Matemáticas II. Curso Problemas

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1 Matemáticas II. Curso Problemas. Matrices y determinantes. Dadas las matrices: [ ] 2 A =, B = 3 4 halla las matrices: a) 2A + 3B b) AB c) BA d) A 2 e) AB A 2 f ) 2B BA 2 2. Sean las matrices calcular a) AB A = b) BA c) BB t d) AB 2 [ ] 0 2, B = 4 2 [ 0 ] 5 3. Dadas las matrices: [ ] 2 A =, B = comprueba que (BA) t = A t B t. [ ] a 0 4. Dada la matriz A =, qué relación deben guardar las constantes a y b para que se verifique b que A 2 = A? 5. Encuentra las matrices cuadradas X de orden 2 que verifican la siguiente relación: 2 2 X =

2 MATRICES Y DETERMINANTES 2 6. Qué matrices conmutan con la matriz 7. Dada la matriz A = : 0 0 [ ] 2? 0 a) Encuentra todas las matrices B cuyo producto con A verifique la propiedad conmutativa, es decir: AB = BA. b) Calcula A n, siendo n cualquier número natural. [ ] [ ] Sean las matrices A = y B =. 3 Resuelve el sistema: 3X + Y = A X 2Y = 2B 9. Calcula la matriz A A 20, siendo A = 0. Dada la matriz A = [ ] : 0 a) Calcula A 2 y A 3. b) Halla una ley general para calcular A n.. Se consideran las matrices: M = , N = 0 0 x y 0 0 a) Determina x e y para que MN = NM. b) Calcula M 995 y M 996. [ ] Halla todas la matrices X de la forma X = a 0 0 b tales que X 2 = c Se consideran las matrices: 0 A = 0, B = calcula B 3 y A 3. (Sugerencia A = B + I). [ ] 4. Prueba que A n = 2 n A, siendo A =. 5. Halla la inversa de las siguientes matrices aplicando la definición: [ ] 3 0 A =. B = [ ] Dada la matriz A = : 0 0 a) Razona si puede existir una matriz B tal que AB = I siendo I la matriz identidad; en caso afirmativo halla B. b) Tiene inversa A? Razona la respuesta.

3 MATRICES Y DETERMINANTES 3 7. Se considera el conjunto M de las matrices 3 3 tales que, en cada fila y en cada columna, tienen dos ceros y un uno. Escribe todas las matrices del conjunto M. 8. a) Calcula todas las matrices diagonales de orden 2 que coinciden con su inversa. b) Si A es una de estas matrices, calcula su cuadrado. 9. Se dice que dos matrices cuadradas A y B son semejantes si existe una matriz P tal que B = P AP. Determina si son semejantes las matrices: [ ] [ ] 2 0 A =, B = Señala para que valores de a, b, c y d se verifica que [ ] [ ] a b 0 0 = c d Si A y B son matrices diagonales de orden 2 demuestra que AB = BA. [ ] a) Demuestra que la matriz A = verifica una ecuación del tipo A αa + βi = 0, determinando α y β (I denota la matriz identidad). b) Utiliza el apartado anterior para calcular la inversa de A. 23. Considera la matriz A = a a) Encuentra el valor de a, tal que (A I) 2 = 0. b) Calcula la matriz inversa de A para el valor obtenido en el apartado anterior. 24. Una matriz cuadrada A tiene la propiedad de que A 2 = 2A + I donde I es la matriz unidad: a) Demuestra que A admite inversa y obtenla en función de A. [ ] + m t b) Dada la matriz B =, halla los valores de m para los que se verifica que m B 2 = 2B + I, y escribe la matriz inversa de B para dichos valores. 25. Calcular los siguientes determinantes de orden 2: a) c) e) b) d) f ) g) h) Calcular los siguientes determinantes de orden 3: a) c) b) d) e) f )

4 MATRICES Y DETERMINANTES Calcular los siguientes determinantes de orden 4: 0 2 a) b) Calcular el valor del siguiente determinante: a b c d + a + b c d a b + c d a b c + d 29. Sean A y B las siguientes matrices: 2x x x 2 3 A = 2 x 5 B = x x x sabiendo que el determinante de B vale 7, utiliza las propiedades de los determinantes para calcular el valor del determinante de A. 30. Sea A una matriz cuadrada de orden 2 que verifica 2A 2 = A. Calcula razonadamente los posibles valores del determinante de A. 3. Si la matriz a b c A = d e f g h i tiene determinante n, averigua el valor del determinante de las siguientes matrices: 6d 4e 2f d + f e f + e B = 3g 2h i C = a + c b c + b 9a 6b 3c g + i h i + h 32. Resolver la ecuación: x + 2 x + 2 x + 2 = 0 x x x Calcular el rango de las siguientes matrices: 2 A = 0 B = Calcular el rango de: C = D = Hallar el rango de la siguiente matriz: cos α sen α 0 sen α cos α 0 0 0

5 MATRICES Y DETERMINANTES Calcular la inversa de las siguientes matrices: [ ] 4 a) 6 b) 0 0 c) Dadas las matrices: [ ] A =, B = a) Es cierto que AB = BA? b) Calcula, si es posible, la inversa de AB. 38. Sea sen x cos x 0 A = cos x sen x 0 sen x + cos x sen x cos x Para qué valores de x existe la matriz inversa de A?. Calcula dicha matriz inversa. [ ] [ ] Dadas las matrices A = y B =, halla para qué valores de m la matriz B + ma no tiene inversa. 40. Calcula los parámetros a, b y c para los cuales: a B = 2 b rango(b) = 3 c 4. Encuentra, en función de los valores del parámetro a, el rango de la matriz: A = a a a a a a 42. Estudia según los valores de x, el rango de la matriz x 0 A = x x x 0 x 43. Calcula el rango de la matriz A según los diferentes valores del parámetro real a: A = 2 0 a a a) Demuestra que la matriz A = 0 a b, tiene inversa si y solo si los parámetros a y b a son nulos. b) Calcula A cuando a = b =.

