Unidad 1. Conjuntos. Objetivos. Al finalizar la unidad, el alumno:

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1 Unidad 1 Conjuntos Objetivos Al finalizar la unidad, el alumno: Definirá correctamente las nociones de conjunto, subconjunto y elemento. Utilizará la notación de conjuntos correctamente. Aplicará correctamente las operaciones con conjuntos, así como sus propiedades en la resolución de problemas. Conocerá lo que es el producto cartesiano y lo sabrá aplicar en la resolución de problemas.

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3 conjuntos Introducción A unque los conjuntos se habían utilizado desde los principios de las matemáticas, fue hasta 1895 que se elaboró la teoría de conjuntos por el matemático Georg Cantor ( ). El concepto de conjunto es fundamental para las matemáticas, ya que se usa en la mayoría de sus ramas, y es la base para muchas de sus aplicaciones cotidianas. Intuitivamente un conjunto se puede definir como una colección, listado o clase de objetos. Esta definición nos servirá para ejemplificar más tarde las propiedades de los conjuntos, así como para hacer su estudio formal. En este capítulo estudiaremos la definición, operaciones y propiedades de los conjuntos, así como algunas de sus aplicaciones más importantes Noción de conjunto y elemento Entendemos por conjunto a una colección de objetos bien determinados que son llamados elementos del conjunto. Así, tenemos que el conjunto de los animales cuadrúpedos, dentro del reino animal, está formado por los gatos, los perros, las vacas, etc. Los animales que cumplen con la condición de tener cuatro patas son los elementos de este conjunto Notación, formas de descripción, subconjuntos e igualdad de conjuntos Cuando nos refiramos a los conjuntos utilizaremos letras mayúsculas y los símbolos {} (llaves); cuando nos refiramos a los elementos utilizaremos letras minúsculas. Por ejemplo, el conjunto A de los números enteros mayores que 0 y menores que 5 es: 1

4 Álgebra superior A={1, 2, 3, 4} Cuando un objeto x pertenece a un conjunto D, es decir, x es un elemento de D, en lenguaje simbólico escribimos: x D y si un objeto no pertenece a D, es decir x no es elemento del conjunto D, escribimos: x D. Si A={1, 2, 3, 4}, entonces: 2 A y 5 A. Existen dos maneras de definir los elementos que pertenecen a un conjunto: por extensión y por comprensión. Cuando se enuncian todos los elementos de un conjunto se dice que se define el conjunto por extensión. El conjunto A usado antes fue definido por extensión. Otra definición por extensión sería la siguiente: el conjunto B de los números enteros mayores que 0 y menores que 100 es: B={1, 2, 3, 4, 5, 6,..., 99} Donde los tres puntos indican que también están incluidos los números enteros entre el 6 y el 99, aunque no se enlisten. Cuando se define un conjunto usando sus propiedades, se dice que la definición es por comprensión. Esta manera se muestra a continuación. El conjunto de los números mayores que 0 y menores que 5 se escribe simbólicamente como: A={x Z 0 <x<5} Los símbolos utilizados están explicados en la siguiente tabla: Símbolo Significado { } El conjunto Pertenece Contenido en Z Los enteros Tal que < Menor que > Mayor que 1

5 conjuntos Por lo que la traducción literal del lenguaje matemático al lenguaje común es: A es el conjunto de las x que pertenecen a los enteros, tal que 0 es menor que x y x es menor que 5. Otro ejemplo de definición por comprensión es el conjunto de los números enteros mayores que 0 y menores que 100, que se escribe como: B={x Z 0 <x<100} Podrá ser posible que un conjunto no contenga algún elemento? Analicemos el conjunto C, formado por todas las aves cuadrúpedas existentes. Cuántos elementos tiene el conjunto? Ninguno. C es un conjunto vacío. Para que el conjunto tenga elementos es necesario pedir la existencia de las aves cuadrúpedas, dependiendo del contexto los conjuntos pueden estar vacíos o no. Conjunto vacío es aquel que no tiene elementos. Simbólicamente el conjunto vacío se representa por el símbolo Ø, de lo que el conjunto vacío se representa por: Ø sin necesidad de llaves. El contexto determina un conjunto llamado conjunto universo o conjunto universal, que es la colección de todos los objetos de nuestro estudio. El conjunto universo lo denotaremos por U. Los conjuntos pueden dividirse en subconjuntos. Se dice que A es un subconjunto de B si todos los elementos de A son también elementos de B, y se escribe como A B. Los muebles que pertenecen a la sala son un subconjunto de los muebles que pertenecen a la casa. Ya que si un mueble está en la sala necesariamente está en la casa. 1

