Se pide: estudiar su compatibilidad según los valores del parámetro a, y resolverlo cuando sea compatible.(3 puntos).

Transcripción

1 PAU. CASTILLA Y LEON a x + y z = z PR-1. Dado el sistema x + ay + z = x 3x + 3y + z = y Se pide: estudiar su compatibilidad según los valores del parámetro a, y resolverlo cuando sea compatible.(3 puntos). PR-2. Se desea construir un jardín limitado, en dos de sus lados, por un río que forma un codo de 135º y en los otros dos por una valla ABC de 1,2 km de longitud (ver figura). Hallar las dimensiones del jardín de área máxima. ( 1 punto) C.1. Resolver la ecuación matricial AX = B, siendo, A 1 2 = 0 1 B = (1 punto).c.2. Hallar el volumen del tetraedro cuyos vértices son el punto (1, 1, 1) y los puntos en los que el plano 2x + y + z = 2 corta a los ejes de coordenadas. C.3. Calcular, simplificando todo lo posible el resultado, la derivada de las siguientes funciones: 1+ x (0,5 puntos) a) f ( x) = ln (0,5 puntos) b) 1 x 1 x 2 2 ( ) t f ( x) = e 1+ t dt (1 punto).c.4. Determinar m, si es posible, para que el plano de ecuación 2mx - 3(m - 1)y - (m + 3)z + 2m + 4 = 0 sea ortogonal a la recta de ecuación y x = = z 2

2 PAU. CASTILLA Y LEON - SEPTIEMBRE PRUEBA A PR-1. a) De las siguientes operaciones con determinantes de orden 2 x 2 señalar las que son correctas y, en su caso, enunciar las propiedades que se utilizan: a a , 4 y 2 b b = 2 6 = = 1 3 (1,5 p) b) Dadas las matrices A y B de orden 4 x 4 con A = 3, y B = 2 calcular 1 t 1 A, B A y A B, justificando la respuesta. t ( ) PR-2. Una partícula se mueve por la curva 2x + 1, y = x 2 x > 2. En el punto P de abscisa x = 3, abandona la curva y se desplaza a lo largo de la recta tangente a la curva en dicho punto. a) Calcular la ecuación de la recta tangente en P. b) Hallar el punto en el que la partícula encuentra a la asíntota horizontal a la curva. c) Hallar el área encerrada por la curva, la recta tangente y las rectas cuyas ecuaciones son x = 3 y x = 4. C.1. Si A es una matriz de orden n tal que A 2 = A y B = 2A I, siendo I la matriz identidad de orden n, calcular B 2. C.2. Calcular lím(1 + 2x) 4 / x. x 0 x z + x z C.3. Dadas las rectas r = y = y s = y =, estudiar la posición relativa. (1 p). C.4. Siendo f(x) = (x + 1) 2 y g(x) = 3x, calcular la derivada de la función compuesta g(f(x)).

3 PAU. CASTILLA Y LEON - JUNIO PRUEBA A PR-1. Una matriz cuadrada A tiene la propiedad de que A 2 = 2A + I, donde matriz unidad. a) Demostrar que A admite matriz inversa, y obtenerla en función de A. 1+ m 1 b) Dada la matriz B =, hallar para qué valores de m se verifica que 1 1 m B 2 = 2B + I, y para esos valores escribir la matriz inversa de B. PR-2. a) Enunciar el teorema fundamental del cálculo integral. b) Calcular una primitiva de la función x ln(1+ x 2 ). c) Determinar el área encerrada por la gráfica de la función anterior, el eje OX y la recta x = 1. C.1. Qué relación debe existir entre a y b para que los tres vectores (a, b, 1), ( b, 1, a) y ( a, b, a) estén sobre un mismo plano? π C.2. Dados los planos 1 : 3x + 4y + 5z = 0, π 2 : 2x + y + z = 0 y el punto A( 1, 2, 1), π hallar el plano que pasa por el punto A y por la recta intersección de los planos 1 y π 2 C.3. Calcular, simplificando el resultado todo lo posible, la derivada de la función: f ( x) 1 cos x = ln 1 + cos x C.4. Hallar razonadamente la excentricidad de una elipse, sabiendo que los segmentos que unen los extremos de su eje menor con cada uno de los focos forman un cuadrado.

4 PAU. CASTILLA Y LEON - JUNIO PRUEBA A PR-1. a) Enunciar el Teorema de Rouché-Fröbenius. b) Analizar en función del parámetro a el sistema de ecuaciones: x 2y z = 1 ax y + 2z = 2 x + 2y + az = 3 c) Resolver el sistema cuando a = 3, a = 0. PR-2. Dos hermanos heredan una parcela que han de repartirse. La parcela es la región plana limitada por la curva y = x 1 y la recta 1 y = 2 ( x 1) a) Calcular el área de la parcela. b) Deciden dividir la parcela, en partes iguales, mediante una recta de la forma y = a, (a > 0). Hallar el valor de a. C.1. Sea A una matriz cuadrada de orden 2 verificando que 2 A 2 = A. Calcular razonadamente los posibles valores del determinante de A. C.2. Si u y v y v son vectores ortogonales y de módulo 1, hallar los posibles valores del parámetro real a para que los vectores u + av y u av formen un ángulo de 60º. x e 1 lim x 0 C.3. Calcular cos x 1 2 C.4. Dados los puntos A(-5, -1), B(2, 4), C(0, 2), sea M el punto medio del segmento BC. Calcular la ecuación de la circunferencia cuyo diámetro es el segmento AM.

