MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II A) CONTENIDOS

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1 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II A) 1. Álgebra. Las matrices como expresión de tablas y grafos. Suma y producto de matrices. Interpretación del significado de las operaciones con matrices en la resolución de problemas extraídos de las ciencias sociales. Inecuaciones lineales con una o dos incógnitas. Sistemas de inecuaciones. Programación lineal. Aplicaciones a la resolución de problemas sociales, económicos y demográficos. Interpretación de las soluciones. 2. Análisis. Aproximación al concepto de límite a partir de la interpretación de la tendencia de una función. Concepto de continuidad. Interpretación de los diferentes tipos de discontinuidad y de las tendencias asintóticas en el tratamiento de la información. Derivada de una función en un punto. Aproximación al concepto e interpretación geométrica. Aplicación de las derivadas al estudio de las propiedades locales de funciones habituales y a la resolución de problemas de optimización relacionados con las ciencias sociales y la economía. Estudio y representación gráfica de una función polinómica o racional sencilla a partir de sus propiedades globales. 3. Probabilidad y estadística. Profundización en los conceptos de probabilidades a priori y a posteriori, probabilidad compuesta, condicionada y total. Teorema de Bayes. Implicaciones prácticas de los teoremas: Central del límite, de aproximación de la Binomial a la Normal y Ley de los Grandes Números. Problemas relacionados con la elección de las muestras. Condiciones de representatividad. Parámetros de una población. Distribuciones de probabilidad de las medias y proporciones muestrales. Intervalo de confianza para el parámetro p de una distribución binomial y para la media de una distribución normal de desviación típica conocida. Contraste de hipótesis para la proporción de una distribución binomial y para la media o diferencias de medias de distribuciones normales con desviación típica conocida. B) 1. Utilizar el lenguaje matricial y aplicar las operaciones con matrices como instrumento para el tratamiento de situaciones que manejen datos estructurados en forma de tablas o grafos. Este criterio pretende evaluar la destreza a la hora de utilizar las matrices tanto para organizar la información como para transformarla a través de determinadas operaciones entre ellas. 2. Transcribir problemas expresados en lenguaje usual al lenguaje algebraico y resolverlos utilizando técnicas algebraicas determinadas: matrices, ecuaciones y programación lineal bidimensional, interpretando críticamente el significado de las soluciones obtenidas. Este criterio está dirigido a comprobar la capacidad de utilizar con eficacia el lenguaje algebraico tanto para plantear un problema como para resolverlo, aplicando las técnicas adecuadas. No se trata de valorar la destreza a la hora de resolver de forma mecánica ejercicios de aplicación inmediata, sino de medir la competencia para seleccionar las estrategias y herramientas algebraicas; así como la capacidad de interpretar críticamente el significado de las soluciones obtenidas. 3. Analizar e interpretar fenómenos habituales en las ciencias sociales susceptibles de ser descritos mediante una función, a partir del estudio cualitativo y cuantitativo de sus propiedades más características. Este criterio pretende evaluar la capacidad para traducir al lenguaje de las funciones determinados aspectos de las ciencias sociales y para extraer, de esta interpretación matemática, información que permita analizar con criterios de objetividad el fenómeno estudiado y posibilitar un análisis crítico a partir del estudio de las propiedades globales y locales de la función. 4. Utilizar el cálculo de derivadas como herramienta para obtener conclusiones acerca del comportamiento de una función y resolver problemas de optimización extraídos de situaciones reales de carácter económico o social. Matemáticas CC SS II 1

2 Este criterio no pretende medir la habilidad de los alumnos en complejos cálculos de funciones derivadas, sino valorar su capacidad para utilizar la información que proporciona su cálculo y su destreza a la hora de emplear los recursos a su alcance para determinar relaciones y restricciones en forma algebraica, detectar valores extremos, resolver problemas de optimización y extraer conclusiones de fenómenos relacionados con las ciencias sociales. 5. Asignar probabilidades a sucesos aleatorios simples y compuestos, dependientes o independientes, utilizando técnicas personales de recuento, diagramas de árbol o tablas de contingencia. Se trata de valorar tanto la competencia para estimar y calcular probabilidades asociadas a diferentes tipos de sucesos como la riqueza de procedimientos a la hora de asignar probabilidades a priori y a posteriori, compuestas o condicionadas. Este criterio evalúa también la capacidad, en el ámbito de las ciencias sociales, para tomar decisiones de tipo probabilístico que no requieran la utilización de cálculos complicados. 