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1 Selectividad CCNN 00. [ANDA] [JUN-B] Considera la función f: definida por f() = (+)e -. (a) Halla las asíntotas de la gráfica de f. (b) Determina los etremos de f y los puntos de infleión de su gráfica. (c) Esboza la gráfica de f. ln(+) - sen. [ANDA] [SEP-A] Calcula lim, siendo ln(+) el logaritmo neperiano de +. 0 sen. [ANDA] [SEP-A] Sea f: la función definida por f() = e. (a) En qué punto de la gráfica de f la recta tangente a ésta pasa por el origen de coordenadas? Halla la ecuación de dicha recta tangente. (b) Calcula el área del recinto acotado que está limitado por la gráfica de f, la recta tangente obtenida y el eje de ordenadas. 4. [ANDA] [SEP-B] Estudia la derivabilidad de la función f: definida por: f() = si - y, - 0 si = - o =. 5. [ARAG] [JUN-A] Determinar un polinomio de tercer grado sabiendo que pasa por los puntos (0,0) y (-,) y que los dos son etremos y analizar la naturaleza de ambos etremos, es decir, si son máimos o mínimos. 6. [ARAG] [JUN-B] Sea la parábola f() = a +b+c. Determinar sus coeficientes, sabiendo que: a) Pasa por el origen de coordenadas tangencialmente a la bisectriz del primer cuadrante y tiene un etremo en = -0,5. b) Determinar la naturaleza del etremo anterior. 7. [ARAG] [SEP-A] Determinar el dominio, ceros y etremos de la función f() = ln. 8. [ARAG] [SEP-B] Sea la función f() = sen y sea T la recta tangente a su gráfica en =. Determinar: a) La ecuación de T. b) El área encerrada entre T y los ejes coordenados. 9. [ASTU] [JUN] Sea la función y = -. a) Indicar su dominio, intervalos de crecimiento y decrecimiento, puntos de infleión y asíntotas. b) Realizar una representación gráfica aproimada de la misma. e --cos 0. [C-LE] [JUN-A] Calcular lim 0 sen. [C-LE] [JUN-B] a) Halla a y b para que la función siguiente sea continua en = 0: f() = b) Hallar a y b para que f() sea derivable en = 0. ln(e+sen) si < 0 +a+b si 0. c) Calcular f' -.. [C-LE] [SEP-A] Calcular lim ln(+)-ln. [C-LE] [SEP-A] Hallar los puntos de la gráfica de f() = - + en los que la tangente a la curva es paralela a la recta y =. 5 de diciembre de 009 Página de 5

2 Selectividad CCNN [C-LE] [SEP-B] Utilizando la definición de derivada, estudiar la derivabilidad de la función f() = - en =. 5. [C-MA] [JUN] El perímetro de la ventana del dibujo mide 6 metros. Los lados superiores forman entre sí un ángulo de 90º. Calcular la longitud de los lados a y b para que el área de la ventana sea máima. 6. [C-MA] [JUN] Enuncia la regla de L'Hôpital. Calcula el siguiente límite: lim 0 L(+) -. (L = Logaritmo neperiano) 7. [C-MA] [JUN] Determina las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal (recta perpendicular a la tangente) en el punto de abscisa 0, a la gráfica de la función dada por f() = e [C-MA] [SEP] En un semicírculo de radio 0 m se quiere inscribir un rectángulo, uno de cuyos lados esté sobre el diámetro y el opuesto a él tenga sus etremos en la parte curva. Calcula las dimensiones del rectángulo para que su área sea máima. 9. [C-MA] [SEP] Dada la función f: definida por f() = -6 +5: a) Halla las coordenadas del punto de infleión. b) Halla las coordenadas de los puntos de corte con el eje de abscisas. c) Determina las ecuaciones de las rectas tangentes a f() en el punto de infleión y en el origen de coordenadas. 0. [C-MA] [SEP] Sea la función f: dada por f() = -4+ si -4 si > a) Define continuidad de una función en un punto. b) En qué puntos es continua la función f()? c) En qué puntos es derivable la función f()? d) Si una función no es continua en un punto, puede ser derivable en él?. [CANA] [JUN-A] Se pide trazar razonadamente la gráfica de una cierta función f() que tiene las siguientes propiedades: a) Está definida para todo valor de, ecepto = -4 y = 4. b) Es decreciente cuando < 0 y creciente cuando > 0. c) La gráfica pedida es simétrica respecto al eje vertical.. [CANA] [JUN-B] La gráfica que aparece en la figura representa la derivada deuna cierta función g(). Describir a partir de ella los intervalos de concavidad y conveidad, así como sus puntos de infleión y máimos y mínimos.. [CANA] [SEP-A] Hacer un esquema de la gráfica de una función f() que cumpla las siguientes propiedades: a) Tiene dos asíntotas verticales: = - y =. b) Para, se cumple f() 0. c) f(-4) = f(4) = 5 6. d) Es creciente en (-,-) (-,0) y decreciente en (0,) (,+ ). 5 de diciembre de 009 Página de 5

