5. ANÁLISIS MATEMÁTICO // 5.4. INTEGRACIÓN.

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1 5. ANÁLISIS MATEMÁTICO // 5.4. INTEGRACIÓN. COMPLEMENTOS PARA LA FORMACIÓN DISCIPLINAR EN MATEMÁTICAS Curso

2 El áre de un círculo medinte proximción por polígonos regulres.

3 El áre de un círculo medinte proximción por polígonos regulres. El áre de un círculo puede proximrse por el áre de polígonos regulres inscritos en él, cd uno de los cules se obtiene del nterior duplicndo el número de ldos. Si el círculo tiene rdio 1 su áre es π y estmos obteniendo proximciones del número π.

4 El áre de un círculo medinte proximción por polígonos regulres. El áre de un círculo puede proximrse por el áre de polígonos regulres inscritos en él, cd uno de los cules se obtiene del nterior duplicndo el número de ldos. Si el círculo tiene rdio 1 su áre es π y estmos obteniendo proximciones del número π. El áre de un cudrdo inscrito en un circunferenci de rdio 1 es :

5 El áre de un círculo medinte proximción por polígonos regulres. El áre de un círculo puede proximrse por el áre de polígonos regulres inscritos en él, cd uno de los cules se obtiene del nterior duplicndo el número de ldos. Si el círculo tiene rdio 1 su áre es π y estmos obteniendo proximciones del número π. El áre de un cudrdo inscrito en un circunferenci de rdio 1 es : A 4 = 2

6 El áre de un círculo medinte proximción por polígonos regulres. El áre de un círculo puede proximrse por el áre de polígonos regulres inscritos en él, cd uno de los cules se obtiene del nterior duplicndo el número de ldos. Si el círculo tiene rdio 1 su áre es π y estmos obteniendo proximciones del número π. El áre de un cudrdo inscrito en un circunferenci de rdio 1 es : A 4 = 2 El áre de un octógono regulr inscrito en un circunferenci de rdio 1 es :

7 El áre de un círculo medinte proximción por polígonos regulres. El áre de un círculo puede proximrse por el áre de polígonos regulres inscritos en él, cd uno de los cules se obtiene del nterior duplicndo el número de ldos. Si el círculo tiene rdio 1 su áre es π y estmos obteniendo proximciones del número π. El áre de un cudrdo inscrito en un circunferenci de rdio 1 es : A 4 = 2 El áre de un octógono regulr inscrito en un circunferenci de rdio 1 es : A 8 =

8 El áre de un círculo medinte proximción por polígonos regulres. El áre de un círculo puede proximrse por el áre de polígonos regulres inscritos en él, cd uno de los cules se obtiene del nterior duplicndo el número de ldos. Si el círculo tiene rdio 1 su áre es π y estmos obteniendo proximciones del número π. El áre de un cudrdo inscrito en un circunferenci de rdio 1 es : A 4 = 2 El áre de un octógono regulr inscrito en un circunferenci de rdio 1 es : A 8 = Ejercicio 1. Se l n el ldo de un polígono regulr de n ldos inscrito en un circunferenci de rdio 1. Demuestr que l 2n stisfce l 2n = 2 4 l 2 n.

9 Ejercicio 2. Si n es l potem de un polígono regulr de n ldos, demuestr que A 2 n = 2 n n donde en est fórmul se hn tomdo n 1 rices cudrds.

10 Ejercicio 2. Si n es l potem de un polígono regulr de n ldos, demuestr que A 2 n = 2 n n donde en est fórmul se hn tomdo n 1 rices cudrds. Como el límite de ls potems cundo n tiende infinito es 1 (el rdio del círculo) se tiene π = lim n A 2 n = lim n 2 n

11 Ejercicio 2. Si n es l potem de un polígono regulr de n ldos, demuestr que A 2 n = 2 n n donde en est fórmul se hn tomdo n 1 rices cudrds. Como el límite de ls potems cundo n tiende infinito es 1 (el rdio del círculo) se tiene π = lim n A 2 n = lim n 2 n Con 16 ldos:

