UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR MA1116 abril-julio de 2004 Departamento de Matemáticas Puras y Aplicadas. Ejercicios sugeridos para :

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1 V 1 / 8 Ejercicios sugeridos para : los temas de las clases del 18 y 20 de mayo de Temas : Rectas y planos en el espacio. Espacios vectoriales. Subespacios. Secciones 3.5, 4.2, 4.3, del texto. Observación importante: es muy importante que Usted resuelva también muchos ejercicios del texto. 1.- Escriba una ecuación paramétrica vectorial, ecuaciones paramétricas escalares y ecuaciones simétricas, para cada una de las siguientes rectas : 1a) Recta, r, que para por A(1, 2, 3) y es paralela al vector u(-1, 5, 2) ; 1b) recta, s, que pasa por los dos puntos (A(1, 2, 3), B(, 3, 5, 9) ; 1c) recta, m, intersección de los dos planos de ecuaciones x+y-z = 1, x+3y-4z = Halle una ecuación para cada uno de los siguientes planos : 2a) Plano. α, que pasa por el punto A(1, 3, 0) y es perpendicular a la recta que pasa por los puntos P(2, 2, 2), Q(3, 4, 7) ; 2b) plano. β, que pasa por los tres puntos A(1, 1, 0), B(2, -1, 4), C(2, 3, 1); 2c) plano, γ, que pasa por los dos puntos A(1, 1, 0), B(2, -1, 4) y es paralelo a la recta de ecuaciones x-1= 2y+4 = 3-z ; 2d) plano, δ, que pasa por el punto A(1, 1, 0) y además es perpendicular al plano de ecuación x+4y-3z=17 y paralelo a la recta de ecuaciones x =y =z. 3.- Halle el coseno del ángulo agudo que forma la recta representada por x = 2y = 3z con la recta intersección de los dos planos de ecuaciones x+z=0, x - 2z +3y = Halle el seno del ángulo agudo que forman el plano de ecuación x+y+2z = 4 con la recta que pasa por los puntos A(1, 1, 1), B(2, 3, -5). 5.- Halle la distancia del punto C(2, 2, 4) a la recta que pasa por los dos puntos A(1, 2, 3), B(3, 3, 5). 6.- Halle la distancia entre las dos rectas representadas por :{ x-y+7z=0 x+y-3z=4, x=y=z. [sugerencia : si A es un punto de la primera recta, B es un punto de la segunda recta, u es un vector perpendicular a ámbas rectas, entonces la distancia pedida es el módulo del vector proy u AB ]. 7.- Dado el tetraedro de vértices O(0, 0, 0), A(1, 2,-3), B(1, 1, 0), C(3,-2, 5), halle la proyección ortogonal del vértice A sobre el triángulo OBC [ es decir : el punto de intersección del plano por O, B, C con la recta que pasa por A y es perpendicular a tal plano].

2 V 2 / 8 8.-Resuelva con detalle los ejercicios 16, 17 de la sección 4.2, pag. 298 del texto. Ojo : esto no significa que no sea conveniente que resuelva también muchos otros del texto... En ámbos ejercicios se define una misma suma en R 2 en la forma siguiente : (x 1,y 1 ) (x 2,y 2 ) = (x 1 +x 2 +1, y 1 +y 2 +1) ; En el ejercicio #16, la multiplicación por escalares es la usual : α(x, y)=(αx, αy) ; En el ejercicio #17 : α (x, y) = (α+αx-1, α+αy-1). En particular indique (y justifique) cuales de los axiomas de espacio vectorial no se cumplen en #16 ; también justifique con detalle que en #17 se cumplen las dos propiedades distributivas. 9.- Averigüe (y justifique) cuales de los siguientes conjuntos [con las operaciones de suma y multiplicación por escalares usuales] son espacios vectoriales y cuales no. 9a) Todas las matrices de un mismo tamaño, mxn, con componentes reales ; 9b) todas las matrices de tamaño 2x3 con almenos una componente =0 ; 9c) todas las matrices de tamaño 2x3 con almenos una componente 0 ; 9d) todos los polinomios, P(x), con coeficientes reales; 9e) todas las funciones f: R R continuas ; 9f) todas las funciones f: R R no continuas ; 9g) el espacio cartesiano R n con la suma y la multiplicación definidas tratando los puntos como "vectores fila" : x=(x 1, x 2,..., x n ), y=(y 1, y 2,..., y n ), x+y=(x 1 +y 1, x 2 +y 2,..., x n +y n ), αx=(αx 1, αx 2,..., αx n ); 9h) el conjunto de todas las matrices 2x2, con determinante nulo; 9i) el conjunto de todas las matrices 2x2, con determinante no nulo; 9j) el conjunto de todos los polinomios cuyos coeficientes son todos positivos o nulos En cada uno de los siguientes caso, donde se asigna un espacio vectorial, V, y un subconjunto, W, del mismo, diga, justificando, si W [con las operaciones inducidas por las de V] es subespacio de V o no. 10a) V = P 4 [= espacio vectorial formado por los polinomios de grado 4 (incluyendo el polinomio nulo), W = {f P 4 f(17)= 0} = subconjunto de los polinomios de P 4 que se anulan en x=17;

