Tema03: Circunferencia 1

Transcripción

1 Tema03: Circunferencia Introducción 3 Circunferencia La definición de circunferencia e clara para todo el mundo. El uo de la circunferencia en la práctica y la generación de uperficie de revolución, cuya eccione on circunferencia, etán a la vita, dede tubería, depóito cilíndrico, depóito eférico para contener gae licuado, hata lo caco de alguno buque, en epecial alguno tipo de catamarane. Una propiedad geométrica poco conocida de la circunferencia e la de er el lugar geométrico con mínimo perímetro para máxima área encerrada. Extrapolando a un cilindro cerrado, contendría el máximo volumen, con la mínima uperficie lateral, y lo mimo puede decire de la efera. or eta razón, la perdida por rozamiento o por tranmiión de calor (proporcionale a la uperficie) en tubería de ección circular on inferiore a la que e obtienen con tubería de cualquier otro tipo de ección. Contructivamente, la uperficie cilíndrica on encilla de contruir por er u radio de curvatura contante. 3.1 Definicione y propiedade Se define como circunferencia de radio R y centro al lugar geométrico de lo punto del plano que equiditan una ditancia R de un punto llamado centro. La longitud de la circunferencia e L = 2. π. R ; Circulo e la uperficie limitada por la circunferencia u 2 área e A = π.r. Se define como ector circular la porción de círculo comprendida entre do emirecta que paan por el centro de dicho círculo (Fig.1). El área de ete ector circular e calcula

2 Tema03: Circunferencia 2 en función del ángulo que abarcan eta do emirecta. Si expreamo el ángulo α que forman eta emirecta en grado: α S = π R R Fig. 1 Área del ector circular Se citan a continuación alguna propiedade de la circunferencia: La tangente a la circunferencia, cumplen que i el punto de tangencia e une con el centro de la circunferencia, eta recta e perpendicular a la recta tangente. Se denomina cuerda de una circunferencia al egmento que une lo do punto de corte de eta con cualquier recta que la corte. La perpendicular dede el centro de la circunferencia a eta cuerda la corta en u punto medio (Fig. 2). Una circunferencia A corta a otra B diametralmente, i uniendo lo punto de corte y Q, eta recta paa por el centro de A. El egmento Q erá un diámetro de la circunferencia B (Fig. 3). A M B Cuerda Q Fig. 2 Cuerda Fig. 3 Circunferencia diametrale 3.2 Teorema del ángulo central Si e trazan do radio de una circunferencia, y lo extremo de eto radio e unen con un punto cualquiera de la mima (Fig. 4) e cumple que lo ángulo formado por la cuerda y lo radio cumplen 2 β = γ. En efecto, de la Fig. 4 e ve que x + y + γ = 360º y que x = α, y = β con lo que utituyendo e tiene que α + β = ½ γ. A eta relación entre ángulo e le

3 Tema03: Circunferencia 3 llama teorema del ángulo central y e la bae teórica para el trazado del arco capaz de un egmento, que e ua entre otra coa en navegación. x y Fig. 4 Teorema del ángulo central 3.3. Arco capaz de un egmento y un ángulo El arco capaz de un egmento AB y un ángulo α dado, e el lugar geométrico de lo punto del plano repecto a lo cuale el egmento e ve bajo un ángulo α. ara trazar el arco capaz del egmento AB, e traza por u extremo A una emirecta con un ángulo α, y por el extremo A e traza una perpendicular a dicha emirecta. Se traza ademá la mediatriz del egmento AB. Donde e corten amba recta, e el centro del arco capaz del egmento AB (Fig. 5). α α A α B Fig. 5 Arco capaz de un egmento Una propiedad del arco capaz e la iguiente (Fig. 6): tomando un punto cualquiera (,,...) de un arco capaz de un egmento AB, la biectriz del ángulo en dicho punto iempre paa por el punto M, interección de la mediatriz de AB con el arco capaz.

4 Tema03: Circunferencia 4 Fig. 6 ropiedade del arco capaz 3.4 otencia de un punto repecto a una circunferencia Se define como potencia de un punto repecto a una circunferencia al producto de la ditancia entre el punto y lo punto S y Q de corte de una ecante cualquiera a la circunferencia, paando por el punto. Se cumple que ete valor e contante para cualquier ecante que pae por el punto (Fig. 7). Como límite de la recta ecante, e tiene la tangente a la circunferencia dede. El punto de tangencia erá un punto doble. T S Q T U 2 ot = T = Q. S = T. U Fig. 7 otencia 3.5 Eje radical de do circunferencia Se define como eje radical de do circunferencia al lugar geométrico de lo punto del plano que tienen igual potencia repecto de la do circunferencia. Si la circunferencia e cortan (Fig. 8), el eje radical e la recta que paa por lo do punto de corte, al tener ambo punto potencia nula repecto a la do circunferencia.