6 Álgebra superior Todo conjunto A se considera subconjunto de sí mismo. Es decir: A A Si A no tiene los mismos elementos que B entonces se dice que es un subconjunto propio. Por ejemplo, los muebles de la sala son un subconjunto propio de los muebles de la casa, en tanto hay muebles de la casa que no están en la sala. El conjunto vacío es subconjunto de todos los conjuntos, ya que si no tiene elementos está en cualquier conjunto. Dicho de otro modo, con cualquier conjunto puedo formar un subconjunto sin elementos. Entonces, para cualquier conjunto A, se tiene: Ø A Por ejemplo, todos los subconjutos propios de A={a,b,c,d} son: Ø, {a}, {b}, {c}, {d}, {a,b}, {a,c}, {a,d}, {b,c}, {b,d}, {c,d}, {a,b,c}, {a,b,d}, {a,c,d} y {b,c,d}. Supongamos que se tiene dos conjuntos, cómo puedo saber si son iguales o distintos? Dos conjuntos serán iguales si tienen los mismos elementos: A=B si y sólo si A B y B A. Donde si y sólo si quiere decir: si A=B, entonces A B y B A, pero también si A B y B A, entonces A=B. Muchas veces resulta muy útil el uso de diagramas de Venn para representar a los conjuntos. En los diagramas de Venn los conjuntos se representan con un área plana. Un ejemplo de un diagrama de Venn es: U A B Donde: U= Conjunto universo A= Conjunto B= Subconjunto 18

7 conjuntos Observemos el siguiente diagrama de Venn: U A B C Notemos que se cumplen las relaciones: pero también se cumple: B A y C B, C A. De lo que se obtiene la propiedad: Si B A y C B, entonces C A, que se conoce como transitividad de contención e implica que si B es subconjunto de A y C es subconjunto de B, entonces C es subconjunto de A. Los diagramas de Venn se utilizarán después, cuando estudiemos la unión y la intersección de conjuntos. La cardinalidad de un conjunto A, denotada por card A o #A, es el número de elementos que contiene. Si A es el conjunto formado por todas las vocales, entonces: Card A=5 o #A=5. Ejercicio 1 1. Define un conjunto formado con una característica de algunos meses del año. 1

8 Álgebra superior 2. Qué característica tiene el siguiente conjunto? E={1, 4, 9, 16, 25, 36}. (Sugerencia: encuentra la relación que hay entre el conjunto E y los números 1, 2, 3, 4, 5 y 6.) 3. Encuentra los elementos del conjunto A={x Z 2 x<10}. 4. Encuentra todos los subconjuntos propios de B={a,b,c}. Indica la cardinalidad de cada uno. 5. Da un ejemplo de dos conjuntos iguales definidos de distinta manera. 6. Proporciona un ejemplo de dos conjuntos definidos por: a) Extensión. b) Comprensión. 20

9 conjuntos 7. Utilizando diagramas de Venn, establece la relación entre los conjuntos: A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} y B={2, 4, 6, 8, 10} 1.3. Operaciones con conjuntos: unión, intersección y diferencia Dos conjuntos se pueden combinar formando un conjunto que tenga todos los elementos de los dos conjuntos. En este caso se estaría formando el conjunto unión de los dos conjuntos. El conjunto unión de dos conjuntos A y B se constituye por todos los elementos de A y los elementos de B. La unión de dos conjuntos se escribe como: A B={x x A o x B} Su representación en diagrama de Venn es: U A B Donde el área sombreada representa la unión de los conjuntos. 21