5 PAU. CASTILLA Y LEON - SEPTIEMBRE PRUEBA A PR-1. a) Calcular el valor de a para que la recta 2x 3y = 1 r x + y z = 2 y el plano π az y + z = 5 sean paralelos. b) Existe algún valor de a para el que r y π sean perpendiculares? c) Hallar el valor de a para que el ángulo formado por la recta r y el planoπ sea de 30º. PR-2. Dada la curva 2 y = x + a a) Calcular algún valor de a para que las tangentes a la curva en los puntos de abscisa de valor absoluto uno, pasen por el origen de coordenadas. b) Para a = 1, hallar el área del recinto limitado por la curva y las tangentes a la curva en los puntos (1, 2) y (-1, 2). C.1. Sea A una matriz cuadrada tal que A 2 = A + I, donde I es la matriz identidad. Se pude asegurar que A admite inversa? Razonar la respuesta. π C.2. Determinar a y b para que los planos 1 6x α y + 4z + 9 = 0 y π 2 9x 3y + β z β = 0 sean paralelos. Calcular la distancia entre dichos planos. C.3. Determinar un punto P sobre la curva y = 12 x 2 situado en el primer cuadrante, de forma que el área del rectángulo determinado por los dos ejes y las rectas paralelas a los ejes que pasan por P, sea máxima. C.4. Calcular lim x 0 ( x 1) e 2 sen x x

6 PAU. CASTILLA Y LEON - JUNIO PRUEBA A PR-1. Sean A, B y X tres matrices cuadradas del mismo orden que verifican la relación A X B = I, siendo I la matriz unidad. a) Si el determinante de A vale -1 y el de B vale 1, calcular razonadamente el determinante de X. (1,5 puntos) b) Calcular de forma razonada la matriz X si A = y B = ( ) = ( 1) x 0 F x t e dt 2 t PR-2. Dada la función, definida para todo x R, a) Calcular F (x), estudiar el crecimiento de F(x) y hallar las abscisas de sus máximos y mínimos relativos. (1,5 puntos) b) Calcular F (x), estudiar la concavidad y convexidad de F(x) y hallar las abscisas de sus puntos de inflexión. (1,5 punto) 2 C.1. Si u y v son vectores del plano con =, probar que los vectores son ortogonales. u v ( u + v) y ( u v) C.2. Calcular la distancia ente el plano π y el plano, que es 1 x + y z 1 = 0 π 2 paralelo a y pasa por el punto (4, 3, 7). π 1 C.3. Calcular cos x dx 3 sen x C.4. Calcular la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el origen de coordenadas y pasa por los focos de la elipse 2 2 x y + =

7 PRUEBA B PR-1. a) Hallar la recta que corta a las rectas y pasa por el punto A(-2, 0, -7). x y 2 z 1 r = = y x + 2y + 2 = 0 s 2y + z 5 = 0 b) Calcular la distancia del punto A a la recta r. PR-2. a) Enunciar la regla de Barrow. (1 punto) b) Hallar el área del recinto limitado por las parábolas 2 = 2, = x y x y 2 y la recta y = 2x. C.1. Calcular razonadamente la matriz A sabiendo que verifica la igualdad A = C.2. Calcular el ángulo que forma la recta 2x - 5y + 7z - 11 = 0 x 3 y + 1 z 1 = = con el plano f 3 2 ( ) ( ) C.3. Dadas las funciones ( x ) = x + x + 1 y g x = ln x + 8 calcular su derivada., escribir la función g o f y C.4. Calcular lim x x 1 e x

8 PAU. CASTILLA Y LEON - SEPTIEMBRE 02 PRUEBA A PR-1. Se consideran los planos Π 1 x + y + z = 0 y Π 2 x - y + z = 1. Se pide: a) Hallar un plano perpendicular a ambos pasando por el punto (1, 2, -1). b) Determinar una recta paralela a ambos pasando por el punto (2, 1, 1). (1 punto) c) Calcular el ángulo que forman Π 1 y Π 1 PR-2. a) Enunciar el teorema de los incrementos finitos. b) Una función f(x), derivable en toda la recta, verifica: f(0) = -2, f(2) = 6 b1) Aplicando el teorema anterior, probar que existe un punto c en el intervalo (0, 2) tal que f (c) = 4. b2) Si además f(x) tiene derivada continua y f (0) = 0, probar que hay un punto en el intervalo (0, 2) en el que la derivada de f toma el valor C.1. Dadas las matrices A = y B = , hallar para qué valores de m la matriz B + ma no tiene inversa. C.2. Calcular el valor de a para que el producto vectorial de los vectores (a, -a, 2) y (2, a, 1) sea proporcional al vector (1, 1, 0). (1 punto) C.3. Calcular C.4. Calcular 1+ x 1 x lim x 0 sen x x dx x

9 PRUEBA B PR-1. La circunferencia x 2 + (y + 4) 2 = 25 corta al eje OX en los puntos F 1 y F 2 a) Hallar las coordenadas de los puntos F 1 y F 2. b) Hallar la ecuación de la elipse cuyos focos son F 1 y F 2 y cuyo eje mayor es igual al diámetro de la circunferencia anterior. PR-2. La gráfica de la función y = cos x en el intervalo [0, Π/2] determina con los ejes de coordenadas un recinto que queda dividido en dos partes por la gráfica de la función y = sen x. Determinar el área de cada una de esas partes. C.1. Si los determinantes de las matrices cuadradas de orden tres A y 2A son iguales, calcular el determinante de A. Existe la matriz inversa de A? C.2. Hallar el plano que contiene a la recta x 5 y + 2 z = = y es paralelo a la recta x C.3. Dada la función f ( x) y + 2 = = z ( 1) ( x ) sen x + sen x + = cos x cos + 1 calculando su derivada, que f(x) es constante. en el intervalo [0, Π/2], demostrar, C.4. Hallar a, b y c para que la función f (x) = x 3 + ax 2 +bx + c tome el valor 0 para x= 1, presente un máximo relativo en x = -1 y un mínimo relativo en x = 0.

