Compruebe que cuando la matriz encontrada se multiplica por la izquierda por C, se obtiene la matriz identidad.

Transcripción

1 MasMatescom [24] [EXT-A] a) Sean A y B matrices 2x2 Determine dichas matrices sabiendo que verifican las siguientes ecuaciones: -4-2 A + 3B = A - B = - - b) Sean C y D las martices: C =, D = 22 Determine el determinante: 5(CD) -, donde (CD) - es la matriz inversa de (CD) 2 [24] [EXT-B] Determine para qué valores de a el sistema que aparece a continuación es compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible: ax-3y+6z=3 ax+3y+az=6 -ax-6y+9z= m 3 [24] [JUN-A] Sea m un número real y considere la matriz A = m a) Determine todos los valores de m para los que la matriz A tiene inversa b) Determine, si existe, la inversa de A cuando m = c) Determine, si existe, la inversa de A 2 cuando m = -4 4 [24] [JUN-B] Considere las matrices de orden 2x2 siguientes: A = -2 -, B = 2 -, D = AM + BN = D a) Determine dos matrices M y N de orden 2x2 tales que: AM = N b) Se considera una matriz G de orden 3x3, cuyas columnas se representan por C, C 2, C 3 y cuyo determinante vale 2 Considere ahora la matriz H cuyas columnas son C 3, C 3 +C 2, 3C, cuál es el determinante de esta nueva matriz H? 5 [23] [EXT-A] Considere el siguiente sistema de ecuaciones: x+4y+2z= 2x + y + 4z = x + y + 6z = a) Determine los valores de para los que el sistema de ecuaciones tiene solución única b) Resuelva el sistema, si es posible, cuando = 4 y cuando = 6 [23] [EXT-B] Sean A y B las dos matrices siguientes: A = a, B = -2-3 a a) Para qué valores de a existe la inversa de AB? Y la de BA? 233 b) Encuentre la inversa de la matriz: C = Compruebe que cuando la matriz encontrada se multiplica por la izquierda por C, se obtiene la matriz identidad 7 [23] [JUN-A] Sea A la matriz A = 5-m3 - m a) Discuta el sistema que aparece a continuación, para cada uno de los valores de m y resuélvalo para los valores de m siguientes: m = - y m = 2 b) Determine la inversa de la matriz A cuando m = AX = donde X = x y z Página de 7

2 MasMatescom 8 [23] [JUN-B] a) Determine el rango de la matriz A, que aparece a continuación, según los diferentes valores de a: a -a 6 A = a+2-5- b) Determine, si existe, una matriz A, 2x2, que verifique la siguiente ecuación matricial: 2 A = 3 3 Cuál es el rango de la matriz A? 9 [22] [EXT-A] a) El determinante de la matriz A que aparece a continuación es 2: A = 2 - Sin utilizar la regla de Sarrus, determine cuánto vale el determinante de la matriz B siguiente (enuncie las propiedades que 2 utilice): B = b) Sea C la siguiente matriz: C = sen(x) -cos(x) cos(x) sen(x) sen(x) x Determie los valores de x para lo que la matriz C tiene inversa y calcúlela cuando sea posible [22] [EXT-B] a) Determine para qué valores de m el siguiente sistema de ecuaciones: mx+2y+6z = 2x+my+4z = 2 es compatible 2x+my+6z = m- determinado, compatible indeterminado o incompatible b) Se sabe que una matriz simétrica B de dimensión 3x3 tiene como determinante -3 Determine el determinante de la matriz B+B t, donde B t denota la traspuesta de B ax+ y+z= [22] [JUN-A] Sean a un número real y el sistema lineal x+ay+z= a x+ y+z=a 2 a) Calcule el determinante de la matriz de los coeficientes y determine para qué valores de a el sistema anterior es incompatible, compatible determinado y compatible indeterminado b) Resuelva el sistema anterior en el caso a = 2 [22] [JUN-B] a) Compruebe que la matriz M es inversible y calcule su inversa, donde M = b) Encuentre las matrices A y B que cumplen las siguientes ecuaciones: 3 2 8A-5B = -2 3, 2A-B = [2] [EXT-A] Sea la matriz A = - a) Calcular el determinante de la matriz AA t, siendo A t la traspuesta de A: b) Estudir para qué valores del parámetro se satisface la ecuación: 4 A 2-2 A t +2 2 =, con A = det(a) c) Obtener la inversa de A cuando sea posible 4 [2] [EXT-B] Utilizar las propiedades de los determinantes para obtener los valores de a y b que satisfacen simultáneamente a+b 2 a a las ecuaciones: a-b = y a 2 ba 2 = a+2b 3 2 Página 2 de 7

