Construcción de conjuntos B h módulo m y particiones

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1 Vol. XIV No 2 Diiembre (2006) Matemátias: Matemátias: Enseñanza Universitaria Esuela Regional de Matemátias Universidad del Valle - Colombia Construión de onjuntos B h módulo m y partiiones Gilberto Garía P. Carlos Alberto Trujillo S. Juan Miguel Velásuez S. Reibido Abr. 18, 2006 Aeptado Jun. 13, 2006 Abstrat A set a 1, a 2,..., a n,... } of positive integers is alled a B h set, if all the sums a i1 +a i2 + + a ih (i s = i r is permitted) are different. In this paper we generalize the Bose-Chowla Theorem on onstrution of B h set on finite fields. Besides, we show the existene of a partition of an interval into B h sets. Keywords: B h sets, Bose-Chowla Theorem, Finite Field, Partitions. AMSC(2000): Primary: 11B50, Seondary: 11B75, 12E20, 05B10 Resumen A un onjunto A de enteros positivos se le llama un onjunto B h módulo m, si todas las sumas de h elementos de A, no neesariamente distintos, son inongruentes mod m. Demostramos ue uando m es de la forma n 1, para potenia de un primo, los logaritmos disretos de las raíes de polinomios de Artin-Shreier en el ampo finito on n elementos forman un onjunto B h módulo m, siendo h un divisor de n. Este resultado generaliza un teorema lásio en onstruión de onjuntos B h. Además, demostramos ue hay partiiones de Z n en onjuntos B h, donde h reorre los divisores de n. Palabras y frases laves: Conjuntos B h, Teorema de Bose - Chowla, Campos Finitos, Partiiones. 1 Introduión Un onjunto A de enteros positivos es un onjunto B h, o un onjunto de lase B h, si para todo entero positivo n, existe a lo sumo una representaión de la forma n = a 1 + a a h on a 1 a 2 a h y a i A Es deir, un onjunto A es B h, si todas las posibles sumas de h de sus elementos, son distintas. Además, si m 2 es entero, tal ue las sumas de h elementos de A son todas inongruentes módulo m, se die ue A es un onjunto B h módulo m. Cálulos senillos muestran ue A = 2 i : i N } es un onjunto B 2 y ue 1,12,22,29,31,34,35} es B 2 mod 48. El primer método para onstruir onjuntos B h fue desarrollado por J. Singer, [3], on éste método se onstruyen onjuntos B 2 módulo ( ), on +1 elementos. Los onjuntos del tipo Singer haen parte de los llamados Conjuntos Perfetos en Diferenias, estos son onjuntos de residuos módulo m, tales ue todos los elementos distintos de ero en diho módulo se pueden representar de manera únia omo la diferenia de dos elementos del onjunto.

2 66 G. Garía, C. Trujillo y J. Velásuez Por ejemplo, los onjuntos 1,2,4} y 1,2,5,7} son Perfetos en Diferenia para los módulos 7 y 13, respetivamente. Otro proedimiento para onstruir onjuntos B h modulares, es el desarrollado por Bose-Chowla, [1], en el ual se garantiza ue para h entero mayor o igual ue dos y una potenia de un primo, si θ es un elemento primitivo de F, el ampo finito on h elementos, entones el onjunto 0 < a h 1 : θ a θ F } es Bh módulo h 1. 2 Construión de onjuntos B h módulo m El primer teorema ue se presenta en esta seión, permite onstruir onjuntos B h on elementos por medio de los logaritmos disretos de las raíes de un tipo de polinomios en ampos finitos. Si es una potenia de un primo, h 2 es un entero y K = F, F = F h, son los ampos finitos on y h elementos respetivamente, se sabe por un resultado lásio de Artin - Shreier, [2, Thm 2.25], ue si γ F, la euaión x x γ = 0 tiene una soluión en F, si y sólo sí, la traza de γ sobre K es ero, si éste es el aso y α F es una raíz de la euaión, los elementos de α + K son todas las raíes de la misma. El siguiente teorema establee un método para onstruir onjuntos B h a través de las raíes de los polinomios de la forma x x γ Teorema 2.1. Si K y F son los ampos finitos on y h elementos respetivamente, β, θ elementos de F, on θ un elemento primitivo de F, γ = β β y } A(,θ,β) = 0 a h 1 : θ a θ a γ = 0 Entones: 1. Si β tiene grado d sobre K, A(, θ, β) es un onjunto on elementos, de lase B d módulo h Si β = 0, A(,θ,0) está formado por los múltiplos de m = h 1 1 ontenidos en 0,..., h 1 }. Demostraión. 1. Sea β un elemento de grado d sobre K, omo onseuenia del resultado de Artin-Shreier, antes menionado, se tiene ue } A(,θ,β) = 0 a h 1 : θ a β + K por lo tanto, es laro ue A(, θ, β) tiene elementos, y ue para ada a i A(,θ,β) existe un únio α i K tal ue

3 Conjuntos B h y partiiones 67 θ a i = β + α i (1) de auí se sigue ue, si donde a i1 + a i2 + + a id a j1 + a j2 + + a jd mod h 1 (2) i 1 i 2 i d, j 1 j 2 j d entones y de (1), se tiene θ a i 1θ a i2 θ a id = θ a j 1θ a j2 θ a jd d d (β + α i ) = (β + α i ). i=1 i=1 Al expandir el produto y simplifiar β d en ambos lados de la igualdad, se obtiene una euaión on oefiientes en K, de grado menor ue d ue se anula en β, esto es imposible, a menos ue el onjunto de los α y el de los α sean iguales, en uyo aso a i1,a i2,...,a id } = a j1,a j2,...,a jd } y A(,θ,β) es un onjunto B d módulo h Si β = 0, el onjunto A(,θ,0) viene dado por A(,θ,0) = } 0 a h 1 : θ a K = 0 a h 1 : θ a = θ a}. Por lo tanto, si a A(,θ,0), se umple ue θ ( 1)a = 1 y omo θ ( 1) tiene orden m = h 1, se sigue ue a es un múltiplo de m. 1 Al haer β = θ en el Teorema anterior, se obtiene el Teorema de Bose- Chowla, ver [1]. Convenión. En adelante, y a falta de un mejor nombre, diremos ue el onjunto A(,θ,0) es un onjunto B 1 mod ( h 1).

