Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada

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1 Ju Atoio Goále Mot Profesor de Mtemátis del Colegio Ju XIII Zidí de Grd ESPACIOS VECTORIALES CONCEPTO DE ESPACIO VECTORIAL. Se V u ojuto ulquier R el ojuto de úmeros reles. E V defiimos dos lees de omposiió: u iter (sum V V V respeto de l ul tiee estrutur de GRUPO CONMUTATIVO es deir que verifi ls siguietes propieddes:. Asoitiv: u ( v w ( u v w u v w V. Comuttiv: u v v u u v V. Elemeto eutro o ulo: u u u u V 4. Elemeto simétrio u opuesto: u V u' V / u u' u' u otr eter (produto por u úmero rel R V V que verifi ls siguietes propieddes:. Distriutiv pr l sum de V: ( u v u v R. Distriutiv pr l sum de úmeros reles: ( u u u R u v R u V. Pseudosoitiv o soitiv mit: ( u ( u R u V 4. El elemeto uidd de R es elemeto uidd de l le eter: u u u V Co todo esto V tiee estrutur de ESPACIO VECTORIAL sore el uerpo de úmeros reles. A los elemetos del ojuto V se les llm "vetores" los úmeros reles "eslres". El espio vetoril es rel porque e l le de omposiió eter utilimos elemetos del ojuto de úmeros reles. EJEMPLOS de ojutos que tiee estrutur de espio vetoril. EL CONJUNTO R E el ojuto R R R {( / R} defiimos ls operioes: SUMA: ( ( ' ' ( ' ' PRODUCTO: ( ( ESPACIOS VECTORIALES

2 Ju Atoio Goále Mot Profesor de Mtemátis del Colegio Ju XIII Zidí de Grd Vmos pror que R o ls operioes defiids tiee estrutur de espio vetoril. Pr ello tedremos que ver que se umple tods ls propieddes eumerds teriormete: RESPECTO DE LA SUMA:. Asoitiv: ( [( ' ' ( '' '' ] [( ( ' ' ] ( '' '' ( [( ' ' ( '' '' ] ( ( ' '' ' '' ( ( ' '' ( ' '' por l propiedd soitiv de los úmeros reles: (( ' ''( ' '' {por l defiiió de sum e ( ' ' ( '' '' {por l defiiió de sum e [( ( ' ' ] ( '' ''. Comuttiv: ( ( ' ' ( ' ' ( ( ( ' ' {por l defiiió de sum e por l omuttividd de los úmeros reles: ( ' ' {por l defiiió de sum e R } R } R } ( ' ' R } ( ' ' (. Eistei del elemeto eutro o ulo: ( ( ' ' ( ' ' ( ( Trtemos de usr ul es el elemeto eutro o ulo: ( ( ' ' ( Por l defiiió de l sum: ( ( ' ' ( ' ' Pr que dos elemetos de R se igules se tiee que verifir que se igules d u de sus ompoetes. Así: ' ' ' ' E oseuei el elemeto eutro de l sum de 4. Eistei de elemeto simétrio u opuesto: Tedremos: R es el elemeto (. ( R ( ' ' R / ( ( ' ' ( (elemeto eutro ( ( ' ' ( ( ' ' ( E oseuei el elemeto simétrio de ' ' ( será (. ' ' Co todo esto R o l operió sum CONMUTATIVO. { R } tiee estrutur de GRUPO RESPECTO DEL PRODUCTO POR UN NÚMERO REAL: ESPACIOS VECTORIALES

