LAS FAMILIAS DE DISTRIBUCIONES BETA DE VARIANZA CONSTANTE Y MESOCÚRTICAS EN EL MÉTODO PERT

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1 LAS FAMILIAS DE DISTRIBUCIONES BETA DE VARIANZA CONSTANTE Y MESOCÚRTICAS EN EL MÉTODO PERT RAFAEL HERRERÍAS PLEGUEZUELO EDUARDO PÉREZ RODRÍGUEZ JOSÉ CALLEJÓN CÉSPEDES JOSÉ MANUEL HERRERÍAS VELASCO Universidad de Granada. INTRODUCCIÓN Es suficienteente conocido el papel tan iportante que juega la distribución beta en el étodo PERT, debido a su facilidad de adaptarse a situaciones reales en abiente de incertidubre, que se transforan en abiente de riesgo ediante el concurso de tres estiaciones subjetivas sobre el enor (a), el ayor (b) y el valor odal () de la variable objeto de estudio: duración de una actividad, T, flujo de caja de una inversión, Q, etc. Adeás, se une a lo anterior una facilidad de cálculo de las características estocásticas de la variable que odeliza el fenóeno real de interés, a saber, (Véase p.e. Hillier-Lieberan): a b ( b a) µ σ () 6 Hace aproxiadaente una década, Herrerías(989) y (99) obtuvo, utilizando la clásica ecuación diferencial de Pearson (véase p.e. Elderton- Johnson), un sistea de odelos probabilísticos que periten una ponderación variable para el valor odal en la expresión de la edia (). Desde la pregunta de Sasieni (986) ya se aboga por este tipo de distribuciones coo odelos probabilísticos para el étodo PERT. Las características estocásticas de estos odelos, una vez que se estandariza su recorrido al intervalo [,], ediante el cabio de variable: x a z () b a donde a y b son, respectivaente los valores enor y ayor del recorrido de la variable X, son los siguientes (Véase Duas de Rauly, 968): p + µ (3) p + q + con

2 78 R. HERRERÍAS - E. PÉREZ J. CALLEJÓN J. M. HERRERÍAS a b a pq ( + )[ + ( )] σ (4) ( p + q + )( p + q) ( ) ( ) donde se ha hecho uso de la paraetrización introducida por Gallagher para la distribución beta de paráetros p y q, siendo: p + q + ( ) (5) por lo que en consecuencia p + q + (6) Por otra parte, los coeficientes de Fisher de asietría y curtosis son respectivaente: siendo µ 3 ( q p) p + q + γ (7) 3 µ pq( p + q + ) µ 4 p( p + )( p q) + q( q + )( q p) γ 3 6 (8) µ pq( p + q + )( p + q + 3) µ µ 4 [ ( p + q) + pq( p + q 6) ] 3( p + q + ) pq( p + q + )( p + q + 3) deduciéndose el signo de la asietría según sean p y q: p > q γ < Asietría a la izquierda > p < q γ > Asietría a la derecha < p q γ Caso siétrico. LA FAMILIA DE DISTRIBUCIONES BETA DE VARIANZA CONSTANTE Definición Se dice que una distribución beta es de varianza constante si, una vez estandarizado el recorrido de la variable en el intervalo [,], su varianza es. Teorea Dada una distribución beta de varianza constante, el intervalo posible para la constante de integración es (, , 6].

3 LAS FAMILIAS DE DISTRIBUCIONES BETA DE VARIANZA Deostración: Igualando la expresión (4) de σ a se obtiene la siguiente ecuación: ( + ) ( + 3) + + (9) que deterina unos valores de dados por + ± 6 6 () coo quiera que tiene que estar en el intervalo [,], esto sólo es posible para perteneciente al intervalo (, , 6], puesto que: a) debe de ser enor o igual que seis para que sea real b) + 6 o lo que es equivalente Esta últia ecuación cúbica presenta dos peranencias y una variación en los signos de los coeficientes, por lo que sólo tiene una raíz positiva, que es, aproxiadaente,, , con lo queda deostrada la tesis del teorea. Corolario Los odelos de varianza constante y ponderación entera de la oda se reducen a los que se obtienen para K3, 4, 5 y ANÁLISIS DE LOS MODELOS DE VARIANZA CONSTANTE Y PONDERACIÓN ENTERA VARIABLE Cabe preguntarse si para los valores de reseñados en el corolario y para cualquier valor odal estandarizado suinistrado por el experto, el valor exacto de σ dado por (4), puede aproxiarse por. Véase lo que ocurre para los sucesivos valores de y algunos valores representativos de 3. Para 3 y para los distintos valores señalados de, se tiene que: σ ( ) ,5,5,

