Teóricas de Análisis Matemático (28) Práctica 6 L Hospital. x x. lim

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1 Teóricas de Análisis Matemático (8) Práctica 6 L Hospital Caso cero sobre cero Veamos tres problemas de límites conocidos: Práctica 6 Parte Regla de L Hospital sen(3) Los límites y se resuelven mediante técnicas algebraicas, multiplicar por el conjugado y factorizar los polinomios; en el 3, además, se utiliza que capítulo de límites sen() a, como vimos en el a Los tres límites tienen una característica en común En cada caso, está incluido un cociente y, tanto el numerador como el denominador, tienden a como su límite No se puede usar, en estos casos, que el límite del cociente es el cociente de los límites porque el límite del denominador es cero, y además, se llega a una indeterminación cero sobre cero En el problema, si multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del numerador que es, y simplificamos 3, podemos salvar la indeterminación y calcular el límite pedido: En el problema, el numerador es una diferencia de cuadrados y si en el denominador sacamos factor común, y simplificamos, podemos salvar la indeterminación y resolver el problema Área de Matemática Ciclo Básico Común Universidad de Buenos Aires

2 Teóricas de Análisis Matemático (8) Práctica 6 L Hospital En el problema 3, si multiplicamos el numerador y el denominador por 3, sacamos factor común 3 y utilizamos sena a sen 3, salvamos la indeterminación y podemos calcular el límite pedido 3sen 3 3 sen Pero este tipo de indeterminaciones se puede resolver utilizando la Regla de L Hospital que resulta como consecuencia del Teorema del valor medio de Caucy Teorema Regla de L Hospital: Si f () y () g son funciones continuas en un entorno de a, es decir, en un intervalo alrededor del punto, salvo quizás en el punto a, y con derivadas continuas f () en dico entorno, siendo g() cerca de a, () f () g y eiste el a a a g () entonces el ite f ()() f a g()() a g Demostración Supongamos que f y g son continuas en ( a,)( a,) aa, definimos: F() f () si a si a y g() si a G() si a F así definida resulta continua en el intervalo a, a que contiene a a, pues continua en ( a,)( a,) a a y como () F () () f F a, es continua en a a a Los mismos argumentos valen para la función G, con lo cual es continua en a, a F()() F a F() Por el Teorema del valor medio con a tal que G()()() G a G Tomando límite por dereca a entonces El límite por izquierda es igual, con lo cual, a y f () () f a g a g a a a f es f () F () () f g G g Volvamos a los 3 problemas y calculemos los límites con esta regla Área de Matemática Ciclo Básico Común Universidad de Buenos Aires

3 Teóricas de Análisis Matemático (8) Práctica 6 L Hospital Como en los 3 problemas ay un límite donde el numerador y denominador tienden a y las funciones cumplen con las ipótesis del teorema, podemos utilizarlo, derivando ambas funciones y analizando el límite de los cocientes de dicas derivadas Calculemos los límites utilizando la regla de L Hospital: sen3 3cos(3) 3 La Regla de L Hospital se puede utilizar para el cálculo de límites de cocientes de funciones donde ambas tienden a cero o infinito siempre y cuando las funciones cumplan con las ipótesis del teorema Ejemplo a) Calcular 9 5 ln 3 Ejemplo b) Calcular ln() sen(3) Al intentar evaluar los límites de los ejemplos a) y b) donde las funciones del numerador y del denominador tienden a cero obtenemos una indeterminación del tipo cero sobre cero (todas las funciones cumplen con las ipótesis de la regla de L Hospital) Ejercicio Calcular el límite del ejemplo a) 9 5 ln 3 Como las funciones f tienden a, al querer evaluar () 9 5 y g() ln( 3) son continuas en un entorno de cero y f () g () podemos utilizar la regla de L Hospital, pues se cumplen las ipótesis caemos en un caso de indeterminación cero sobre cero y Para poder resolver el límite, calculamos las derivadas de f () y () g o sea f () 9 y g(), luego acemos el cociente de ellas,o sea, 3 f () g () Esto es Área de Matemática Ciclo Básico Común Universidad de Buenos Aires 3