3 V 3 / 8 10b) V = P 4 [= espacio vectorial formado por los polinomios de grado 4 (incluyendo el polinomio nulo), W = {f P 4 f(17)f(11)= 0} = subconjunto de los polinomios de P 4 que se anulan en x=17 ó en x=11; 10c) V= M 2,3 (matrices reales de tamaño 2x3); W={A=(a i,j ) M 2,3 a 1,2 + a 2,2 +a 1,3 =0}; 10d) V=R 3 (tratando los puntos como "vectores fila"); W = {(x, y, z) x+2y-5z=0} ; 10e) V=R 3, W = {(x, y, z) x+2y-5z=1 } ; 10f) V=R 3, W={(0, 0, 0)} ; 10g) V=R 3, W= { (x, y, z) x=2t, y=-t, z=7t, t R} ; 10h) V= M 3,3, W= { A M 3,3 A es antisimétrica}; 10i) V= M 3,3, W= { A M 3,3 A es triangular superior}; Opcionales : 11) demuestre que la distancia, h, de un punto P 1 (x 1,y 1,z 1 ) al plano de ecuación ax+by+cz+d=0 se puede expresar con la fórmula : h = ax 1+by 1 +cz 1 +d. a 2 +b 2 +c 2 12a) Demuestre que, dados los planos de ecuaciones x+y-3z=0, 2x-y+z -3 = 0 y dos constantes, h, k no ámbas nulas, la ecuación h(x+y-3z)+k(2x-y+z -3) = 0 representa un plano que contiene la recta de intersección de los dos planos dados; 12b) use 12a) para hallar la ecuación del plano que pasa por el punto A(1, 2, 5) y contiene a la recta de intersección de los dos planos dados [sin hallar explícitamente tal recta intersección]. 13) Halle la ecuación del plano tangente en el punto A(2, 3, 6) a la esfera de ecuación x 2 +y 2 +z 2 = ) Demuestre que si W, H son dos subespacios de cierto espacio vectorial V, entonces V H también es subespacio, mientras que V H generalmente no lo es. [Nota : el conjunto V H (intersección de V con H) está formado por todos los vectores comunes a V y H; el conjunto V H (unión de V con H) está formado por todos los vectores que pertenecen a almenos uno de los dos]

4 V 4 / 8 respuestas. 1a) ecuación paramétrica vectorial : OP =(1, 2, 3)+t(-1, 5, 2) ; ecuaciones paramétricas escalares : x=1-t y=2+5t z=3+2t ; ecuaciones simétricas : x-1-1 = y-2 5 = z-3 2 ojo : estas ecuaciones no son únicas ya que dependen de un punto de la recta y un vector paralelo. A título de ejemplo, si en lugar de usar el punto A(1, 2, 3) y el vector u=(-1, 5, 2) hubiésemos usado otro punto de la recta, por ejemplo B(0, 7, 5) y otro vector paralelo, por ejemplo v=(2,-10,-4), habríamos hallados las ecuaciones siguientes : OP =(0, 7, 5)+t((2,-10,-4); x=2t y=7-10t z=5-4t ; x 2 = y-7-10 = z b) u=ab=(2, 3, 6) ; OP=(1, 2, 3)+t(2, 3, 6) ; x-1 2 = y-2 3 = z-3 6 ; x=1+2t y=2+3t. z=3+6t c) [ ] /2- (1/2)t x= y= -(1/2) + (3/2)t ; usando el punto z=t C(1, 1, 1) [que se obtiene de la representación paramétrica hallada, con t=1] y el vector paralelo u= (-1, 3, 2), podemos también obtener otra representación paramétrica : OP= (1, 1, 1)+t(-1, 3, 2) ; x=1-t y=1+3t z=1+2t y las ecuaciones simétricas: x-1-1 = y-1 3 = z-1 2 2a) vector perpendicular al plano : n = PQ=(1, 2, 5) ; 1.(x-1)+2.(y-3)+5.(z-0) = 0 ; x+2y+5z - 7 = 0. 2b) un vector perpendicular al plano dado, se obtiene como vector perpendicular a los dos vectores AB= (1,-2, 4), AC= (1, 2, 1) n= (1,-2, 4)x(1, 2, 1)= (-10, 3, 4) ; -10.(x-1)+3.(y-1)+4.(z-0) = 0 ; -10x+3y+4z+7 = 0. 2c) un vector paralelo a la recta dada es v=(2, 1,-2) ; un vector perpendicular al plano pedido será perpendicular a los vectores v, AB= (1,-2, 4), así que podemos tomar : n= ABxv =(0, 10, 5) o (0, 2, 1) ecuación del plano pedido : 2y+z = 2. 2d) un vector perpendicular al plano que se busca, será perpendicular a los vectores (1, 4,-3), (1, 1, 1), luego n = (1, 4,-3)x(1, 1, 1)= (7,-4,-3) 7(x-1)-4(y-1)-3(z-0) = 0 ; 7x-4y-3z -3 = 0..