4 8 R. HERRERÍAS - E. PÉREZ J. CALLEJÓN J. M. HERRERÍAS Así que el error que se coete, al usar siepre para la varianza es enor que 5 3, y en 8, que se produce para 5 3 +, , + es por exceso Observándose que en el error es por defecto, ientras que en 3. Para 4 y para los distintos valores señalados de, se tiene que: σ ( ) 5 7,5,5, Así que el error que se coete, al usar siepre para la varianza es enor que, que se produce para, y. 7 Observándose que en, y en 4 +, el error es por defecto, 4 ientras que en, + es por exceso. 4 4 En este caso se aprecia tabién que si está próxio al centro del intervalo [,], el odelo clásico del PERT (), funciona bien, ya que la σ será ligeraente ayor que para valores de que estén en el intervalo, + 4 En particular si [ ] y dos séptios de, siendo. 4,5,,75, el error está coprendido entre un séptio σ ligeraente inferior que para los valores de que estén en el interior de los intervalos, y 4

5 LAS FAMILIAS DE DISTRIBUCIONES BETA DE VARIANZA ,, coincidiendo con en el caso de que sea igual a 4 ± Para 5 y para los distintos valores señalados de, se tiene que:,5 σ ( ) , , Así que el error que se coete, al usar siepre para la varianza es enor que 43, que se produce para 4 7 7, y en +, , + es por exceso Observándose que en el error es por defecto, ientras que en 3.4 Para 5 y para los distintos valores señalados de, se tiene que:,5,5,75 σ ( ) Así que el error que se coete, al usar siepre para la varianza es 9 enor que, y este se produce en los extreos del intervalo. 6 Observándose que siepre el error es por defecto, salvo cuando coincide en. En el Anexo se han dibujado las correspondientes gráficas de σ ( ) según los valores de. De todo lo anterior se deduce: a) Que el ayor valor para σ ( ) se alcanza en todos los odelos cuando, que corresponde con el caso siétrico.

6 8 R. HERRERÍAS - E. PÉREZ J. CALLEJÓN J. M. HERRERÍAS b) Que el error para las colas es por defecto para los distintos odelos 3, 4, 5 y 6. c) Que el error enor para las colas lo tiene el odelo para 3:. 5 d) En conjunto, el odelo que da enor error para todo el recorrido de es el correspondiente a 4. A continuación se da un procediiento para obtener la constante de ponderación,, adecuada para que el odelo sea de varianza constante. 4. REGLA EMPÍRICA De acuerdo con las tablas que dan el valor de σ en función de puede darse una regla epírica para utilizar un deterinado de acuerdo con el estiado por el experto, de anera que σ sea, aproxiadaente. Dado un valor odal por el experto, se estandariza y se le resta, para finalente igualarlo, sin tener en cuenta su signo, a + 6 ; con lo que se obtendrá el valor de. 6 Para facilitar la resolución de la ecuación cúbica resultante, lo que haceos es construir una tabla desde, hasta 6, para los valores de + 6, con lo que dado el, se dice cuál es su correspondiente. 6 (Véase anexo, construido con el prograa Matheatica, versión.). De anera que si > > p > q, por el contrario si < < p < q, siendo p y q los dados por (5) y a partir de ellos, queda perfectaente identificada la distribución beta y pueden obtenerse las características estocásticas que interesen, utilizando (3), (4), (7) y (8). 5. LA FAMILIA DE DISTRIBUCIONES BETA MESOCÚRTICAS Definición Se dice que una distribución beta es esocúrtica si su coeficiente de curtosis de Fisher es cero.