6 MATRICES Y DETERMINANTES Se consideran las matrices: A = 0 2 k B = 0 [ k 0 ] 2 a) Discute en función de los parámetros que pueda tomar el parámetro real k, si la matriz AB tiene inversa. b) Discute, en función de los valores de k, si la matriz BA tiene inversa. 46. a) Demuestra que A 2 A 2I = 0, siendo: A = 0 0 I = b) Calcula A utilizando el apartado anterior o de cualquier otra forma 47. Resuelve la ecuación matricial AXB = C, siendo: [ ] [ ] [ ] A =, B =, C = Calcula la matriz A sabiendo que se verifica la igualdad: A = Encuentra la matriz A que verifique la ecuación AX + B = C, siendo: A = B = C = Dadas las matrices: A = B = halla la matriz X dada por AXA = B. 5. Considera las matrices: 0 A = 0 B = a) Determina si A y B son inversibles y, si lo son, calcula la matriz inversa. b) Resuelve la ecuación matricial BA A 2 = AB X. 52. Resuelve la ecuación matricial B(2A + I) = AXA + B, siendo: 3 2 A = 4 B = Halla las matrices simétricas de orden 2 tales que A 2 = A.

7 MATRICES Y DETERMINANTES Resuelve la ecuación: x x x x x 0 x x 0 x = 0 x x Calcular AB y BA siendo A y B las matrices: A = [ 3 2 ] 3 B = Calcular A n siendo A = [ ] Dadas las matrices A = y B = 3 5 P B = AP. 58. Se considera la matriz: A = [ ] 4 3, hallar una matriz P simétrica y regular tal que 6 5 Probar que B = I + A + A 2 es la matriz inversa de I A. 59. a) Averiguar para qué valores del parámetro t, la matriz A = 0 0 t 3 no tiene inversa. 4 t b) Calcular, si es posible, la matriz inversa de A para t = Sin desarrollar el determinante probar la igualdad: a a a = (a + 3)(a ) 2 a 6. Calcular el siguiente determinante: 3 x x x x 3 x x x x 3 x x x x Hallar el rango de la matriz A según los valores del parámetro a: a 2 a A = 2a 2 2 2a 0 a Calcular el valor del parámetro k para que el rango de la matriz A sea igual a 2: A = k 6 4

8 MATRICES Y DETERMINANTES a) Averiguar para qué valores del parámetro k admite inversa la matriz A: A = k b) Hallar la inversa de A para k =. 65. Dada la identidad matricial: [ ] 2 2 X = a) Cuáles son las dimensiones de las matrices soluciones e la identidad anterior? b) Calcula una solución. 66. a) Halla razonadamente los valores del parámetro p para los que la matriz A tiene inversa: A = p p p b) Halla la inversa para p = 2.

9 2 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 9 2. Sistemas de ecuaciones lineales. Escribir en forma matricial y resolver matricialmente los siguientes sistemas: 2x y = 4 3x + 4y = x y + z = 2x 3y + 2z = 2 x + y + z = 3 2. Aplicar la regla de Cramer para resolver los siguientes sistemas: x y + z = 3 2y + 3z = 5 3x + y = 2 2x + y z = 5 5x y + 5z = 6 x + 4y + z = 20 x 2y 3z = x y + 2z = 0 2x + y + z = 3 x + y 2z = 9 2x y + 4z = 4 2x y + 6z = 3. Estudia la compatibilidad del siguiente sistema aplicando el teorema de Rouché: x + 2y + z = 2x + y + 2z = 2 3x + 3y + 3z = 3 4. Estudia la compatibilidad del sistema: x + 2y + z = 2x + y + 2z = 2 3x + 3y + 3z = 4 5. De los siguientes sistemas, analiza la compatibilidad y resuelve los que sean determinados: 8x + y + 4z = 9 5x 2y + 4z = 6 x + y = 6x y + 3z = 6 6x + 8y = 0 2x 5y 5z = 4 x + y + z = 3x 4y = 5 7x y 3z = 8 6. Sean S y S dos sistemas de ecuaciones lineales con la misma matriz de coeficientes: a) Justifica con un ejemplo que uno de los sistemas puede ser compatible y el otro incompatible. b) Si ambos sistemas son compatibles, puede uno ser determinado y otro indeterminado?. Razona tu respuesta. 7. Discute y resuelve según los valores del parámetro los siguientes sistemas: 2x y = a ax + 3y = 4 3x y = 2 x + 2y = 5 3x ay = a 5x + ay = 7 x + ay z = 2x + y az = 2 x y z = a 8. Discute y resuelve según los valores del parámetro los siguientes sistemas: (m + )x + y + z = 3 x + 2y + mz = 4 x + my + 2z = 2 9. Dado el sistema: x + y + z = 2 λx + 3y + z = 7 x + 2y + (λ + 2)z = 5 (a + )x + y + 2z = 2 2x + y + (a + )z = 3 x + (a + )y + 2z = 2 a) Clasifica el sistema según los valores del parámetro λ. b) Resuelve el sistema cuando sea compatible indeterminado. λx + 2y + z = ( λ 2 )x ( + λ)z = λ (2 + λ)y =