4 Teóricas de Análisis Matemático (8) Práctica 6 L Hospital ln Porque el numerador tiende a 5 y el denominador tiende a Podemos afirmar que el límite es 5 : 9 5 ln 3 5 Ejercicio Calcular el límite del ejemplo b) ln() sen(3) Como sabemos que las funciones ln() y sen(3) son continuas y con derivadas continuas en un entorno de, y tienden a, utilizamos la Regla de L Hospital Para ello, calculamos la derivada de ln() y de sen(3), o sea: f () y g() 3cos(3) y, al acer el cociente, obtenemos que ln() sen(3) 3cos(3) 3 Vemos que el límite es igual a 3 porque el numerador tiende a y el denominador tiende a 3 ln() sen(3) 3 La misma regla sirve también cuando tiende a infinito, es decir, que se puede aplicar no solo para los casos en que a y, sino también para el caso que Enunciado Si las funciones f y g son continuas y derivables, () f () g y eiste el límite f () g, entonces, f () () f g g Área de Matemática Ciclo Básico Común Universidad de Buenos Aires

5 Teóricas de Análisis Matemático (8) Práctica 6 L Hospital Demostración: Mediante el cambio de variable, cuando, t t Utilizando la regla de L Hopital para el caso t f t t t g t t demostrado f y simplificando t queda t g t obtenemos f () g () f () g () f t t g t Con lo que queda Ejercicio 3 Calcular el límite de e 3 Como las funciones del numerador y denominador son continuas y con derivadas continuas y tienden a, aplicamos la regla de L Hospital e e 3 3 e 3 3 O sea que el límite es 3 e 3 3 Ejercicio Calcular ln Área de Matemática Ciclo Básico Común Universidad de Buenos Aires 5

6 Teóricas de Análisis Matemático (8) Práctica 6 L Hospital Como las funciones del numerador y denominador son continuas, con derivadas continuas y tienden ambas a podemos utilizar la regla de L Hospital ln o sea que el límite es ln Caso infinito sobre infinito Enunciado Si f y g son funciones continuas en un entorno de a alrededor del punto salvo quizás en a, y con derivadas continuas en dico entorno, siendo g () cerca de a, () f a () g a y eiste el f () a g (), entonces, f () a g () f () a g () Demostración: Tomamos un a, por el Teorema de valor medio eiste un para el cual se cumple (A) f ()() f f () g g g () para a Por otro lado, sacamos f () factor común en el numerador y g() en el denominador en el primer miembro obtenemos: f ()() f (B) g()() g f () () /() f f g() () /() g g Utilizando la ecuación (B), la ecuación (A) queda así: f () () /() f f g() () /() g g f () g() Área de Matemática Ciclo Básico Común Universidad de Buenos Aires 6

7 Teóricas de Análisis Matemático (8) Práctica 6 L Hospital () /() Al multiplicar ambos miembros por g g () /() f f, obtenemos: Supongamos que Elegimos () /()g g f () g g g f f () () /() () g () /() f f g tiene límite l cuando a, o sea, f () l g() a suficientemente próimo a a para este cociente y como () /()f f tienden a, entonces, que es lo que queríamos demostrar f () a g () l y podemos afirmar que f () () f a g a g y Ejemplo Calcular ln() En este ejemplo, el numerador tiende a menos infinito y el denominador a más infinito, esto da una indeterminación infinito sobre infinito (las funciones del numerador y denominador cumplen con las ipótesis del teorema), podemos utilizar la Regla de L Hospital : Como las funciones del numerador y del denominador son continuas y con derivadas continuas en un entorno de, podemos aplicar la regla de L Hospital, porque cuando, ln() y Como en los ejercicios anteriores calculamos las derivadas y acemos el cociente de ellas: ln() ln() Ejercicio 5 Calcular ln() Área de Matemática Ciclo Básico Común Universidad de Buenos Aires 7