3 Selectividad CCNN 00 e) f(0) = 0 y f'(0) = [CANA] [SEP-A] De todos los triángulos rectángulos cuyos catetos suman 5 cm, halla las dimensiones del que tiene área máima. 5. [CANA] [SEP-B] De la función f() definida por f() = derivable en todos los puntos donde esté definida. sen, < 0 - +a+b, 0 determianr los valores de a y b para que resulte 6. [CATA] [JUN] Queremos unir el punto M en un lado de una callede m de ancho con el punto N situado en el otro lado de la calle y9m más abajo mediante dos cables rectos, uno desde M hasta unpunto P situado al otro lado de la calle y otro desde P hasta N siguiendoel mismo lado de la calle, según el esquema. El coste de la instalación del cable MP es de euros por metro y el del cable PN de 6 euros por metro. Qué punto P tendremos que escoger de maneraque la coneión de M con N sea lo más económica posible? Cuál será este coste mínimo? 7. [CATA] [JUN] Calcule las ecuaciones de las dos rectas del plano que pasan por el punto P = (,-) y que son tangentes a la curva de ecuación y = (-). 8. [CATA] [SEP] Un campo tiene forma de trapecio rectángulo, de bases 40 m y 400 m, y el lado perpendicular a las bases también de 400 m. Se quiere dividir tal como indica la figura para hacer dos campos rectangulares C y C. Llamemos e y a los catetos de uno de los triángulos rectángulos que se forman. a) Compruebe que y = 5. b) Utilizando la igualdad anterior, escriba la suma de las áreas de los dos campos en función de. c) El campo C se quiere sembrar con maíz y el campo C con trigo. Con el maíz se obtiene un beneficio de 0, euros por m y con el trigo un beneficio de 0,0 euros por m. Determine las medidas de cada uno de los campos para obtener el beneficio máimo. 9. [CATA] [SEP] Calcule el punto de la curva y = +- en el que la tangente es paralela a la recta y =. 0. [ETR] [JUN-A] Representar gráficamente la función f() = e -e, determinando sus etremos (máimos y mínimos relativos). Eiste algún valor de en que f() sea negativo?. [ETR] [JUN-B] Determinar una recta tangente a la parábola y = - que sea paralela a la recta de ecuación +y = 4.. [ETR] [SEP-A] Con un alambre de metros se desea formar un cuadrado y un círculo. Determinar el lado del cuadrado y el radio del círculo para que la suma de sus áreas sea mínima.. [ETR] [SEP-B] Determinar en qué puntos es negativa la derivada de la función f() = e [MADR] [JUN-A] Calcular los siguientes límites (donde "ln" significa logaritmo neperiano): 5 de diciembre de 009 Página de 5

