos epresiones numéricas o algebraicas que hacen referencia a la desigualdad
Más detallesE IDENTIFICAR ECUACIONES E IDENTIDADES
DISTINGUIR OBJETIVO E IDENTIFICAR ECUACIONES E IDENTIDADES NOMBRE: CURSO: FECHA: IDENTIDADES Y ECUACIONES Una igualdad algebraica está formada por dos epresiones algebraicas separadas por el signo igual
Más detallesUnidad 2: Ecuaciones, inecuaciones y sistemas.
Unidad 2: Ecuaciones, inecuaciones y sistemas 1 Unidad 2: Ecuaciones, inecuaciones y sistemas. 1.- Factorización de polinomios. M. C. D y m.c.m de polinomios. Un número a es raíz de un polinomio es 0.
Más detallesUna igualdad se compone de dos expresiones unidas por el signo igual. Una identidad es una igualdad que es cierta para cualquier valor de las letras.
RESUMEN. ECUACIONES Igualdad Una igualdad se compone de dos expresiones unidas por el signo igual. Identidad Una identidad es una igualdad que es cierta para cualquier valor de las letras. Ecuación Una
Más detallesTema 1 Sistemas de Ecuaciones. Método de Gauss
Tema Sistemas de Ecuaciones. Método de Gauss. Sistemas con más incógnitas que ecuaciones. Resuelve los sistemas: a b w w Para convertir cada sistema en otro con el mismo numero de ecuaciones que de incógnitas,
Más detallesTeoría Tema 6 Discusión de sistemas por el método de Gauss
página 1/9 Teoría Tema 6 Discusión de sistemas por el método de Gauss Índice de contenido Método de Gauss...2 Discusión de sistemas por el método de Gauss...4 Sistemas que dependen de parámetros desconocidos...6
Más detallesSistem as de ecuaciones lineales
Sistem as de ecuaciones lineales. Concepto, clasificación y notación Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas se puede escribir del siguiente modo: a x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + + a n x n = b a
Más detallesEJEMPLO OBJETIVO 1 CALCULAR TÉRMINOS EN UNA SUCESIÓN NOMBRE: CURSO: FECHA:
OBJETIVO 1 CALCULAR TÉRMINOS EN UNA SUCESIÓN NOMBRE: CURSO: ECHA: SUCESIÓN Una sucesión es un conjunto ordenado de números reales: a 1, a 2, a 3, a 4 Cada uno de los números que forman la sucesión es un
Más detallesSistemas de ecuaciones lineales
Tema 1 Sistemas de ecuaciones lineales 11 Definiciones Sea K un cuerpo Una ECUACIÓN LINEAL CON COEFICIENTES EN K es una expresión del tipo a 1 x 1 + + a n x n = b, en la que n es un número natural y a
Más detallesa) x + 7 = 2 x = 2 7 Solución: x = 5
º ESO REFUERZO DE MATEMÁTICAS UNIDAD.- ECUACIONES Y SISTEMAS CURSO 0/0 Objetivo.- Usar las reglas de equivalencia para despejar variables en fórmulas Reglas de equivalencia. Para despejar una letra en
Más detalles7Soluciones a los ejercicios y problemas
PÁGINA Pág. P RACTICA Sistemas lineales Comprueba si el par (3, ) es solución de alguno de los siguientes sistemas: x + y 5 x y 5 a) b) 3x y 4x + y El par (3, ) es solución de un sistema si al sustituir
Más detallesEcuaciones Lineales con una Incógnita
48 CAPÍTULO 2. CÁLCULO ALGEBRAICO SECCIÓN 2.3 Ecuaciones Lineales Ecuaciones Lineales con una Incógnita Una ecuación es una expresión algebraica que involucra una igualdad entre dos expresiones algebraicas,
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2015 MATEMÁTICAS II TEMA 2: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 015 MATEMÁTICAS II TEMA : SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Junio, Ejercicio 3, Opción A Reserva 1, Ejercicio 3, Opción B Reserva, Ejercicio 3, Opción B Reserva
Más detallesUna igualdad significa que dos cantidades o expresiones algebraicas tienen el mismo valor. a = b + c 3x 2 = 4x + 15
ECUACIONES ENTERAS DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA El planteamiento de problemas de la vida real requiere para su solución, la representación de números reales mediante símbolos lo cual hace posible
Más detallesSistemas de Ecuaciones
3. Métodos de resolución Resolver un sistema por el método de reducción consiste en encontrar otro sistema, con las mismas soluciones, que tenga los coeficientes de una misma incógnita iguales o de signo
Más detallesDos ecuaciones forman un sistema cuando lo que pretendemos de ellas es encontrar su solución común.
TEMA 7. SISTEMA DE ECUACIONES 1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Dos ecuaciones forman un sistema cuando lo que pretendemos de ellas es encontrar su solución común. Cuando dos ecuaciones forman un sistema
Más detallesEXPRESIONES ALGEBRAICAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y POLINOMIOS
EXPRESIONES ALGEBRAICAS Trabajar en álgebra consiste en manejar relaciones numéricas en las que una o más cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman VARIABLES, INCÓGNITAS o INDETERMINADAS
Más detallesTRABAJO DE MATEMÁTICAS. PENDIENTES DE 3º ESO. (2ª parte)
TRABAJO DE MATEMÁTICAS PENDIENTES DE 3º ESO. (2ª parte) 1 OPERACIONES CON POLINOMIOS 1.-) Dados los polinomios: P(x) = 3x 2 + 3x - 1, Q(x) = 3x 2 + 2x + 1 y R(x) = -x 3 + 2x 2 +1. Calcular: a) P - Q R
Más detallesEjercicio 3 de la Opción A del modelo 1 de 2008.
Ejercicio 3 de la Opción A del modelo 1 de 2008. Dado el sistema de ecuaciones lineales x + λy z = 0 2x + y + λz = 0 x + 5y λz = λ +1 [1 5 puntos] Clasifícalo según los valores del parámetro λ. (b) [1
Más detalles