7 LAS FAMILIAS DE DISTRIBUCIONES BETA DE VARIANZA Teorea Dada una distribución beta esocúrtica, el intervalo posible para la, ,. constante de ponderación,, es ( ) Deostración: µ Igualando la expresión (8) del coeficiente de curtosis a cero, 4 3, µ ( + ) ( + 3) ( ) + + () que deterina unos valores de dados por : ± () Si ± ±, Coo quiera que tiene que estar en [,], esto sólo es posible si, ,, ya que son los valores de que hacen que ( ) , que tiene una sola raíz positiva que es, , que será el enor valor de posible. 6. ANÁLISIS DE LOS MODELOS MESOCÚRTICOS Y PONDERACIÓN ENTERA VARIABLE Por ser una función decreciente para >, se tiene que para 5 + 6, , está en uno de los extreos del intervalo [,] y, para,se tiene que ±, Luego sólo se puede encontrar una solución de coherente (que sea positiva) si:, ,, (3) ( ) para que el odelo beta sea esocúrtico. En otro caso es iposible deterinar una positiva. (Véase Herrerías y Pérez 997). En el caso que interesen que los odelos esocúrticos tengan una ponderación entera para el valor odal, que sea la que se consideró en los

8 84 R. HERRERÍAS - E. PÉREZ J. CALLEJÓN J. M. HERRERÍAS odelos de varianza constante, sólo habrá que analizar aquellos que se obtienen para 3, 4, 5 y Para 3, se tiene que ± es decir que 6 3, ó, Para 4, se tiene que ± es decir que 8, ó, Para 5, se tiene que ± es decir que 4, ó, Para 6, se tiene que ± es decir que 46, ó, Obsérvese que todos los están fuera del intervalo señalado en (3). Ap liando el recorrido de se tiene: 6 5. Para, se tiene que ± es decir que 6, ó, Para 7, se tiene que ± es decir que 4 5, ó, Para 8, se tiene que ± es decir que 6 56, ó, Para 9, se tiene que ± es decir que 8 6, ó, Para, se tiene que ± es decir que 66, ó, Nótese que en estos casos tabién los verifican (3).

9 LAS FAMILIAS DE DISTRIBUCIONES BETA DE VARIANZA Teorea 3 La intersección de las failias de varianza constante y esocúrticas, con una isa oda estiada subjetivaente, no es vacía. El odelo resultante es el de ponderación entera 4. Deostración: Igualando las expresiones () y () que deterinan la oda en los casos de varianza constante esocúrtica, respectivaente, teneos: La solución -3 no es coherente con la interpretación de coo ponderación del valor odal y no se considera. Cabe preguntarse cóo afecta a los paráetros p y q de las distribuciones beta las propiedades de varianza constante y esocurticidad. pq a) Coo σ, cuando se iguala a, se tiene: ( p + q + )( p + q) ( + 3)( + ) pq, luego las soluciones de la ecuación ( + 3)( + ) x ( + ) x + serán los valores de p y q + + x ± 6, 6 expresión que corrobora que la ponderación entera sólo puede ser 3, 4, 5 y 6, ya que para, una de las constantes, p ó q sería enor que uno, con lo que la distribución beta no sería uniodal y para >6 los valores serían iaginarios. b) Coo y coo pq µ µ 4 µ µ 4 3pq [ pq( p + q ) + ( p + q )] 4 ( p + q) ( p + q + )( p + q + )( p + q + 3) ( pq) ( p + q + ) ( p + q) 4 3 ( p + q + ) [ pq( p + q ) + ( p + q )] pq ( p + q + )( p + q + 3) ( p + q ) + ( p + q ) ( p + q) + pq( p + q 6)

10 86 R. HERRERÍAS - E. PÉREZ J. CALLEJÓN J. M. HERRERÍAS se tienen que, para que sea esocúrtico el odelo probabilístico, basta con que: [ ] pq( p + q + )( p + + 3) ( p q + ) pq( p + q 6) + ( p + q) + q que puede expresarse usando p + q +, de la siguiente fora: luego: [ ] pq( + 4)( + 5) ( 3) pq( 4) + ( + ) + ( + ) ( + 3) ( + 3)( 4) + ( + 4)( + 5) ( + ) ( + 3) pq (4) por lo que las soluciones de la ecuación: serán los valores de p y q: x ( + ) x + ( + ) ( + 3) ( + ) ± ( + ) x expresión que corrobora que la ponderación entera sólo es válida a partir de ya que, para una de las constantes p ó q sería enor que uno, con lo que la distribución beta no sería uniodal. Para que la distribución beta sea esocúrtica y de varianza constante siultáneaente debe ocurrir que: ( + ) ( + 3) ( + ) ( + 3) resultado que corrobora el Teorea 3 anterior. Coo consecuencia de (4),se tiene: i) La varianza de los odelos esocúrticos estandarizados es σ toando su ayor valor cuando, y por tanto σ, ii) La edia de los odelos esocúrticos estandarizados es: p µ p + q ( + ) ± ( + ) µ ± ( + )

