CLASIFICACIÓN DE MÉTODOS. Teorema 1: Dada A, matriz cuadrada de orden n, los enunciados siguientes son equivalentes:

Transcripción

1 SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Los sistems de ecucioes represet probems físicos que ivoucr itercció de vris propieddes Ls vribes e e sistem represet s propieddes que se estudi y s ecucioes describe itercció etre s vribes Vmos resover u sistem de ecucioes iees co icógits:,,,,,,,,, b b b Hst egd de os computdores digites e tmño de os sistems resover estb muy imitdo por e úmero de opercioes ritmétics Hoy se puede resover u sistem de = e meos de seg Si A o es sigur, etoces e sistem A = b tiee soució úic pr cuquier vector b Si A es sigur, etoces soució de sistem viee determido por b Puede teer ifiits soucioes o igu (sistem icomptibe) E rgo de mtriz es meor que Los regoes o coums form vectores iemete depedietes E form mtrici: A = b, co A,,b Teorem : Dd A, mtriz cudrd de orde, os eucidos siguietes so equivetes: E sistem homogeeo A= tiee soo soució trivi = miembro de derech, b, e sistem A = b tiee u soució A es ivertibe CLASIFICACIÓN DE MÉTODOS METODOS DIRECTOS: So queos que os coducirí soució ect uego de u úmero fiito de opercioes eemetes, si o hubier errores de redodeo METODOS ITERATIVOS: prte de u estimció iici y costruye u sucesió de proimcioes, que e pricipio, coverge soució TIPOS DE MATRICES MATRICES DENSAS: So ques que posee pocos eemetos uos y so de orde bo MATRICES RALAS(SPARSE): So ques que posee muchos ceros y so de orde to 4 SISTEMA CON MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR Ddo e sistem A = b, siedo A u mtriz, trigur superior, co tods sus etrds digoes o us, etoces resovemos e sistem utiizdo sustitució hci trás Agoritmo: b P Ccur P Pr = -,, - Teorem: Si A es mtriz trigur superior, co ii i, etoces A es ivertibe 5 b SISTEMA CON MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR Ddo e sistem A = b, siedo A u mtriz, trigur iferior, co tods sus etrds digoes o us, etoces resovemos e sistem utiizdo sustitució hci dete Agoritmo: P Ccur b P Pr =,,, b Teorem: Si A es mtriz trigur iferior, co ii i, etoces A es ivertibe 6

2 CASO GRAL Ddo e sistem de ecucioes iees de form A = b, dode A ; b siedo mtriz de sistem o trigur etoces utiizmos e método de Eimició de Guss pr trsformr e sistem e uo equivete co mtriz trigur superior Teorem (INVARIANZA DE LA SOLUCIÓN): Ls soucioes de u sistem A = b permece ivrites te s siguietes opercioes: Itercmbio de dos ecucioes cuesquier Mutipicció de u ecució por u escr o uo Sum de u ecució co u combició ie o u de otrs ecucioes 7 8 ELIMINACION DE GAUSS ALGORITMO DE TRIANGULACION Pr resover e sistem, se requiere e uso de mtriz mpid de sistem, cu se defie como [A:B] Luego, se sustituye A por mtriz escod equivete, picdo opercioes eemetes Eempo: = = = ) eimimos os eemetos de primer coum Sumo d ecució er mutipicd por m = -/ sumo er ecució er mutipicd por m = = = = = = = - ) eimimos os eemetos de segud coum Sumo er ecució d mutipicd por m = - 7/ = = - - = - Obtego u mtriz trigur superior Utiizdo e goritmo de sustitució hci trás resovemos e sistem T = (/4, /, /4 ) Se e probem geer de resover u sistem de ecucioes iees de form A = b, dode A Este método se us pr resover sistems de ecucioes co mism mtriz de coeficietes y distitos térmios idepedietes Se descompoe mtriz A e u producto de dos mtrices: ; b U mtriz trigur iferior uidd L U mtriz trigur superior U, de t form que A=LU Ddo e sistem iici, A = b, A = ( i ), b = (b i ), i, Pso : supoiedo m i = i / A = ( i ) i =,,, i = i - m i i, =,,, Pso : supoiedo m i = i / i = +,, = i - m i i, = +,, i i A + = ( )

