TEMA 9 DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN 9.1 DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

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1 TEMA 9 DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN MATEMÁTICAS II º Bach TEMA 9 DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN 9. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO TASA DE VARIACIÓN MEDIA Definición Se llama tasa de variación media (T.V.M.) de una función, y = f(x) en un intervalo Variación de f(x) f (b) f (a) [a,b] al cociente: T.V.M.[a,b] = = Variación de x b a y es la pendiente del segmento que une los puntos A(a,f(a)) y B(b,f(b)) Con frecuencia, el intervalo se le designa mediante la expresión [a,a+h], nombrando, así, a un extremo del intervalo a, y a su longitud, h. En tal caso, la tasa de variación f (a + h) f (a) media se obtiene : T.V.M. [a,a+h] = h Si una función es creciente en [a,b], su tasa de variación media es positiva; y si es decreciente, negativa. TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA O DERIVADA Definición: Se llama tasa de variación instantánea (T.V.I) de una función, y = f(x) en un punto x = a o derivada de una función en un punto x = a, y se denota f (a) T.V.I.(a) = f (a) = f (a) lim x a f (a + h) f (a) = lim h 0 h Significado: Si es positiva La función es creciente en el punto x = a Si es negativa La función es decreciente en el punto x = a

2 TEMA 9 DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN MATEMÁTICAS II º Bach DERIVADAS LATERALES Se llama derivada por la izquierda de f en x = a, f (a - ) a: f (a - f (a) f (a + h) f (a) ) = lim = lim x a h 0 h Se llama derivada por la derecha de f en x = a, f (a + ) a: f (a + f (a) f (a + h) f (a) ) = lim = lim + + x a h 0 h A ambas se las llama derivadas laterales. Nota: Si en un punto las derivadas laterales son distintas, el punto es anguloso. Si las derivadas laterales coinciden, la curva es suave o lisa, es decir, es derivable. DERIVABILIDAD Y CONTINUIDAD Si una función es continua en un punto puede ser derivable o no derivable en ese punto. Ejemplos: a) f(x) = x + 3 Continua en x = 0 y Derivable en x = 0 b) f(x) = x Continua en x = 0 y No derivable en x = 0 Pero si una función es derivable en un punto, necesariamente es continua en él. f (a) Dem: f(x) es derivable en x = a, es decir, lim x a x a Vemos si f es continua en x = a, para ello debemos probar que lim = f (a) ó lo que es lo mismo, lim f (a) = 0 f (a) f (a) lim f (a) = lim (x a) = lim lim (x a) = f (a).0 = 0 x a x a Nota: Por el resultado anterior, cuando tengamos que estudiar la derivabilidad de una función estudiaremos primero su continuidad. - Si es continua Estudiaremos su derivabilidad (f (a - ) = f (a + )) - Si no es continua No es derivable. 9. FUNCIÓN DERIVADA Si una función, f, es derivable en todos los puntos de un intervalo, I, la función f : x f (x) definida en I, se llama función derivada de f. Si f es derivable, su derivada se llama f (se lee derivada segunda o f segunda). Así sucesivamente, se definen f, f iv,, f n) (f tercera, f cuarta, f n-ésima). Otra forma de nombrar las derivadas es Df, D f, D 3 f,, D n f. Habitualmente se obtienen las derivadas de las funciones a partir de las llamadas reglas de derivación que permiten obtener con comodidad y rapidez la derivada de cualquier función.

3 TEMA 9 DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN MATEMÁTICAS II º Bach REGLAS DE DERIVACIÓN OPERACIONES CON DERIVADAS - Multiplicación por un número :(k.f(x)) = k.f (x) - Suma y resta: [f(x) ± g(x)] = f (x) ± g (x) - Producto : [f(x).g(x)] =f (x).g(x) + f(x).g (x) '.g(x) g'(x) - Cociente : = g(x) g (x) - Composición (Regla de la Cadena) : [f(g(x))] =f (g(x)).g (x) [f(g(h(x)))] = f (g(h(x))).g (h(x)).h (x) REGLAS DE DERIVACIÓN FUNCIÓN DERIVADA FUNCIÓN DERIVADA y = k 0 y = x y = x n n.x n- y = f n (x) n.f(x) n-.f (x) y = x x y = y = n x n n x n y = n n n n y = a x a x. Ln a y = a f(x) a f(x).ln a.f (x) y = e x e x y = e f(x) e f(x).f (x) y = log a x x.lna y = log a f(x).lna y = Ln x x y = Ln f(x) y = sen x cos x y = sen f(x) cos f(x).f (x) y = cos x - sen x y = cos f(x) - sen f(x).f (x) y = tag x + tag x = cos x y = tag f(x) = cos [ + tag f(x)].f (x) y = arcsen x x y = arcsen f(x) f (x) y = arccos x x y = arccos f(x) f (x) y = arctag x + x y = arctag f(x) +