6. Diseñar y desarrollar estudios estadísticos de fenómenos sociales que permitan estimar parámetros con una fiabilidad y exactitud prefijadas, determinar el tipo de distribución e inferir conclusiones acerca del comportamiento de la población estudiada. Se pretende comprobar la capacidad para identificar si la población de estudio es normal y medir la competencia para determinar el tipo y tamaño muestral, establecer un intervalo de confianza para µ y p, según que la población sea Normal o Binomial, y determinar si la diferencia de medias o proporciones entre dos poblaciones o respecto de un valor determinado, es significativa. Este criterio lleva implícita la valoración de la destreza para utilizar distribuciones de probabilidad y la capacidad para inferir conclusiones a partir de los datos obtenidos. 7. Analizar de forma crítica informes estadísticos presentes en los medios de comunicación y otros ámbitos, detectando posibles errores y manipulaciones tanto en la presentación de los datos como de las conclusiones. Se valora el nivel de autonomía, rigor y sentido crítico alcanzado al analizar la fiabilidad del tratamiento de la información estadística que hacen los medios de comunicación y los mensajes publicitarios, especialmente a través de informes relacionados con fenómenos de especial relevancia social. 8. Reconocer la presencia de las matemáticas en la vida real y aplicar los conocimientos adquiridos a situaciones nuevas, diseñando, utilizando y contrastando distintas estrategias y herramientas matemáticas para su estudio y tratamiento. Este criterio pretende evaluar la capacidad para reconocer el papel de las matemáticas como instrumento para la comprensión de la realidad, lo que las convierte en un parte esencial de nuestra cultura, y para utilizar el «modo de hacer matemático» al enfrentarse a situaciones prácticas de la vida real. C) PROGRAMACIÓN DE MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CC SS II En este apartado se desarrollan interrelacionadamente, y para cada una de las 11 unidades en que se organiza la programación, todos los anteriores aspectos que integran el currículo (objetivos, contenidos, criterios de evaluación y temas transversales). UNIDAD 1: MATRICES ÁLGEBRA 1. Comprender el concepto de matriz de dimensión n x m como tabla ordenada de números. 2. Conocer los distintos tipos de matrices. 3. Definir y calcular la suma y el producto de matrices, y el producto de una matriz por un número real. 4. Definir y calcular la traspuesta de una matriz. 5. Calcular, cuando exista, la inversa de una matriz. 6. Comprender el concepto de rango de una matriz y saber calcularlo Matemáticas CC SS II 2

3 7. Expresar enunciados, cuando sea posible, en forma de matriz. 8. Asociar una matriz a un grafo. Matriz. Dimensión y orden de una matriz. Tipos de matrices. Operaciones con matrices. Traspuesta de una matriz: matriz simétrica y antisimétrica. Matriz inversa. Ecuaciones matriciales. Rango de una matriz. Grafos Adición de matrices y multiplicación por números reales. Multiplicación de matrices. Cálculo de potencias de matrices por inducción. Cálculo de la inversa de una matriz mediante el método de Gauss-Jordan y por la definición. Planteamiento y resolución de problemas con enunciado textual, utilizando la notación matricial. Cálculo del rango de una matriz según el método de Gauss-Jordan. Relación entre el rango y el orden de una matriz cuadrada con la existencia de su inversa. Aplicación de las matrices: grafos y cadenas de Markov.. Reconocimiento de la utilidad del método de Gauss-Jordan para obtener la matriz inversa de una matriz invertible y para hallar el rango de una matriz. Valoración de la importancia de las matrices por su aplicación a situaciones reales. Educación moral y cívica Las Matemáticas contribuyen a desarrollar el rigor en los razonamientos, modificar enfoques personales y ejercitar la constancia para buscar soluciones a diversos problemas. Se potencia la secuenciación ordenada de contenidos, se plantean problemas relacionados con situaciones reales y cotidianas y se proponen actividades para realizar en grupo, con el fin de favorecer la colaboración entre compañeros. 1. Conocer los distintos tipos de matrices. 2. Sumar matrices de igual dimensión. Multiplicar matrices por un número real. 3. Multiplicar matrices, decidiendo cuándo es posible. 4. Expresar un enunciado textual en notación matricial. 5. Aplicar el método de Gauss-Jordan para hallar la inversa de una matriz. 6. Resolver ecuaciones matriciales. 7. Utilizar el lenguaje matricial y aplicar las operaciones con matrices a situaciones reales en las que hay que transmitir información estructurada en forma de tablas o grafos. UNIDAD 2: SISTEMAS DE ECUACIONES Matemáticas CC SS II 3