5 Tema03: Circunferencia 5 El eje radical de do circunferencia e perpendicular a la recta que une lo centro de amba, conecuencia de lo anterior. ara trazar en eje radical de do circunferencia que no e cortan (Fig. 9), e traza una circunferencia auxiliar que corte a amba, y e trazan lo eje radicale m y n. Eto e cortan en un punto. La perpendicular a la recta que une lo centro de la circunferencia 1 y 2 por el punto e el eje radical bucado. m n Fig. 8 Eje radical Fig. 9 Eje radical Alguna propiedade del eje radical: Como lo punto del eje radical tienen igual potencia repecto a la do circunferencia, para cualquier punto del eje radical, i dede ete punto e trazan la tangente a la do circunferencia, la longitude de lo egmento tangente erán la mima (Fig. 10). Eto poibilitará la reolución de alguno problema de tangencia. Como conecuencia de lo anterior, el eje radical de do circunferencia de centro 1 y 2, erá el lugar geométrico de lo centro de la circunferencia ortogonale a dicha circunferencia (Fig. 10). 1 2 l l Fig. 10 ropiedade del eje radical

6 Tema03: Circunferencia Centro radical de tre circunferencia Se define como centro radical de tre circunferencia el punto C que tiene igual potencia repecto de la tre circunferencia. Se calcula (Fig. 11) como el punto de corte de do de lo eje radicale y t de la circunferencia tomada do a do. 1 2 t C 3 Fig. 11 Centro radical ropiedade del centro radical: Como e la interección de tre eje radicale, la longitude de lo ei egmento tangente a la tre circunferencia erán iguale (d). Será centro de una circunferencia ortogonal (Fig. 12) a la tre y de radio d. 1 2 d d d d C d 3 d Fig. 12 ropiedade del centro radical

7 Tema03: Circunferencia olar repecto a un punto y una circunferencia Se denomina polar repecto a un punto (polo) y una circunferencia directora de centro a la recta que e el eje radical de la circunferencia de diámetro y de la circunferencia directora. El punto puede er exterior (Fig. 13) o interior a la circunferencia (Fig. 14). La polar e perpendicular a la recta que une y el centro de la circunferencia. Fig. 13 olar con exterior Fig. 14 olar con interior Cuando e interior, e levanta la perpendicular a por, y e traza la circunferencia que pae por lo punto y lo de corte M y N. Cortará a la recta en T. La perpendicular a por T e la polar pedida. También puede hacere como dice la teoría trazando el eje radical de la circunferencia directora y de la de diámetro, o bien haciendo la tangente al círculo director por M, que cortará a la recta en el punto T. Si el polo etá en la circunferencia directora, la polar e la tangente a la circunferencia directora en. Si el polo coincide con el centro de la circunferencia directora, la polar e una recta impropia, e decir etá en el infinito Triangulo Autopolar Si e toma un punto cualquiera Q (Fig. 15) de la polar m aociada a un polo, la polar n de Q paa por el punto, debido a la propiedade ya vita del eje radical. Fig. 15 Triángulo Autopolar Si e extiende la polar n hata que corte a la polar m en un punto U (Fig. 16), lo punto Q, y U formarán un triángulo autopolar repecto a la circunferencia directora. La propiedad de un triángulo autopolar e que un vértice cualquiera e el polo del lado opueto, repecto a la circunferencia directora.