10 Álgebra superior Pero si de dos conjuntos sólo nos fijamos en los elementos que son comunes a ambos, entonces estaríamos formando el conjunto intersección de los dos. El conjunto intersección de dos conjuntos A y B está formado por todos los elementos de A que también son elementos de B. La intersección de dos conjuntos se escribe como: A B={x x A y x B} En diagrama de Venn la intersección entre dos conjuntos se representa: u a b Donde el área sombreada es la intersección de los conjuntos. Por ejemplo, dados los conjuntos A={1,3,5,7,9} y B={1,2,7,9,10}, la unión de los conjuntos es: y la intersección es: entonces: Otro ejemplo, si y A B={1,2,3,5,7,9,10} A B={1,7,9} A={x Z 0 x<6} B={x Z 4 x<8} A B={x Z 0 x<8} y A B={x Z 4 x<6} Si la intersección de dos conjuntos es vacía, entonces se dice que los conjuntos son ajenos. Esto es, A y B son ajenos si A B=Ø. 22

11 conjuntos Los conjuntos tienen una serie de propiedades importantes que se enumeran a continuación: 1. A Ø=A 2. A A=A 3. A B=B A 4. (A B) C=A (B C) 5. A Ø=Ø 6. A A=A 7. A B=B A 8. (A B) C=A (B C) 9. A B si y sólo si A B=B y A B=A 10. (A B) C=(A C) (B C) 11. (A B) C=(A C) (B C) Por ejemplo, dados los conjuntos A={a,q,z,e,d}, B={q,w,e,a,s} y C={e,d,c,w,s} mostremos que se cumplen las propiedades 1, 7 y 10. Para las dos primeras tenemos: Para la propiedad 10 se tiene: A Ø={a,d,e,q,z}=A A B={a,e,q}=B A (A B) C={a,q,e} {e,d,c,w,s}={a,c,d,e,q,s,w} y (A C) (B C)={a,d,e,q,s,c,w,z} {a,c,d,e,q,s,w}={a,c,d,e,q,s,w} por lo que (A B) C=(A C) (B C) Otro conjunto importante es el conjunto complemento de un conjunto. 23

12 Álgebra superior El conjunto complemento se denota por A c y se define por los elementos del universo que no están en el conjunto A. Es decir, A c ={x U x A} En diagrama de Venn: U A Donde el área sombreada representa el complemento de A. Por ejemplo, sea el universo U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} y el conjunto A={2,4,6,8,10}, entonces el conjunto complemento de A es: A C ={1,3,5,7,9}. En diagrama de Venn: U A Utilizando el conjunto complemento se obtienen las siguientes propiedades: (A C ) C =A A A C =Ø A A C =U A B, si y sólo si B C A C 24

13 conjuntos Las propiedades siguientes son conocidas como Leyes de De Morgan: (A B) C =A C B C (A B) C =A C B C Por ejemplo, sea A={b,c,d,f} y U={a,b,c,d,e,f,g}, entonces A C ={a,e,g}, de lo que A A C ={b,c,d,f} {a,e,g}={a,b,c,d,e,f,g}, que es igual al conjunto universo. Y A A C ={b,c,d,f} {a,e,g}=ø. Cuando se trabaja con dos conjuntos surge un conjunto que se llama complemento relativo de B respecto a A, o conjunto diferencia de los conjuntos A y B, y se denota por A B. Se define al conjunto diferencia de A y B como los elementos que pertenecen a A y que no están en B. Es decir, A B={x U x A y x B} Por ejemplo, el conjunto diferencia de A={p,r,s,t} y B={r,s,u,v} es A B={p,t}. Otro ejemplo es si A={Todos los números naturales} y B={Todos los números naturales pares}, entonces A B={Todos los números naturales impares}. Si nos interesa saber cuáles son todos los subconjuntos distintos que se pueden obtener de un conjunto, entonces estamos interesados en conocer el conjunto potencia de ese conjunto. El conjunto potencia de A, que se denota como P(A), tiene como elementos a todos los subconjuntos que se pueden formar de A. Esto es: P( A) = { B B A } Por ejemplo, el conjunto potencia P(A) de A={a,b,c} es: P(A)={Ø,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}} 2