11 LAS FAMILIAS DE DISTRIBUCIONES BETA DE VARIANZA CARACTERÍSTICAS DEL PRODUCTO pq a) Modelos de varianza constante, σ, entonces: ( + ) ( + 3) pq con γ, entonces: b) Modelos esocúrticos, ( + ) ( + 3) µ pq con σ y c) Modelo clásico, 4, entonces: pq 7 con σ y µ ± 6 ± 6 µ ± 3 ± p p + q En este orden de ideas se encuentra tabién el siguiente resultado: Si la distribución beta es de varianza constante y esocúrtica, entonces la distribución beta es de paráetros p 3 ± y q 3, según sea la asietría. En efecto, si la distribución es de varianza constante y esocúrtica, entonces 4, y por tanto, su oda será ± p + 3 ± y q + ( ) 3 c.q.d. Coo consecuencia de ello se tiene que pq ( 3 + )( 3 ) 7, por lo que 4 La fora de actuar será: dado el valor estandarizado de la oda, estiado subjetivaente, se le resta,5 y con el núero resultante se deterina la ponderación de en los anexos y/o 3. Es conveniente considerar aquella que sea enor, ya que así la varianza será ayor y los resultados no serán excesivaente optiistas. 8. CONCLUSIONES Los odelos esocúrticos son ás flexibles que los de varianza constante, debido a que aditen ponderaciones enteras desde hasta infinito, ientras que los de varianza constante sólo aditen ponderaciones entre 3 y 6. El odelo esocúrtico de 4, coincide con el de varianza constante para la isa ponderación Los odelos esocúrticos no aditen odelos siétricos, por ello la oda estiada por el experto no puede estar centrada sobre,5,ya que el valor ás pequeño de, 5 es

12 88 R. HERRERÍAS - E. PÉREZ J. CALLEJÓN J. M. HERRERÍAS, Igualando las expresiones () y (), se tiene que para la isa, al odelo esocúrtico corresponde un ayor si >4 y un enor si <4,siendo 4 para ±, Luego se utilizarán los odelos esocúrticos para valores de <4 y los de varianza constante para los valores de >4. BIBLIOGRAFÍA DUMAS DE RAULY, D. (968). L estiation statistique. Gauthier-Villars ELDERTON, W.P Y JOHNSON N.L. (969). Systes of frequency curves. Cabridge. University Press. GALLAGHER, C, (987). A Note on PERT Assuptions.- Manageent Science, Vol. 33, nº, p. HERRERÍAS, R. (989). Modelos probabilísticos alternativos para el étodo PERT. Aplicación al Análisis de Inversiones. Estudios de Econoía Aplicada, pp Secretariado de Publicaciones de la Universidad de Valladolid. HERRERÍAS, R. (99). Utilización de los Modelos Probabilísticos para el PERT, que periten una ponderación variable del valor ás probable, en Análisis de Inversiones. Ponencias de la III Reunión Anual de ASEPELT-ESPAÑA. Biblioteca de Socioeconoía Sevillana. Diputación de Sevilla, pp HILLIER, I Y LIEBERMAN G.J. (98). Introducción ala Investigación de Operaciones. McGraw-Hill. SASIENI, M.W. (986). A note on PERT Ties. Manageent Sci. 3 pp Artículo defendido en la II Reunión Científica: Selección, Evaluación y Control de Proyectos, celebrada en 999 en Córdoba. Publicado en el libro titulado Selección y Evaluación de Proyectos: Fundaentos Básicos, capítulo, pp Servicio de Publicaciones de la Universidad de Alería.

