x-y+2 = 0 z = [2014] [JUN-A] Sea el plano que pasa por los puntos A(1,-1,1), B(2,3,2), C(3,1,0) y r la recta dada por r x-7 2 = y+6

Transcripción

1 1. [014] [EXT-A] Sea el punto A(1,1,) y la recta de ecuación r a) Calcular el plano perpendicular a la recta r que pase por A. b) Calcular la distancia del punto A a la recta r. x-y+ = 0 z =.. [014] [EXT-B] a) Dados el punto A(,5,1), la recta r x-1 = y+ = z+1 y el plano x-y+z+5 = 0, determinar el punto B de tal que la recta AB sea paralela a la recta r. b) Hallar las coordenadas de un vector de módulo 1, que sea perpendicular a los vectores PQ y PR, siendo P(1,,-1), Q(,0,1) y R(-1,1,0).. [014] [JUN-A] Sea el plano que pasa por los puntos A(1,-1,1), B(,,), C(,1,0) y r la recta dada por r x-7 = y+6-1 = z+. a) Calcular el ángulo que forman la recta r y el plano. b) Calcular los puntos de r que distan 6 unidades del plano. 4. [014] [JUN-B] Calcular la recta contenida en el plano 1 x+y+z =, paralela al plano x = 0, y que pasa por el punto simétrico de B(-1,1,1) respecto de. 5. [01] [EXT-A] Sea el plano x+y+z = 0, la recta r x = y = z y el punto A(,,1). a) Hallar la recta que pasa por A, es paralela a y corta a r. b) Hallar los puntos de r que equidistan de A y de. 6. [01] [EXT-B] Sean las rectas r x = -y = z-1 y s x- = y = z-m. a) Determinar m para que las rectas sean coplanarias. b) Para m =, calcular la distancia entre las rectas. 7. [01] [JUN-A] Sean los puntos A(1,,-1), P(0,0,5), Q(1,0,4) y R(0,1,6). a) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A, es paralela al plano que pasa por los puntos P, Q y R, y tal que la primera componente de su vector director es doble que la segunda. b) Hallar la distancia del punto A al plano que pasa por P, Q y R. x = 1 8. [01] [JUN-B] Sean los puntos P(1,4,-1), Q(0,,-) y la recta r y-z = 4. a) Hallar la ecuación del plano que pasa por P, por un punto R de la recta r y es perpendicular a la recta que pasa por Q y por R. b) Hallar el ángulo que forman la recta r y el plano x-y- = [01] [EXT-A] Dados el punto A(,1,1) y las rectas r x = y+ = z-1 y s x+y = 0, se pide: x+z = a) Hallar la ecuación de la recta que pasa por A y corta a r y s. b) Hallar la ecuación del plano perpendicular a r que pasa por A. 10. [01] [EXT-B] Sea s la recta de ecuaciones paramétricas x = +t y = -1-t z = 1. a) Hallar la ecuación de la recta r que pasa por el punto P(1,0,5) y corta perpendicularmente a la recta s. b) Hallar la ecuación del plano que contiene a r y a s. 11. [01] [JUN-A] Se consideran las rectas: r x 1 = y-1 - = z- ; s x- = y 1 = z+1-1. a) Justificar razonadamente que ambas rectas se cruzan. 17 de julio de 015 Página 1 de 6