3 MasMatescom 5 [2] [JUN-A] a) Estudiar para qué valores de la matriz A = b) Siendo A - la inversa de la matriz A, calcular A - 2 para = tiene rango máximo 6 [2] [JUN-B] a) Sean las matrices A = cos sen -sen cos y B = cos sen -sen cos Estudiar qué valores de y hacen que sea cierta la igualdad [det(a)] 2-2det(A)det(B)+ = b) Utilizar las propiedades de los determinantes para calcular el valor de 2a+3b+4, con a, b, c, d 2c+3d+4 7 [2] [EXT-A] a) Discutir y resolver cuando sea posible el siguiente sistema lineal: b) Existe algún valor del parámetro a para el cual el vector 2 ax+y = -2x+y+az = y+az = sea solución del sistema anterior? 8 [2] [EXT-B] Dada la matriz A = cos sen -sen cos a) Estudiar si existen valores de y para los cuales la matriz A sea simétrica Será la matriz B = AA T igual a la matriz identidad en algún caso? b) Razonar cuál es la relación entre el determinante de A y el de B c) Discutir y resolver cuando sea posible el sistema B x y z = 9 [2] [JUN-A] a) Estudiar para qué valores de a el determinante de la matriz A = Para a = 3 obtener el determinante de la matriz 2A b) Sean las matrices: A = y B = 2-3- Calcular el rango de (AB)T a 2a a- -a -a es no nulo 2 [2] [JUN-B] a) Estudiar para qué valores de x, la matriz inversa de x-2 coincide con su opuesta 5-x b) Dos hermanos de tercero y cuarto de primaria iban camino del colegio con sus mochilas cargadas de libros todos del mismo peso Uno de ellos se lamentaba del peso que transportaba y el otro le dijo: De qué te quejas? Si yo te cogiera un libro, mi carga sería el doble que la tuya En cambio si te diera un libro, tu carga igualaría a la mía Cuántos libros llevaba cada hermano? 2 [29] [EXT] a) Sean las matrices A = 2a bc, I = verifique que A - = 2I-A b) Calcular, en función de los valores del parámetro k, el rango de la matriz B = de orden 2 Hallar la relación entre los parámetros a, b, c para que se k Página 3 de 7

4 MasMatescom 22 [29] [EXT] a) Resolver el siguiente determinante sin usar la regla de Sarrus: b) Para M = -/2 3/4 /2, calcular Mn, con n N a b c -a+c -b-a -c+b a+c b-a c+b 23 [29] [JUN] a) Discutir y resolver en función de los valores del parámetro m el sistema lineal b) Teniendo en cuenta que = 2, determinar el valor del determinante a a 2 a - a a -2 a - x+ y+ z= mx + m 2 y+m 2 z= mx+ my+m 2 z= 24 [29] [JUN] a) Dada la matriz A =, calcular la inversa de la matriz A n b) Estudiar para qué valores del parámetro existe un único polinomio P(x) = a+bx+cx 2 que satisface P() =, P() =, P(-) = 25 [28] [EXT] Hallar una matriz X = ab cd de orden 2 tal que A- XA = B, siendo A = y B = [28] [EXT] a) Probar que a b c a 2 b 2 c 2 b) Hallar la solución del sistema de ecuaciones cada una de las incógnitas es 4 = (b-a)(c-a)(c-b) x+2y+3z = que además satisface que la suma de los valores correspondientes a x+4y+9z = 2 27 [28] [JUN] (a) Sean A, B, I las matrices: A =, B = el cual se satisfaga (A- I) 2 = B x y z (b) Teniendo en cuenta que 2 =, determinar el valor de x/4 4 y 4 z /2 2, I = Estudiar si existe algún valor de para 28 [28] [JUN] Dado el sistema x+3y-az = 4 -ax+y+az =, discutirlo según los valores de a, y resolverlo cuando sea compatible -x+2ay = a+2 2x-y-2z = 3 29 [27] [EXT-A] Dadas las matrices A = -8-3, I = : a) Comprobar que det A 2 = det(a) 2 b) Estudiar si para cualquier matriz M = ab cd de orden 2 se cumple que det M2 = det(m) 2 c) Encontrar la relación entre los elementos de las matrices M cuadradas de orden 2 que satisfacen det(m+i) = det(m)+det(i) Página 4 de 7