10 PAU. CASTILLA Y LEON - JUNIO 2003 PRUEBA A PR-1. a) Hallar el valor del parámetro a para que los planos de 2x y + z = 3 ecuaciones: x y + z = 2 se corten en un a recta r. (1,5 puntos) 3x y + az = 4 b) Obtener la ecuación del plano que pasa por el punto P(2, 1, 3) y contiene a la recta r del apartado anterior. x PR-2. Dada la función f ( x) =, 2 hallar: x + 1 a) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento y sus máximos y mínimos relativos. b) El área de la región limitada por la gráfica de f, el eje OX y las rectas x = 1, x = 1. C.1. Estudiar el rango de la matriz A, según los distintos valores de m: A= m C.2. Hallar la distancia del punto P(2, 1, 1) a la recta C.3. Calcular x e x cos x lim x 0 2 sen x 1 x = 3 2 r y = + 3 λ z = λ C.4. Demostrar que la ecuación x 5 + 4x 3 +3 = 0 tiene exactamente una raíz en el intervalo [ 1, 1]. En qué resultados te basas?

11 PRUEBA B PR-1. Dadas las matrices C = A + mb A y B = , se define la matriz a) Hallar para qué valores de m la matriz C tiene rango menor que 3. b) Para m = 1, resolver el sistema lineal homogéneo cuya matriz de coeficientes es C. PR-2. a) Hallar a y b para que la función siguiente sea continua en x = 0: f ( x) ( ) ln e + senx si x < 0 = 3 x + ax + b si x 0 b) Hallar a y b para que f(x) sea derivable en x = 0. π c) Calcular f ' 2 C.1. Si A es una matriz cuadrada, la matriz A + At es igual a su traspuesta? Razonar la respuesta. (At es la matriz traspuesta de A) (1 punto) C.2. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(1, 2, 1), es paralela al plano π 2x + y z 3 = 0 y es perpendicular a la recta y 1 z 4 r x = = 1 3 C.3. Hallar el área de la región limitada por la curva y = x 2 y la recta y = 2x + 3. C.4. Cuál es la ecuación de la circunferencia de centro (3, 2) que es tangente al eje OX?

12 PAU. CASTILLA Y LEON - SEPTIEMBRE 2003 PRUEBA A PR-1. a) Discutir en función de los valores de m: 2x 3y = 0 x y + z = 0 x + 2y + mz = m b) Resolver en los casos de compatibilidad el sistema anterior. PR-2. Calcular el área de la región limitada por la gráfica de la función f (x) = (x 2) 2. (x + 2), el eje OX y las rectas x = 3, x = 2. C.1. Se consideran las matrices: m A = y B = m 0 2 donde m es un número real. Encontrar los valores de m para los que AB es inversible. C.2. Hallar un vector de módulo uno que sea ortogonal a los vectores (2, 2, 1) y (2, 0, 1). C.3. Calcular ( ) lim x ln x + 1 ln x x C.4. Hallar los puntos de la gráfica de f (x) = x 3 3x 2 + x en los que la tangente a la curva es paralela a la recta y = x.

13 PRUEBA B x 2z = 0 x + y = 0 PR-1. Dadas las rectas r y s: r y s y z = 2 x + 2z = a a) Hallar el valor de a para que ambas rectas estén en el mismo plano. b) Hallar la ecuación de dicho plano. PR-2. a) Hallar las coordenadas del punto P de la gráfica de la función y = 2cos x siendo 0 x π/2 con la propiedad de que la suma de la ordenada y la abscisa es máxima. b) Calcular el área comprendida por la curva y = 2cos x, y la recta y = 1 en el intervalo [ π/2, π/2]. C.1. Si A y B son dos matrices cuadradas que verifican AB = B 2, cuándo se puede asegurar que A = B? (1 punto) C.2. Cuál es el ángulo que forma la recta x = y = z con el eje OX? C.3. Utilizando la definición de derivada, estudiar la derivabilidad de la función f ( x) = x x 1 en x = 1. C.4. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (3, 5) y que es tangente a la recta 4x + 3y 2 = 0.

14 PAU-CASTILLA Y LEON.JUNIO 2004 PRUEBA A PR-1.- Sea la función y = 2 2 x e a) Estúdiese su monotonía, extremos relativos y asíntotas. b) Calcúlese el área de la región plana comprendida entre la gráfica de la función y las rectas x= 1 y x= -1. PR-2.- Sea la recta x + y + 1 = 0 r 2x z + 3 = 0. a) Escríbase la recta en forma paramétrica. b) Para cada punto P de r, determínese la ecuación de la recta que pasa por P y corta perpendicularmente al eje OZ. C-1.- De todas las primitivas de la función f ( x) 2tg ( x) sec 2 ( x) punto P(Π/4, 1). =, hállese la que pasa por el 1 = = x x C-2.- Demuéstrese que las gráficas de las funciones f ( x) e y g ( x) se cortan en un punto x > 0. C-3.- Se tiene una matriz M cuadrada de orden 3 cuyas columnas son respectivamente C1, C2 y C3 y cuyo determinante vale 2. Se considera la matriz A cuyas columnas son - C2, C3 + C2, 3C1. Calcúlese razonadamente el determinante de A -1 en caso de que exista esa matriz. C-4.- Determínese si el plano π 2x + 3y -4 = 0 corta o no al segmento de extremos A(2,1,3) y B(3,2,1)