10 2 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 0 0. Dado el sistema: mx + 2y = m 3x y = m x + y + z = 4 a) Estudia su compatibilidad según los valores de m. b) Resolverlo para m = 0. c) Sustituir la tercera ecuación por otra de manera que el sistema resultante sea compatible indeterminado para cualquier valor de m.. Dado el sistema: x + 2y + z = a x + y az = a 2x + 3y + z = a a) Discutirlo en función del parámetro a. b) Resolverlo en el caso a Dado el sistema: x + ay z = 2 2x + y + az = 0 3x + (a + )y z = a a) Discutirlo en función del parámetro a. b) Resolverlo para a =. 3. Dados tres números x, y, z, sabemos lo siguiente; el primero y el segundo suman 0; el primero y el tercero suman ; la suma de los tres es cero y, para terminar, el primero multiplicado por un número k mas el doble de la suma del segundo y el tercero da. a) Qué se puede decir del valor de k? b) Cuánto valen los tres números? 4. Dado el sistema: x + my + m 2 z = x + my + mz = m x + m 2 y + m 2 z = m 2 a) Discutirlo según los valores del parámetro m. b) Resolverlo en los casos en los que sea compatible. 5. Determinar el valor del parámetro a para que el sistema x + y + z = a x y + z = x 3y + z = 0 sea compatible indeterminado. 6. Discutir, según los distintos valores del parámetro m, y resolverlos en los casos en que sean compatibles, los sistemas: a) x + y z = 4x 2y + 2z = 2m 3x 2y + mz = 4 b) x + y + z = 2 2x + 3y + z = 3 mx + 0y + 4z =

11 2 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES c) d) x + 2y + 3z = x + my + 3z = 2 2x + (2 + m)y + 6z = 3 x + y + z = m x + ( + m)y + z = 2m x + y + ( + m)z = 0 e) f ) x + 2y + z = m x + y mz = m 2x + 3y + z = m x + my z = 2 2x + y + mz = 0 3x + (m + )y z = m 7. Dado el sistema: λx + 2y + z = 0 λx y + 2z = 0 x λy + 2z = 0 a) Obtener los valores del parámetro λ para los cuales el sistema tiene soluciones distintas de x = y = z = 0. b) Resolver el sistema para λ = Estudia los siguientes sistemas homogéneos según los valores del parámetro a y resuélvelos en los casos en que sea posible: x + y + 3z = 0 2x + ay + 3z = 0 3x + 2y + 6az = 0 2x 3y + z = 0 x ay 3z = 0 5x + 2y z = 0 5x + 2y z = 0 x + ay 3z = 0 3x + 5y 2z = 0 x ay + 3z = 0 x + ay 2z = 0 2x + z = 0 9. Discute y resuelve según los valores del parámetro k el sistema: kx + 3y = 4 3x y = 2 2x y = k 20. Dado el sistema x + y + z = 3 x + ky + z = 3 kx 3z = 6 a) Discutir el sistema según los distintos valores de k. b) Resuélvase el sistema en el caso en que tenga infinitas soluciones. c) Resuélvase el sistema para k = 3. d) Sustituir la primera ecuación por otra, de manera que el sistema sea compatible indeterminado para cualquier valor de k. e) Añadir una ecuación al sistema de manera que resulte incompatible para todo valor de k. 2. En un cajero automático se introducen billete de 0, 20 y 50 euros. El número total de billetes es 30 y el total del dinero euros. Se sabe que el número de billetes de 0 euros es α veces los billetes de 50 euros. a) Calcula el número de billetes de cada tipo suponiendo que α = 2. b) Para α = 3, qué ocurre con la situación del cajero planteada? c) Si α = 3 y se tuvieran 00 billetes en el cajero cuánto dinero debería haber para que sea posible una composición del cajero?

12 2 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Eva, Marta y Susana son tres amigas que se comprometen a leer El Quijote este verano. Cada una por separado y en función del tiempo de que disponen. Deciden leer el mismo número de páginas cada día hasta terminar la obra. Eva leerá diariamente 5 páginas más que Marta y ésta 6 páginas más que Susana. Por ello Eva terminará la obra dos semanas antes que Marta, y ésta, 30 días antes que Susana cuál es el número total de páginas de la obra cervantina? 23. Una familia dispone de 80 euros mensuales para realizar la compra en una carnicería. El primer mes compra 0 kg de carne de pollo, 6 kg de carne de cerdo y 3 kg de carne de ternera y le sobran 5, euros. El mes siguiente adquieren 0 kg de carne de pollo, 7 kg de carne de cerdo y 2 kg de carne de ternera, y le sobran 5, euros. El tercer mes compran kg de carne de pollo, 6 kg de carne de cerdo y 2 kg de carne de ternera, abonando un total de 72 euros y 30 céntimos. Suponiendo que no ha variado precio de la carne en estos meses cuánto cuesta el kilo de cada uno de estos tipos de carne? 24. En una clase de segundo de bachillerato, por cada tres alumnos que estudian Tecnologías de la Información, diez estudian Comunicación Audiovisual, y por cada dos alumnos que estudian Tecnologías de la Información, tres estudian Francés. Calcular el número de alumnos que cursan cada una de las materias mencionadas, sabiendo que en la clase hay 35 alumnos y que cada uno de ellos sólo está matriculado en una de las asignaturas. 25. En una tienda de ropa se liquidan los pantalones que han quedado sin vender en la temporada. Los hay de tres tipos: - Sin defecto, todos al precio de 20 euros. - Con defecto no apreciable, con una rebaja del 20 % sobre el precio de los anteriores. - Con defecto apreciable, con una rebaja del 60 % sobre el precio de los que no tienen defecto. Hay 70 pantalones para vender. El precio total de todos ellos es de 280 euros y los que tienen defecto suponen el 40 % de los que no lo tienen. Cuántos pantalones hay de cada clase? 26. En una papelería entran tres clientes: el primero compra cuatro lapiceros y seis gomas de borrar y paga,60 euros; el segundo compra cinco lapiceros y tres bolígrafos y paga 2,45 euros y el terdero paga,30 euros por cinco gomas de borrar y dos bolígrafos. a) Averigua el precio de cada uno de los productos. b) Cuánto deberá pagar otro cliente por cinco lapiceros, cinco gomas de borrar y diez bolígrafos? 27. Una fábrica de perfumes dispone de 600 litros de un producto A y 400 litros de otro producto B. Mezclando los productos A y B se obtienen diferentes perfumes. Este año se quieren preparar dos clases de perfumes: el de la primera clase llevará tres partes de A y una de B, y será vendido a 50 euros el litro, y el de la segunda clase llevará los productos A y B al 50 % y será vendido a 60 euros el litro. a) Cuántos litros de cada clase de perfume se podrán preparar? b) Qué ingresos totales se obtendrán por la venta de la totalidad de los productos fabricados? 28. En una tienda de regalos se adquiere un libro y una pulsera. La suma de los precios que marcan los dos productos es de 35 euros, pero el dependiente informa al cliente que los libros están rebajados el 6 %, y las pulseras el 2 % por lo que, en realidad debe pagar 3,40 euros. a) Qué precio marcaban el libro y la pulsera? b) Qué precio se ha pagado finalmente por cada uno de esos dos productos?