14 Álgebra superior Observemos que el conjunto potencia P(A) tiene más elementos que A. Si nos preguntáramos cuántos elementos tienen el conjunto potencia de un conjunto con n elementos la respuesta sería 2 n. Por ejemplo, el conjunto A con tres elementos tiene 2 3 =8 elementos, como se ve claramente en el ejemplo anterior. Cuántos elementos tendrá el conjunto potencia de B={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Como B tiene 10 elementos, entonces P(B) tiene 2 10 =1 024 elementos. Si cada subconjunto de B lo escribieras en 5 segundos te tardarías, sin descansar, 1.42 horas en escribir el conjunto potencia de B Producto cartesiano Ahora estudiemos otra operación que se puede dar entre dos conjuntos: el producto cartesiano. El producto cartesiano A B de dos conjuntos A y B es el conjunto de parejas ordenadas (a,b), tales que a es un elemento de A y b es un elemento de B, es decir: A B={(a,b) a A y b B} En general, un par ordenado de elementos denotado por (a,b) es distinto de (b,a), a menos que a=b. Los lugares en el plano del par ordenado son llamados coordenadas. Del par (a,b), a es la primera coordenada y b la segunda. Si la cardinalidad del conjunto A es n y la del B es m, entonces A B tiene n m elementos. Por ejemplo, si A={1,2,3} y B={a,b}, entonces el producto cartesiano A B es: A B={(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)}, cuya cardinalidad es 3 2=6. El producto cartesiano también se puede representar en una tabla cartesiana de la siguiente manera: 2

15 conjuntos B A a b 1 (1, a) (1,b) 2 (2, a) (2,b) 3 (3, a) (3,b) Si se prefiere se puede situar la información en dos ejes perpendiculares, 1 que representan A y B, de la siguiente manera: Donde los círculos señalan el lugar en el plano de las parejas ordenadas de A B. En otro ejemplo observemos que si tenemos el conjunto W={r,t}, el producto cartesiano dado por W W tenemos: W W={(r,r)(r,t)(t,r)(t,t)} Notemos que la cardinalidad de W es 2, por lo que la cardinalidad de W W es 2 2=4 Cuando nos interesamos sólo por un subconjunto del producto cartesiano, entonces decimos que tenemos una relación, es decir, una regla con la cual se determina los elementos del producto cartesiano que interesan. Un ejemplo de relación es la siguiente: En donde no se obtienen todos los pares ordenados de los dos conjuntos, sino sólo las parejas (a,1) (b,3) y (c,3). 1 Plano cartesiano son dos rectas numéricas perpendiculares que coinciden en el cero. Cada punto representa una pareja ordenada. 2

16 Álgebra superior Ejercicio 2 1. Si A={1,2,3,4}, B={2,4,6,8}, C={1,3,5,7} y U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} encuentra los siguientes conjuntos y su cardinalidad: a) (A B) C b) (A C B) C c) (A C) C B d) (A B) C e) (A B) C f) (B C) C A 2. Si A={!, $, %, &} y B={1,2,3}. Construye A B usando: a) Pares ordenados y encuentra su cardinalidad. b) Una tabla cartesiana. c) Ejes coordenados. 3. Desde el punto A al punto B hay tres caminos posibles. A su vez, desde B a C hay dos caminos posibles. Por lo tanto, cuántos caminos posibles hay desde A a C? Ilústralos mediante una tabla cartesiana. Aquí ilustramos sólo dos caminos posibles. 28