12 Ejercicio 2. Si n es l potem de un polígono regulr de n ldos, demuestr que A 2 n = 2 n n donde en est fórmul se hn tomdo n 1 rices cudrds. Como el límite de ls potems cundo n tiende infinito es 1 (el rdio del círculo) se tiene π = lim n A 2 n = lim n 2 n Con 16 ldos: A

13 Ejercicio 2. Si n es l potem de un polígono regulr de n ldos, demuestr que A 2 n = 2 n n donde en est fórmul se hn tomdo n 1 rices cudrds. Como el límite de ls potems cundo n tiende infinito es 1 (el rdio del círculo) se tiene π = lim n A 2 n = lim n 2 n Con 16 ldos: A Con 2048 ldos:

14 Ejercicio 2. Si n es l potem de un polígono regulr de n ldos, demuestr que A 2 n = 2 n n donde en est fórmul se hn tomdo n 1 rices cudrds. Como el límite de ls potems cundo n tiende infinito es 1 (el rdio del círculo) se tiene π = lim n A 2 n = lim n 2 n Con 16 ldos: A Con 2048 ldos: A

15 L integrl como medid de áres, longitudes y volúmenes.

16 L integrl como medid de áres, longitudes y volúmenes. L definición de integrl se hce con un procedimiento de proximción similr l usdo pr clculr el áre de un círculo, pero sustituyendo poligonos por rectángulos.

17 L integrl como medid de áres, longitudes y volúmenes. L definición de integrl se hce con un procedimiento de proximción similr l usdo pr clculr el áre de un círculo, pero sustituyendo poligonos por rectángulos. Dd un función f cotd en un intervlo cerrdo [, b], pr un prtición P = { = x 0 < x 1 < x 2 < < x n 1 < x n = b} del intervlo [, b], se definen ls sums inferiores y ls sums superiores de Riemnn medinte: n n s(f, P) = m i (x 1 x i 1 ) y S(f, P) = M i (x 1 x i 1 ). i=1 i=1

18 L integrl como medid de áres, longitudes y volúmenes. L definición de integrl se hce con un procedimiento de proximción similr l usdo pr clculr el áre de un círculo, pero sustituyendo poligonos por rectángulos. Dd un función f cotd en un intervlo cerrdo [, b], pr un prtición P = { = x 0 < x 1 < x 2 < < x n 1 < x n = b} del intervlo [, b], se definen ls sums inferiores y ls sums superiores de Riemnn medinte: n n s(f, P) = m i (x 1 x i 1 ) y S(f, P) = M i (x 1 x i 1 ). i=1 i=1

19 DEFINICIÓN DE INTEGRAL Se dice que un función cotd es integrble en [, b] si se cumple que sup P P s(f, P) = inf P P S(f, P) y este número común se escribe b f (x)dx.

20 DEFINICIÓN DE INTEGRAL Se dice que un función cotd es integrble en [, b] si se cumple que sup P P s(f, P) = inf P P S(f, P) y este número común se escribe b f (x)dx. NOTA: Si f es integrble en [, b] se tiene que b f (x)dx = lim d(p) 0 n f (c i )(x i x i 1 ), i=1 pr culquier que se l elección de c i [x i 1, x i ].

21 DEFINICIÓN DE INTEGRAL Se dice que un función cotd es integrble en [, b] si se cumple que sup P P s(f, P) = inf P P S(f, P) y este número común se escribe b f (x)dx. NOTA: Si f es integrble en [, b] se tiene que b f (x)dx = lim d(p) 0 n f (c i )(x i x i 1 ), i=1 pr culquier que se l elección de c i [x i 1, x i ]. TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRALES Si f es continu en [, b], existe c [, b] tl que b f (x)dx = f (c)(b ).

22 LONGITUD DE UNA CURVA. L longitud de un curv puede proximrse por l longitud de un line quebrd que une los puntos (x i 1, f (x i 1 ) y (x i, f (x i ), i = 1, 2,..., n.

23 LONGITUD DE UNA CURVA. L longitud de un curv puede proximrse por l longitud de un line quebrd que une los puntos (x i 1, f (x i 1 ) y (x i, f (x i ), i = 1, 2,..., n. L longitud de est líne quebrd es: n i=1 (x i x i 1 ) 2 + (f (x i ) f (x i 1 ) 2 = n (x i x i 1 ) 1 + [f (c i )] 2, i=1 con c i [x i 1, x i ], por el Teorem del vlor medio.