15 PRUEBA B x + y + z = λ PR-1.- Se considera el sistema x + y + λz = 1 x + λ y + z = 1. a) Discútase según los valores del parámetro λ. b) Resuélvase para λ= 3. c) Resuélvase para λ = 1 PR-2.- Sea f( x)= x 3 +a x 2 +bx +c. Determínense a, b y c de modo que tenga un extremo relativo en x=0, la recta tangente a la gráfica de f( x) en x=1 sea paralela a la recta y-4x=0, y el área comprendida por la gráfica de f( x), el eje OX y las rectas x=0,x=1, sea igual a 1. C-1.- Calcúlese C-2.- Calcúlese 1 1 lim x 0 x sen x ( x 1) 3 x dx C-3.- Hállese la ecuación del plano que contiene a la recta r x=y=z y es perpendicular al plano Π x+y-z-1=0. C-4.- Dada la matriz XB+B=B B = hállese una matriz X que verifique la ecuación

16 PAU- CASTILLA Y LEON SETIEMBRE 2004 PRUEBA A PR-1.- Sea m un número real y sean r y π la recta y el plano dados respectivamente por 2x my + z = 2 m r x + 2y + z = 0, π 3x + 2z = 2 m a) Estúdiese la posición relativa de r y π en función del valor de m. b) Para el valor m=1, hállese la ecuación del plano que pasa por el punto de corte de r y π y es perpendicular a la recta t x= y= z. PR-2.- Sea f la función dada por ( ) 2 f x = x 3 x + 2, x R a) Estúdiese la derivabilidad de f en x = 0 mediante la definición de derivada. b) Determínense los intervalos de monotonía de f y sus extremos relativos. c) Esbócese la gráfica de f. C-1.- Sea A una matriz cuadrada de orden 4 cuyo determinante vale 3, y sea la matriz B = 4 3A Calcúlese el determinante de la matriz B. C-2.- Calcúlese la distancia entre las rectas r y s de ecuaciones x = 1+ 2λ x y 3 z 2 y = 0, s = = z = λ C-3.- Calcúlese el valor de lim x π / 2 tg tg ( 2x) ( 6x) C-4.- Hállese el área del recinto limitado por las parábolas de ecuaciones respectivas y=6x-x 2 e y= x 2-2x

17 PRUEBA B PR-1.- Se considera el sistema de ecuaciones lineales x + 2y + 3z = 1 x + ay + 3z = 2 2x + ( 2 + a) y + 6z = 3 a) Existe algún valor del parámetro a para el cual el sistema sea incompatible? b) Existe algún valor del parámetro a para el cual el sistema sea compatible determinado? c) Resuélvase el sistema para a=0. PR-2.- a) Dada la función f: [1,e ] R definida por ( ) 1 f x = + ln x, determínese de entre x todas las rectas tangentes a la gráfica de f la que tiene máxima pendiente. Escríbase la ecuación de dicha recta. b) Calcúlese una función primitiva de f(x) que pase por el punto P(e, 2). C-1.- Dadas las matrices P = y A = , hállese la matriz B sabiendo que P -1 B P=A C-2.- Hállese la ecuación general del plano que pasa por los puntos A(2,2,-1), B(4,0,2) y es perpendicular al plano π x-5y+2z-6=0. C-3.- Hállese el área limitada por las gráficas de las funciones y=3x-x 2, y=2x-2. C-4.- Determínese el valor del parámetro a para que se verifique ( x ) 2 ax x lim = 2 x

18 PAU-CASTILLA Y LEON.JUNIO 2005 PRUEBA A x + ay z = 2 PR-1.- a) Discútase el sistema 2x + y + az = 0, en función del valor de a. 3x + ( a + 1) y z = a 1 b) Para el valor a=1, hállese, si procede, la solución del sistema. PR-2.- a) Calcúlense los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función ( ) sus extremos relativos, puntos de inflexión y asíntotas. b) Esbócese la gráfica de f y calcúlese x f ( ) 3 1 x dx f x e 2 1 x =, C-1.- Sea A una matriz 2X2 de columnas C 1, C 2 y determinante 4. Sea B otra matriz 2X2 de determinante 2. Si C es la matriz de columnas C 1 + C 2 y 3 C 2, calcúlese el determinante de la matriz B C -1. C-2.- Calcúlese la distancia del origen al plano π que pasa por y contiene a la recta C-3.- Calcúlese C-4.- Aplicando el teorema de Lagrange de los incrementos finitos, demuéstrese que para x>0 se verifica:

19 PRUEBA B PR-1.- a) Determínese el punto simétrico de respecto de la recta b) Hállese la distancia entre A y r. PR-2.- Sea a) Estúdiense los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f y sus asíntotas. b) Pruébese que f tiene un punto de inflexión en el intervalo y esbócese la gráfica de f. C-1.- Dadas las matrices, hállense las matrices X que satisfacen C-2.- Dados el punto hállese el punto B perteneciente a r tal que el vector de extremos A y B es paralelo al plano π de ecuación 3 x -2 y +z +5 = 0 C-3.- Estúdiese, según los valores de los números reales α y β, la continuidad de la función f definida por C-4.- Hállese el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones

20 PAU-CASTILLA Y LEON.SEPTIMBRE 2005 PRUEBA A PR-1.- a) Calcúlense los valores de a para los cuales las rectas son perpendiculares. b) Para a=1, calcúlese la recta que pasa por (1,1,1) y se apoya en r y s. PR-2.- a) Estúdiese la derivabilidad de.sus intervalos de crecimiento y decrecimiento y sus puntos de inflexión. Esbócese su gráfica. b) Calcúlese el área delimitada por la gráfica de f(x) y las rectas x=-1,x=1,y=0 C-1.- Sea la matriz. Calcúlese el determinante de A sabiendo que, donde I es la matriz identidad y 0 es la matriz nula. C-2.- Discútase, según el valor de a, el rango de la matriz C-3.- Calcúlese el simétrico de P (1,1,1) respecto del plano x+y+z=0 C-4.- Calcúlense los valores de para los cuales