4 68 G. Garía, C. Trujillo y J. Velásuez 3 Partiiones. Una onseuenia del Teorema 2.1, es ue para n en Z h, existe un onjunto B d on elementos ue ontiene a n, siendo d un divisor de h ue depende de n. Ejemplo 3.1. Dado ue f(z) = z 4 + z 3 + z 2 + 2z + 2 es irreduible en Z 3, si θ es una de raíz de f(z), K = θ 10 0} y F = θ 0} son los ampos finitos on 9 y 81 elementos, respetivamente, β = θ 13 F es de grado 2 sobre K, por lo tanto, los logaritmos en base θ de las raíes de los elementos de θ 13 + K determinan un onjunto B 2 mod 80, ue ontiene a 13, diho onjunto es 1,13,35,48,49,66, 72, 74,77}. Si se aplia repetidamente el proedimiento anterior, variando n, se obtiene una partiión de Z 81 en onjuntos B 2 mod 80, el onjunto 0,10, 20,...,80} aparee al tomar β K. En general se tiene el siguiente Teorema. Teorema 3.2. Existe una partiión de Z h en onjuntos B d módulo ( h 1), donde d reorre los divisores de h. Demostraión. Sean K y F, los ampos finitos on y h elementos respetivamente, θ un elemento primitivo de F y P = A(,θ,β) : β F }. Se mostrará ue P satisfae la afirmaión. En efeto, si n Z h es laro ue n A(,θ,θ n ) y por lo tanto Z h = β F A(,θ,θ n ) de otro lado, si A(,θ,α) y A(,θ,β) son elementos de P tales ue A(,θ,α) A(,θ,β) entones, existe n Z h, tal ue θ n α y θ n β son elementos de K, así ue, (α β) K y A(,θ,α) = A(,θ,β). Lo ue termina la prueba. Si en el Teorema anterior, se toma h primo, todos los elementos de la partiión P, exepto A(,θ,0), son onjuntos B h módulo h 1. Si h es ompuesto, para ada divisor d de h, se puede determinar uántos onjuntos de la partiión son de lase B d módulo h 1, tal omo se muestra en el siguiente Teorema. Teorema 3.3. Si K y F son los ampos finitos on y h elementos, respetivamente y si d es un divisor de h, entones P d, la antidad de onjuntos B d módulo h 1 en la partiión de Z h obtenida por apliaión del Teorema 3.2, es P d = 1 ( ) d µ. d

5 Conjuntos B h y partiiones 69 Demostraión. Del Teorema 2.1, se sigue ue ada β en F de grado d sobre K, determina un onjunto B d, además, omo la antidad de elementos en F de grado d sobre K es d µ ( d, 1 y dado ue ada onjunto de la partiión es de ardinal, se sigue ue P d = 1 ( ) d µ d Ejemplo 3.4. En la partiión de Z 6 obtenida por la apliaión del Teorema 3.2, se tiene ue: P 1 = 1 1 P 2 = 1 2 P 3 = 1 3 P 6 = 1 6 µ ( 1 = 1 µ ( 2 = 1 µ ( 3 = 2 1 µ ( 6 = P 1 es el onjunto de múltiplos de En total se tienen 5 onjuntos, ada uno on elementos, de los uales 1 son B 2, 2 1 son B 3 y son B 6. Ejemplo 3.5. Al tomar = 9 y h = 2, por el Teorema 3.3, existe una partiión del onjunto Z 81 en 9 onjuntos, ada uno on 9 elementos, uno de ellos está formado por los múltiplos de = 10, a saber, A 0 = 0,10,20,30,40, 50,60,70, 80}, los demás, son onjuntos B 2 módulo 80, ue se obtienen al apliar el proedimiento desrito en el Ejemplo 3.1. Para este aso, una partiión de Z 81 viene dada por: 0,10,20,30,40, 50, 60,70,80}; 1, 13, 35,48,49, 66,72,74, 77} 2,4,7,11,23,45,58,59, 76}; 3, 25,38,39, 56, 62,64, 67, 71} 5,18,19,36,42, 44, 47,51,63}; 6, 12, 14,17,21, 33,55,68, 69} 8,9,26,32,34,37,41, 53,75}; 15, 28, 29,46,52, 54,57,61, 73} 16,22,24,27,31,33,65, 78,79}. Referenias [1] Bose and Chowla, Theorems in the additive theory of numbers. Comment. Math. Helvet. 37 ( ), MR 26: Donde µ es la funión de Möbius. Ver seión 3.2 en [2]

6 70 G. Garía, C. Trujillo y J. Velásuez [2] R. Lidl and H. Niederreiter, Finite fields. With a foreword by P. M. Cohn. Seond edition. Enylopedia of Mathematis and its Appliations, 20. Cambridge University Press, Cambridge, MR 97i: [3] J. Singer, A theorem in finite projetive geometry and some apliations to number theory, Trans. Am.math.So. 43, MR Direión de los autores: Gilberto Garía P., Universidad de Antiouia, gigaria@matematias.udea.edu.o Carlos Alberto Trujillo S., Universidad del Caua, trujillo@uniaua.edu.o Juan Miguel Velásuez S., Universidad del Valle, jumiveso@univalle.edu.o