8 Teóricas de Análisis Matemático (8) Práctica 6 L Hospital Como las funciones del numerador y del denominador son ambas continuas con derivadas continuas y tienden a infinito, este caso se lo llama infinito sobre infinito y podemos utilizar la regla de L Hospital: ln() ln() 3 Otros casos También se puede usar la regla de L Hospital para los siguientes casos: ) Caso cero por infinito, : para este caso transformar por en sobre o en sobre : Ejercicio 6 Calcular e Podemos transformar este producto de dos funciones, donde una tiende a cero y la otra a infinito en un cociente de dos funciones que tienden a infinito, escribiendo obtenemos el cociente e Aora estamos en condición de utilizar la regla de L Hospital Concluimos que el límite es infinito: e e e e Área de Matemática Ciclo Básico Común Universidad de Buenos Aires 8

9 Teóricas de Análisis Matemático (8) Práctica 6 L Hospital ) Caso : este caso de indeterminación es cuando una función que tiende a está elevada a otra que tiende a, o sea, g() () f () g donde f () y g() Para resolverlo aplicamos ln(()) f, que por las propiedades del logaritmo es igual a g() ln(()) f, calculamos el límite y después le aplicamos la función inversa, es decir, e la función eponencial Ejercicio 7 Calcular Como el límite de y el de entonces ln() F este límite toma la forma indeterminada ln Sea F(), este cociente tiende a cero sobre cero y ambas funciones son continuas con derivadas continuas; podemos aplicar la regla de L Hospital ln ln() F límite, así que ln() F ln ln() F e, o sea, que ln () F () F e pero como el logaritmo es una función continua, acá aplicamos la función eponencial y obtenemos el e 3) Caso tiende a cero : la indeterminación es cuando una función que tiende a infinito está elevada a otra que () f () g, donde f () y g() Igual que en el caso anterior, aplicamos la función logaritmo, tomamos el límite y después aplicamos la inversa, o sea, la eponencial Ejercicio 8 Calcular e Como el límite de e y el límite de este límite toma la forma indeterminada Sea entonces ln() F F() e ln( e ) Como este cociente tiende a infinito sobre infinito y ambas funciones son continuas con derivadas continuas, podemos aplicar la regla de L Hospital Área de Matemática Ciclo Básico Común Universidad de Buenos Aires 9

10 Teóricas de Análisis Matemático (8) Práctica 6 L Hospital ln e e e e Como obtuvimos otro cociente de funciones que e e e tienden a infinito podemos aplicar la regla nuevamente:, e e ln(()) F Como dijimos antes esto es igual a ln () F, entonces el () F e, o sea que e e ) Caso tiende a cero : la indeterminación es cuando una función que tiende a cero está elevada a otra que () f () g donde f () y g() Igual que en el caso anterior, aplicamos la función logaritmo, tomamos el límite y después aplicamos la Regla de L Hospital Ejercicio 9 Calcular Como es un caso de indeterminación de la forma obtenemos ln ln() Aplicamos la función logaritmo y se transformó en un límite caso ), que es un producto de dos funciones donde una tiende a cero y la otra a infinito, o sea, Hay que convertirlo en un ln caso infinito sobre infinito Para eso escribimos y obtenemos Este es un caso de infinito sobre infinito y las funciones son continuas con derivadas continuas; podemos aplicar la regla de L Hospital: ln al simplificar y acomodar, queda, o sea que el límite es e Área de Matemática Ciclo Básico Común Universidad de Buenos Aires

11 Teóricas de Análisis Matemático (8) Práctica 6 L Hospital Ejercicio Dada la función resulte continua en sen(3 ) f () si 9 5, f () a allar a para que Para ver que f es continua en el límite de la función cuando valor de la función en dico punto, o sea, con f () debe coincidir con el Calculemos el límite: sen(3 ) 9 5 3cos(3 ) 3 5, 8 9 Este límite debe coincidir con f () a, entonces, 5 a 5 f () y, por lo tanto, 5 a : f () a cos(3) Ejercicio Hallar todos los a para que la función f () e sea continua para y Para ver que f es continua en el límite de la función cuando valor de la función en dico punto, o sea, con f () debe coincidir con el Calculemos el límite de f : como las funciones del numerador y del denominador ambas son continuas con derivadas continuas y tienden a aplicamos la Regla de L Hospital cos(3) e 3sen 3 e aplicamos nuevamente la regla f () 9 a, luego a con lo que, como obtuvimos otro cociente de funciones que tienden a 3sen 3 e 3 a, o sea, Área de Matemática Ciclo Básico Común Universidad de Buenos Aires 9cos a o a e 3 3 a o a : 9 Este límite debe ser igual a