4 1. Conocer los conceptos de ecuación lineal y de sistema de ecuaciones lineales. 2. Identificar un sistema homogéneo. 3. Comprender el concepto de conjunto solución. 4. Conocer los criterios de equivalencia de sistemas de ecuaciones. 5. Clasificar los sistemas según su solución: compatibles determinados e indeterminados, compatibles e incompatibles. 6. Conocer los métodos de Gauss y de Gauss-Jordan. 7. Aplicar el método de Gauss a sistemas de ecuaciones con un parámetro y discutirlos en función de estos. 8. Expresar matricialmente un sistema de ecuaciones lineales. 9. Resolver un sistema de ecuaciones lineales calculando la inversa de la matriz de los coeficientes. 10. Utilizar las fórmulas de Cramer para resolver sistemas de n ecuaciones con n incógnitas. 11. Resolver problemas con enunciado textual usando sistemas de ecuaciones. Ecuaciones lineales. Sistema de ecuaciones lineales. Conjunto solución de un sistema. Sistemas equivalentes. Sistemas homogéneos. Grados de libertad. Sistemas compatibles e incompatibles. Matriz de los coeficientes, ampliada, de las incógnitas y de los términos independientes, asociadas a un sistema de ecuaciones. Teorema de Rouché-Fröbenius Discusión y resolución de sistemas de ecuaciones. Eliminación de parámetros. Utilización ágil del método de Gauss. Interpretación geométrica de la solución de un sistema. Planteamiento y resolución de sistemas extraídos de problemas relacionados con la vida cotidiana. Expresión de un sistema de ecuaciones lineales en forma matricial. Resolución de sistemas mediante el método de la matriz inversa. Valoración de la utilidad del cálculo matricial para la resolución de sistemas de ecuaciones Interés por la presentación clara y ordenada de los procedimientos seguidos en la resolución de sistemas de ecuaciones. Disposición favorable a repasar de forma sistemática los cálculos que deciden la compatibilidad y solución de un sistema. Valoración de la utilidad de los métodos de Gauss y de Gauss-Jordan para resolver un sistema. Educación moral y cívica El trabajo algebraico precisa del rigor y de la capacidad de abstracción. El desarrollo de estas capacidades facilita el enfoque adecuado de los problemas éticos. El orden y la constancia en la resolución de los problemas algebraicos contribuyen al desarrollo de estas facetas de modo general. 1. Diferenciar entre sistemas lineales y sistemas que no lo son. 2. Determinar cuándo dos sistemas son equivalentes 3. Hallar la solución, si existe, de un sistema de ecuaciones lineales. 4. Expresar un sistema de ecuaciones lineales en notación matricial Matemáticas CC SS II 4

5 5. Utilizar la matriz inversa de la matriz de los coeficientes para resolver un sistema de ecuaciones lineales. 6. Discutir un sistema en función de un parámetro. 7. Interpretar geométricamente la solución de un sistema. 8. Aplicar los métodos de Gauss y de Gauss-Jordan para resolver un sistema. 9. Traducir problemas con enunciado textual a lenguaje algebraico y convertirlos en un sistema de ecuaciones, aplicando de esta forma los conocimientos adquiridos para su resolución. UNIDAD 3: PROGRAMACIÓN LINEAL 1. Resolver e interpretar el conjunto de soluciones de una inecuación lineal con dos incógnitas. 2. Resolver un sistema de inecuaciones lineales de primer grado, con dos incógnitas como máximo, y determinar, si existe, la región poligonal del plano que constituye su solución. 3. Introducir la programación lineal bidimensional. 4. Optimizar expresiones lineales sometidas a restricciones expresadas por medio de inecuaciones, utilizando métodos gráficos y analíticos sencillos. 5. Aplicar la programación lineal bidimensional a la resolución de problemas de contexto real e interpretar la solución obtenida. Inecuaciones lineales con dos incógnitas. Sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas. Región factible solución de un sistema de n inecuaciones lineales con dos incógnitas. Conjunto de restricciones de un problema de programación lineal. Función objetivo. Soluciones de un problema de programación lineal. Teorema sobre la localización de los extremos de una función lineal en un conjunto convexo. Máximo o mínimo de la función objetivo. Valor extremo solución de un problema de programación lineal. Representación gráfica de rectas. Resolución gráfica de una inecuación lineal con dos incógnitas. Resolución gráfica de un sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas. Discusión sobre el conjunto solución de un sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas. Obtención de un sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas a partir de su región solución. Obtención de las ecuaciones de rectas paralelas a una recta dada. Resolución de un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Obtención de un sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas a partir de un conjunto de restricciones. Determinación de la región factible de un conjunto de restricciones. Expresión de la función objetivo a partir del enunciado de un problema. Resolución gráfica de un problema de programación lineal utilizando el teorema de localización de soluciones. Resolución analítica de un problema de programación lineal mediante la aplicación del teorema de localización de soluciones. Discusión de las soluciones de un problema de programación lineal. Obtención del valor óptimo en un problema de programación lineal. Disposición favorable a la revisión y mejora de los procedimientos de representación gráfica de rectas, semiplanos y regiones poligonales. Matemáticas CC SS II 5