2 b) Hallar la perpendicular común y que corta a las dos rectas. 1. [01] [JUN-B] Un cuadrado tiene dos vértices consecutivos en los puntos P(,1,) y Q(1,,1); los otros dos sobre una recta r que pasa por el punto R(-4,7,-6). a) Calcular la ecuación de la recta r. b) Calcular la ecuación del plano que contiene al cuadrado. c) Hallar las coordenadas de uno de los otros vértices. 1. [011] [EXT-A] Sean la recta r según los valores de m. x+y = 1 my+z = 0 y el plano x+(m+1)y+mz = m+1. Estudiar la posición relativa de la recta y el plano 14. [011] [EXT-B] a) Calcular un vector unitario y ortogonal a los vectores v = (1,,0) y w = (-1,0,1). y+1 = 0 b) Calcular el plano que contiene a las rectas r x+z = 1 y s x -1 = y+ 0 = z [011] [JUN-A] a) Determinar la posición relativa de la recta r b) Hallar el plano perpendicular a que contiene a r. y-x = 1 z-x = 0 y el plano x-y = [011] [JUN-B] a) Hallar la recta que pasa por el punto A(1,-1,0), está contenida en el plano x+y = 0 y corta a la recta s x = y = z. b) Hallar la distancia del punto B(,-,) a la recta s. 17. [010] [EXT-A] a) Determinar las ecuaciones de los planos paralelos al plano 1x+y-4z = 7 que distan 6 unidades del mismo. b) Probar que el punto P(1,1,) pertenece a, y calcular la recta perpendicular a que pasa por P. 18. [010] [EXT-B] Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(,-1,1) y corta perpendicularmente a la recta r x- = y-1 = z. x-y+az = [010] [JUN-A] Se consideran la recta r, con a, y el plano x+y+z- = 0. ay-z = 4 a) Hallar los valores de a para los que r es paralela a. b) Para a =, hallar la distancia de r a. c) Para a = 1, hallar la distancia de r a. 0. [010] [JUN-B] Dados el punto P(1,1,-1), la recta r x = y+6 = z- y el plano 6x+6z-1 = 0, se pide: 4 a) Hallar el punto simétrico de P respecto del plano. b) Hallar los puntos Q de r que distan 1 unidades de longitud de. 1. [009] [EXT-A] Se considera la recta r x-1 = y- = z y el punto P(1,8,). a) Hállese el punto A de r tal que el vector AP es perpendicular a r. b) Determínese el plano que es paralelo a r, pasa por B(5,1,0) y por el simétrico de P respecto de r.. [009] [EXT-A] Determinar el ángulo que forman la recta r x = y+1 = z y el plano x+y-z = de julio de 015 Página de 6

3 x+y+z = 4. [009] [EXT-B] a) Discutir, según el valor del parámetro real a, el siguiente sistema de ecuaciones: x-ay+z = a. x+z = 5 b) Interpretar la discusión realizada en a) en términos de la posición relativa de los planos dados por cada una de las ecuaciones del sistema. 4. [009] [EXT-B] Sea 0 un número real, y las rectas de ecuaciones r x = y = z x = 1+4, s y =. z = - Para el valor de para el que r y s son paralelas, hallar el plano que las contiene. 5. [009] [JUN-A] Sea r la recta que pasa por los puntos A(1,1,1) y B(,1,), y sea s la recta de ecuaciones s a) Estudiar su posición relativa. b) Si fuera posible, calcular su punto de intersección. c) Calcular, si existe, un plano que las contenga. x-z = 1 y- = 0. Se pide: 6. [009] [JUN-A] Hallar la distancia desde el punto P(1,,-) a la recta s x = + y = -1+ z = 1-7. [009] [JUN-B] Calcular la distancia entre las rectas de ecuaciones r x-y = -1 7x-z = -4 y s x- = y- = z [008] [EXT-A] Hallar la distancia entre el punto A(,1,4) y la recta r x-1 = y+1 = z. 9. [008] [EXT-B] Se consideran las rectas r y s de ecuaciones respectivas r a) Estudiar la posición relativa de r y s. b) Determinar la recta que corta perpendicularmente a r y s. c) Hallar la distancia entre r y s. y = 1 z = 0, s x = 0 z =. 0. [008] [EXT-B] Hallar el seno del ángulo formado por la recta r y el plano dados por: r x = z ; x+y = z. y+z = x+y+z = 1. [008] [JUN-A] Se considera el plano x+ay+az = 4 y la recta r x+y-z =. a) Determinar los valores de a para los cuales la recta y el plano son paralelos. b) Para a =, calcular la recta que pasa por P(1,0,-1), es paralela al plano y se apoya en la recta r.. [008] [JUN-A] Sabiendo que tres de los vértices de un paralelogramo son A(1,1,), B(1,1,4) y C(,,6), hallar el área del mismo.. [008] [JUN-B] Dada la recta r x+y =, calcular el punto P de la recta r tal que la perpendicular a r por P pase por el punto 1, [007] [EXT-A] Determinar el punto simétrico de P(4,0,) respecto del plano de ecuación x = y. 5. [007] [EXT-B] De una recta r se sabe que está contenida en el plano de ecuación x-y = 0, que A 0,0,0 pertenece a r, y que el vector que une A y B 1,0,-1 es perpendicular a r. Determinar la recta r, y calcular la distancia entre r y el plano paralelo a que 17 de julio de 015 Página de 6

