4 Operaciones. con polinomios. 1. Operaciones con polinomios. Desarrolla mentalmente: a) (x + 1) 2 b)(x 1) 2 c) (x + 1)(x 1)

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1 4 Operaciones con polinomios 1. Operaciones con polinomios Desarrolla mentalmente: a) ( + 1) 2 b)( 1) 2 c) ( + 1)( 1) P I E N S A Y C A L C U L A a) b) c) Dados los siguientes polinomios: P() = Q() = Calcula: a) P() + Q() b) P() Q() b) Suma P() con P(). Qué polinomio se obtiene? a) P() = b) P() + [ P()] = 0 Se obtiene el polinomio cero. A P L I C A L A T E O R Í A a) b) Dados los siguientes polinomios: P() = Q() = Calcula: a) P() + Q() b) P() Q() a) b) Dado el polinomio siguiente: P() = a) Halla su opuesto: P() 4 Multiplica los siguientes polinomios: P() = Q() = gr(p() Q()) = = 3 5 Multiplica los siguientes polinomios: P() = Q() = gr(p() Q()) = = SOLUCIONARIO

2 6 Multiplica los siguientes polinomios: P() = Q() = gr(p() Q()) = = 3 7 Multiplica los siguientes polinomios: P() = 2 1 Q() = gr(p() Q()) = = 3 8 Desarrolla mentalmente: a) ( + 3) 2 b) ( + 5)( 5) c) ( 4) 2 d) ( + )( ) 2 2 a) b) 2 25 c) d) Desarrolla y simplifica: a) (2 1/2) 2 b) (/5 + 1)(/5 1) c) (3 + 2/3) 2 d) (2 + 3/4)(2 3/4) a) /4 b) 2 /25 1 c) /9 d) 4 2 9/16 2. Teorema del resto y del factor Calcula mentalmente el valor del polinomio P() = para los valores siguientes: a) = 0 b) = 1 a) P(0) = 9 b) P(1) = 11 P I E N S A Y C A L C U L A 10 Calcula P() : Q(), siendo: P() = Q() = C() = R() = Halla P() : Q() por Ruffini, siendo: P() = Q() = + 3 C() = R() = 8 A P L I C A L A T E O R Í A TEMA 4. OPERACIONES CON POLINOMIOS 133

3 12 Calcula el valor numérico del siguiente polinomio para los valores que se indican: P() = a) Para = 2 b) Para = 2 a) P(2) = 2 b) P( 2) = Cuál de estos números: 2 o 2 es raíz del polinomio P() = ? P(2) = 0 ò = 2 es raíz de P() P( 2) = 96 π 0 ò = 2 no es raíz de P() 14 Halla, sin hacer la división, el resto de dividir: P() = entre 3 Resto = P(3) = Comprueba mentalmente, y sin hacer la división, que el polinomio P() = es divisible entre 1 Resto = P(1) = 0 16 Halla el valor de k para que el resto de la siguiente división sea 5 ( 4 + k ) : ( + 1) Por el teorema del resto: P( 1) = 5 ò k + 9 = 5 ò k = 4 17 Halla el valor de k para que el polinomio P() = k + 8 sea divisible entre 2 Por el teorema del factor: P(2) = 0 ò 2k 4 = 0 ò k = 2 3. Factorización de polinomios Factoriza mentalmente los siguientes polinomios y halla sus raíces: a) b) c) d) 2 4 P I E N S A Y C A L C U L A a) ( + 2) b) ( + 3) 2 c) ( 2) 2 d) ( + 2)( 2) Raíces: Raíces: Raíces: Raíces: = 0, = 2 = 3 = 2 = 2, = 2 18 Factoriza mentalmente los siguientes polinomios: a) b) 2 9 c) d) a) ( + 5) b) ( + 3)( 3) c) ( + 2) 2 d) ( 3) 2 19 Factoriza mentalmente los siguientes polinomios y halla sus raíces: a) 3 4 b) c) d) a) ( + 2)( 2) = 0, 2 = 2, 3 = 2 A P L I C A L A T E O R Í A 134 SOLUCIONARIO