21 PRUEBA B PR-1.- Sea k un número real. Considérese el sistema de ecuaciones lineales a) Discútase según los valores de k e interprétese geométricamente el resultado. b) Resuélvase el sistema para. k=2 c) PR-2.- Sea P(a,sen a) un punto de la gráfica de la función en el intervalo [ 0, π]. Sea r p la recta tangente a dicha gráfica en el punto P y A p el área de la región determinada por las rectas d) Calcúlese el punto P para el cual el área es mínima. (Nota: Puede asumirse, sin e) demostrar, que la recta r p se mantiene por encima del eje 0X entre 0 y π C-1.- Calcúlese C-2.- Sea. Determínense los valores de m para los cuales no es invertible (donde Id denota la matriz identidad). C-3.- Calcúlese C-4.- Calcúlese el volumen del tetraedro de vértices, y

22 PAU-CASTILLA Y LEON.JUNIO 2006 PRUEBA A PR-1.- Sean r y s las rectas dadas por: a) Hállese el valor de m para que ambas rectas se corten. b) Para m=1, hállese la ecuación del plano que contiene a r y s. PR-2.- Considérense las funciones. Para cada recta r perpendicular al eje OX, sean A y B los puntos de corte de dicha recta con las gráfica de f y g, respectivamente. Determínese la recta r para la cual el segmento AB es de longitud mínima. C-1.- Hállense las matrices cuadradas de orden 2, que verifican la igualdad: C-2.- Calcúlese la distancia del punto a la recta C-3.- Calcúlese el valor de C-4.- Hállese el área del recinto limitado por la parábola y la recta

23 PRUEBA B PR-1.- Se considera el sistema de ecuaciones lineales a) Discútase el sistema según el valor del parámetro real a. b) Resuélvase el sistema para a=2. PR-2.- Dada la función, se pide: a) Determínense los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los de concavidad y convexidad, los puntos de inflexión y las asíntotas de f. Esbócese su gráfica. b) Calcúlese el área de la región limitada por dicha gráfica y las rectas x=0,y=0 C-1.- Dadas las matrices, hállese razonadamente la matriz B sabiendo que B P = A C-2.- Hállese la distancia entre el plano π, que pasa por los puntos, y el plano β de ecuación C-3.- Sea. Determínense a, b, c y d para que la recta y+1=0 sea tangente a la gráfica de f en el punto (0,-1), y la recta x-y-2=0 sea tangente a la gráfica de f en el punto (1,-1) C-4.- Determínense los valores de a y b para los cuales

24 PAU-CASTILLA Y LEON SEPTIEMBRE 2006 PRUEBA A PR-1.- a) Hállese el valor de a para el que la recta y el plano sean paralelos b) Para a = 2, calcúlese la ecuación del plano que contiene a r y es perpendicular a π PR-2.- a) Estúdiense los intervalos de crecimiento y decrecimiento,, sus máximos y mínimos relativos, asíntotas y puntos de inflexión. Demuéstrese que para todo x se tiene que b) Pruébese que la ecuación tiene alguna solución en C-1.- Sea m un número real. Discútase, en función de m, el sistema de ecuaciones lineales homogéneo cuya matriz de coeficientes es C-2.- Hállense las ecuaciones de la recta que pasa por está contenida en el plano y es perpendicular a la recta C-3.- Calcúlese C-4.- Calcúlese el área del recinto limitado por la curva de ecuación y por la recta tangente a dicha curva en el punto x = 0.

25 PRUEBA B PR-1.- Discútase, en función del parámetro real k el siguiente sistema de ecuaciones lineales: Resuélvase el sistema cuando sea posible PR-2.- Sea a) Determínense el dominio de f sus asíntotas, simetrías, y máximos y mínimo relativos. Esbócese su gráfica. b) Calcúlese C-1.- Existen máximos y mínimos absolutos de la función?. Justifíquese su existencia y calcúlense. C-2.- Dadas las matriz determínense los valores del número real a para los cuales existe la matriz inversa de P C-3.- Calcúlense las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de la función en el punto x = 0 C-4.- El triángulo ABC es rectángulo en A, siendo Calcúlese el valor de z y hállese el área del triángulo.

26 PAU-CASTILLA Y LEON JUNIO 2007 PRUEBA A PR-1.- Sea el plano y la recta Se pide: a) Calcular la distancia de la recta al plano.(1 punto) b) Hallar un plano que contenga a r y sea perpendicular a π (1 punto) c) Hallar el punto simétrico de respecto a π PR-2.- Sea f la función dada por a) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los de concavidad y convexidad, los puntos de inflexión y las asíntotas. Esbozar su gráfica b) Calcular el área de la región limitada por dicha gráfica y las rectas x = -4, x = -2 C-1.- Hallar para que valores de a es inversible y calcular la inversa de A para a = 0 C-2.- Calcular C-3.- Hallar el área del triángulo cuyos vértices son : C-4.- Demostrar que la curvas se cortan en algún punto del Intervalo

27 PRUEBA B PR-1.- Sean las matrices a) Hallar la matriz AB T, donde B T indica la matriz traspuesta de B. Es invertible? b) Hallar el rango de la matriz A T D c) Calcular que verifique la ecuación (AB T + C)M = E PR-2.- Sea la función a) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos, los intervalos de concavidad y convexidad y las asíntotas b) Demostrar que existe algún número real c tal que C-1.- Hallar a y b para que la función, sea continua en todo R C-2.- Dadas las rectas, hallar un punto de cada una de ellas, de tal forma, que el vector que los una sea perpendicular a ambas C-3.- Discutir en función de a el sistema C-4.- Hallare el área del recinto limitado por las curvas de ecuaciones