5 MasMatescom 3 [27] [EXT-B] Sean A = y B = k t k a) Estudiar para qué valores de y la matriz A tiene inversa b) Calcular A 5 c) Hallar la matriz inversa de B x+3y+z = 5 3 [27] [JUN-A] Considerar el sistema lineal de ecuaciones en x, y y z: mx+2z = my-z = m a) Determinar los valores del parámetro m para los que el sistema tiene solución única Calcular dicha solución para m = b) Determinar los valores del parámetro m para los que el sistema tiene infinitas soluciones Calcular dichas soluciones c) Estudiar si existe algún valor de m para el cual el sistema no tiene solución 32 [27] [JUN-B] Un cajero automático tiene 95 billetes de, 2 y 5 euros y total almacenado de 2 euros Si el númerototal de billetes de euros es el doble que el número de billetes de 2, averiguar cuantos billetes de cada tipo hay 33 [26] [EXT-A] La liga de futbol de un cierto país la juegan 2 equipos a doble vuelta Este año, los partidos ganados valían 3 puntos, los empatados y los perdidos puntos En estas condiciones, el equipo campeón de liga obtuvo 7 puntos Hasta el año pasado los partidos ganados valían 2 puntos y el resto igual Con el sistema antiguo el actual campeón hubiera obtenido 5 puntos Cuántos partidos ganó, empató y perdió el equipo campeón? 34 [26] [EXT-B] Teniendo en cuenta que 3a 3b 3c a+p b+q c+r -x+a -y+b -z+c a b c p q r x y z = 7, calcular el valor del siguiente determinante, sin desarrollarlo: 35 [26] [JUN-A] Se consideran las matrices A = 2 -- y B = 3 2 a) Encontrar los valores de para los que la matriz AB tiene inversa b) Dados a y b números reales cualesquiera, puede ser el sistema A enunciado? donde es un número real x y z = a b compatible determinado con A la matriz del 36 [26] [JUN-B] Sea la matriz A = a 2 ab ab ab a 2 b 2 ab b 2 a 2 a) Sin utilizar la regla de Sarrus, calcular el determinante de dicha matriz b) Estudiar el rango de A en el caso en que b = -a 37 [25] [EXT-A] A, B y C son tres ciudades que forman un triángulo de manera que entre cada dos de ellas hay una carretera recta que las une Se sabe que si se va de A a B dando la vuelta por C se hace un recorrido tres veces mayor que si se va directamente de A a B Asimismo, si para ir de A a C se da la vuelta por B, el recorrido es el doble que si se va directamente de A a C Calcular las distancia entre las tres ciudades sabiendo que la suma de las tres distancias es igual a 2 kilómetros Página 5 de 7

6 MasMatescom 38 [25] [EXT-B] Estudiar según el valor del parámetro, el sistema de ecuaciones compatible indeterminado x+y+z = x+ y+z = x+y+z = 2 y resolverlo si en algún caso es 39 [25] [JUN-A] Eva, Marta y Susana son tres jóvenes amigas que se comprometen a leer el Quijote este verano Cada una por separado y en función del tiempo del que dispone, decide leer un mismo número de páginas cada día hasta terminar la obra Eva leerá diariamente 5 páginas más que Marta y ésta 6 páginas más que Susana Por ello, Eva terminará la obra 2 semanas antes que Marta y ésta 3 días antes que Susana Se pregunta cuál es el total de páginas que tiene la versión de la inmortal obra cervantina que leen estas amigas 4 [25] [JUN-B] La terna (,,) es siempre solución del sistema x+2y-az = ax-y+z = 2ax+y-z = (a) Indicar para qué valores del parámetro a la citada terna es la única solución del sistema (b) Indicar algún valor del parámetro, si existe, para el cual el sistema tenga algunas solucione distintas de la nula y mostrar estas soluciones (Nota: Si se encuentran varios valores del parámetro cumpliendo la condición pedida, para responder a esta cuestión basta tomar uno solo de ellos) 4 [24] [EXT-A] Sea el sistema homogéneo de ecuaciones x+y-2z = ax-y+z = x+2ay-z = a) Determinar el valor o valores del parámetro a para que el sistema tenga soluciones distintas de la nula b) Resolver el sistema para el valor o valores de a hallados en el apartado anterior 42 [24] [EXT-B] Determinar una matriz cuadrada X que verifique AX+XA = 2-2, siendo A = 3 3 Luego analizar si la matriz X es inversible y, en caso de serlo, calcular su matriz inversa 43 [24] [JUN-A] Cuando el año 8 Beethoven escribe su primera Sinfonía, su edad es diez veces mayor que la del jovencito Franz Schubert Pasa el tiempo y es Schubert quien compone su famosa Sinfonía Incompleta Entonces la suma de las edades de ambos músicos es igual a 77 años Cinco años después muere Beethoven y en ese momento Schubert tiene los mismos años que tenía Beethoven cuando compuso su primera Sinfonía Calcular el año de nacimiento de cada uno de estos dos compositores Nota: Solamente se calificarán los resultados obtenidos matemáticamente, no los derivados de los conocimientos histórico-musicales del examinando 44 [24] [JUN-B] Sea el sistema es compatible indeterminado x+3y+z = 5 ax+2z = Se pide clasificarlo según los valores del parámetro a y resolverlo si en algún caso ay+z = 2 ax+y-z = 45 [23] [EXT-A] Discutir el sistema de ecuaciones x+2y-az = 2 según los valores del parámetro a -x+y-z = a- Entre los valores de a que hacen el sistema compatible, elegir uno en particular y resolver el sistema que resulte al reemplazar a por el valor elegido 46 [23] [EXT-B] Sean las matrices A = y B = Vemos que ambas tiene rango máximo, o sea 2 4- Determinar los valores de c tales que la matriz A+cB no tenga rango 2 Cuál es el rango que tienen las respectivas matrices suma? Página 6 de 7