4 pasa por B. 6. [007] [JUN-A] Sea el plano x+y-z-5 = 0 y la recta r x=y=z. Se pide: a) Calcular la distancia de la recta al plano. b) Hallar un plano que contenga a r y sea perpendicular a. c) Hallar el punto simétrico de P(-1,,) respecto a. 7. [007] [JUN-B] Dadas las rectas r los una sea perpendicular a ambas. x+y-z = 0 x+y = 7 y s x =, hallar un punto de cada una de ellas, de tal forma, que el vector que y = -5 x-y+z = 1 8. [006] [EXT-A] a) Hállese el valor de a para el que la recta r y el plano ax-y+z+1 = 0 son paralelos. x+y-5z = b) Para a =, calcúlese la ecuación del plano que contiene a r y es perpendicular a, y hállese la distancia entre r y. 9. [006] [EXT-A] Hállense las ecuaciones de la recta que pasa por P(,1-1), está contenida en el plano x+y+z = 1, y es x = z- perpendicular a la recta r y = z+4. x-y = m 40. [006] [JUN-A] Sean r y s las rectas dadas por : r z+y =, s x+y = x+z =. a) Hállese el valor de m para que ambas rectas se corten. b) Para m = 1, hállese la ecuación del plano que contiene a r y s. 41. [006] [JUN-A] Calcúlese la distancia del punto P 1,1,1 a la recta r x = -+ y = 0 z = - 4. [006] [JUN-B] Hállese la distancia entre el plano, que pasa por los puntos A,0,-1, B 0,0,0 y C 1,1,, y el plano de ecuación x-5y+z-6 = [005] [EXT-A] (a) Calcúlense los valores de a para los cuales las rectas r (b) Para a = 1, calcúlese la recta que pasa por (1,1,1) y se apoya en r y s. x+ay-6az+1 = 0 -x+y+z- = 0 y s x = -1- y = + son perpendiculares. z = 1+a 44. [005] [EXT-A] Calcúlese el simétrico del punto P(1,1,1) respecto del plano x+y+z = [005] [EXT-B] Calcúlese el volumne del tetraedro de vértices A(1,1,1), B(1,,), C(,,1), D(,1,). 46. [005] [JUN-A] Calcúlese la distancia del origen al plano que pasa por A(1,,0) y contiene a la recta r x+ = y-1 = z. 47. [005] [JUN-B] (a) Determínese el simétrico de A(-,1,-7) respecto de la recta r x+1 = y- = z+1. (b) Hállese la distancia entre A y r. 48. [005] [JUN-B] Dados el punto A(,5,-1) y la recta r x-1 z+1 = y+ =, hállese el punto B perteneciente a r tal que el vector de 4 17 de julio de 015 Página 4 de 6