13 LAS FAMILIAS DE DISTRIBUCIONES BETA DE VARIANZA ANEXO σ ( ) 3,4,4,38,,34,3,3 σ ( ),8,6,,4,6,8 σ ( ),35,35,3,75,5, 4 σ ( ),,4,6,8,5 σ ( ),35,35,3 5 σ ( ),75 6,,4,6,8,5,75,5,,4,6,8,5 σ ( ),,75,5,5,,75,5,5 σ ( ) σ ( ),4,35,3,5,,5,,,4,6,8 σ ( )

14 9 R. HERRERÍAS - E. PÉREZ J. CALLEJÓN J. M. HERRERÍAS ANEXO, 6,3 5, ,6 5, , 5, ,3 5, ,6 5,957653, 5, ,3 5, ,6 5, ,3 5, ,33 5, ,63 5,966994,4 5, ,34 5, ,64 5, ,5 5, ,35 5, ,65 5, ,6 5, , 5, ,66 5, ,7 5, ,37 5, ,67 5, ,8 5, ,38 5, ,68 5,97968,9 5, ,39 5, ,69 5, , 5, ,4 5, ,7 5,95979, 5, ,4 5, ,7 5, , 5, ,4 5, ,7 5, ,3 5, ,43 5, ,73 5, ,4 5, ,44 5,969484,74 5, ,5 5, ,45 5, ,75 5, ,6 5, ,46 5, ,76 5, ,7 5, ,47 5, ,77 5, ,8 5, ,48 5, ,78 5, ,9 5, ,49 5, ,79 5, , 5, ,5 5, ,8 5, , 5, ,5 5, ,8 5, , 5, ,5 5,945494,8 5, ,3 5, ,53 5, ,83 5, ,4 5, ,54 5, ,84 5, ,5 5, ,55 5, ,85 5, ,6 5, ,56 5, ,86 5, ,7 5, ,57 5, ,87 5, ,8 5, ,58 5,963953,88 5, ,9 5, ,59 5, ,89 5,

15 LAS FAMILIAS DE DISTRIBUCIONES BETA DE VARIANZA... 9,9 5, , 5, ,5 5, ,9 5, , 5, ,5 5, ,9 5,859798, 5, ,5 5, ,93 5, ,3 5, ,53 5, ,94 5, ,4 5, ,54 5, ,95 5,88563,5 5, ,55 5, ,96 5, ,6 5, ,56 5, ,97 5, ,7 5, ,57 5, ,98 5, ,8 5, ,58 5, ,99 5, ,9 5, ,59 5, , 5, ,3 5, ,6 5, , 5, ,3 5, ,6 5, , 5, ,3 5,65763,6 5, ,3 5, ,33 5, ,63 5, ,4 5, ,34 5, ,64 5, ,5 5, ,35 5, ,65 5, ,6 5, , 5, ,66 5, ,7 5, ,37 5, ,67 5, ,8 5, ,38 5, ,68 5, ,9 5, ,39 5, ,69 5, , 5, ,4 5, ,7 5, , 5, ,4 5,6884,7 5, , 5, ,4 5, ,7 5, ,3 5, ,43 5,698686,73 5, ,4 5, ,44 5, ,74 5, ,5 5, ,45 5, ,75 5, ,6 5, ,46 5, ,76 5,45837,7 5, ,47 5, ,77 5, ,8 5, ,48 5, ,78 5, ,9 5, ,49 5,567483,79 5,

16 9 R. HERRERÍAS - E. PÉREZ J. CALLEJÓN J. M. HERRERÍAS,8 5, , 5, ,4 4, ,8 5,377989, 5, ,4 4, ,8 5, , 5, ,4 4,97579,83 5, ,3 5, ,43 4, ,84 5, ,4 5, ,44 4, ,85 5, ,5 5, ,45 4, ,86 5, ,6 5, ,46 4,97833,87 5, ,7 5, ,47 4, ,88 5, ,8 5, ,48 4, ,89 5, ,9 5,8866,49 4, ,9 5, , 5, ,5 4, ,9 5,374477, 5, ,5 4, ,9 5, , 5, ,5 4, ,93 5, ,3 5, ,53 4, ,94 5, ,4 5, ,54 4, ,95 5,79954,5 5, ,55 4, ,96 5, ,6 5, ,56 4,83755,97 5, ,7 5, ,57 4, ,98 5, ,8 5, ,58 4, ,99 5,55464,9 5,33373,59 4, , 5, ,3 5, ,6 4, , 5, ,3 5, ,6 4, , 5,349468,3 5,4893,6 4,778798,3 5, ,33 5, ,63 4, ,4 5, ,34 4, ,64 4, ,5 5,569,35 4, ,65 4, ,6 5,89946, 4, ,66 4, ,7 5, ,37 4,976755,67 4,739839,8 5, ,38 4,963998,68 4, ,9 5, ,39 4, ,69 4, K