8 Tema03: Circunferencia 8 Hay infinito triángulo autopolare repecto a un círculo director. Todo ello tienen un ángulo obtuo y un vértice en el interior del circulo director Fig. 16 Triángulo autopolar Si dado un círculo director y un punto exterior (Fig. 17, izquierda), e trazan do ecante a dicho circulo e obtienen 4 punto de corte A, B, C, D que forman un cuadrilátero. Si e trazan la diagonale de dicho cuadrilátero, eta e cortan en un punto U. ue bien, el triángulo QU e un triángulo autopolar, como puede vere al dibujar la polare de, Q y U trazando la tangente. Lo punto A, B, C, D on un cuadrilátero incriptible y por lo tanto la biectrice de lo ángulo CA y CQD erán perpendiculare (Fig. 17, derecha), tal como e vio en el tema obre cuadrilátero. Luego, i un cuadrilátero e incriptible, la interección de u diagonale y de la prolongacione de u lado, forman un triángulo autopolar repecto al circulo director que pae por eo cuatro punto. Fig. 17 Trazado de triángulo autopolare

9 Tema03: Circunferencia Tangente dede un punto exterior a una circunferencia ara trazar la tangente dede un punto exterior a una circunferencia de centro, no baaremo en la propiedade del eje radical (Fig. 18). M Fig. 18 Tangente a una circunferencia dede un punto exterior Si trazamo el arco capaz de 90º del egmento (circunferencia de centro M, punto medio de ), lo punto de corte T 1 y T 2 unido con y formarán 90º. Como T 1 y T 2 on radio de la circunferencia y T 1 y T 2 perpendiculare a lo mimo, eto último egmento on por tanto tangente a la circunferencia. 3.9 Tangente exteriore a do circunferencia ara trazar la recta tangente exteriore a do circunferencia de centro 1 y 2 y radio R 1 y R 2, e tranforma el problema en un problema de trazar la tangente dede un punto exterior a una circunferencia (Fig. 19). T3 T'1 R2-R1 R1 1 M 2 2 T4 T'2 Fig. 19 Tangente exteriore a do circunferencia ara ello e ha de tranformar una circunferencia en un punto retando a lo elemento del problema el menor radio, en nuetro cao, R1. Aí, la circunferencia de radio R 1 e tranforma en u centro 1 y la de centro 2 en otra circunferencia del mimo centro y radio R 2 R 1.

10 Tema03: Circunferencia 10 Si e trazan la tangente dede 1 a la nueva circunferencia e obtienen lo punto de tangencia T 1 y T 2. Ahora hay que dehacer la tranformación que hemo realizado volviendo a umar R 1 a todo lo elemento. Lo punto de tangencia obtenido e tranforman e T 1 y T 2 y erán lo punto de tangencia en la circunferencia de centro 2. ara obtener lo punto de tangencia en la circunferencia de centro 1 e trazan paralela a T 1 2 y T 2 2 dede 1 para obtener lo punto de tangencia T 3 y T 4. Bata unir lo punto de tangencia T 3 con T 1 y T 4 con T 2 para tener la tangente bucada Tangente interiore a do circunferencia La tranformación a realizar e parecida a la del punto 3.9, bata retar en entido contrario. La circunferencia de centro 1 e tranforma en u centro, mientra que la de centro 2 e tranforma en otra de centro 2 y radio R 1 + R 2 (Fig. 20). T'1 T4 R2+R1 R1 1 M 2 T3 2 T'2 Fig. 20 Tangente interiore a do circunferencia Si e trazan la tangente dede 1 a la nueva circunferencia e obtienen lo punto de tangencia T 1 y T 2. Ahora hay que dehacer la tranformación que hemo realizado volviendo a umar R 1 a todo lo elemento. Lo punto de tangencia obtenido e tranforman e T 1 y T 2 y erán lo punto de tangencia en la circunferencia de centro 2. ara obtener lo punto de tangencia en la circunferencia de centro 1 e trazan paralela a T 1 2 y T 2 2 dede 1 para obtener lo punto de tangencia T 3 y T 4. Bata unir lo punto de tangencia T 3 con T 1 y T 4 con T 2 para tener la tangente bucada.

11 Tema03: Circunferencia Aplicacione del eje radical en lo problema de tangencia La principal utilidad de lo vito hata ahora e u aplicación en la reolución de cierto problema de tangencia, para lo cual e uarán la propiedade explicada. Lo importante e comprender él por qué de la contruccione y no memorizarla Circunferencia tangente a otra y que paan por do punto Q Dada una circunferencia de centro y do punto y Q, e deea dibujar la circunferencia tangente a éta y que paen por lo punto (Fig. 21). Al tener que paar por y Q, la recta Q erá el eje radical de toda la circunferencia que paen por ello (Fig. 22), incluida la que ean tangente a la circunferencia de centro. Y e ha vito ademá que para un punto del eje radical, la longitude de lo egmento tangente a la circunferencia que tengan dicho eje radical, erán la mima. Fig. 21 La circunferencia de centro no tiene el eje radical Q. Se traza una circunferencia auxiliar cualquiera que pae por y Q y corte a la circunferencia de centro. Eta circunferencia auxiliar corta a la de centro en do punto A y B, iendo AB el eje radical de amba. m B M A Q Fig. 22 Circunferencia tangente a otra paando por 2 punto Donde e corten ete eje radical y el de la circunferencia que paen por y Q (punto M) cumplirá que la magnitud del egmento tangente a la circunferencia de centro y a cualquiera que pae por y Q (incluida la tangente bucada), e la mima por er M interección de 2 eje radicale. Luego haciendo la tangente a la circunferencia de centro e tienen T 1 y T 2, que erán lo punto de tangencia entre la circunferencia dada y la circunferencia bucada. Bata dibujar la circunferencia que paen por T 1, y Q ademá de la que pae por T 2, y Q para tener la olución del problema.