4 b) ( 1) 2 = 0, 2 = 3 = 1 c) 2 ( + 5)( 5) = 2 = 0, 3 = 5, 4 = 5 d) ( + 3) 2 = 0, 2 = 3 = 3 20 Factoriza los siguientes polinomios y calcula sus raíces: a) b) c) d) a) ( 1)( + 2)( 3) = 1, 2 = 2, 3 = 3 b) ( 1) 2 ( 3) = 2 = 1, 3 = 3 c) ( + 1)( 2) 2 ( + 3) = 1, 2 = 3 = 2, 4 = 3 d) ( + 1)( 1)( 3)( 5) = 1, 2 = 1, 3 = 3, 4 = 5 21 Halla un polinomio que tenga las siguientes raíces: a) = 1, 2 = 3 b) = 2, 2 = 0 c) = 2, 2 = 1, 3 = 3 d) = 0, 2 = 3 = 2, 4 = 3 22 Halla el M.C.D. y el m.c.m. de los siguientes polinomios: a) P() = Q() = 2 b) P() = 2 4 Q() = c) P() = Q() = d) P() = Q() = a) P() = ( 1) 2 ( 2) Q() = ( 1) M.C.D.(P(), Q()) = 1 m.c.m. (P(), Q()) = ( 1) 2 ( 2) b) P() = ( 2)( + 2) Q() = ( + 2) 2 ( 3) M.C.D.(P(), Q()) = + 2 m.c.m. (P(), Q()) = ( 2)( + 2) 2 ( 3) c) P() = 2 ( + 1)( 2) Q() = ( + 1) 2 ( 3) M.C.D.(P(), Q()) = ( + 1) m.c.m. (P(), Q()) = 2 ( + 1) 2 ( 2)( 3) d) P() = ( 2) 2 ( + 3) Q() = ( 2) 2 ( 1) M.C.D.(P(), Q()) = ( 2) 2 m.c.m. (P(), Q()) = ( 2) 2 ( 1)( + 3) a) ( + 1)( 3) = b) ( 2) = 2 2 c) ( + 2)( 1)( 3) = d) ( 2) 2 ( + 3) = TEMA 4. OPERACIONES CON POLINOMIOS 135

5 Ejercicios y problemas 1. Operaciones con polinomios 23 Dados los siguientes polinomios: P() = Q() = Calcula: a) P() + Q() b) P() Q() a) b) Multiplica los siguientes polinomios: P() = Q() = gr(p() Q()) = = 6 25 Multiplica los siguientes polinomios: P() = Q() = gr(p() Q()) = = 5 26 Desarrolla y simplifica: a) (3 1/3) 2 b) ( + 1/4)( 1/4) c) (2 + 3/2) 2 d) (3 + 2/3)(3 2/3) a) /9 b) 2 1/16 c) /4 d) 9 2 4/9 C() = R() = Calcula P() : Q(), siendo: P() = Q() = C() = R() = Calcula P() : Q() por Ruffini, siendo: P() = Q() = 3 C() = R() = Halla P() : Q() por Ruffini, siendo: P() = Q() = + 2 C() = R() = Calcula el valor numérico del siguiente polinomio, para los valores que se indican: P() = a) Para = 2 b) Para = 2 a) P(2) = 29 b) P( 2) = 3 Halla si los valores 5 y 3 son raíces del siguiente polinomio: P() = Teorema del resto y del factor 27 Calcula P() : Q(), siendo: P() = Q() = P(5) = 0 ò = 5 es raíz de P() P(3) = 24? 0 ò = 3 no es raíz de P() 33 Halla, sin hacer la división, el resto de dividir P() = entre SOLUCIONARIO