3 Despues de - psos: A, trigur superior, U = A U = Defiimos hor mtriz L, formd por os mutipicdores L = m m m m m 4 Ddo e sistem iici, A = b, y ccud A = LU, soució de sistem es: Eempo: LU = b L y = b U = y L = U = y = = 5 5 NUMERO DE OPERACIONES Cosidermos e costo de: 6 i) Cácuo de L y U ii) Resoució de Ly = b ( i ) i i ( ) ( ) ( ) ( ) d i iii) Resoució de U = y ( i ) i i i E costo es O( ) CALCULO DEL DETERMINANTE A = LU det(a) = det(l)det(u) = det(u) CALCULO DE A - Ddo que: A A - = I Ccumos: A i = e i, i =,, A : mtriz de prtid i : coum i-esim de mtriz ivers Pivoteo y Escmieto e e Método de Guss Se h supuesto que, eemeto pivote, cso cotrrio hy que reizr itercmbio de fis Tmbié puede ocurrir que e eemeto pivote se pequeño etoces: m i ( +) i ( +), i = +,, será grdes y produce mucho error de redodeo e i : coum i-esim de mtriz idetidd, ( (i) ) t 7 8

4 Pivoteo Prci Wiiso m sí tomr como pivote e eemeto de myor vor bsouto de u coum Pso : c m i Siedo i e meor ídice t que se obtiee e vor c Nótese que de est form os mutipicdores, i = +,, m i i Pivoteo Tot Wiiso m sí tomr como pivote e eemeto de myor vor bsouto de tod mtriz Pso : c m i, i es muy cro por e umero de comprcioes, por eo es ms utiizdo e pivoteo prci Si i > se itercmbi s fis e A y b 9 Impemetció de LU co Pivoteo Si represetmos co P = ( P - P ) s permutcioes de fis reizds, etoces P A = L U Ddo A = b si P A = L U A = PLU PLU = b L y = P b U = y Escmieto Impícito Wiiso propoe que u mtriz debe equiibrrse tes de picr u goritmo de soució de sistems iees A picr e escmieto impícito, supogmos estr e e pso de proceso de trigució: c m i i Siedo s, vector tmño, que se iiciiz comezr e goritmo: s i m s i i es e meor ídice t que i, si so distitos se itercmbi s fis i Vrites de Eimició de Guss Método de Guss Jord Es simir método de Guss, difereci es que se digoiz mtriz Pso : supoiedo m i = i / + i = i - m i b + i = b i - m i b () () () () () () () () () () b () b () b A fiizr e goritmo teemos = b Desvet: Costo umet e 5% i =,,, i =,, () ( ) ( ) ( ) b ( ) b ( ) b Vrites de Eimició de Guss Método de Choesy Se A, simétric y defiid positiv : A simétric si A = A T A defiid positiv si X T A X > X o A, > E: Dd 4 se

5 Vrites de Eimició de Guss Método de Choesy Pr ests mtrices se puede ecotrr u mtriz trigur iferior L, co eemetos digoes positivos, t que A = L L T = ( - = ) / i = ( i - i )/, i> Vets: costo es mitd de LU y o ecesit pivoteo Mtrices que o ecesit Pivoteo Dd u mtriz A de orde, es digomete domite si ve que: Pr i =,, Dd u mtriz A de orde, se dice de bd si ve que : E cho de bd será m + m = tridigo ii > = i i m = petdigo i = si i > m, m > 5 6 Método de Thoms(sistems tridigoes) Pr ests mtrices, mds de Jcobi, se impemet u vrite de LU, co u costo O() y ve que: u u u 4 =, u = / ii = ii - ii u i i, u i i+ = i i+ / ii i =,,- = - u 7