4 TEMA 9 DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN MATEMÁTICAS II º Bach DERIVADA DE LA FUNCIÓN INVERSA O RECÍPROCA DE OTRA Si conocemos la derivada de una función f y, a partir de ella, queremos obtener la derivada de su función recíproca, f -, procederemos del siguiente modo: f(f - (x)) = x Derivando f (f - (x)).(f - ) (x) = (f ) (x) = f f ( (x)) 9.6 NUEVAS TÉCNICAS DE DERIVACIÓN DERIVADA DE UNA FUNCIÓN IMPLÍCITA Hay funciones que vienen dadas mediante expresiones φ(x,y) = 0, en las cuales es difícil o imposible despejar la y. Por ejemplo: y 3 7x + 5y x + 7 = 0 En ellas, los valores de y quedan implícitamente dados por la expresión, pero no es posible obtener explícitamente una expresión del tipo y = f(x). La derivada, y, de la función, no es, sin embargo, difícil de obtener (sólo hay que tener en cuenta que la derivada de x es uno, y la derivada de y es y ). En el ejemplo: 3y y - 4x + 5(yy x + y ) + 0 = 0 3y y + 0yy x = 4x 5y 4x 5y y = 3y + 0xy Observamos que y viene dada en función de x y de y. Por tanto, para hallar el valor de la derivada en un punto, hemos de conocer su abscisa y su ordenada. Por ejemplo, sabiendo que la curva pasa por (,), obtenemos la derivada en ese punto: y (,) = = = DERIVACIÓN LOGARÍTMICA Función potencial: y = f(x) n y = n.f(x) n- Función exponencial: y = a f(x) y = a f(x).lna.f (x) Función exponencial-potencial: y = f(x) g(x) Derivación logarítmica: Tomar logaritmos: Ln y = Ln f(x) g(x) Ln y = g(x).ln f(x) Derivamos los dos miembros de la igualdad: y f (x) = g (x).ln + g(x). y f (x) 3 Despejamos y : y = y. g (x).ln + g(x). g(x) f (x) 4 Sustituimos la y: y =. g (x).ln + g(x). Ejemplo: f(x) = x x Ln f(x) = Ln x x f (x) Ln f(x) = x.ln x =.Lnx + x. x f (x) = f(x) [Ln x + ] f (x) = x x [Ln x + ]

5 9.7.- INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA. Analicemos desde un punto de vista gráfico la definición de derivada de una función en un punto: Parece claro que, a medida que x se acerca al punto a, las rectas secantes se acercan a la recta tangente en el punto a. Es además evidente, que las distintas tasas de variación media, correspondientes a los sucesivos cocientes incrementales, tienden, en caso de existir a la derivada. Podemos establecer, por tanto la siguiente interpretación geométrica de la derivada: Si una función f es derivable en un punto x = a, entonces la derivada de f en x = a coincide con la pendiente de la recta tangente a la curva y = f(x) en el punto (a, f(a)). Así pues, las rectas tangente y normal tienen por ecuaciones: t : y f ( a) f '( a) ( x a) n : y f ( a) ( x a) f '( a)

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7 9.8 Propiedades de las funciones derivables. Teoremas de Rolle y del valor medio. Teorema de Rolle Si es continua en [a, b] y derivable en (a, b), y si f (a) f (b), entonces existe algún punto c (a, b) tal que f (c) 0. Geométricamente, la comprobación es evidente: existe un punto al menos de ese intervalo, en el que la tangente a la curva es horizontal. En ese punto c se da el máximo o el mínimo de en ese intervalo. Ejemplos: a) La función [, ], pues: x x verifica las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo es continua y derivable en todo R; en particular en el intervalo [, ]. f ( ) 4 y f () 4. Esto es, toma el mismo valor en los extremos del intervalo. En consecuencia, existe un punto c (, ) en el que su derivada vale 0: f (x) x 0 x /. El valor c = / es el que asegura el teorema: f ( / ) 0. b) La función x no satisface las condiciones del teorema de Rolle en el intervalo [, ], pues no es derivable en el punto x = 0 de ese intervalo. Por eso, aunque tenga máximo en x = 0, no se cumple que f (0) 0. Teorema del valor medio de Lagrange Si es continua en [a, b] y derivable en (a, b), entonces existe algún punto c (a, b) tal que f ( b) f ( a) f '( c) b a Interpretación geométrica: existe un punto perteneciente al intervalo en el que la tangente a es paralela a la secante que pasa por los puntos de abscisa a y b. De otro modo: existe un punto del intervalo en el que la tasa de variación instantánea coincide con la tasa de variación media de todo el intervalo. Recuerda que la tasa de variación media de una función en un intervalo viene dada por la f (b) f (a) expresión: TVM [a, b] b a

8 Ejemplo: La función f(x) = x 3 6x es contínua y derivable en el intervalo, f () f ( ) que f '( c) ( ) 5 4 En efecto, 3x 6 3 3x 6 x x, x ( ) El valor que cumple el teorema es x =, el número que pertenece a (, ). Teorema de Cauchy c, < c < tal Si y g(x) son funciones contínuas en [a, b] y derivables en (a, b), y si g(b) g(a), y f (x) y g (x) no son ceros a la vez, entonces, existe un punto c (a, b) tal que f ( b) f ( a) g( b) g( a) f '( c) g'( c) Ejemplo: Las funciones f(x) = 3x x y g(x) x 3 son contínuas y derivables en todo R, en particular en el intervalo. Para hallar el valor c (0, ) que cumple el teorema se procede así : f () f (0) g() g(0) f '( c) g' ( c) 0, Ese es el valor de c buscado: c = /. 6 6x 5 6x x ( 3) 9.9 Cálculo de límites. Regla de L Hôpital