5 V 5 / 8 3) vector paralelo a la primera recta : u= (6, 3, 2) ; vector paralelo a la segunda recta : v= (-1, 1, 1) ; u. v cos(ϕ) = u.v = (6, 3, 2).(-1, 1, 1) = = -1 ; u = 7; v = 3 cos(ϕ) = -1 = coseno de un ángulo obtuso ; si de este número 7 3 consideramos el valor absoluto, o si en lugar del vector v consideramos el vector (1,-1,-1), 1 obtenemos el coseno del ángulo agudo que forman las dos rectas dadas : 7 3 = ) el seno del ángulo agudo entre el plano y la recta dados, es el coseno del ángulo agudo que forman la recta dada y una perpendicular al plano. Por lo tanto tenemos, considerando los dos vectores : n = (1, 1, 2), u= -1,-2, 6) sen(α) = cos(ϕ)= n.u n. u = ) Este es el ejercicio #12 del problemario IV : AB = (2, 1, 2), AC = (1, 0, 1). Siguiendo la sugerencia [del ejercicio 12 del problemario #4] : proy AB (AC) = AC.AB (AB) 2 AB = 4 9 (2, 1, 2) ; C'C= AC - proy (1,-4, 1) AB(AC) = 9 ; Distancia del pto. C a la recta por A, B = CC' = ) hallemos previamente dos vectores : v=(1, 1,-3)x(1,-1, 7) = (4,-10,-2), paralelo a la primera recta, w=(1, 1, 1), paralelo a la segunda recta, y u= wx( 1 2 )v = (4, 3,-7). Un punto de la primera recta es A(2, 2, 0), un punto de la segunda recta es B(0, 0, 0). (-2,-2,0).(4, 3-7) Siguiendo la sugerencia : proy u (AB) = u 2 u proy u (AB) = ) Para hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos O, B, C, hallemos un vector, n, perpendicular a los vectores OB= (1, 1, 0), OC = (3,-2, 5) : n = (1,-1,-1) ; ecuación del plano, α, que pasa por O, B, C : x-y-z = 0 ; recta, r, por A, perpendicular al plano α : x=1+t y=2-t z=-3-t ; el punto, A', intersección de la recta r con el plano α, se puede obtener resolviendo el sistema de cuatro ecuaciones y cuatro incógnitas : (1+t)-(2-t)-(-3-t) = 0 t= -2/3 A'(1/3, 8/3, -7/3). x=1+t y=2-t z=-3-t x-y-z=0