6 Observación de las normas de precisión en el uso adecuado del lenguaje algebraico para interpretar y plantear el enunciado de un problema. Interés por la presentación clara y ordenada de los procedimientos seguidos en la resolución de un problema de programación lineal. Actitud positiva y crítica delante de las correcciones y constancia en la consolidación de los contenidos trabajados. Interés y respeto por los procedimientos distintos de los propios. Perseverancia en la búsqueda de soluciones a los problemas planteados. Valoración de la utilidad de los contenidos de programación lineal. Educación del consumidor Este tema facilita el estudio de las relaciones entre las personas y el medio económico y social que les rodea. Para contribuir a esta relación se proponen actividades de cálculo, de valoración crítica de datos y actividades de lectura e interpretación de gráficas y tablas. 1. Resolver e interpretar el conjunto de soluciones de una inecuación lineal con dos incógnitas. 2. Resolver un sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas y discutir la existencia del conjunto de soluciones que se obtiene. 3. Calcular los valores máximo y mínimo de una función lineal en un conjunto convexo. 4. Interpretar y traducir el conjunto de restricciones que aparecen en un problema de programación lineal a inecuaciones lineales con dos incógnitas. 5. Expresar la función objetivo a partir del enunciado de un problema. 6. Obtener la solución de un problema de programación lineal, utilizando el teorema de localización de soluciones, de manera gráfica y analítica. 7. Discutir las soluciones de un problema de programación lineal. 8. Obtener el valor máximo o mínimo de la función objetivo que proporciona la solución de un problema de programación lineal. UNIDAD 4: LÍMITE Y CONTINUIDAD ANÁLISIS 1. Diferenciar los diversos conjuntos numéricos de la recta real. 2. Comprender el concepto de función real de variable real. 3. Caracterizar adecuadamente las funciones reales de variable real. 4. Operar correctamente con funciones. 5. Determinar cuándo una función posee inversa respecto de la composición. 6. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 7. Determinar límites de funciones reales en un punto. 8. Conocer las principales propiedades de las funciones convergentes. 9. Comprender el concepto de límite de una función en el infinito. 10. Conocer y aplicar las reglas del cálculo de límites. 11. Reconocer y resolver las indeterminaciones que se producen en el cálculo de límites. 12. Reconocer las ramas infinitas de una función y determinar las ecuaciones de las asíntotas verticales y horizontales de la misma. 13. Comprender el concepto de función continua en un punto. 14. Conocer las propiedades de las operaciones con funciones continuas. 15. Establecer cuándo una función es continua en un punto. 16. Averiguar el valor del parámetro o parámetros para que una función, en cuya expresión aparezcan, sea continua en un punto. 17. Clasificar los tipos de discontinuidad de una función dada en forma analítica o gráfica. 18. Conocer las condiciones de continuidad en un intervalo cerrado. 19. Entender y aplicar el teorema de Bolzano. 20. Acotar los ceros de una función en un intervalo cerrado mediante el teorema de Bolzano. Matemáticas CC SS II 6

7 El conjunto de los números reales. Conjuntos numéricos de la recta real. Función real de variable real. Dominio y recorrido de una función. Caracterización de funciones reales de variable real: acotación, simetría, periodicidad, monotonía. Composición de funciones reales. Función inversa. Límite de una función en un punto. Límites laterales en un punto. Propiedades de las funciones convergentes. Límites de una función en el infinito. Indeterminaciones en el cálculo de límites. Asíntotas de una función. Función continua en un punto. Continuidad de una función en un intervalo abierto. Adición, multiplicación, división y composición de funciones continuas. Tipos de discontinuidades: evitables e inevitables. Función continua en un intervalo cerrado. Teorema de Bolzano. Resolución analítica del dominio de una función. Determinación de la simetría de una función. Determinación gráfica de la monotonía y acotación de una función. Composición de funciones. Cálculo de la expresión analítica de la inversa de una función inyectiva respecto de la composición de funciones. Cálculo de límites de funciones en un punto y en el infinito. Determinación de las