13 3 GEOMETRÍA 3 3. Geometría. Para cada uno de los siguientes casos, calcula las coordenadas del vector de origen el punto A y de extremo el punto B: a) A(3, 0, 2), B(, 3, 5). b) A ( 2, 2, ), B (, 3 5, 2). Del vector P Q = ( 2, 0, 3) se sabe que el origen tiene coordenadas P (, 2, 3). Calcula las coordenadas del extremo Q. 2. Del vector P Q = (4,, 2) se sabe que el extremo tiene coordenadas Q(2, 3, 4). Calcula las coordenads de P. 3. Calcula las coordenadas de los puntos A y B que dividen el segmento de extremos P (2, 2, ) y Q(5, 4, 7) en tres segmentos iguales. 4. Calcula las coordenadas de tres puntos A, B y C que dividen el segmento de extremos ( P, ) ( 2, 2, Q 3, 3 3 2, 2 ) 3 en cuatro segmentos de igual longitud. 5. Escribe las ecuaciones paramétricas y la ecuación implícita del plano: a) Que pasa por el punto A(, 3, ) y lleva la dirección de los vectores u = (,, 3) y v = (,, 4). b) Que pasa por los puntos A(,, 2), B(2, 0, ) y C( 3,, 0). c) Que contiene el triángulo de vértices A(, 0, 0), B(0,, 0) y C(0, 0, ). 6. Calcula dos puntos de cada uno de los siguientes planos: x = + λ + µ π : y = 2 + 2λ µ ; ρ: 2x + y 3z = z = 3 3λ 2µ 7. Calcula un punto, dos vectores directores linealmente independientes y un vector normal de cada uno de los siguientes planos. x = λ π : y = 3λ 2µ ; ρ: 3x y 2z = 0 z = 2λ µ 8. Escribe unas ecuaciones paramétricas para el plano de ecuación implícita π : x 2y + 3z =. 9. Escribe las ecuaciones paramétricas del plano que pasa por A(, 3, 2) y tiene como vector normal n = (, 2, 0). 0. Escribe la ecuación implícita del plano de ecuaciones paramétricas: x = 2 2λ + 3µ π : y = 2λ 2µ z = + 2λ 2µ. Comprueba se los puntos P (, 3, 5) y Q(2,, ) pertenecen o no a los siguientes planos: x = + 2λ + µ π : y = 2 3λ µ ρ: x 2y + 3z = z = + 2λ + 3µ

14 3 GEOMETRÍA 4 2. Escribe las ecuaciones paramétricas, la ecuación continua y las ecuaciones implícitas de la recta: a) Que pasa por los puntos A(, 2, 0), y B(2, 3, ). b) Que pasa por el punto A( 2, 2, 0) y tiene la dirección del vector u = (,, 4). 3. Dados los puntos A(,, 2) y B(, 2, 0), calcula las ecuaciones implícitas para la recta que pasa por el origen de coordenadas y tiene la dirección de AB. 4. Calcula dos puntos de cada una de las siguientes rectas: x = 2 + 2λ y = + λ ; x = y + 2 = z 2 2 ; x 2y + z = 0 2x y z = 0 z = + 2λ 5. Calcula un punto y un vector de dirección de cada una de las siguientes rectas: x = 3λ x y = 2 + 3λ ; 2 = y 2 = z + 2 2x + y = 3 3 2x z = z = 4λ 6. Calcula la ecuación en forma continua y las ecuaciones implícitas de la recta de ecuaciones paramétricas: x = λ y = 2 + 2λ z = 3 3λ 7. Calcula las ecuaciones paramétricas y la ecuación en forma continua de la recta de ecuaciones implicitas: 3x y z = 0 x + y z 3 = 0 8. Escribe las ecuaciones de los ejes y los planos coordenados. 9. Escribe las ecuaciones en forma continua de las rectas que se dan a continuación: x 2 = 2y 2 3 = z x + ; s: = 2y 4 = 3z Se considera la recta que pasa por el punto A(, 2, 3) y tiene como dirección la del vector u = (2,, 2): a) Escribe las ecuaciones paramétricas y las ecuaciones continuas de la recta. b) Decide cuáles de los siguientes puntos pertenecen a la recta y cuáles no: P (5,, 3); Q( 3, 3, 4); R (0, 32 ), 2 2. Escribe la ecuación del haz de planos paralelos, tal que uno de ellos pase por los puntos A( 2,, ), B(3, 0, 3) y C( 2,, 4). 22. Escribe la ecuación del haz de planos secantes en las rectas: x = λ y = 2 + λ ; s: x = y = z 3 ; t: z = 2λ 2x + y + 3z = 3 2x 2y + z =