6 V 6 / 8 8) La verificación de las propiedades ii-iii-iv-v de la tabla de pag. 292 del texto, es igual en los dos ejercicios #16, 17, ya que la definición de "suma" es la misma. Por ejemplo, el elemento neutro de la suma resulta ser (-1,-1) y el opuesto de (x, y) resulta ser (-x-2,-y-2), ya que, por ejemplo, (-1,-1) (x,y) =(-1+x+1,-1+y+1) = (x, y), (x, y) (-x-2,-y-2) = (x+(-x-2)+1, y+(-y-2)+1) = (-1,-1) ; las propiedades ii,v se verifican facilmente. Por ejemplo, en el caso de la propiedad v : (x, y) (z, t) = (x+z+1, y+t+1) = (z+x+1, t+y+1) = (z, t) (x, y). R 2 con las operaciones definidas en #16 cumple con todas las propiedades excepción hecha para las dos propiedades distributivas ( vii, viii). Por ejemplo : a((x, y)+(z, t)) = a(x+z+1, y+t+1) = (ax+az+a, ay+at+a) ; a(x, y) = (ax, ay), a(z, t)= (az, at) ; a(x, y)+a(z, t) = (ax, ay)+(az, at) = (ax+az+1, ay+at+1) (ax+az+a, ay+at+a). R 2 con las operaciones definidas en #17 cumple con todas las propiedades, sin excepciones. Por ejemplo, verifiquemos las propiedades viii y x : viii : (a+b) (x, y) = ( (a+b)+(a+b)x-1, (a+b)+(a+b)y-1) ; (a (x, y)) (b (x, y)) = (a+ax-1, a+ay-1) (b+bx-1, b+by -1) = =((a+ax-1)+(b+bx-1)+1, (a+ay-1)+(b+by-1)+1) = (a+b+(a+b)x -1, a+b+(a+b)y - 1). x : 1 (x, y)= (1+1.x-1, 1+1.y -1) = (x, y). 9) Son espacios vectoriales a-d-e-g b) no está bien definida la suma; por ejemplo A= [ ], B= [ ] una componente nula, sin embargo A+B= [ 5 6 4] c) A= [ ], B= [ 2 0 0] ; A+B= [ ] ; tienen almenos no tiene almenos una componente nula; 9f) la única función que pudiera actuar como elemento neutro respecto a la suma (propiedad iii) es la función nula, que es continua y no pertenece al conjunto aqui considerado; un argumento como este se podía también considerar en el caso 9c) h) A= [ 0 0 ], B= 0 0 [ 3 4 ], A+B= 1 2 [ 3 4 ] 1 0 9i) A= [ 0 1 ], B= 0 1 [ 1 0 ], A+B = 1 1 [ 1 1 ] ; A =0, B =0, A+B 0. ; A 0, B 0, A+B = 0. 9j) Sumando dos polinomios con coeficientes no negativos, se obtiene un polinomio con coeficientes no negativos. En este caso no está bién definida la multiplicación por números. Por ejemplo el polinomio (-1)(2+3x+4x 2 ) = -2-3x-4x 2 (no tiene todos sus coeficientes no negativos).

7 V 7 / 8 10) observación importante. Para verificar que un subconjunto, W, de cierto espacio vectorial V, [con las operaciones de suma y multiplicación por números inducidas] es un subespacio es suficiente verificar que : 1) W ; 2) u, v W u+v W ; 3) r R, u W r.u W. La condición 2) expresa el "cierre de W respecto a la operación de suma" dada en V ; la condición 3) expresa el "cierre de W respecto a la operación de multiplicación por escalares" dada en V ; Otra observación. A estas dos condiciones 2), 3) se debe el enunciado (poco conveniente) de los axiomas i, vi de la tabla de pag, 292 del texto. Sería mejor reemplazar estos dos enunciados por los siguientes : i') "en V está definida una operación de suma de vectores" [cuyo resultado es un vector de V]; vi') "en V está definida una operación de multiplicación de vectores por escalares" [cuyo resultado es un vector de V]. Son subespacios a-c-d-f-g-h-i ; no son subespacios b-e. 10a) (x-17) W W ; f W, g W f(17)=g(17)=0 (f+g)(17)=f(17)+g(17) = 0+0 = 0 f+g W ; r R, f W f(17)=0 (rf)(17) = r(f(17))= r.0 = 0 rf W. 10b) sean f=x-11, g=x-17 ; como (f+g)(11)= -6, (f+g)(17) = 6 se tiene que (f+g) W; por lo tanto, como f, g W pero (f+g) W, no se cumple el cierre respecto a la suma (propiedad 2) ) c) [ ] W W ; A=(a ij ), B=(b ij ) W a 12 +a 22 +a 13 =b 12 +b 22 +b 13 =0 ; C=A+B=(c ij )=(a ij +b ij ) ; c 12 +c 22 +c 13 = (a 12 +b 12 )+(a 22 +b 22 )+(a 13 +b 13 ) = (a 12 +a 22 +a 13 )+(b 12 +b 22 +b 13 )= = 0+0 = 0 A+B W ; r R, A=(a ij ) W a 12 +a 22 +a 13 =0 ra= (ra ij ), ra 12 +ra 22 +ra 13 =r( a 12 +a 22 +a 13 )=0 ra W. 10e) x=(x 1, x 2, x 3 ), y=(y 1, y 2, y 3 ) W (x 1 +y 1 )+2(x 2 +y 2 )-5(x 3 +y 3 )= =(x 1 +2x 2-5x 3 )+(y 1 +2y 2-5y 3 )= 1+1 = 2 1 x+y W ; no se cumple el cierre respecto as la suma (tampoco se cumple el cierre respecto a la multiplicacieon por números). Otra observación importante. En 10d) el subconjunto W de R 3 está definido por una ecuación lineal homogénea; en 10g) el conjunto W (que es una recta por el origen) se puede definir por el sistema homogéneo { 7y+z=0 x+2y=0 ; es fácil verificar que, en general, el conjunto de todas las soluciones de un sistema homogéneo en n incógnitas (y cualquier número de ecuaciones)