asíntotas verticales y horizontales de funciones sencillas. Resolución de indeterminaciones en el cálculo de límites con funciones:, 0, /, 0/0, 1. Aproximación a la resolución de indeterminaciones del tipo (+ ) 0 y 0 0. Aplicación de las condiciones de continuidad en un punto para establecer si una función es continua en un punto determinado. Determinación del dominio de continuidad de una función. Clasificación de las discontinuidades de una función. Determinación de parámetros de funciones continuas imponiendo las condiciones de continuidad. Discusión de la continuidad de una función en un intervalo cerrado. Aplicación del teorema de Bolzano para determinar la existencia de ceros de una función en un intervalo cerrado. Cálculo, por aproximación, de las soluciones de la ecuación f(x) = 0. Curiosidad e interés por la caracterización de relaciones funcionales. Apreciación de la utilidad de los procedimientos de cálculo de límites para la resolución de indeterminaciones. Valoración de la utilidad del cálculo de límites para el estudio de la continuidad de una función. Espíritu crítico ante el resultado de cualquier ejercicio o problema. Actitud positiva y crítica ante las correcciones y constancia en la consolidación de los contenidos trabajados. Interés y respeto por los procedimientos y soluciones distintos de los propios. 1. Utilizar y escribir correctamente los diferentes conjuntos numéricos de la recta real. 2. Determinar el dominio de funciones reales de variable real. 3. Componer funciones. 4. Averiguar si una función es inyectiva y calcular su inversa respecto de la composición. 5. Calcular límites de funciones en un punto y en el infinito, tanto gráfica como analíticamente. Matemáticas CC SS II 7

8 6. Reconocer ramas infinitas de una función y saber calcular las ecuaciones de las asíntotas verticales y horizontales de una función. 7. Resolver las indeterminaciones, 0, /, 0/0, 1, (+ ) 0 y 0 0 en el cálculo de límites de funciones, utilizando la calculadora, sobre todo en los últimos casos. 8. Expresar correctamente la definición de función continua en un punto. 9. Determinar el dominio de continuidad de una función. 10. Clasificar las discontinuidades de una función. 11. Modificar el criterio de definición de una función que posee una discontinuidad evitable para que sea continua. 12. Calcular el valor de un parámetro para que una función sea continua en un punto. 13. Aplicar correctamente el teorema de Bolzano para la aproximación de ceros de una función o para la resolución de ecuaciones. UNIDAD 5: DERIVADAS 1. Comprender el concepto de derivada de una función en un punto y su interpretación geométrica. 2. Calcular la derivada de una función en un punto aplicando la definición. 3. Calcular la ecuación de la recta tangente en un punto. 4. Caracterizar puntos angulosos y puntos de retroceso de una función a partir del cálculo de las derivadas laterales en dichos puntos. 5. Relacionar continuidad y derivabilidad de una función en un punto. 6. Definir el concepto de función derivada y diferenciarlo del de derivada de una función en un punto. 7. Conocer y utilizar las principales reglas de derivación y las derivadas de las funciones más importantes. 8. Aplicar correctamente la regla de la cadena. 9. Aplicar las consecuencias del teorema del valor medio de Lagrange para determinar los intervalos de monotonía de una función y caracterizar sus extremos locales. 10. Determinar los posibles extremos absolutos de una función en un intervalo cerrado. 11. Concretar los intervalos de concavidad y convexidad de una función, así como sus puntos de inflexión. Derivada de una función en un punto. Recta tangente a una curva en un punto. Derivadas laterales de una función en un punto. Continuidad y derivabilidad de una función en un punto. Función derivada. Derivadas de las funciones elementales. Derivada de las operaciones con funciones. Regla de la cadena. Función creciente y función decreciente en un intervalo abierto. Extremos absolutos y relativos de una función. Puntos críticos de una función. Condiciones necesarias y suficientes para determinar la monotonía de una función y sus extremos locales. Teorema del valor medio de Lagrange. Concavidad y convexidad de una función en un intervalo abierto. Condiciones necesarias y suficientes para determinar la curvatura de una función y sus puntos de inflexión. Cálculo de la derivada de una función en un punto a partir de su definición. Cálculo de derivadas de funciones mediante las reglas de derivación, utilizando, si es preciso, la regla de la cadena. Obtención de la ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto. Estudio de la derivabilidad de una función en un punto. Determinación de parámetros en la expresión analítica de una función derivable. Matemáticas CC SS II 8