15 3 GEOMETRÍA Calcula el valor de a para que los puntos A(2, 0, ), B(, 2, 2) y C(, a, a) pertenezcan a una misma recta. 24. Calcula todos los valores de m que hacen que los puntos del espacio A(0, 2, 2), B(,, m 2 ) y C(2, 0, 2m) pertenezcan a una misma recta. Escribe las ecuaciones implícitas de esta recta. 25. Calcular el valor de m para que los puntos A(0,, 2), B(, 0, 3), C(, m, ) y D(m,, 2m) pertenezcan a un mismo plano. 26. Dado el plano π : 6x + 4y 3z d = 0: a) Calcular el valor de d para que el plano pase por el punto P (2, 0, 0). b) Calcular las coordenadas de A, B y C, puntos de corte de los ejes de coordenadas con el plano π. c) Calcula las coordenadas del baricentro del triángulo de vértices A, B y C. 27. Calcular el valor de a para que los puntos A(3, 0, 2), B(0, a, a), C(, 2, 2) y D(,, 0) sean coplanarios. Para este valor hallado, calcula la ecuación del plano que contiene a los cuatro puntos. 28. Escribe la ecuación del plano que pasa por los puntos A(3,, ) y B(2,, 4) y es paralelo a la recta de ecuaciones: x 2 = y + 3 = z Determina la ecuación del plano que pasa por el punto P ( 2, 3, 2) y es paralelo a las rectas: x + 2 = y = z 3 x = 2 + 3t 3 4 ; s: y = t z = t 30. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto A(2, 2, 0) y es paralela a la recta determinada por la intersección de los planos: x = + t + s π : 2x 3y + z = 0; π : y = t s z = 2 + 2t + s 3. Determina la ecuación del plano que pasa por los puntos A(,, ) y B(0, 3, 2) y es paralelo al eje Z. 32. Determina la ecuación del plano paralelo a los ejes de coordenadas X e Y, y que pasa por el punto de intersección de la recta r y el plano π, siendo: x = 2 + t y = t ; π : x 2y 2z + 3 = 0 z = 3t 33. Dadas las rectas: x kz = 2 y z = 3 ; s: x 2 = y + = z Existe algún valor de k que haga que estas rectas sean secantes? 34. Calcula la ecuación de la recta que pasa por el punto P (, 2, 3) y que toca a los ejes de coordenadas X y Z.

16 3 GEOMETRÍA Se considera la recta r que pasa por el punto A(3, 0, 0) y que tiene como dirección la del vector u = (,, ). Se consideran también los planos paralelos de ecuaciones π : 2x+y = 0 y π : 2x+y+3 = 0. La recta r corta a los planos en los puntos P y Q. Calcular las coordenadas del punto medio de P Q. 36. Estudia la posición relativa del plano π : x y + 2z = y las rectas siguientes: x = + t y = 2t ; s: x 2 = y 4 = z x = + 2t ; t: y = 4t z = 3t z = t 37. Estudia la posición relativa de los planos π y π en los siguientes casos: π : 2x y + z = 0 π : 2x y + z = 0 π : 2x y + z = 0 π : 2x + y + z = 0 π : 4x + 2y 2z = 0 π : 4x + 2y 2z = Estudia la posición relativa de los planos π, π y π en los siguientes casos: π : 2x y + z = 0 π : 2x y + z = 0 π : 2x y + z = 0 π : 3x + y + 4z = 0 π : x 2y + 3z = 0 π : x + y z = 0 π : x + y z = 3 π : 3x 3y + 4z = π : x + 2z = 39. Estudia la posición relativa de las rectas: x 2 = y 2 = z + ; s: x + 2 = y + 8 = z Estudia la posición relativa de las rectas: x 2 = y + = z x = 2t 2 3 ; s: y = 2t z = 3t 4. Estudia la posición relativa de las rectas: x = t x = y = z s: y = t z = t 42. Dadas las rectas: x + y z = 6 2x z = 2 ; s: x = y 2 m = z + 2 Estudia sus posiciones relativas según los valores de m. 43. Estudia la posición relativa de las rectas r y s y obtén, si es posible, el ángulo que forman siendo: x = + 2λ x = y = 0 ; s: z = y + 2 z = 2λ Considera las rectas: x + y + z + 3 = 0 x y z = 0 ; s: x + 2 = y + = z + d 2 Halla el valor de d para que las rectas sean secantes. Para ese valor de d determina el ángulo que forman r y s.