3 Ju Atoio Goále Mot Profesor de Mtemátis del Colegio Ju XIII Zidí de Grd. Distriutiv respeto de l sum de R : [( ( ' ' ] ( ( ' ' R ( ( ' ' R E efeto: [( ( ' ' ] {por l sum de R } ( ' ' {por l le eter de R } ( ( ' ( ' {por l distriutividd del produto de R} ( ' ' {por l le iter} ( ( ' ' {por l le eter} ( ( ' '. Distriutiv respeto de l sum de úmeros reles: E efeto: ( ' ( ( ' ( ' R ( R { por l le eter de R } (( ' ( ' ( ' ( {por l distriutividd del produto de R} ( ' ' {por l le iter} ( ( ' ' {por l le eter} ( ' (. Pseudosoitiv o soitiv mit: [ ' ( ] ( ' ( ' R ( R E efeto: [ ' ( ] {por l le eter} ( ' ' {por l le eter} ( ( ' ( ' {Por l soitividd del produto de úmeros reles} ((. ' (. ' {por l le eter} (. ' ( 4. Elemeto eutro del produto etero:.( ( ( R E efeto:.( { por l le eter } (.. ( puesto que el úmero rel es el elemeto eutro del produto de úmeros reles. E oseuei { R R} tiee estrutur de espio vetoril rel. EL CONJUNTO R. Defiimos el ojuto R de l siguiete form: R R R R Se defie e él ls misms operioes que e R : {( / R} SUMA: ( ( ' ' ' ( ' ' ' PRODUCTO POR UN NÚMERO REAL:.( ( R ( R ESPACIOS VECTORIALES

4 Ju Atoio Goále Mot Profesor de Mtemátis del Colegio Ju XIII Zidí de Grd De álog mer omo hemos trjdo e umple ls misms propieddes e R. E geerl podemos demostrr que el ojuto vetoril rel. podrímos ompror que se ESPACIOS VECTORIALES 4 R R tiee estrutur de espio Otros ojutos que tmié tiee estrutur de espio vetoril so: El ojuto de úmeros omplejos El ojuto de poliomios e u idetermid. El ojuto de fuioes reles. PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES. Además de ls propieddes eesris pr l estrutur de espio vetoril ls operioes defiids e los mismos umple ls siguietes: u ulquier que se el vetor u de V. ulquier que se el úmero rel. u o u ( u ( u ( u SUBESPACIOS VECTORIALES. Se V u espio vetoril rel. Se llm suespio vetoril de V todo suojuto W de V que respeto de ls lees de omposiió de V teg estrutur de espio vetoril es deir { W R} es suespio vetoril de V si W V { W R} es u espio vetoril. Es evidete que todo espio vetoril V dmite siempre l meos dos suespios vetoriles: el propio espio V el suespio formdo elusivmete por el vetor ulo. Estos suespios reie el omre de suespios triviles o impropios. Culquier otro si eiste reie el omre de suespio propio. Crteriió de suespios L odiió eesri sufiiete pr que u suojuto W del espio vetoril { W R} se u suespio vetoril es que verifique u v W R u v W" COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES. Se die que u vetor u V es omiió liel de los vetores u u u u de V si eiste uos eslres λ λ λ λ que os permit epresr el vetor de l form: u λ u λ u λ u λ Se S { u u u u } u ojuto de vetores del espio vetoril V se L(S el ojuto de tods ls omiioes lieles que podmos formr o los vetores u