7 MasMatescom 47 [23] [JUN-A] Luis, Juan y Oscar son tres amigos Luis le dice a Juan: Si yo te doy la tercera parte del dinero que tengo, los tres tendremos la misma cantidad Calcular lo que tiene cada uno de ellos, sabiendo que entre los tres reunen 6 48 [23] [JUN-B] Buscar una matriz X (pueden existir varias) cuyo primer elemento valga 2 y tal que la siguiente suma: X+X sea la matriz nula Soluciones a) - -, b) a) a -3 2, ; no b) xsenx xcosx -xcosx xsenx senx(cosx-) -sen 2 x-cosx A= , B= a {-4,}:inc; a {-4,}: cd 3 a) m b) c) a) m {2,3}: ci; m {2,3}:cd; m=-:(,,); m=2:(-k,-k,k) b) 6 4 a) , 2 2 b) -6 5 a) 4 b) =4: inc; =: (,,) 8 a) a=3: 2; a 3: 3 b) a) m {-2,2}: inc; m {-2,2}: cd b) -24 a) a = -2: inc; a = : ci a {-2,}: cd b) - 2, 2, 2 3 a) 4 b) c) c) 4 (,), a : cd b) no 8 a) = k ( ); = b) B = A 2 c) =: inc; : cd,, a) b) M si n impar I si n par 5 2, 5 a) -, b) 2 23 a) m=: inc; m=: ci (a,b,-a-b); m {,}: cd m+ m,,- m b) 2 a 2 24 a) a) 5 9 a) 4 b) x ; a) =, b) 2(ad-cb) 7 a) a=: inc; 9 a) a {,}; 44 b) 2 2 a) 3 b) 5, 7 2 a) c = ; ab = - b) k=: 2; k : -n (3,-4,5) 27 (a) 2 (b) 28 a = -3: compdet (,,); a = 2: compindet 4+8c 7,8+2c 7,c ; a {-3,2}: incomp 29 b) si c) a b c -a -k k 2 -t -k 3 a) m {-,}, (-2,2,) b) m = : (5-3k,k,) c) m = , 25, ,, a) -2, 2 b) P(x) = - x 2, 25 3 a) Nunca b) b) 26 b) c) b) no 36 a) a 2 (a+b) 2 (a-b) 2 b) a=: ; a : 37 AB=3, AC=5, AC=4 38 : compdet ; = -: compind (a,b,-a-b) (a), 2 (b) a=: (-2k,k,k) ; a=2: (,k,k) 4 a = : (k,k,k) ; a = - 4 : 4k 3,2k 3,k 42 X= ; X- = cd; a = : (2,,-) 46 c {-,6} rango ; c {-,6} rango ,, , a = 5: incomp; a = : comp ind 5-3k,k, ; a {,5}: comp det 45 a = -, inc; a = 2, ci; a {-,2}, 2 2c+2 c+2 c, c Página 7 de 7