17 3 GEOMETRÍA Estudia la posición relativa de las siguientes rectas: x + y 2z + = 0 2x + y z = 0 r : ; r 2 : 2x y + z = 0 x y 2z + = Estudia la posición relativa de las rectas r y s y calcula el ángulo que forman: x = y 2 3 = z x = 3 + λ 4 ; s: y = 3 + 2λ z = 4 + 3λ 47. Halla el ángulo que forman los planos π y π 2, donde π es el plano determinado por los puntos (0, 0, 8), ( 5,, 2) y (0, 2, 0) y π 2 es el plano perpendicular a la recta x = y 2 = z 6 que pasa por el punto (0, 0, ). 48. Halla el ángulo que forman el plano determinado por las rectas: x = y 3 = 3 z x = + λ 2 ; s: y = λ z = 3 λ con el plano de ecuación 2x y + z =. 49. Halla el ángulo que forman la recta r de ecuación x = z y = 0 con el plano que contiene la recta s: x = y 2 = z y el punto A(3,, 6). 50. Calcula la proyección ortogonal del punto P (0, 0, 0) sobre el plano π : x + y + z =. 5. Dados la recta: x 2 = y + = z y el plano π : x + y + z 4 = 0, halla la ecuación de la recta s, proyección ortogonal de r sobre π. 52. Halla la ecuación continua de la proyección ortogonal de la recta (x, y, z) = (2,, ) + t(, 0, 2) sobre el plano 2x + y z = Halla el punto del plano π : x + y + z = que equidista de los puntos A(,, 2), B(3,, 2) y C(,, 0). 54. Determina la distancia que hay desde el origen de coordenadas al plano que contiene las rectas: x = 2 y = 2z 6 x = 3 2y ; s: 2 4 z = 2y 2

18 3 GEOMETRÍA Calcula los puntos de la recta x z = x + y = 2 que equidistan de los planos: α: 2x + y 2z = 0; β : x 2y + 2z = Calcula la distancia del punto P (, 0, 3) a la recta: x + y = 0 2x z = En cada caso, estudia si las rectas dadas se cruzan y, en caso afirmativo, calcula su distancia: x = t 2x y = 0 a) r : y = t ; r 2 : x + z 3 = 0 z = + 2t x = t 2x y = 0 b) r : y = t + ; r 2 : 3y 2z = 0 z = t 58. Determina la perpendicular común a las rectas: x + y = z + 4 x 2 = 0 s: x + 2y = 7 y + 3 = Demuestra que las rectas: y = 0 s: z = 0 x ay = 0 z = 5 se cruzan, cualquiera que sea el valor del parámetro a. Calcula la recta perpendicular común a r y s. 60. Determina el plano π que pasa por los puntos de coordenadas A(0, 0, 3), B(2, 0, 3) y C(2, 2, 0). Calcula el área del triángulo que forman los puntos en que el plano π corta a los tres ejes de coordenadas. 6. Sean A( 3, 4, 0), B(3, 6, 3) y C(, 2, ) los tres vértices de un triángulo. Se pide: a) Calcular la ecuación del plano que contiene al triángulo. b) Calcular el coseno de caada uno de los tres ángulos del triángulo. c) Calcular el área del triángulo. 62. Los planos π : x + y + z = 4, π : x z = 0 y π : x + y = 3, tienen un único punto en común. Se pide: a) Determinarlo. b) Hallar las ecuaciones de las rectas en que cada uno de los planos corta al plano x = 0. c) Volumen del tetraedro limitado por cada uno de esos tres planos y el plano x = Considera un cuadrado cuyo centro es el punto P (,, ) y tiene uno de sus lados en la recta: x 2 = y z =

19 3 GEOMETRÍA 9 a) Calcula la ecuación del plano en el que se encuentra el cuadrado. b) Calcula la longitud del lado del cuadrado. 64. Halla el punto P simétrico de P (3, 4, 0) respecto al plano π : x + y + z = Halla las coordenadas del punto simétrico de P ( 2, 2, 3) respecto del plano de ecuación general 2x + y + z 3 = Se consideran las rectas de ecuaciones: x = 0 x z 2 = 0 ; s: 2y + z = 0 y z 2 = 0 y el plano π que pasa por los puntos A(, 0, 2), B(2,, 2) y C(, 0, ). a) Calcula la ecuación general o implícita de π. b) Una de las dos rectas corta a π. Determínala y halla el punto de corte con π. c) Calcula el seno del ángulo que forman dicha recta y el plano π. d) Comprueba que la otra recta es paralela a π y calcula la ecuación general del plano que la contiene y es paralelo a π. 67. a) Demuestra que los planos π : 2x + 3y 4z = 6 y π : 3x + 4y 2z = 2 no son paralelos y calcula sus planos bisectores. b) Calcula el ángulo que forman entre sí ambos planos bisectores. 68. Sean los puntos P (, 2, ), P 2 (2, 3, ), P 3 (, 4, 3) y P 4 (0, 5, 3). a) Demuestra que los cuatro puntos están en el mismo plano. b) Verifica que el polígono que tiene como vértices esos cuatro puntos es un rectángulo. c) Calcula el área de ese rectángulo. 69. Considérese la recta r de vector director (,, 0) que pasa por el origen. escriba las ecuaciones paramétricas de todas las rectas que pasan por el origen, que están contenidas en el plano x y = 0 y que forman, además, un ángulo de 60 o con r. 70. Calcula la distancia entre las rectas r y s siendo: y = z s: x = y + = z 3 x = 0 Obtén la ecuación de la perpendicular común a ambas. 7. Sea el plano π de ecuación x + 2y + 3z = 5. a) Encuentra la ecuación de un plano paralelo a π y cuya distancia al origen sea 3. Cuántas soluciones hay? b) Calcula el punto P del plano π que está más próximo del origen. c) Sea Q el punto (,, ). Se sabe que los segmentos OP y OQ son dos lados de un paralelogramo. Halla los vértices y el área de dicho paralelogramo.