5 Ju Atoio Goále Mot Profesor de Mtemátis del Colegio Ju XIII Zidí de Grd de S. Se puede demostrr que L(S o ls operioes de V es u espio vetoril por tto serí u suespio vetoril de V. A prtir de l propi defiiió su dedue que: Todo vetor es omiió liel de sí mismo puesto que u u. El vetor ero es omiió liel de ulquier ojuto de vetores puesto que siempre tedremos l posiilidd de que todos los eslres se ero: u u u u El prolem que se plterí otiuió serí estudir si prte de est eiste otrs omiioes lieles del vetor ulo. Este prolem os llev estudir l DEPENDENCIA LINEAL DE VECTORES. Se die que los vetores u u u u de u espio vetoril V so lielmete depedietes si eiste úmeros reles λ λ λ λ o todos simultáemete ulos tles que verifique que λ u λ u λ u λ u E so de que todos los eslres se ulos los vetores so lielmete idepedietes. PROPOSICIÓN Si vetores so lielmete depedietes l meos uo de ellos se puede oteer prtir de los resttes. E efeto osideremos que los vetores u u u u so lielmete depedietes. Teiedo e uet est hipótesis eistirá eslres o todos ulos tles que λ u λ u λ u λ u De etre todos los eslres l meos h uo que o es ero. Supogmos que λ despejemos u λ λ λ : u u u u λ λ λ o lo ul por lo meos uo de ellos u qued epresdo e fuió de los resttes. Se die e este so que el vetor u es omiió liel de los resttes vetores. L reípro de est proposiió tmié es iert: Si u vetor es omiió liel de otros el ojuto formdo por todos ellos es lielmete depediete. EJEMPLOS. ESPACIOS VECTORIALES

6 Ju Atoio Goále Mot Profesor de Mtemátis del Colegio Ju XIII Zidí de Grd Compror l depedei de los vetores ( ( (4. Pr estudir l depedei o idepedei de estos vetores estleemos l.l. de ellos:.(.(.(4 ( Operdo e idetifido oteemos el sistem: Resolviedo el sistem oteido: 4 4.( Como 4 4 Pr d vlor que le diérmos "" otedrímos otros vlores pr "" pr "" (podrímos teer vlores pr distitos de ero. E oseuei los vetores so lielmete depedietes. Compror l depedei de los vetores ( (. Pr estudir l depedei o idepedei de estos vetores estleemos l.l. de ellos:.(.( ( Operdo e idetifido oteemos el sistem: Resolviedo el sistem oteido:.( 6 7 Como E oseuei los vetores so lielmete idepedietes. Compror l depedei de los vetores ( ( (. Estleemos l omiió liel de ellos: ( ( ( ( Operdo e idetifido ompoete ompoete oteemos: resolviedo otiuió el sistem resultte. Despejmos e l primer euió: sustituimos e l terer queddo u sistem de dos euioes o dos iógits: ( Result que ls dos euioes del sistem so igules por lo que podemos quedros o u sol euió despejr u iógit e fuió de l otr: ESPACIOS VECTORIALES 6

7 Ju Atoio Goále Mot Profesor de Mtemátis del Colegio Ju XIII Zidí de Grd Llevdo el vlor oteido dode teímos despejd l "" os qued: ( 4 Pr d vlor que le diérmos "" otedrímos otros vlores pr "" pr "" (podrímos teer vlores pr distitos de ero. E oseuei los vetores so lielmete depedietes. SISTEMA GENERADOR DE UN ESPACIO VECTORIAL. Se V u espio vetoril rel G { u u u u p} u ojuto de vetores de V. Se die que G es u SISTEMA GENERADOR del espio vetoril V si ulquier vetor del espio V se puede epresr omo omiió liel de los vetores de G: u λ u λ u λ u λ p u p Se G { u u u u p u p } u sistem geerdor de V. Si u p es omiió liel de los resttes vetores de G el sistem resultte de suprimir u G u u u u } es tmié u sistem geerdor de V. p { EJEMPLOS. p Se C el ojuto de los úmeros omplejos osideremos el espio vetoril { C R}. Demostrr que el ojuto G { i i} form u sistem geerdor del espio vetoril { C R}. Pr demostrr que es u sistem geerdor de C tedremos que pror que ulquier omplejo de l form i se puede epresr omo omiió liel de los omplejos de uestro ojuto: i.( i.( i Pr que se umpl l odiió terior tedremos que eotrr los eslres que os d l vetor omo.l. de los vetores de G. Operdo e C teemos: i ( (. i Resolviedo el sistem resultte oteemos: Sumdo ls euioes:. Restdo ls euioes:. E oseuei omo hemos eotrdo depediedo de (los fijos del omplejo ulquier omplejo lo podremos epresr omo omiió liel de los omplejos de uestro ojuto G por tto form u sistem geerdor pr C. ESPACIOS VECTORIALES 7