17 conjuntos Las matemáticas se aprenden haciendo ejercicios. A continuación se presenta una serie de ejercicios resueltos y otra de ejercicios propuestos, con el propósito de que observes, en los ejercicios resueltos, la manera como se plantean y solucionan, con el propósito de que las pongas en práctica al resolver los ejercicios propuestos. 2

18 Álgebra superior Problemas resueltos 1. Enuncia una posible característica que defina el siguiente conjunto de números: {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29...} Respuesta: son los números primos, su característica es que tienen sólo dos divisores en los naturales; ellos mismos y el número Encuentra el conjunto potencia de A={@,, } Respuesta: los subconjuntos de A son: Ø,{@},{ },{ },{@, },{@, },{, } y {@,, }, de lo que P(A)= {Ø,{@},{ },{ },{@, },{@, },{, },{@,, }}. 3. Indica la cardinalidad del conjunto de todos los meses que tienen al menos un día de invierno. Respuesta: el conjunto es {diciembre, enero, febrero, marzo}. Por tanto su cardinalidad es Si A={t,r,u,y,e}, B={p,w,i,q,r}, C={w,t,i,p,r} y U={q,w,e,r,t,y,u,i,o,p}, encuentra: a) (A B) C b) (C C B) A c) (A B) C (B C) Respuesta: a) (A B) C={e,i,p,q,r,t,u,w,y} {w,t,i,p,r}={w,t,i,p,r} b) (C C B) A={q} {t,r,u,y,e}={q} c) (A B) C (B C)={o} {p,w,i,r}={(o,p),(o,w),(o,i),(o,r)} 30

19 conjuntos 5. En un bufet hay tres platos de sopa y cinco guisados. De cuántas maneras distintas se puede combinar una sopa y un guisado? Resuelve el problema usando pares ordenados. Respuesta: las sopas estarán representadas por el conjunto de las letras A={a,b,c}, mientras que los guisados por el de los números B={1,2,3,4,5}. Las combinaciones son: A B= {(a,1),(a,2),(a,3),(a,4),(a,5),(b,1),(b,2),(b,3),(b,4),(b,5),(c,1),(c,2), (c,3),(c,4),(c,5)} 31

20 Álgebra superior Problemas propuestos 1. Define dos conjuntos que tengan elementos en común pero que no sean iguales. 2. Encuentra los elementos de a={x Z 1<x 2 10}. 3. El conjunto de los números impares y el de los números primos es igual? Por qué? 4. Si A={q,s,c,e,z}, B={q,a,z,w,s}, C={e,d,c,w,s} y U={q,a,z,w,s,x,e,d,c}, encuentra: a) (A C B) C b) (A C C ) (B C C ) 5. Haz una tabla cartesiana del resultado obtenido en el problema 5 de los problemas resueltos. 32

21 conjuntos Autoevaluación 1. La cardinalidad del conjunto formado por todos los números pares naturales menores que 12 y mayores que 0 es: a) 6 b) 5 c) 12 d) El conjunto de las vocales y el conjunto de los dedos de la mano tienen: a) Los mismos elementos. b) La misma cardinalidad. c) La misma intersección. d) El mismo conjunto potencia. 3. El conjunto {x Z 6<x 7} tiene: a) Un elemento. b) Cardinalidad cero. c) Cardinalidad tres. d) Dos elementos. 4. Si A={p,l,o,k,m}, B={o,i,j,m,n} y U={p,l,o,k,m,i,j,n,u}, entonces (A B) c es: a) {p,l,k,i,j,n,u} b) {u} c) {p,l,o,k,m,u} d) {o,m,i,j,n,u} 33