28 PAU.CASTILLA Y LEON.SEPTIEMBRE 2007 Opción A Ejercicio 1. Sea f: (0,+ ) R la función definida por f ( x) 3x + 1 = x a) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valores que alcanzan). b) Calcula el punto de inflexión de la gráfica de f. Ejercicio 2. Sea f: R R la función definida por f(x) = x x-2. a) Estudia la derivabilidad de f en x = 2. b) Esboza la gráfica de f. c) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f y el eje de abscisas. 1 m Ejercicio 3. Sea I la matriz identidad de orden 2 y A = 1 1 a) Encuentra los valores de m para los cuales se cumple que (A I) 2 = O, donde O es la matriz nula de orden 2 b) Para m = 2,halla la matriz X tal que AX 2A T = O, donde A T denota la matriz transpuesta de A. Ejercicio 4. (a) Halla los dos puntos que dividen al segmento de extremos A(1,2,1) y B(-1,0,3) en tres partes iguales. (b) Determina la ecuación del plano perpendicular al segmento AB que pasa por su punto medio

29 SEPTIEMBRE 07-Opción B Ejercicio 1. Determina una función f: R R sabiendo que su derivada viene dada por f (x) = x 2 + x 6 y que el valor que alcanza f en su punto máximo (relativo) es el triple del valor que alcanza en su punto mínimo (relativo). Ejercicio 2. Sea f: (-1,+ ) R la función definida por f(x) = Ln(x+1). (Ln denota la función logaritmo neperiano). a) Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 0. b) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f, la recta tangente obtenida en el apartado anterior y la recta x = 1. ax + y + z = 4 Ejercicio 3. Considera el sistema de ecuaciones x ay + z = 1 x + y + z = a + 2 a) Resuélvelo para el valor de a que lo haga compatible indeterminado. b) Resuelve el sistema que se obtiene para a = 2. Ejercicio 4. Considera los vectores u = (1,1,m), v = (0,m,-1) y w = (1,2m,0). a) Determina el valor de m para que los vectores u, v y w sean linealmente dependientes. b) Para el valor de m obtenido en el apartado anterior, expresa el vector w como combinación lineal de los vectores u y v.

30 PAU.CASTILLA Y LEON.JUNIO 2008 PRUEBA A PR-1.- Se considera el plano y la recta a) Determinar los valores de a para los cuales la recta y el plano son paralelos b) Para a = 2, calcular la recta que pasa por P(1, 0, -1), es paralela al plano y se apoya en la recta r. PR-2.- Sea. Se pide: a) Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos y las asíntotas. Esbozar su gráfica b) Calcular C-1.- Calcular C-2.- Determinar el valor de a para que la recta tangente a la función punto x = 0 sea perpendicular a la recta y + x = 3 en el C-3.- Sean las matrices Calcula la matriz A sabiendo que C-4.- Sabiendo que tres de los vértices de un paralelogramo son los puntos hallar el área del mismo

31 PRUEBA B PR-1.- Se considera el sistema a) Discutir el sistema en función del valor de a b) Resolver el sistema para a = 0 c) Resolver el sistema para a = 1 donde a es un parámetro real PR-2.- Dada,se pide:. a) Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función f(x) b) Calcular C-1.- Calcular las asíntotas de la función C-2.- Calcular el rango de la matriz C-3.- Demostrar que la ecuación intervalo (1, 2) tiene al menos una solución en el C-4.- Dada la recta, calcular el punto P de la recta r tal que la perpendicular a r por P pase por el punto (1, -1).

32 PAU.CASTILLA Y LEON.SETIEMBRE 2008 PRUEBA A PR-1.- Sea a un parámetro real. Se considera el sistema a) Discutir el sistema en función del valor de a b) Resolver el sistema para a = 0 c) Resolver el sistema para a = 1 PR-2.- Hallar entre los puntos de la parábola de ecuación, los que se encuentran a distancia mínima del punto C-1.- Sea A una matriz 3x3 de columnas C 1, C2 y C 3 (en ese orden). Sea B la matriz de columnas C 1 + C 2, 2C 1 + 3C 3 y C 2 (en ese orden). Calcular el determinante de B en función del de A C-2.- Halla la distancia entre el punto A(2, 1, 4) y la recta C-3.- Estudia la continuidad en R de la función C-4.- Calcular

33 PRUEBA B PRUEBA B PR-1.- Se consideran las rectas r y s de ecuaciones respectivas a) Estudiar la posición relativa de r y s b) Determinar la recta que corta perpendicularmente a r y s c) Hallar la distancia entre r y s PR-2.- Sea a) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento. Los extremos relativos, los intervalos de concavidad y convexidad y las asíntotas de f b) Probar que existe un punto C-1.- Sea a un número real. Discutir el sistema de ecuaciones siguiente, según los valores de a: C-2.- Hallar el seno del ángulo formado por la recta r y el plano π dados por C-3.- Calcular los valores del número real a sabiendo que C-4 Calcular

34 PAU.CASTILLA Y LEON.JUNIO 2009 PRUEBA A PR-1.- Sea r las recta que pasa por los puntos A(1, 1, 1) y B(3, 1, 2) y sea s la recta de ecuaciones. Se pide: a) Estudiar su posición relativa b) Si fuera posible, calcular su punto de intersección. c) Calcular, si existe, un plano que las contenga. PR-2.- Sea la función a) Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los de concavidad y convexidad y esbozar su gráfica b) Demostrar que no es derivable en x = 2 c) Calcular el área de la región limitada por dicha gráfica, el eje OX y las rectas x= - 2 y x = 0 C-1.- Sea A una matriz cuadrada tal que det(a) = -1 y det[(-2).a] = 32. Calcular el tamaño de la matriz A C-2.- Calcular la matriz X que verifica AX = BB t donde siendo B t la matriz traspuesta de B C-3.- Hallar la distancia desde el punto A(1, 3, -2) a la recta C-4.- Calcular PRUEBA B