8 Ju Atoio Goále Mot Profesor de Mtemátis del Colegio Ju XIII Zidí de Grd Demostrr que el ojuto de vetores {( (-} R es u sistem geerdor de R (R. Cosideremos u elemeto ulquier ( perteeiete R vemos si lo podemos epresr omo omiió liel de los vetores de uestro ojuto:.... ( (.(.( ( Resolvemos el sistem resultte: Despejmos e l primer euió l sustituimos e l segud:...(. Sustituedo el vlor oteido e os qued:.(. E oseuei uestro ojuto de vetores form u sistem geerdor pr R. Demostrr que el ojuto de vetores {( ( (} R es u sistem geerdor de R (R. Cosideremos u elemeto ulquier ( perteeiete R vemos si lo podemos epresr omo omiió liel de los vetores de uestro ojuto: ( (.(...(.( ( Idetifido ompoete ompoete os qued el sistem: Resolvemos el sistem oteido: 4.(.( Sustituedo este vlor de e dode teímos despejd os qued: Sustituedo e los vlores de oteemos: ESPACIOS VECTORIALES 8

9 Ju Atoio Goále Mot Profesor de Mtemátis del Colegio Ju XIII Zidí de Grd.( ( E oseuei omo hemos podido eotrr los eslres que os d u vetor ulquier de R omo.l. de los vetores de uestro ojuto se dedue que éste form u sistem geerdor de R (R. BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL. U ojuto de vetores B u u u u } V es u BASE del espio vetoril V si se verifi que: EJEMPLOS. { B es u sistem geerdor de V. Los vetores de B so lielmete idepedietes. Demostrr que el ojuto de vetores {( (} R es u se de R (R. Como hemos demostrdo e los ejemplos teriores que este ojuto de vetores form u sistem geerdor pr R pr pror que es u se tedremos que demostrr que los vetores so lielmete idepedietes: Pr estudir l depedei o idepedei de estos vetores estleemos l.l. de ellos: ( ( ( Operdo e idetifido oteemos el sistem: Resolviedo el sistem oteido: Como.( 4 E oseuei los vetores so lielmete idepedietes por tto uestro ojuto de vetores es u se de R. E geerl podrímos demostrr que ulquier prej de elemetos de R que o se proporioles form u se de diho espio vetoril. Por tto tedrímos ifiits ses pr el espio vetoril R (R; l más seill de tods ells es l formd por los vetores {( (} que reie el omre de BASE CANÓNICA de R (R. Demostrr que el ojuto de vetores {( ( (} R es u se de R (R. Como hemos demostrdo e los ejemplos teriores que este ojuto de vetores form u sistem geerdor pr R (R pr pror que es u se teemos que demostrr que los vetores so lielmete idepedietes: ESPACIOS VECTORIALES 9

10 Ju Atoio Goále Mot Profesor de Mtemátis del Colegio Ju XIII Zidí de Grd ( ( (.(...(.( Idetifido ompoete ompoete os qued el sistem: Resolvemos el sistem oteido: 4.(.( Sustituedo e oteemos sustituedo los dos vlores oteidos e os qued tmié que. Por tto uestro ojuto de vetores form u se de R (R. E geerl podemos demostrr que tod ter de vetores de R (R que se l.i. form u se de diho espio vetoril. E oseuei tedrímos ifiits ses pr el espio vetoril R (R; l más seill de tods es l formd por los vetores {(((} que reie el omre de BASE CANÓNICA de R (R. Por tto todo espio vetoril V que esté geerdo por u úmero fiito de vetores tiee u se. TEOREMA DE LA BASE. Tods ls ses de u mismo espio vetoril tiee el mismo úmero de elemetos. Gris esto podemos euir el siguiete resultdo: DIMENSIÓN DE UN ESPACIO VECTORIAL. Se llm dimesió de u espio vetoril V l úmero de vetores que tiee u ulquier de sus ses. A l dimesió del espio V l desigremos por. dimv EJEMPLOS:. L dimesió del espio R (R es dos puesto que l se está formd por dos vetores.. L dimesió del espio R (R es tres puesto que l se está formd por tres vetores. ESPACIOS VECTORIALES