20 4 LÍMITES Y CONTINUIDAD Límites y continuidad. Calcular los siguientes límites: a) lím x 2 (3x 2 x + 5) (3x2 x + 5) 2. Calcular los siguientes límites: a) lím x 2 x 2 4x + 4 x 2 4x + 4 ( c) lím x 2 d) lím c) lím d) lím ) x x ( x x x 3 + 5x 2 + x 3x 2 + 4x + 2 ) x 4 5x 4 + 3x 3 + 2x 2 + x + 3. Calcular los siguientes límites: a) lím x 4 3x 3 2x 2 + 6x + x 2 x 3 6x 2 + x + 4 x 3 + x c) lím x x 3 6x x 4 x 3 + x 3x 4 d) lím x 0 x 3 + x 2 4. Calcular los siguientes límites: a) lím x 5 x 2 25 x 2 5x x 3 x 3 + 5x 2 + 0x + 2 x 3 + 2x 2 2x Calcular los siguientes límites: a) lím x 3 x 3 + 5x 2 + 3x 9 x 3 + 7x 2 + 5x + 9 x x 4 6x 2 + 8x 3 x 4 2x 3 + 2x 6. Calcular los siguientes límites: a) lím x 5 x 2 25 x 5 x 2 x2 5x + 6 x 2 3x Calcular los siguientes límites: ( a) lím x3 x 2 + x 3 x + ) ( ) x 2 x 2 x 2 c) lím x 2 x 4 2x 3 + x 2 x 3 + 4x 2 x 2 d) lím x 2 x 4 + 4x 3 + 5x 2 + 4x + 4 x 4 + 4x 3 + 4x 2 ( ) x 2 c) lím x 2 x 2 4 x2 4 x 2 d) lím x 5 x 5 x 2 5 ( c) lím x2 2 x) ( d) lím x2 + 3x x 2 + 2) c) lím x 0 d) lím x x ( 4x + 2x ) x

21 4 LÍMITES Y CONTINUIDAD 2 8. Calcular los siguientes límites: a) lím ( 4x + 2x 2 ) x 2 ( ) 2x x 2 x + c) lím d) lím x 2 ( x 2 ) x + x 2 2 ( x + 2 2x ) x 2 9. Calcular los siguientes límites: a) lím 3 x c) lím /2 x d) lím x 0 + ln x 0. Calcular los siguientes límites: a) lím x 2 3x + 2 x 2 3x + 5 x 2 +. Calcular los siguientes límites: a) lím x 3 e x e x x 2 2. Calcular los siguientes límites: a) lím ln x x x 2 5 ln x 3. Calcular los siguientes límites: a) lím x 0 sen x x 2 x 0 tg 2 x 3x e) lím log x x f ) lím log x 0 + /3 x g) lím x 0 ln( + x) c) lím d) lím c) lím d) lím c) lím d) lím c) lím x 0 x 3 2x + x 3 3x 2 + 2x x 2 5x + 2 x 4 x 3 2x e x 2 x 3 x ln x e x sen x x arsen x cos x x 2 d) lím x 0 artg x h) lím x 5 log 5 x i) lím x log 3 x j ) lím x log 3 3 x e) lím f ) lím e) lím f ) lím e) lím f ) lím e) lím x 0 x 4 3x x x 5 3x 3 + 2x x 3 5x + 6 e x 2 x + x 5 x 3 x sen x ln x x sen x sen 2 x cos x f ) lím x 0 x + tg x 3x 4. Calcular las asíntotas de las siguientes curvas: a) y = 2x + x 3 b) y = x 3 2x + 4 c) y = 3x 2 d) y = 2x + x 2 4 e) y = 2x2 + x 2 f ) y = x 2 + g) y = 2x2 + x 3 h) y = x3 + x 2 3x + 2 i) y = x4 + x 2 3

22 5 DERIVADAS Derivadas. Calcula los siguientes límites: a) lím x 0 ( cos x) sen x x 2 x 0 + (tg x) tg x c) lím x 0 ( x + 2x d) lím x ln x x 0 + e) lím x 0 (x 3 2x + 3) x ) cos x f ) lím x x 0 x 2 sen x e x (x 2 x 2) g) lím x 2 2x 2 8x + 8 h) lím ) tg πx x +(x2 2 i) lím h 0 (e x+h e (x+h) ) (e x e x) 2h j ) lím x 0 (a x ax) a x ; a > 0 2. Sea la función: f(x) = x 4 + ax 3 + bx 2 + cx + 7 a) Calcula c sabiendo que su recta tangente en el punto de abscisa 0 es horizontal. b) Para el valor de c encontrdo en el apartado anterior, calcula a y b sabiendo que esta función tiene un extremo relativo en el punto de abscisa x = 2 y que corta al eje X en x =. c) Para los valores obtenidos en los apartados anteriores, calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función, sus extremos relativos y haz una representación gráfica aproximada 5.. Problemas de optimización. Se quiere construir una piscina en forma de paralelepípedo recto de base cuadrada. Disponemos de 92 m 2 de baldosas para recubrir las paredes y el fondo de la piscina. Halla las dimensiones de la piscina de forma que la capacidad sea máxima. 2. Se dispne de un hilo metálico de longitud 40 m. se quiere dividir dicho hilo en tres trozos de tal manera que uno de ellos tenga doble longitud que otro y que, al construir con cada uno de ellos un cuadrado, la suma de las áreas de los tres cuadrados sea mínima. Encuentra la longitud de cada trozo. 3. Partimos un hilo metálico de longitud m en dos trozas haciendo con uno un cuadrado y con el otro un círculo. Calcula las dimensiones de cada trozo para que lq suma de las áreas sea a) Máxima. b) Mínima 4. De entre todos los números reales positivos x, y, tales que x + y = 0, encuentra aquellos para los que el producto p = x 2 y sea máximo. 5. Un barco B y dos ciudades A y C de la costa forman un triángulo rectángulo en C. Un hombre situado es A desea llegar hasta el barco B. Sabiendo que puede nadar a 3 Km/h y caminar a 5 km/h, a qué distancia de A debe abandonar la costa para nadar hasta B si quiere llegar lo antes posible? 6. Calcula la base y la altura del triángulo isósceles de perímetro 8 y área máxima. 7. En un rectángulo de 4 m de perímetro, se sustituyen los lados por semicircunferencias exteriores. Entre qué valores está comprendida el área de la figura resultante?. Calcúlala. 8. En un rectángulo de 4 m de perímetro se sustituyen dos lados opuestos, por semicircunferencias exteriores. Calcula las simensiones del rectángulo original para que la figura formada tenga máxima área.