12 Tema03: Circunferencia Circunferencia tangente a una recta paando por do punto Q Dada una recta r y do punto y Q, e deean trazar la circunferencia tangente a la recta r y que paen por y Q (Fig. 23). Al tener que paar por y Q, la recta Q erá el r eje radical de toda la circunferencia que paen Fig. 23 por ello (Fig. 24), incluida la que ean tangente a la recta r. Y e ha vito que para un punto del eje radical, la longitude de lo egmento tangente a la circunferencia que tengan dicho eje radical, erán la mima. 2 T M Q U r Fig. 24 Circunferencia tangente a una recta paando por 2 punto Lo centro de la circunferencia deberán de etar ademá en la mediatriz del egmento Q que paa por M, punto medio de Q. Se traza una circunferencia auxiliar que pae por y Q. Si dede el punto U, interección del eje radical Q y de r, e trazan la tangente a la circunferencia auxiliar, la magnitud UT, llevada obre r no dará lo punto de tangencia T 1 y T 2 obre r de la circunferencia bucada. Bata levantar perpendiculare a r por eto punto T 1 y T 2 para tener lo centro 1 y 2 de la circunferencia bucada.

13 Tema03: Circunferencia Circunferencia tangente a do recta y que paan por un punto r Dada do recta r y, que e cortan en ete cao, y un punto (Fig. 25), para obtener la circunferencia tangente a r y que paan por, e tranforma el problema en el del punto10.2 que ya e ha explicado como reolver. ara eto, al paar la olución por el punto, paará por u imétrico repecto a la biectriz b de la do recta r y (Fig. 26). El problema e tranforma entonce en trazar la circunferencia Fig. 25 tangente a una recta (r ó ) y que paen por y, que e reuelve como e explicó en , teniendo el problema do poible olucione. r b ' Fig. 26 Circunferencia tangente a do recta paando por un punto Circunferencia tangente a do recta y a otra circunferencia r R Dada do recta r y y una circunferencia comprendida entre la mima, de centro y radio R (Fig. 27), para tener la olución del mimo e tranforma el problema en el de dibujar la tangente a do recta paando por un punto. ara ello e reta el radio R a todo lo elemento del itema, con lo que la circunferencia e tranforma en u centro y la do recta r y en do recta paralela a i Fig. 27 mima a una ditancia R (Fig. 28). El problema e tranforma en dibujar la circunferencia tangente a la recta tranformada r y y que paen por.

14 Tema03: Circunferencia 14 btenido lo punto de tangencia T 1 y T 2, e dehace la tranformación volviendo a umar R, llevándolo obre la recta originale r y para tener lo punto de tangencia T 1 y T 2 de la olucione bucada obre la recta. Levantando la perpendiculare dede eto punto de tangencia hata la biectriz de la 2 recta, e tienen lo centro 1 y 2 de la circunferencia bucada. r r' R 1 2 ' R T'1 Fig. 28 Circunferencia tangente a do recta y a otra circunferencia El problema tiene otra do olucione. En el cao anterior (Fig. 28) e ha retado R en una dirección, ahora e reta en la dirección contraria (Fig. 29), tranformándoe de nuevo la circunferencia en u centro y la recta r y en r y, paralela pero en ditinto entido que en la Fig. 28. T'2 r' r R b 1 2 T'2 ' T'1 Fig. 29 Circunferencia tangente a do recta y a otra circunferencia R El problema genérico tiene por tanto cuatro olucione como máximo, aunque el número de olucione poible depende de la poición relativa entra la recta r y y la circunferencia de centro y radio R.