22 Álgebra superior 5. Si A={a,b,c,d}, B={c,e,f,g}, C={h,a,c,g} y U={a,b,c,d,e,f,g,h,i}, encuentra (A B) C C a) {h,a,g} b) {h,i} c) {h} d) {c,h,a,g} 6. Si A={1,2} y B={a,b}, entonces A B es: a) {{1,a},{1,b},{2,a},{2,b}} b) {{a,1},{a,2},{b,1},{b,2}} c) {1,2,a,b} d) {Ø} 7. Un conjunto con 4 elementos tiene un conjunto potencia con: a) 8 elementos. b) 1 elemento. c) 2 elementos. d) 16 elementos. 8. La cardinalidad de A B con A={1, 3, 5, 7, 11} y B={a, e, i, u, o} es: a) 25 b) 1 c) 2 5 d) La cardinalidad del conjunto potencia de A={w, x, y, z} es: a) 2 b) 4 c) 8 d) 16 34

23 conjuntos 10. Del siguiente diagrama de Venn 1 u a b 4 10 los números 4 y 9 pertenecen al conjunto formado con la operación: a) A B b) A B c) B A d) B A 3

24 Álgebra superior Respuestas a los ejercicios Ejercicio 1 1. Uno de ellos es el conjunto de los meses cuyo nombre empieza con la letra a: {abril, agosto}. 2. Todos son números con raíz cuadrada en los números naturales. 3. A={2,3,4,5,6,7,8,9} 4. {Ø} Card. 0 {a} Card. 1 {b} Card. 1 {c} Card. 1 {a,b} Card. 2 {a,c} Card. 2 {b,c} Card. 2 {a,b,c} Card El conjunto de todos los números múltiplos de 3 y el conjunto de todos los números cuya suma de sus dígitos es divisible entre 3 tienen los mismos elementos. 6. a) El conjunto de las primeras cinco consonantes del abecedario es A={b,c,d,f,g} b) El conjunto de los números enteros entre el 4 y el 20 es: B={x Z 4< x 20} 3

25 conjuntos 7. a b 4 De lo que B pertenece a A, o B A Ejercicio 2 1. a) {1,3} y su # es 2 b) {5,7} y su # es 2 c) {2,4,5,6,7,8,9,10} y su # es 8 d) {1,3,5,7} y su # es 4 e) {(2,1), (2,3), (2,5), (2,7), (4,1), (4,3), (4,5), (4,7)} y su # es 8 f) {(9,1), (9,2), (9,3), (9,4), (10,1), (10,2), (10,3), (10,4)} y su # es 8 2. a) Pares ordenados: {(!, 1), (!, 2), (!, 3), ($, 1), ($, 2), ($, 3), (%, 1), (%, 2), (%, 3), (&, 1), (&, 2), (&, 3)} y su # es (3 4)=12 b) Tabla cartesiana: B A 1 2 3! (!, 1) (!, 2) (!, 3) $ ($, 1) ($, 2) ($, 3) % (%, 1) (%, 2) (%, 3) & (&, 1) (&, 2) (&, 3) 3

26 Álgebra superior c) Ejes coordenados: 3. Los caminos de A a B están representados por 1,2,3 y los de B a C por a,b, por tanto: B A a b 1 (1,a) (1,b) 2 (2,a) (2,b) 3 (3,a) (3,b) En total hay 6 caminos representados en la tabla por parejas ordenadas. Respuestas a los problemas propuestos 1. A={1,2,3,5,7,11} y B={1,3,5,7,9,11,13} con A B y sus elementos comunes son {1,3,5,7}. 2. A={2,3}. 3. No es así, ya que el conjunto de los números primos tiene elementos que no contienen el conjunto de los números primos y viceversa. 4. a) {a,q,x,z} b) {(q,q),(q,a),(q,z),(z,q),(z,a),(z,z)} 38

27 conjuntos 5. Sopas Guisados a b c 1 {1,a} {1,b} {1,c} 2 {2,a} {2,b} {2,c} 3 {3,a} {3,b} {3,c} 4 {4,a} {4,b} {4,c} 5 {5,a} {5,b} {5,c} Nota: las columnas pueden estar en el lugar de las filas y el ejercicio es correcto. Respuestas a la autoevaluación 1. b) 2. b) 3. a) 4. d) 5. c) 6. a) 7. d) 8. a) 9. d) 10. c) 3