6 Por el teorema del resto: Resto = P( 3) = Halla el valor de k para que el resto de la siguiente división sea 3 ( 4 + k 3 k + 5) : ( 2) Por el teorema del resto: P(2) = 3 ò 6k + 21 = 3 ò k = 4 35 Comprueba, sin hacer la división, que el polinomio P() = es divisible entre + 3 Por el teorema del factor: Resto = P( 3) = 0 = 0, 2 = 1/2, 3 = 1/2 b) 2 ( + 1) 2 = 2 = 0, 3 = 4 = 1 c) 2 2 ( + 3)( 3) = 2 = 0, 3 = 3, 4 = 3 d) 2( + 3) 2 = 0, 2 = 3 = 3 39 Factoriza los siguientes polinomios y halla sus raíces: a) b) c) d) Halla el valor de k para que el polinomio P() = 2 3 k sea divisible entre + 2 Por el teorema del factor: P( 2) = 0 ò 4k 24 = 0 ò k = 6 3. Factorización de polinomios 37 Factoriza mentalmente los siguientes polinomios: a) 2 25 b) c) d) a) ( 5)( + 5) b) ( 4) 2 c) ( 2 1) 2 = ( + 1) 2 ( 1) 2 d) ( + 5) 2 38 Factoriza mentalmente los siguientes polinomios y halla sus raíces: a) b) c) d) a) 4(4 2 1) = 4(2 + 1)(2 1) a) ( 3)( + 1) 2 = 3, 2 = 3 = 1 b) ( + 1)( 3) = 0, 2 = 1, 3 = 3 c) ( 1)( 2) 2 ( + 3) = 1, 2 = 3 = 2, 4 = 3 d) 2 ( 1) 2 ( 2) = 2 = 0, 3 = 4 = 1, 5 = 2 40 Halla un polinomio que tenga las siguientes raíces: a) = 2, 2 = 3 b) = 2, 2 = 1 c) = 1, 2 = 1, 3 = 3 d) = 0, 2 = 1, 3 = 4 = 2 a) ( 2)( + 3) = b) ( + 2)( 1) = c) ( + 1)( 1)( 3) = d) ( 1)( 2) 2 = TEMA 4. OPERACIONES CON POLINOMIOS 137

7 Ejercicios y problemas 41 Halla el M.C.D. y el m.c.m. de los siguientes polinomios: a) P() = 3 4 Q() = b) P() = Q() = c) P() = Q() = d) P() = Q() = a) P() = ( 2) 2 Q() = ( + 2)( 2) M.C.D.(P(), Q()) = ( 2) m.c.m. (P(), Q()) = ( 2) 2 ( + 2) b) P() = ( 1)( + 3) Q() = ( 1)( 2) M.C.D.(P(), Q()) = 1 m.c.m. (P(), Q()) = ( 1)( 2)( + 3) c) P() = 2 ( 1)( 3) Q() = ( 1) 2 M.C.D.(P(), Q()) = ( 1) m.c.m. (P(), Q()) = 2 ( 1) 2 ( 3) d) P() = ( 1) 2 ( 2) Q() = ( 1)( 2) 2 M.C.D.(P(), Q()) = ( 1)( 2) m.c.m. (P(), Q()) = ( 1) 2 ( 2) 2 Para ampliar 42 Dados los siguientes polinomios: P() = Q() = Calcula: a) P() + Q() b) P() Q() a) b) Multiplica los siguientes polinomios: P() = Q() = gr(p() Q()) = = 6 44 Multiplica los siguientes polinomios: P() = Q() = gr(p() Q()) = = 5 45 Desarrolla y simplifica: a) (5 1/5) 2 b) ( + 5 )( 5 ) c) (4 + 1/4) 2 d) (6 + 1/6)(6 1/6) a) /25 b) 2 5 c) /16 d) /36 46 Halla un polinomio que al ser dividido entre: se obtenga de cociente y de resto SOLUCIONARIO