17 LAS FAMILIAS DE DISTRIBUCIONES BETA DE VARIANZA... 93,7 4, ,3 4, ,33 4, ,7 4, ,3 4, ,33 4,993594,7 4, ,3 4, ,33 4, ,73 4, ,33 4, ,333 4, ,74 4, ,34 4, ,334 4, ,75 4, ,35 4, ,335 4, ,76 4, , 4, ,3 4, ,77 4, ,37 4, ,337 4, ,78 4, ,38 4, ,338 4, ,79 4, ,39 4, ,339 4,38875,8 4, ,3 4, ,34 4, ,8 4, ,3 4, ,34 4, ,8 4, ,3 4, ,34 4, ,83 4, ,33 4, ,343 4, ,84 4, ,34 4, ,344 4, ,85 4, ,35 4, ,345 4,775884,86 4, , 4, ,346 4, ,87 4, ,37 4, ,347 4, ,88 4, ,38 4, ,348 4, ,89 4, ,39 4, ,349 4, ,9 4, ,3 4, ,35 4, ,9 4, ,3 4, ,35 4, ,9 4, ,3 4, ,35 4, ,93 4, ,33 4, ,353 4, ,94 4, ,34 4,56478,354 3, ,95 4, ,35 4, ,355 3, ,96 4, , 4,349378,356 3, ,97 4, ,37 4, ,357 3, ,98 4, ,38 4,785379,358 3,965568,99 4, ,39 4, ,359 3,

18 94 R. HERRERÍAS - E. PÉREZ J. CALLEJÓN J. M. HERRERÍAS, 3, ,39 3, ,4 3,453457, 3, ,39 3, ,4 3, , 3, ,39 3, ,4 3, ,3 3,966556,393 3, ,43 3, ,4 3, ,394 3, ,44 3, ,5 3, ,395 3, ,45 3,447846,6 3, ,396 3, ,46 3, ,7 3, ,397 3, ,47 3, ,8 3, ,398 3, ,48 3, ,9 3, ,399 3, ,49 3, ,37 3, ,4 3, ,43 3, ,37 3, ,4 3, ,43 3, ,37 3, ,4 3, ,43 3, ,373 3, ,43 3, ,433 3, ,374 3, ,44 3, ,434 3, ,375 3, ,45 3, ,435 3,38939,376 3, ,46 3, ,4 3, ,377 3, ,47 3, ,437 3, ,378 3, ,48 3, ,438 3, ,379 3, ,49 3, ,439 3, ,38 3, ,4 3, ,44 3, ,38 3, ,4 3, ,44 3, ,38 3, ,4 3, ,44 3,833759,383 3, ,43 3, ,443 3, ,384 3, ,44 3, ,444 3, ,385 3, ,45 3, ,445 3, ,386 3, ,46 3, ,446 3, ,387 3, ,47 3, ,447 3, ,388 3, ,48 3, ,448 3, ,389 3,795,49 3, ,449 3,

19 LAS FAMILIAS DE DISTRIBUCIONES BETA DE VARIANZA... 95,45 3, ,467 3,995385,484, ,45 3, ,468 3, ,485, ,45 3,886873,469 3, ,486, ,453 3,49884,47 3, ,487, ,454 3, ,47 3,77944,488, ,455 3, ,47 3, ,489, ,456 3, ,473 3, ,49, ,457 3, ,474 3, ,49, ,458 3,64648,475 3, ,49, ,459 3,576468,476 3, ,493, ,46 3, ,477 3, ,494, ,46 3, ,478 3,734533,495,955949,46 3, ,479 3, ,496, ,463 3, ,48 3,786468,497,896854,464 3,97657,48 3,867798,498, ,465 3, ,48, ,499, ,466 3, ,483, ,5,