9 Obtención de derivadas sucesivas. Determinación de los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función. Obtención de los máximos y mínimos relativos de una función. Obtención de los extremos absolutos de una función en un intervalo cerrado. Determinación de los intervalos de concavidad y convexidad de una función. Obtención de los puntos de inflexión de una función. Disposición para la revisión y mejora de los procedimientos de derivación adquiridos en el curso anterior. Valoración de la aplicación del límite y la derivada a la determinación e interpretación de las propiedades locales de funciones habituales basadas en situaciones contextualizadas. Observación de las normas sistemáticas y de precisión que regulan los procedimientos de cálculo de derivadas. Actitud positiva y crítica ante las correcciones, entendiendo que es un proceso necesario para consolidar los contenidos trabajados en la unidad. Confianza en la capacidad propia para afrontar y resolver problemas relacionados con la derivabilidad de una función. Perseverancia en la búsqueda de soluciones a problemas planteados. Educación ambiental Muestra el aspecto instrumental de las matemáticas mediante ejemplos de aplicación a cálculos de diversas ciencias (sociales, naturales...). 1. Establecer cuándo una curva tiene recta tangente en un punto y calcularla. 2. Calcular, si existe, la derivada de una función en un punto, utilizando, si es preciso, derivadas laterales. 3. Determinar un parámetro para que una función sea derivable en un punto. 4. Derivar funciones simples y compuestas. 5. Hallar los puntos de la gráfica de una función en los que la recta tangente tiene una pendiente determinada. 6. Calcular intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función. 7. Distinguir, entre los puntos críticos de una función, cuáles son sus extremos. 8. Determinar los intervalos de concavidad y convexidad de una función y sus puntos de inflexión. 9. Aplicar la derivada a la determinación e interpretación de las propiedades locales de funciones en situaciones contextualizadas. UNIDAD 6: APLICACIONES DE LA DERIVADA 1. Aplicar el cálculo de extremos absolutos y/o relativos en intervalos abiertos y/o cerrados para resolver problemas de optimización. 2. Determinar las principales características de una función a partir de su expresión analítica y del estudio de sus derivadas primera y segunda. 3. Establecer una sucesión de etapas para obtener la representación gráfica de una función, cuando dicha función lo permita. 4. Determinar las principales características de las funciones polinómicas, racionales, irracionales sencillas, trigonométricas sencillas y trascendentes sencillas. 5. Construir gráficas de funciones polinómicas y racionales, y de algunas otras funciones muy sencillas de tipo trascendente. Extremos absolutos de una función en un intervalo cerrado. Extremos relativos de una función en un intervalo abierto o en un intervalo cerrado. Características generales de una función: dominio, continuidad, signo, simetría y periodicidad. Asíntotas de una función. Matemáticas CC SS II 9

10 Relación entre la derivada primera de una función y su monotonía. Extremos relativos de una función. Relación entre la derivada segunda de una función y su curvatura. Puntos de inflexión de una función. Dado un problema en el que es necesario optimizar una función, determinación de su expresión analítica a partir de los datos del enunciado en función de la variable para la cual se desea averiguar los extremos de dicha función, así como en qué intervalo es necesario averiguarlos. Determinación de máximos y mínimos absolutos de una función en un intervalo cerrado. Determinación de máximos y mínimos relativos de una función en un intervalo abierto o en un intervalo cerrado, a partir de la obtención de los puntos críticos de la función en dicho intervalo y del estudio del signo de la función derivada. Determinación de máximos y mínimos relativos de una función en un intervalo abierto o en un intervalo cerrado, a partir de la obtención de los puntos críticos de la función en dicho intervalo y del criterio de la derivada segunda. Dada la expresión analítica de una función, determinación de su dominio, simetría, periodicidad, continuidad y signo. Determinación de las ecuaciones de las asíntotas de una función mediante el cálculo de límites. Obtención de los intervalos de crecimiento de una función a partir del cálculo de su derivada primera y del estudio de su signo, así como de sus extremos relativos. Obtención de los intervalos de concavidad y convexidad de una función a partir del cálculo de su derivada segunda y del estudio de su signo, así como de sus puntos de inflexión. Elaboración de un cuadro resumen que recoja toda la información que se ha obtenido a partir de las expresiones analíticas de f, f' y f''. Construcción de la gráfica a partir de la información obtenida de f, f' y f''. Análisis de gráficas de funciones y determinación de sus principales características. Valoración de la importancia del cálculo diferencial en la resolución de problemas prácticos. Disposición a la revisión y mejora