24 LONGITUD DE UNA CURVA. L longitud de un curv puede proximrse por l longitud de un line quebrd que une los puntos (x i 1, f (x i 1 ) y (x i, f (x i ), i = 1, 2,..., n. L longitud de est líne quebrd es: n i=1 (x i x i 1 ) 2 + (f (x i ) f (x i 1 ) 2 = n (x i x i 1 ) 1 + [f (c i )] 2, i=1 con c i [x i 1, x i ], por el Teorem del vlor medio. LONGITUD DE UNA CURVA DERIVABLE b L(f : [, b]) = 1 + [f (x)] 2 dx.

25 LONGITUD DE UNA CURVA. L longitud de un curv puede proximrse por l longitud de un line quebrd que une los puntos (x i 1, f (x i 1 ) y (x i, f (x i ), i = 1, 2,..., n. L longitud de est líne quebrd es: n i=1 (x i x i 1 ) 2 + (f (x i ) f (x i 1 ) 2 = n (x i x i 1 ) 1 + [f (c i )] 2, i=1 con c i [x i 1, x i ], por el Teorem del vlor medio. LONGITUD DE UNA CURVA DERIVABLE b L(f : [, b]) = 1 + [f (x)] 2 dx. Ejercicio 3. Ls ecuciones prmétrics de un cicloide son x(t) = R(t sen t), y(t) = R(1 cos t). Hll l longitud del rco de cicloide entre los puntos A = (0, 0) y B = (2πR, 0).

26 VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE REVOLUCIÓN. Por el principio de Cvlieri V (f : [, b]) = π b [f (x)] 2 dx.

27 VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE REVOLUCIÓN. Por el principio de Cvlieri V (f : [, b]) = π b [f (x)] 2 dx. SUPERFICIE LATERAL DE UN SÓLIDO DE REVOLUCIÓN. b SL(f : [, b]) = 2π f (x) 1 + [f (x)] 2 dx.

28 VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE REVOLUCIÓN. Por el principio de Cvlieri V (f : [, b]) = π b [f (x)] 2 dx. SUPERFICIE LATERAL DE UN SÓLIDO DE REVOLUCIÓN. b SL(f : [, b]) = 2π f (x) 1 + [f (x)] 2 dx. Ejercicio 4. Prueb que el volumen del sólido de revolución generdo por l gráfic de y = 1/x en [1, ) es finito, pero su superficie lterl no es finit.

29 Cálculo proximdo de l integrl.

30 Cálculo proximdo de l integrl. L regl del trpecio. Si I(f ) = b f (x)dx no puede clculrse medinte primitivs o con regls de integrción, un solución es buscr un proximción. Con l proximcion linel de l figur se obtiene l regl del trpecio: T 1 (f ) = (b ) f (b)+f () 2.

31 Cálculo proximdo de l integrl. L regl del trpecio. Si I(f ) = b f (x)dx no puede clculrse medinte primitivs o con regls de integrción, un solución es buscr un proximción. Con l proximcion linel de l figur se obtiene l regl del trpecio: T 1 (f ) = (b ) f (b)+f () 2. Si el intervlo [, b] se divide en n subintervlos igules cd uno de longitud h = (b )/n se consigue l regl del trpecio: T n (f ) = h[ 1 2 f (x 0) + f (x 1 ) + + f (x n 1 ) f (x n)] con x j = + jh, j = 0, 1, 2,..., n.

32 Cálculo proximdo de l integrl. L regl del trpecio. Si I(f ) = b f (x)dx no puede clculrse medinte primitivs o con regls de integrción, un solución es buscr un proximción. Con l proximcion linel de l figur se obtiene l regl del trpecio: T 1 (f ) = (b ) f (b)+f () 2. Si el intervlo [, b] se divide en n subintervlos igules cd uno de longitud h = (b )/n se consigue l regl del trpecio: T n (f ) = h[ 1 2 f (x 0) + f (x 1 ) + + f (x n 1 ) f (x n)] con x j = + jh, j = 0, 1, 2,..., n. Si f C 2 ([, b]), I(f ) T n (f ) = h2 (b ) 2 f (c n ) con c n [, b].