12 Teóricas de Análisis Matemático (8) Práctica 6 L Hospital Ejercicio Sea f : continua y con dos derivadas continuas y tales que f (3), f (3) y f (3) Se define g : como Calcular () g f (3) si g () si y g (), eplicando las propiedades que se utilizan en cada caso Como g() es una función partida para poder calcular el laterales () g y () g porque () g () g () g debemos calcular los límites () g Calculemos el límite a izquierda, o sea, cuando con valores menores que () g 6 Veamos a qué tiende el límite por dereca, o sea, cuando f (3) 3 3 con valores mayores a, como el numerador y denominador son funciones continuas y tienden a cero, se puede resolver usando la regla de L Hospital, derivamos ambas funciones y calculamos el límite de f (3) 3(3) f las derivadas cuando, o sea, f (3)(3) f entonces Como ambos límites coinciden entonces podemos afirmar que el límite es igual a, o sea () g Para calcular g() tomamos el límite del cociente incremental en para y Calculando el límite por izquierda, obtenemos ambos límites coinciden decimos que g() 6 g()() g 6() 6, como Calculando el límite por dereca, o sea, para valores de obtenemos: g()() g f (3()) 3() 3 f (3 3) (3 3 3) f (3 3) 6 (3) Como este límite es un caso cero sobre cero, usaremos la Regla de L Hospital, con lo que el límite 3(3 f 3) 6 queda 6 Área de Matemática Ciclo Básico Común Universidad de Buenos Aires

13 Teóricas de Análisis Matemático (8) Práctica 6 L Hospital Caemos nuevamente en un caso cero sobre cero porque cuando, f (3 3) Luego aplicando una vez más la Regla de L Hospital obtenemos: 3(3 f 3) 6 9(3 f 3) 6 6 6, porque cuando 9(3 f 3) 36 y el denominador es 6 Podemos afirmar que ambos límites coinciden, o sea, y que la derivada de g() en es () g 6 : g()() g g()() g 6 ()= g y () g6 f () Ejercicio 3 Hallar a y b para que f () resulte continua y derivable en si e cos(3) si f () a b si y calcular Para que la función resulte continua el valor de la función en el punto f () el límite () f a debe coincidir con Para averiguar a qué tiende este límite, debemos calcular los límites laterales y ver que coinciden Calculemos el límite, o sea, para valores menores que : ()= f a b a e cos(3) Y para valores mayores que, es un caso cero sobre cero ( las funciones del numerador y denominador cumplen con las ipótesis de la Regla de L Hospital) e a cos(3) e 3sen(3), y para que e cos(3) f () a debe ser Calculemos mediante el estudio de cocientes incrementales f () Primero calculamos el cociente incremental cuando, o sea, con valores mayores a cero: Área de Matemática Ciclo Básico Común Universidad de Buenos Aires 3

14 Teóricas de Análisis Matemático (8) Práctica 6 L Hospital e cos(3) f ()() f e cos(3), tiende a cero sobre cero (las funciones del numerador y denominador cumplen con las ipótesis de la Regla de L Hospital) e cos(3) e 3sen(3) 6e 9 cos(3) 5 Calculamos el cociente incremental cuando, es decir, con valores menores a cero: f ()() f () b b Para que el límite eista los límites laterales del cociente incremental deben coincidir, entonces b 5 y 5 5 f (), a y f() b Aora se puede resolver asta el ejercicio de la Práctica 6 Cintia Buton, Lisi D Alfonso, Flora Gutierrez, Gabriela Jeronimo, Gustavo Massaccesi, Juan Carlos Pedraza y Juan Sabia (5), Regla de L Hospital, Teóricas de Análisis Matemático (8) Área de Matemática Ciclo Básico Común Universidad de Buenos Aires