11 Ju Atoio Goále Mot Profesor de Mtemátis del Colegio Ju XIII Zidí de Grd COORDENADAS DE UN VECTOR RESPECTO DE UNA BASE. Se V(R u espio vetoril rel de dimesió osideremos u se B u u u u } V { Se llm oordeds del vetor u respeto de l se B l ojuto de eslres que os permite epresr el vetor omo omiió liel de los vetores de l se es deir u u u u PROPOSICIÓN. u "Ls oordeds de u vetor respeto de u se so úis". E efeto: Supogmos que el vetor u tiee dos oordeds distits respeto de l mism se B es deir que el vetor lo podremos epresr medite dos omiioes lieles distits de l mism se: u u u u u u u u u u Restdo ms epresioes oteemos: ( u ( u ( u ( u Puesto que los vetores de l se so l.i. los eslres de l.l. oteid dee de ser ulos por lo que: e oseuei Por tto ls oordeds de u vetor respeto de l se B so úis. Hllr ls oordeds de los vetores de l se ói respeto de l se formd por los vetores {( ( (}. Pr lulr ls oordeds de los vetores de l se ói respeto de l se dd tedremos que lulr los eslres que os d d uo de los vetores de l se ói omo.l. de los vetores de l se {( ( (}. Tomemos el primer vetor de l se ói ( vmos epresrlo omo.l. de l se propuest. Tedremos: (.(.(.( ( ( Idetifido ompoete ompoete oteemos: ESPACIOS VECTORIALES

12 Ju Atoio Goále Mot Profesor de Mtemátis del Colegio Ju XIII Zidí de Grd Resolviedo el sistem (despejmos e fuió de : Por tto ls oordeds del vetor ( respeto de l se dd será. ( Operdo de idéti form o los vetores ( ( otedrímos ls oordeds de ellos. ESPACIOS VECTORIALES

13 Ju Atoio Goále Mot Profesor de Mtemátis del Colegio Ju XIII Zidí de Grd EJERCICIOS PROPUESTOS.. Se W {( R} W R. Demostrr que W es u suespio vetoril de { R R}.. Demostrr que l iterseió de dos suespios vetoriles de V es otro suespio vetoril de V.. Compror si los vetores u ( v ( 4 de R so lielmete idepedietes. Compror si los vetores u ( v ( de R so lielmete idepedietes. 4. Hllr el vlor de pr que los vetores u ( v ( w ( del espio vetoril { R R} se lielmete depedietes.. Se u espio vetoril { V R}. Demostrr que si los vetores u v w so lielmete idepedietes etoes { u v v w w u} tmié so lielmete idepedietes. 6. Se u espio vetoril { V R}. Demostrr que si los vetores u v w so lielmete idepedietes etoes { u u v u v w} tmié so lielmete idepedietes. 7. Hllr l odiió que dee umplir el vetor R juto o los vetores ( (. ( R pr formr u se de 8. Hllr u vetor de { R R} us oordeds respeto de l se B formd por los vetores {( (( } se: ( ( ( (. 9. Perteee el vetor ( 7 l suespio egedrdo por ( (?. Determi los vlores de pr que el vetor ( 4 se omiió liel de los vetores ( (.. Determi pr que los vetores ( ( ( 46 4 forme u espio uidimesiol.. Se u u u u4 R. Puede { u u u u4} sistem geerdor? formr u se de R? Y u ESPACIOS VECTORIALES

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