23 6 REPRESENTACIÓN DE CURVAS Representación de curvas. Representar gráficamente la función y = x 3 7x 2 + 6x Calcula los valores de a y b para que la función f(x) = x 3 + ax 2 + bx 3 tenga un máximo en el punto M(5, 62). 3. Calcular los valores de a y b para que la función: f(x) = 4 x4 + ax 3 + bx 2 + 2x 28 3 tenga un punto de inflexión en (2, 0). 4. Estudia y representa las siguientes funciones: a) y = x2 + 5 x 2 4 b) y = 3 x c) y = x2 x + 3 d) y = 2x3 x Calcula las asíntotas de la función y = x 2 + x. 6. Traza la gráfica de las siguientes funciones irracionales, estudiando su dominio, los puntos de corte con los ejes, sus asíntotas y sus máximos y mínimos relativos. Estudia el crecimiento y la concavidad: a) y = x + x b) x 2 x + 7. Representar gráficamente las siguientes funciones exponenciales y logarítmicas: a) y = xe x b) y = ex x c) y = x ln x d) y = ln(x 2 ) e) y = ln x x 8. Estudia las asíntotas de la función: y = x3 2x 2 x 2 y comprueba si la curva corta a la asíntota oblicua en algún punto. 9. Dibuja la gráfica de la función: y = 2x2 3x 2e x 0. Dibuja la gráfica de la función: ( ) y = ln 2x2 x. Dibuja la gráfica de la función: y = x x 3

24 7 INTEGRALES Integrales. Calcular las siguientes integrales inmediatas: (4x 2 5x + 7) (x 2 +4)x(x 2 ) 5 (x ) 3 x 3x 2x + 7 (x sen x) (sen x + e x ) 3 x sen(x π) 7 cos 2 x (e x + 3e x ) 2 x x x + x x x 2 2. Calcular las siguientes integrales: a) b) c) x 4 (x 4) 2 (x 4) 2 d) (x 4) 3 3. Calcular las siguientes integrales: a) e x 4 b) e 2x+9 c) e 5x d) (3 x x 3 ) 4. Resuelve las siguientes integrales de tipo arcotangente: 4 5 a) 4 + x 2 b) 3 + x 2 c) 4x 2 + d) 2 + 9x 2 5. Calcular las siguientes integrales racionales: a) x 2 5x + 4 b) x + x 2 + 2x + 4 c) x + x 3 3x 2 + x x 2 6. Calcula las siguientes integrales del tipo arcoseno: a) b) 4x 2 4 x 2 c) e x e 2x 7. Calcula las siguientes integrales: a) cos x sen 3 x b) 2xe x2 c) x (x 2 + 3) 5 d) x ln3 x 8. Calcular las siguientes integrales: a) x 4 e x5 e) b) x sen x 2 f ) c) g) 9 x 2 x d) h) x2 + 5 sen x cos x sen x cos 5 x (x + 3)5 3x 2 6x 2 x2 i) 2x(x ) j ) tg x sec 2 x ( + ln x) 2 k) x ( l) + cos x)3 sen x

25 7 INTEGRALES Integrar por partes: a) x 2 e 3x x b) e x c) artg x d) e) f ) x cos x x 3 sen x x ln x g) h) i) arcos x x cos 3x x 5 e x3 0. Calcula cos(ln x) integrando por partes dos veces.. Calcular las siguientes integrales: x + 2 a) x 2 + e) b) (x 2 ) 2 f ) 2x 2 + 7x c) x 3 + x 2 x g) 2x 2 + 5x d) x 3 + x 2 2x h) 2x 4 (x ) 2 (x + 3) 2x + 3 (x 2)(x + 5) (x )(x + 3) 2 3x 2 x 2 4 i) j ) k) l) x 2 x 2 x 4 + 2x 6 x 3 + x 2 2x 5x 2 x 3 3x 2 + 3x 2x 3 x 3 2x 2 9x Calcula: ln x a) b) x x ln x c) sen x x 2 d) artg x + x 2 3. Calcular: a) sen x x b) ln x x c) (ln x) 2 4. Calcular: a) x x + b) x x + c) + x 5. Encuentra la primitiva de la función: f(x) = + 3x que se anula para x = Halla la función F (x) para la que F (x) = x 2 ; F () = 2 7. De todas las primitivas de la función y = 4x 6, cuál de ellas toma el valor 4 para x =?