8 V 8 / 8 es un subespacio vectorial de R n [en efecto es un conjunto no vacío de R n y se cumplen el cierre respecto a la suma y el cierre respecto a la multiplicacióin por números]. 11) Si P 0 (x 0, y 0, z 0 ) es cualquier punto del plano dado, la distancia pedida es igual al módulo del vector w=proy (a,b,c) P 0 P 1 ; proy (a,b,c) P 0 P 1 = (x 1-x 0, y 1 -y 0, z 1 -z 0 ).(a,b,c) (a,b,c) 2 (a, b, c) = a(x 1-x 0 )+b(y 1 -y 0 )+c(z 1 -z 0 ) (a,b,c) 2 (a, b, c); proy (a,b,c) P 0 P 1 = a(x 1-x 0 )+b(y 1 -y 0 )+c(z 1 -z 0 ) = a(x 1-x 0 )+b(y 1 -y 0 )+c(z 1 -z 0 ) ; (a,b,c) a 2 +b 2 +c 2 por último, observemos que como el punto P 0 (x 0, y 0, z 0 ) pertenece al plano dado, se tiene ax 0 +by 0 +cz 0 +d = 0 por lo cual a(x 1 -x 0 )+b(y 1 -y 0 )+c(z 1 -z 0 ) = ax 1 +by 1 +cz 1 +d. 12a) La ecuación h(x+y-3z)+k(2x-y+z -3) = 0 representa evidentemente un plano. Si P 0 (x 0, y 0, z 0 ) es un punto cualquiera de la recta común a los dos planos dados, entonces x 0 +y 0-3z 0 =0, 2x 0 -y 0 +z 0-3=0 y por lo tanto : h(x 0 +y 0-3z 0 )+k(2x 0 -y 0 +z 0-3) = h.0 + k.0 = 0 P 0 al plano de ecuación h(x+y-3z)+k(2x-y+z -3) = 0. 12b) pongamos la condición que el plano de ecuación h(x+y-3z)+k(2x-y+z -3) = 0 pase por el punto A(1, 2, 5) : h(1+2-15)+k( ) = 0-12h+2k =0 podemos poner h=1, k=6, luego el plano se particulariza en : (x+y-3z)+6(2x-y+z -3) = 0 13x -5y +3z-18 = 0. 13) Recordemos (de la geometría elemental) que el plano tangente a una esfera de centro C en cierto punto A es perpendicular al segmento CA. En nuestro caso tenemos : C(0, 0, 0), CA= (2, 3, 6) ; luego el plano buscado tendrá ecuación : 2(x-2)+3(y-3)+6(z-6) = 0 2x+3y+6z - 49 = 0. 14) Como W, H contienen ámbos el vector nulo de V, se tiene que W H ; u, v W H u, v W, u, v H luego u+v W, u+v H u+v W H. r R, u W H u W, u H luego ru W, ru H ru W H. W H es un subespacio sólo en el caso que uno de los dos H, W esté contenido en el otro. En el caso que esto no se cumpla, existirá un vector u H, con u W y otro vector, v W. con v H ; como u, v W H deberíamos tener u+v W H para que se cumpla el cierre respecto a la suma. Sin embargo, si fuese u+v W H deberíamos tener u+v W o u+v H, ninguna de las cuales se cumple. Por ejemplo si fuese w=u+v W seguiría (como v W ) u= w-v W mientras que sabemos que por hipóteses u W. Análogamente en el otro caso.

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