35 PR-1.- Sea el sistema de ecuaciones lineales. Se pide: a) Discutirlo en función del parámetro b) Resolverlo cuando sea compatible (1 punto) PR-2.- Un campo de atletismo de 400 m de perímetro consiste en un rectángulo y dos semicírculos en dos lados opuestos, según la figura adjunta. Hallar las dimensiones del campo para que el área de la parte rectangular sea lo mayor posible C-1.- Calcular la distancia entre las rectas C-2.- Resolver la ecuación C-3.- Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función en su dominio de definición C-4.- Calcular los valores de a para los cuales el área comprendida entre la gráfica de la función y el eje OX es de unidades de superficie

36 PAU CASTILLA Y LEON.SEPTIEMBRE DE 2009 PRUEBA A 3 x PR-1.- Sea la función f ( x) = 2 x + 1 a) Hallar su dominio, intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, intervalos de concavidad y convexidad, puntos de inflexión y asíntotas. Esbozar su gráfica b) Calcular el valor de ( ) ( ) 1 =. f x f x dx 0 x 1 y 2 PR-2.- Se considera la recta r = = z y el punto P(1, 8, 2) 3 2 a) Hállese el punto A de r tal que el vector AP es perpendicular a r b) Determínese el plano π que es paralelo a, pasa por B(5, 1, 0) y por el simétrico de P respecto de r C-1.- Calcular el límite senx ( ) ln 2 lim x 0 x e 1 C-2.- Hallar los puntos en donde la recta tangente a la gráfica de la función f(x) = x 3 es paralela a la recta de ecuación y = 3x +2 C-3.- Determinar el ángulo que forman la recta π x+y-z=4 x y + 1 r = = z y el plano 2 3 C-4.- Resolver la ecuación x 1 2x 2x x 1 x = 0 1 2x 0

37 PRUEBA B PR-1.-a) Discutir, según el valor del parámetro real a, el siguiente sistema de ecuaciones 2x + y + z = 4 x ay + z = a 3x + 2z = 5 b) Interpretar la discusión realizada en a) en términos de la posición relativa de los planos dados por cada una de las tres ecuaciones del sistema PR-2.- Sea la función f (x) = sen(x) +cos (x) en el intervalo [0, 2 π] a) Hallas los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos puntos. Esbozar su gráfica b) Calcular el área del recinto limitado por la gráfica de f y las rectas de ecuaciones π x = 0, x = e y = 2. (1 punto) 4 x = 1+ 4λ x z C-1.- Sea α 0 un número real, y las rectas de ecuaciones r = y = y r y = 2λ 2 α z = 3 2λ Hallar el valor de α para el que r y s son paralelas, hallar el plano que las contiene 2 λ 1 1 C-2.- Estudiar, en función del parámetro λ, el rango de la matriz A = 1 λ λ C-3.- Probar que la ecuación x 2009 x e + 2 = 0 tiene alguna solución C-4.- Calcular dx ( 1 ) + x x

38 PAU CASTILLA Y LEON. (Especifico) JUNIO DE 2010 OPCIÓN A E1.- Dadas la parábola, y la recta y = 9, hallar las dimensiones y el área del rectángulo de área máxima que tiene un lado en la recta y los otros dos vértices en la gráfica de la parábola E2.- Dada la función, se pide a) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los de concavidad y convexidad y las asíntotas b) Calcular el área de la región limitado por la gráfica de la función, el eje OX y las rectas x = 2, x = 4 E3.- Dadas las matrices a) Para que valores de m existe B -1. Para m = 1, calcular B -1 b) Para m = 1 hallar la matriz X tal que X.B + C = D E4.- Se considera las rectas dadas por las ecuaciones:, y el plano a) Halla el valor del parámetro a para que r y s sean perpendiculares b) Hallar la recta t paralela a r y que pasa por el punto de s cuya coordenada es z = 0

39 OPCIÓN B E1.- Calcular b y c sabiendo que la función es derivable en el punto x = 0 E2.- Calcular la siguiente integral E3.- Discutir según los valores del parámetro a, y resolver cuando sea posible: E4.- Dadas la rectas, se pide halla la perpendicular a s y a t y la distancia entre ambas rectas.

40 PAU CASTILLA Y LEON. (Especifico) SEPTIEMBRE DE 2010 OPCIÓN A E1.- Dada la función, se pide determinar: a) El dominio, los puntos de corte con los ejes y las asíntotas b) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los extremos relativos c) La gráfica de f E2.- Calcular E3 Hallar la ecuación general del plano que pasa por el punto A(1, 0, - 1), es perpendicular al plano y es paralelo a la recta Los vectores directores de la recta r, del plano π y el formado por el punto A y el punto genérico G, son coplanarios y por lo tanto el determinante de la matriz que forman los tres es de valor nulo. E4.- a) Sea A una matriz cuadrada tal que A 2 3A = - 2I (siendo I la matriz identidad). Probar que A admite inversa y utilizar la igualdad dada para expresar A -1 en función de A b) Sea la matriz de coeficientes de un sistema lineal. Hallar razonadamente los valores de m para los que el sistema es compatible determinado

41 OPCIÓN B E1.- Calcular b y c sabiendo que la función es derivable en el punto x = 0 E2.- a) Sean, hallar g[f(x)] b) Calcular E3.- a) Determinar las coordenadas del punto simétrico de A(- 2, 1, 6) respecto de la recta b) Hallar la distancia de A a r. E4.- Sean las matrices a) Calcular A -1 b) Resolver la ecuación AX + 2AB = B