de los procedimientos analíticos adquiridos en estadios anteriores al proceso de aprendizaje. Gusto por la presentación clara y ordenada de los resultados obtenidos en el proceso de la representación gráfica de funciones. Valoración de la utilidad de la representación gráfica de funciones. Interés y respeto por los procedimientos y soluciones distintos de los propios. Perseverancia en la búsqueda de soluciones a los problemas planteados. Valoración de los recursos que pueden proporcionar las calculadoras gráficas o los programas que visualizan gráficas de funciones. Educación ambiental Muestra el aspecto instrumental de las matemáticas mediante ejemplos de aplicación a cálculos de diversas ciencias (sociales, de la naturaleza, etcétera). 1. Dado un problema de optimización, determinar la función que se ha de optimizar y calcular qué valor alcanza en el extremo deseado. 2. Determinar el dominio, la continuidad y el signo de una función. 3. Aplicar el cálculo de límites a la obtención de las asíntotas de una función. 4. Averiguar los puntos críticos de una función y establecer sus intervalos de monotonía. Decidir qué puntos son extremos relativos de una función. 5. Concretar los intervalos de concavidad y de convexidad de una función a partir del estudio del signo de su derivada segunda. Localizar los puntos de inflexión, si los hay. 6. Realizar la representación gráfica de una función sencilla, f, a partir de los f, f' y f'', y del conocimiento de sus asíntotas. Matemáticas CC SS II 10

11 PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA UNIDAD 7: PROBABILIDAD 1. Expresar los resultados de fenómenos y experimentos aleatorios. 2. Distinguir los tipos de sucesos: elemental, compuesto, seguro, nulo, contrario, sucesos compatibles y sucesos incompatibles. 3. Operar con sucesos: unión, intersección y leyes de De Morgan. 4. Comprender la probabilidad a posteriori: ley de los grandes números. 5. Utilizar técnicas de recuento para asignar probabilidades y aplicar la ley de Laplace. 6. Comprender la definición axiomática de probabilidad y calcular probabilidades de sucesos compuestos. 7. Calcular probabilidades condicionadas, ayudándose, si es preciso, de diagramas en árbol. 8. Diferenciar sucesos dependientes e independientes. 9. Comprender la idea de probabilidad total. 10. Discernir cuándo se ha de aplicar el teorema de Bayes. Experimento aleatorio. Suceso. Espacio de sucesos de un experimento aleatorio. Frecuencia relativa: ley de los grandes números. Probabilidad. Regla de Laplace. Definición axiomática de probabilidad. Propiedades. Probabilidad condicionada por un suceso. Probabilidad compuesta. Independencia de sucesos. Probabilidad total y teorema de Bayes. Representación del espacio de sucesos asociado a un experimento aleatorio. Utilización del álgebra de sucesos para calcular probabilidades de sucesos compuestos a partir de las de los sucesos elementales. Empleo de las frecuencias relativas para calcular probabilidades. Utilización de elementos conocidos por el alumno: dados, cartas, fichas de dominó... para aplicar con mayor facilidad la ley de Laplace. Utilización de la fórmula de la probabilidad condicionada. Utilización de la fórmula de la probabilidad compuesta en sucesos dependientes e independientes. Aplicación de la expresión de la probabilidad total. Aplicación del teorema de Bayes cuando sea necesario. Utilización de los diagramas en árbol siempre que faciliten la resolución del problema. Valoración de la importancia de la probabilidad en las ciencias sociales. Curiosidad e interés por resolver situaciones en las que interviene el azar. Disposición crítica hacia algunas valoraciones probabilísticas que se realizan desde diversos medios de comunicación. Valoración de la importancia del azar en la vida cotidiana. Educación moral y cívica El estudio de la probabilidad contribuye a desarrollar el rigor en los conceptos, al mismo tiempo que la flexibilidad para mantener o modificar el criterio personal para resolver problemas matemáticos. Rigor y flexibilidad son aspectos complementarios útiles para enfocar los problemas ciudadanos que se plantean cotidianamente. 1. Expresar el espacio de sucesos correspondiente a un experimento o fenómeno aleatorio. 2. Aplicar el álgebra de sucesos para calcular probabilidades de sucesos compuestos. 3. Deducir la probabilidad de un suceso en función de su frecuencia relativa. Matemáticas CC SS II 11