4 Selectividad CCNN 00 ln cos() a) lim 0 ln cos() b) lim [MADR] [JUN-B] a) Dibujar la gráfica de la función g() = e -. b) Calcular el dominio de definición de f() = e - y su comportamiento para 8 y -8. c) Determinar (si eisten) los máimos y mínimos absolutos de f() en su dominio de definición. 6. [MURC] [JUN] Para la fabricación de determinado producto se necesita invertir dinero en contratar empleados y comprar máquinas. El dueño de la fábrica ha estimado que si compra máquinas y contrata y empleados, el número de unidades deproducto que podría fabricar vendría dado por la función f(,y) = 90y. Cada máquina le supone una inversión de 500 euros ycada contrato de un nuevo empleado otra de 500 euros. Si el empresario solo dispone de un presupuesto de 500 euros paraeste fin, determine el número de obreros que debe contratar y el número de máquinas que debe comprar para maimizar la producción. 7. [MURC] [JUN] Se considera la curva definida por la función f() =. Se pide: -4 a) Dominio de definición y cortes con los ejes. b) Simetrías. c) Asíntotas. d) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. e) Etremos de la función. f) Hacer una representación aproimada de la curva. 8. [MURC] [SEP] a) Si f es una función derivable en = a y f'(a) = 0, es seguro que f representa a un etremo relativo? Justifique la respuesta. b) Determine dos números no negativos cuya suma sea 00 y tales que la suma de sus cuadrados sea: i) Mínima. ii) Máima. 9. [MURC] [SEP] a) Definición de derivada de una función en un punto. b) Interpretación geométrica de la derivada. c) Encuentre las ecuaciones de las tangentes a la curva y = -+ que son paralelas a la recta y = [RIOJ] [JUN] Calcula lim (cos+sen) / [RIOJ] [JUN] UNa caja con tapa y base cuadrada debe tener un volumen de 60 cm. El precio del material utilizado para la base es de euros por cm y el utilizado para los lados y la tapa es de euros por cm. Calcular las dimensiones de la cja para que resulte lo más económica posible. 4. [RIOJ] [SEP] Estudia la derivabilidad de la función f() = sen si > 0 - si 0 4. [RIOJ] [SEP] Calcula las dimensiones del triángulo isósceles, inscrito en una circunferencia de radio, que tiene área máima. 44. [VALE] [JUN-B] Sea T un triángulo de perímetro 60 cm. Uno de los lados del triángulo T mide cm y los otros dos lados tienen la misma longitud. a) Deducir razonadamente las epresiones de las funciones A y f tales que: A() = Área del trinángulo T ; f() = {A()}. Indicar, además, entre qué valores puede variar. b) Obtener, razonadamente, el valor de para el que f() alcanza el valor máimo. 5 de diciembre de 009 Página 4 de 5

5 Selectividad CCNN [VALE] [SEP-A] En una gran pradera se tiene que vallar una zona de 400 m, que debe tener forma de rectángulo. Cada metro de valla cuesta 00 euros. Si es la medida en metros de uno de sus lados, se pide: a) Obtener razonadamente la función f tal que f() sea el coste de la valla, indicando entre qué valores puede variar. b) Deducir razonadamente el valor de para el que la función f() alcanza el valor mínimo. Soluciones 7. Máimo en -,e. Punto de infleión en (-,e) ma; 0: min. 6. a) f() = + b) mínimo 7. Dom: (0,+ ). Cero: =. Min: e,- e - altura: a) b =, a b) b = ; a = e. -. (a) Punto de la gráfica: (,e) Recta tangente: y - e = 0 8. a) y = - + b) 6 c) 0.. (0,0), (,-) 4. no 5., + + (b) e {-,} 5. P() = + ; -: 9. a) Dom: (0,]; decreciente en ; p.i: ; a.v: = 0 b) y = - ; y = base: 5 ; 9. a) (,-6) b) (0,0), (,0), (5,0) c) y = -7+8; y = 5 0. b) -{} c) -{} d) no. cóncava en (-,-'5) (0'5,'5); p.infl: -'5; 0'5; min: -; ma: 4. catetos de 7,5 cm. 5., 0 6.,7 m de la perpendicular desde M; 85,8 euros 7. y = -+ ; y = b) A = c) C : 0050; C : (0,) 0.. y = -+. r = +4 ; l = +4. (0,) 4. a) 9 4 b) 5. a) b) ; ; c) ma: (0,) 6. 8 e 8-8 e máquinas y 0 trabajadores. 7. a) -{-,} ; (0,0) b) eje O c) y = 0; = -; = d) crec: (0,+ ) e) ma: (0,0) f) a) no b) 50, 50 ; 0, c) y = 9+8; y = e 4. 5 cm 5 cm 6,4 cm 4. -{0} 4. equilátero de de lado 44. a) A() = 5(0-); f() = 5 (0-) ; 0< <0 b) f() = ; > 0 b) 0 5 de diciembre de 009 Página 5 de 5

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