8 ( )( ) = = Observando las gráficas siguientes, halla las raíces de los polinomios: P() = Q() = Factoriza los siguientes polinomios y halla sus raíces: ( 1)( 2)( ) Las raíces reales son: = 1, 2 = 2 Y y = X Y y = X ( + 1) 2 ( 1) 2 = 2 = 1, 3 = 4 = 1 Las raíces de P() son: = 4, 2 = 0 Las raíces de Q() son: = 1, 2 = 5 48 Halla el valor de k para que el polinomio P() = k + 3 sea divisible por + 3 Por el teorema del factor: P( 3) = 0 ò 102 3k = 0 ò k = Halla el valor de k para que el resto de la división del polinomio P() = k entre 2 sea 3 Por el teorema del resto: Resto = P(2) = 3 ò k + 14 = 3 ò k = 11 Di si son eactas las siguientes divisiones sin hacer la división: a) ( 4 1) : ( + 1) b) ( 5 32) : ( + 2) a) Resto = ( 1) 4 1 = 0 ò Es eacta. b) Resto = ( 2) 5 32 = 64 ò No es eacta ( 2)( + 3)( ) Las raíces reales son: = 2, 2 = ( 1)( + 2)( 4) = 1, 2 = 2, 3 = ( 1) 2 ( + 2)( 3) = 2 = 1, 3 = 2, 4 = ( + 2)( 1) 3 = 2, 2 = 3 = 4 = 1 TEMA 4. OPERACIONES CON POLINOMIOS 139

9 Ejercicios y problemas Problemas 57 Calcula los valores de m y n para que el polinomio: P() = m n sea divisible por + 1 y 2 Por el teorema del factor: P( 1) = 0 ò m + n + 3 = 0 P(2) = 0 ò 4m + n + 18 = 0 Resolviendo el sistema: m = 5, n = 2 58 Calcula los valores de m y n para que el polinomio: P() = 4 + m n 24 sea divisible por + 2 y 3 Por el teorema del factor: P( 2) = 0 ò 8m 2n = 0 P(3) = 0 ò 27m + 3n + 75 = 0 Resolviendo el sistema: m = 5, n = Escribe un polinomio cuyas raíces sean los valores 2, 1, 5 ( 2)( + 1)( 5) = Escribe dos polinomios P() y Q() tales que: M.C.D.(P(), Q()) = 2 P() = 2 Q() = ( 2) Escribe en forma de polinomio en una variable cada uno de los enunciados siguientes: a) El cubo de un número menos el cuadrado del número, más 4 unidades. b) El área de un rectángulo cuya base mide 5 unidades más que la altura c) El área de un triángulo cuya altura mide 2 unidades menos que la base a) P() = b) A() = ( + 5) = ( 2) 2 2 c) A() = = 2 2 Dos números suman 8 unidades. Escribe el polinomio que epresa el producto de dichos números en función del número menor P() = (8 ) = 8 2 Dados dos números enteros consecutivos, escribe el polinomio que epresa en función del número menor : a) la suma de los números. b) el producto de los números. a) S() = = b) P() = ( + 1) = 2 + Dado el rombo siguiente, halla su área en función de Escribe dos polinomios P() y Q() tales que: m.c.m.(p(), Q()) = ( 2 1)( 2) P() = ( 2 1) Q() = A() = = SOLUCIONARIO

10 Para profundizar 66 Escribe el polinomio que da el área de un triángulo equilátero en función del lado a) el área lateral del cilindro en función de b) el volumen del cilindro en función de h 2 3 A() = 2 2 a) A() = 2 = π π b) V() = π ( ) 2 = 67 En una cartulina cuadrada de 60 cm de lado se recorta un cuadrado de lado en las esquinas, para construir una caja sin tapa. Escribe el volumen de la caja en función de 69 Se divide un alambre de 100 m de longitud en dos trozos, y se forman el triángulo equilátero y el cuadrado siguientes. 60 cm 3 3 V() = (60 2) 2 = cm Con una cartulina como la de la figura, se construye un cilindro sin tapas. Escribe: Escribe el polinomio que epresa la suma de las áreas del triángulo y del cuadrado en función de 3 3 (100 ) 2 A() = ( ) TEMA 4. OPERACIONES CON POLINOMIOS 141

11 Aplica tus competencias 70 Halla el polinomio que define un movimiento uniformemente acelerado en el que: a = 4 m/s 2, v 0 = 5 m/s y e 0 = 2 m 71 Halla el monomio que define el movimiento de un cuerpo que se deja caer en el vacío en el que: a = 9,8 m/s 2, v 0 = 0 m/s y e 0 = 0 m 1 e(t) = 4t 2 + 5t e(t) = 2t 2 + 5t e(t) = 9,8t 2 2 e(t) = 4,9t SOLUCIONARIO