12 4. Asignar probabilidades a sucesos correspondientes a fenómenos aleatorios, simples y compuestos, utilizando técnicas de recuento, aplicando conocimientos de combinatoria y decidiendo cuál de los procedimientos para el cálculo de probabilidades debe aplicarse. UNIDAD 8: ESTADÍSTICA INFERENCIAL.MUESTREO. ESTIMACIÓN PUNTUAL 1. Distinguir entre población y muestra. 2. Conocer y comprender los distintos tipos de muestreo. 3. Estudiar la representatividad de una muestra. 4. Comprender el concepto de intervalo característico de una distribución normal cualquiera y el de una distribución normal tipificada. 5. Comprender el concepto de intervalo característico para una distribución binomial. 6. Estudiar el teorema central del límite. 7. Aproximarse al concepto de inferencia estadística. Población y muestra. Parámetros poblacionales y muestrales. Distribuciones muestrales (de medias y de proporciones). Teorema central del límite. Nivel de confianza. Nivel de significación. Estimaciones por intervalos de confianza. Elección de una muestra aleatoria. Estudio de la representatividad de la muestra. Cálculo de la media y la desviación típica de una muestra aplicando el teorema central del límite. Cálculo del intervalo de confianza con un nivel de significación dado. Cálculo del tamaño de una muestra necesario para una determinada estimación. Cálculo del error en una estimación en función del tamaño de la muestra. Valoración de la necesidad del muestreo para estudiar una población. Valoración de la importancia de realizar una buena elección de una muestra: una muestra pequeña bien elegida puede ser muy representativa de una población por grande que sea esta. Reconocimiento de las importantes aplicaciones del muestreo en la vida cotidiana y en las Ciencias Sociales. Educación ambiental En la Conferencia Intergubernamental de Educación Ambiental, celebrada en 1977 en Tiblisi, se definió la Educación ambiental en los siguientes términos: «El proceso a través del cual se aclaran los conceptos sobre los procesos que suceden en el entramado de la naturaleza, facilitan la comprensión y valoración del impacto de las relaciones entre el hombre, su cultura y los procesos naturales, y, sobre todo, se alienta un cambio de valores, actitudes y hábitos que permitan la elaboración de un código de conducta con respecto a las cuestiones relacionadas con el medio ambiente». Para facilitar la consecución de este aspecto educativo, se presentan problemas de aplicación de las matemáticas al conocimiento y al tratamiento de las ciencias sociales. 1. Determinar el tipo de muestreo más adecuado para extraer información de una población. 2. Determinar intervalos característicos de una distribución normal cualquiera y de una distribución normal tipificada. 3. Determinar intervalos característicos de una distribución binomial, aproximándola por una normal. 4. Aplicar el teorema central del límite. Matemáticas CC SS II 12

13 5. Determinar intervalos de confianza para las medias muestrales. 6. Determinar intervalos de confianza para el parámetro p de una distribución binomial. 7. Relacionar el error cometido en un cálculo con el tamaño de la muestra. UNIDAD 9: ESTADÍSTICA INFERENCIAL. ESTIMACIÓN POR INTERVALOS.PRUEBAS DE HIPÓTESIS 1. Plantear las hipótesis nula y alternativa. 2. Decidir si el contraste de hipótesis es unilateral o bilateral. 3. Decidir si el contraste de hipótesis debe realizarse con la media de la distribución o con la proporción. 4. Realizar el contraste de hipótesis para un nivel de significación dado. 5. Tomar decisiones en función de los resultados obtenidos. Nivel de confianza. Hipótesis nula. Hipótesis alternativa. Nivel de significación. Región de aceptación. Región de rechazo. Errores del tipo I y del tipo II. Planteamiento de las hipótesis estadísticas. Determinación de si el contraste de hipótesis es unilateral o bilateral. Determinación de si el contraste de hipótesis debe hacerse con la media o con la proporción. Determinación de las regiones de aceptación de una hipótesis estadística. Aceptación o rechazo de una hipótesis estadística con un nivel de significación dado. Comprensión de los tipos de errores que se pueden cometer en el contraste de hipótesis. Valoración de la estadística como instrumento importante para contrastar una afirmación sobre algunas características de una población, analizando una muestra aleatoria. Valoración del contraste de hipótesis como herramienta para tomar decisiones. Educación sexual Esta unidad está íntimamente relacionada con la educación de la afectividad y permite el desarrollo integral de las personas. El material de Matemáticas contribuye a este tema de manera indirecta. A través de actividades de grupo que facilitan la relación interpersonal y el respeto mutuo, además de ejercicios en contextos de igualdad entre sexos. 1. Plantear hipótesis nulas y alternativas. 2. Decidir si el contraste de hipótesis debe ser unilateral o bilateral. 3. Decidir si el contraste de hipótesis debe hacerse con la media de la distribución estadística o con la proporción. 4. Determinar la región de aceptación o de rechazo de una hipótesis estadística. 5. Aceptar o rechazar la hipótesis. D) SECUENCIACIÓN Y TEMPORALIZACIÓN DE LAS MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CC SS II Matemáticas CC SS II 13

14 UNIDADES DIDÁCTICAS 1ª Evaluación (álgebra y análisis) 2ª Evaluación (análisis probabilidad) 3ª Evaluación (estadística) y U1 U2 U3 U4 U5 U6 U7 U8 U9 X X X X X X X X X Matemáticas CC SS II 14