33 L regl de Simpson (Thoms Simpson, ). Con un proximcion cudrátic como en l figur se obtiene l regl del Simpson: S 2 (f ) = (b ) [f () + 4f ( + b 6 2 ) + f (b)].

34 L regl de Simpson (Thoms Simpson, ). Con un proximcion cudrátic como en l figur se obtiene l regl del Simpson: S 2 (f ) = (b ) [f () + 4f ( + b 6 2 ) + f (b)]. Si el intervlo [, b] se divide en 2n subintervlos igules cd uno de longitud h = (b )/2n se consigue l regl de Simpson: S 2n (f ) = h 3 [f (x 0)+4f (x 1 )+2f (x 2 )+4f (x 3 )+ +4f (x 2n 1 )+f (x n ))] con x j = + jh, j = 0, 1, 2,..., 2n.

35 L regl de Simpson (Thoms Simpson, ). Con un proximcion cudrátic como en l figur se obtiene l regl del Simpson: S 2 (f ) = (b ) [f () + 4f ( + b 6 2 ) + f (b)]. Si el intervlo [, b] se divide en 2n subintervlos igules cd uno de longitud h = (b )/2n se consigue l regl de Simpson: S 2n (f ) = h 3 [f (x 0)+4f (x 1 )+2f (x 2 )+4f (x 3 )+ +4f (x 2n 1 )+f (x n ))] con x j = + jh, j = 0, 1, 2,..., 2n. ERROR Si f C 4 ([, b]), I(f ) S 2n (f ) = h4 (b ) 180 f (4) (c n ) con c n [, b].

36 El descubrimiento de Newton y Leibniz: el teorem fundmentl del cálculo.

37 El descubrimiento de Newton y Leibniz: el teorem fundmentl del cálculo. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Si f es continu en [, b], l función integrl F(x) = x f (t)dt es derivble en (, b) y su derivd es F (x) = f (x).

38 El descubrimiento de Newton y Leibniz: el teorem fundmentl del cálculo. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Si f es continu en [, b], l función integrl F(x) = x f (t)dt es derivble en (, b) y su derivd es F (x) = f (x). REGLA DE BARROW Si f es continu en [, b] y G(x) es un primitiv de f (es decir G (x) = f (x)) se tiene b f (x)dx = G(b) G().

39 El descubrimiento de Newton y Leibniz: el teorem fundmentl del cálculo. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Si f es continu en [, b], l función integrl F(x) = x f (t)dt es derivble en (, b) y su derivd es F (x) = f (x). REGLA DE BARROW Si f es continu en [, b] y G(x) es un primitiv de f (es decir G (x) = f (x)) se tiene b f (x)dx = G(b) G(). CAMBIO DE VARIABLE EN LA INTEGRAL Si f y g son derivbles, prtir de l regl de l cden se demuestr que b f (g(x))g (x)dx = g(b) g() f (u)du, lo que se interpret como l sustitución u = g(x), du = g (x)dx.

40 INTEGRACIÓN POR PARTES Si f y g son derivbles, prtir de l derivd de un producto se demuestr que b b f (x)g (x)dx = [f (x)g(x)] b g(x)f (x)dx.

41 INTEGRACIÓN POR PARTES Si f y g son derivbles, prtir de l derivd de un producto se demuestr que b b f (x)g (x)dx = [f (x)g(x)] b g(x)f (x)dx. Ejercicio 5. Clcul I = 1 0 x ln(1 + x 2 )dx.

42 INTEGRACIÓN POR PARTES Si f y g son derivbles, prtir de l derivd de un producto se demuestr que b b f (x)g (x)dx = [f (x)g(x)] b g(x)f (x)dx. Ejercicio 5. Clcul I = 1 0 x ln(1 + x 2 )dx. Ejercicio 6. Dd l función f (x) = 2x x dt t 4 +t 2 +1, x R estudi ls síntots y l monotoní de f. Dibuj proximdmente l gráfic de f. (Oposición Cstill y León, 2002)

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