20 96 R. HERRERÍAS - E. PÉREZ J. CALLEJÓN J. M. HERRERÍAS ANEXO 3 K,3-3, ,54 7, ,85 8, ,4 4,6596,55 6, ,86 8,43944,5 384, ,56 6, ,87 8,974934,6 4, ,57 5, ,88 8, ,7 57, ,58 5, ,89 8, ,8, ,59 4, ,9 7, ,9 99,86476,6 4, ,9 7, ,3 83, ,6 4,639549,9 7, ,3 7, ,6 3, ,93 7, ,3 63, ,63 3, ,94 7, ,33 56, ,64 3, ,95 7, ,34 5, ,65, ,96 7, ,35 46, ,66, ,97 7, , 43, ,67, ,98 7, ,37 39, ,68,947888,99 6, ,38 37, ,69, ,3 6, ,39 34, ,7, ,3 6, ,4 3, ,7,46467,3 6, ,4 3, ,7, ,33 6, ,4 8, ,73, ,34 6, ,43 7, ,74, ,35 6, ,44 6, ,75, , 6, ,45 4, ,76, ,37 6, ,46 3, ,77 9, ,38 6, ,47, ,78 9, ,39 6,389684,48, ,79 9, ,3 6, ,49, ,8 9, ,3 5, ,5, ,8 9, ,3 5, ,5 9, ,8 9,856343,33 5, ,5 8, ,83 8, ,34 5, ,53 8, ,84 8, ,35 5,

21 LAS FAMILIAS DE DISTRIBUCIONES BETA DE VARIANZA K, 5, ,347 4, ,378 3, ,37 5, ,348 4,883575,379 3, ,38 5, ,349 4, ,38 3, ,39 5, ,35 4, ,38 3, ,3 5, ,35 4,864848,38 3, ,3 5, ,35 4, ,383 3, ,3 5, ,353 4, ,384 3, ,33 5, ,354 3, ,385 3, ,34 5,985683,355 3, ,386 3, ,35 5, ,356 3, ,387 3, , 5, ,357 3, ,388 3, ,37 5, ,358 3, ,389 3,963358,38 4, ,359 3, ,39 3, ,39 4, , 3, ,39 3, ,33 4, , 3, ,39 3, ,33 4, , 3, ,393 3, ,33 4, ,3 3, ,394 3, ,333 4, ,4 3, ,395 3, ,334 4, ,5 3, ,396, ,335 4, ,6 3, ,397, ,3 4, ,7 3,685389,398, ,337 4, ,8 3, ,399, ,338 4, ,9 3, ,4, ,339 4, ,37 3, ,4, ,34 4, ,37 3, ,4, ,34 4, ,37 3, ,43, ,34 4, ,373 3, ,44, ,343 4,5778,374 3, ,45, ,344 4, ,375 3, ,46, ,345 4, ,376 3, ,47, ,346 4, ,377 3, ,48,

22 98 R. HERRERÍAS - E. PÉREZ J. CALLEJÓN J. M. HERRERÍAS K,49, ,44, ,47, ,4, ,44, ,47, ,4, ,44, ,473, ,4, ,443, ,474, ,43, ,444, ,475, ,44, ,445, ,476, ,45, ,446, ,477, ,46, ,447, ,478, ,47, ,448, ,479, ,48, ,449, ,48, ,49, ,45, ,48, ,4, ,45, ,48, ,4, ,45, ,483, ,4, ,453, ,484, ,43, ,454,337944,485, ,44, ,455, ,486, ,45, ,456, ,487, ,46, ,457, ,488, ,47, ,458, ,489, ,48, ,459, ,49, ,49,549346,46, ,49, ,43, ,46, ,49,975385,43, ,46, ,493, ,43, ,463, ,494, ,433, ,464, ,495, ,434, ,465, ,496, ,435, ,466, ,497, ,4, ,467,94659,498, ,437, ,468, ,499, ,438, ,469, ,5, ,439, ,47, K