12 Comprueba lo que sabes 1 Enuncia el teorema del resto y pon un ejemplo. El resto que se obtiene al dividir el polinomio P() entre el binomio a es el valor numérico del polinomio para = a R = P(a) Ejemplo Halla el resto de la siguiente división: P() = entre + 3 Resto = P( 3) = ( 3) 3 5 ( 3) + 17 = = = 5 6 Halla el M.C.D. y el m.c.m. de los polinomios siguientes: P() = 3 4, Q() = P() = 3 4 = ( 2 4) = ( + 2)( 2) Q() = = 2 ( + 2) M.C.D.(P(), Q()) = ( + 2) m.c.m.(p(), Q()) = 2 ( + 2)( 2) 7 Calcula el valor de k para que el polinomio P() = = k + 6 sea divisible por ( + 2) 2 Dados los polinomios: P() = Q() = Calcula: a) P() + Q() b) P() Q() a) b) Multiplica los siguientes polinomios: P() = Q() = gr(p() Q()) = = 5 Por el teorema del factor: P( 2) = 0 ( 2) 3 3( 2) 2 + ( 2)k + 6 = k + 6 = k = 0 k = 7 8 Dado el cilindro inscrito en el cono de la figura siguiente, halla el polinomio que epresa el volumen del cilindro en función del radio 10 h 5 4 Desarrolla y simplifica: a) (2 + 1/2) 2 b) (3 + 1/3)(3 1/3) a) /4 b) 9 2 1/9 10 h 5 Factoriza el siguiente polinomio y halla sus raíces: P() = = ( + 1)( 2) 2 Raíces: = 1; = 2 Se tiene: 10 h = ò h = 2(5 ) 5 5 El volumen es: V() = π 2 2(5 ) = 10π 2 2π TEMA 4. OPERACIONES CON POLINOMIOS 143

13 Linu/Windows Paso a paso 72 Desarrolla el binomio: 2 ( ) Resuelto en el libro del alumnado. 73 Multiplica los polinomios: P() = Q() = Resuelto en el libro del alumnado. 74 Divide P() = entre Q() = Resuelto en el libro del alumnado. 75 Halla el valor numérico del polinomio P() = para = 2 Resuelto en el libro del alumnado. 76 Factoriza: Resuelto en el libro del alumnado. Plantea los siguientes problemas y resuélvelos con ayuda de Wiris o Derive: Halla el valor de k para que el resto de la siguiente división sea 3 ( 3 + k 10) : ( 2) Resuelto en el libro del alumnado. Internet. Abre: y elige Matemáticas, curso y tema. Practica 79 Dados los polinomios: P() = Q() = Calcula: a) P() + Q() b) P() Q() a) b) Multiplica los polinomios: P() = Q() = Multiplica los polinomios: P() = Q() = Desarrolla y simplifica: a) (2 1/2) 2 b) (/5 + 1)(/5 1) 144 SOLUCIONARIO

14 Windows Derive 1 a) b) Desarrolla y simplifica: a) (3 + 2/3) 2 b) (2 + 3/4)(2 3/4) 4 a) b) Calcula P() : Q(), siendo: P() = Q() = C() = R() = Factoriza los siguientes polinomios: a) b) a) ( 1)( + 2)( 3) b) ( + 1)( 2) 2 ( + 3) Halla las raíces de los siguientes polinomios: a) b) a) ( 1) 2 ( 3) = 2 = 1, 3 = 3 b) ( + 1)( 1)( 3)( 5) = 1, 2 = 1, 3 = 3, 4 = 5 Plantea los siguientes problemas y resuélvelos con ayuda de Wiris o Derive: 88 Halla el valor de k para que el resto de la siguiente división sea 5 ( 4 + k ) : ( + 1) 85 Calcula el valor numérico del siguiente polinomio para los valores que se indican: P() = a) Para = 2 b) Para = 2 P( 1) = 5 k = 4 89 Halla el valor de k para que el polinomio P() = k + 8 sea divisible entre 2 a) P(2) = 2 b) P( 2) = 26 P(2) = 0 k = 2 TEMA 4. OPERACIONES CON POLINOMIOS 145