42 PAU CASTILLA Y LEON. (General) JUNIO DE 2010 OPCIÓN A E1.-a) Dadas las funciones, hallar el recinto plano limitado por las rectas x = 1, x =2 y las gráficas de f(x) y g(x) b) Dar un ejemplo de función continua en un punto y que no sea derivable en él E2.- a) Si el termino independiente de un polinomio p(x) es 5 y el valor que toma p(x) para x = 3 es 7, se puede asegurar que p(x) toma el valor 2 en algún punto del intervalo [0, 3]. Razonar la respuesta y enunciar los resultados teóricos que se utilicen b) Calcular E3.- a) Sea B una matriz cuadrada de tamaño 3 x 3 que verifica B 2 = 16.I, siendo I la matriz unidad. Calcular el determinante de B b) Hallar todas las matrices X que satisfacen la ecuación E4.- Se considera la recta, y el plano a) Halla todos los valores de a para los que r es paralela a π b) Para a = 2 hallar la distancia de r a π c) Para a = 1 hallar la distancia de r a π OPCIÓN B

43 E1.- Se desea construir una caja cerrada de base cuadrada con una capacidad de 270 cm 3. Para la tapa y la superficie lateral se usa un material que cuesta 5 / m 2 y para la base un material un 50 % más caro. Hallar las dimensiones de la caja para que el coste sea mínimo E2.- Hallar el valor de a para que se verifique que E3.- Consideramos el sistema de ecuaciones lineales:, a) Discutir el sistema para los distintos valores del parámetro a b) Resolver el sistema para a = 1 E4.- Dados el punto P(1, 1, -1), la recta y el plano, se pide: a) Halla el punto simétrico de P respecto del plano π b) Hallar los puntos Q de r que distan unidades de longitud de π

44 PAU CASTILLA Y LEON. (General) SEPTIEMBRE DE 2010 OPCIÓN A E1.-Se divide un alambre de 100 m. de longitud en dos segmentos de longitud x y 100 x. Con el de longitud x se forma un triángulo equilátero y con el otro un cuadrado. Sea f(x) la suma de las áreas. Para que valores de x dicha suma es mínima? E2.-Determinar la función f tal que y con f(1) = 2 E3.- a) Determinar las ecuaciones de los planos paralelos al plano distan seis unidades del mismo. que b) Probar que el punto P(1, 1, 2) pertenece a π, y calcular la recta perpendicular a π que pasa por P E4.- Discutir, y resolver en los casos que sea posible, el sistema

45 OPCIÓN B E1.- Sea la función a) Determinar el dominio, intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos b) Esbozar su gráfica E2.- Determinar el área limitada por la parábola de ecuación y 2 = x y la recta de ecuación y = x 2 E3.- Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(2, - 1, 1) y corta perpendicularmente a la recta E4.-a) Si se sabe que el determinante vale 5, calcular razonadamente b) Si A es una matriz cuadrada de tamaño 2 x 2 para la cual se cumple que A -1 = A t (A t = traspuesta de la matriz A), puede ser el determinante de A igual a 3?

46 PAU.CASTILLA Y LEÓN. JUNIO 2011 OPCIÓN A E1.- Calcular el área de la región finita y limitada por la gráfica de la función f(x) = x 3 x +1, el eje de ordenadas y la recta tangente a la grafica de f en x = 1 E2.- a) Estudiar si la función dada por Enunciar dicho teorema, verifica la hipótesis del teorema de Rolle. b) Calcular E3.- a) Calcular el rango de la matriz b) Si B es una matriz cuadrada de dimensión 3 x 3 cuyo determinante vale 4, calcula el determinante de 5B y el de B 2 E4.- a) Determinar la posición relativa de la recta y el plano π x - y = 0 b) Hallar el plano perpendicular a π que contiene a r

47 OPCIÓN B E1.- Sea a) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, intervalos de concavidad y convexidad y sus asíntotas b) Esbozar su gráfica E2.- a) Hallar los parámetros reales a y b para los que la función es continúa en R b) Calcular E3.- Discutir y resolver cuando sea posible, el sistema de ecuaciones lineales según los valores del parámetro m: E4.- a) Hallar la recta r que pasa por el punto A(1, - 1, 0), esta contenida en el plano π x + y = 0 y corta a la recta s x = y = z b) Hallar la distancia del punto B(2, - 2, 2) a la recta s

48 PAU.CASTILLA Y LEÓN. SEPTIEMBRE 2011 OPCIÓN A E1.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 2) y determina en el primer cuadrante con los ejes coordenados un triángulo de área mínima. Calcular dicha área E2.- a) Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función f ( x) = x 1 en el intervalo [ 2, 2].Calcular la función derivada de f(x) en ese intervalo b) Calcular el área del recinto delimitado, en el primer cuadrante, por la gráfica de la función y = ln x y las rectas y = 0, y = 1 y x = E3.- a) Averiguar para que valores de m la matriz A = 1 1 m no tiene inversa 0 m 2 b) Calcular la matriz inversa de A cuando m = 0 c) Sabemos que el determinante de una matriz cuadrada A vale -1 y que el determinante de la matriz 2. A vale -16. Cuál es el orden de la matriz? E4.- Sean la recta. Estudiar la posición relativa de la recta y el plano según los valores de m

49 OPCIÓN B E1.- Dada la función, determinar su dominio de definición, sus asíntotas, extremos relativos y puntos de inflexión E2.- Halla el valor de m para que el área limitada, en el primer cuadrante, por la función y = 4x 3 y la recta y = m x sea de 9 unidades cuadradas E3.- Discutir según los valores de m y resolver cuando sea posible, el sistema de ecuaciones: E4.- a) Calcular un vector unitario y ortogonal a los vectores b) Calcular el plano que contiene a las rectas