5 extremos A y B es paralelo al plano de ecuación x-y+z+5 = [004] [EXT-A] Sea m un número real y sean r y la recta y el plano dados respectivamente por: x-my+z = -m r ; x+z = -m x+y+z = 0 a) Estúdiese la posición relativa de r y en función del valor de m. b) Para el valor m = 1, hállese la ecuación del plano que pasa por el punto de corte de r y y es perpendicular a la recta t x = y = z. 50. [004] [EXT-A] Calcúlese la distancia entre las rectas r y s de ecuaciones: r x = 1+ y = 0 z = -, s x -1 = y- 1 = z [004] [EXT-B] Hállese la ecuación general del plano que pasa por los puntos A(,,-1), B(4,0,) y es perpendicular al plano x-5y+z-6 = 0. x+y+1 = 0 5. [004] [JUN-A] Sea la recta r x-z+ = 0 a) Escríbase la recta r en forma paramétrica. b) Para cada P de r, determínese la ecuación de la recta que pasa por P y corta perpendicularmente al eje OZ. 5. [004] [JUN-A] Determínese si el plano x+y-4 = 0 corta o no al segmento de extremos A(,1,) y B(,,1). 54. [004] [JUN-B] Hállese la ecuación del plano que contiene a la recta r x = y = z y es perpendicular al plano x+y-z-1 = 0. x-z = [00] [EXT-B] Dadas las rectas r y s: r y-z =, s x+y = 5 x+z = a a) hallar el valor de a para que ambas rectas estén en el mismo plano. b) Hallar la ecuación de dicho plano. 56. [00] [EXT-B] Cuál es el ángulo que forma la recta x = y = z con el eje OX? 57. [00] [EXT-B] Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (,5) y es tangente a la recta 4x+y- = [00] [JUN-A] a) Hallar el valor del parámetro a para que los planos de ecuaciones x-y+z = x-y+z = se corten en una recta r. x-y+az = 4 b) Obtener la ecuación del plano que pasa por el punto P(,,1) y contiene a la recta r del apartado anterior. x = [00] [JUN-A] Hallar la distancia del punto P(,1,1) a la recta r y = + z = 60. [00] [JUN-B] Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(1,,-1), es paralela al plano x+y-z- = 0 y perpendicular a la recta r x = y-1-1 = z de julio de 015 Página 5 de 6

6 61. [00] [JUN-B] Cuál es la ecuación de la circunferencia de centro (,) que es tangente al eje OX? Soluciones x = a) y = 0 z = 5+ b) x+y-1 = b) (x,y,z) = m {0,1}: secante. 14. a) 18. x = + y = -1- z = 1+,-1, 19. a) -1, b) ,0 7,8 7 + (0,1,1) 1. a) (x,y,z) = (-4,7,-6)+ (-1,,-) b) x-y-z+ = 0 c) (-1,1,0) 1. m = 0: contenida; m = 1: pralela; b) x+y+z-1 = a) paralela b) x+y-z+1 = a) x = k y = -k z = 0 b) a) 1x+y-4z+71 = 0; 1+y-4z-85 = 0 b) x = 1+1 y = 1+ z = -4 c) 0 0. a) (,1,1) b) (0,-6,), (-1,-10,) 1. a) (4,4,1) b) x+y-9z-7 = 0. 8º6'47''. a) a=1: c.i.; a 1: c.d. b) se cortan: a=1, recta; a 1, punto 4. = -1, x-7y-z = 0 5. a) paralelas c) x-y-z+ = b) 9. x = 1-0k y = 1k z = -1+5k x+y+z = 1 x+y+z = ,-11,- 7 5, 5, , ,-4, a) 1 b) 10x+7y+6z- = x = y = z = ; a) (a) (b) 49. a) m =, r contenida en ; a : se cortan b) x+y+z = a) se cruzan b) x = 0 y = 1 z = c) 0. b) x-y = 0 c),-1, 7. 5,1,6,,-5,6 8. a) b) 4x+y-7z-4 = 0; x-y-z+ = 0 x+y- = (-1,-1,-1) 45. x = x-y-8z-8 = 0 5. a) y = -1- z = x-y = a) 4 b) x+4y-6z-8 = º44'8'' 57. (x-) +(y-5) = a) 1 b) x-y+z-4 = a) (a) (-,-,-) (b) x = - b) y = ( +1) 5. corta en z = + x = 1+ y = (x-) +(y-) = 4 z = de julio de 015 Página 6 de 6