UNIVERSIDAD CENTROAMERICANA JOSÉ SIMEÓN CAÑAS ALGEBRA VECTORIAL Y MATRICES GUIA DE TRABAJO Secciones Cónicas Ciclo 02 de 2012

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1 UNIVERSIDAD CENTROAMERICANA JOSÉ SIMEÓN CAÑAS ALGEBRA VECTORIAL Y MATRICES GUIA DE TRABAJO Secciones Cónicas Ciclo 0 de 0 PARTE I: Ejercicios cortos de selección Múltiple. En cada uno de los siguientes numerales seleccione la respuesta correcta.. La distancia del punto (, -, ) al plano cuya ecuación es x+ y + z = es: a) c) b) d). La ecuación del plano que pasa por el punto (, -, ) y con vector normal N i j 5k es: a) x 5y + 5z +5 =0 c) x y +5z = 0 b) x +y 5z + = 0 d) x +y 5z 8 = 0. La ecuación de la recta que pasa por el punto ( -,, 0) y es paralela a la recta z x = + y = es: a) x y z 0 c) x y z 0 b) x y z 0 d) x y z 0. La distancia focal en la elipse x y 6 5 = es: a) 0 c) 9 b) 8 d) 6 5. La longitud del lado recto en la parábola x - x 0y 9 = 0 es de: a) 5 c) 9 b) 0 d) 0 6. La circunferencia x y 8x 0y 0 posee como centro y radio: a) Centro: C ( -, 5 ) y radio b) Centro C (-, 5) y radio 5 + r b) Centro C (, - 5) y radio r 5 r d) Centro: C ( -, 5 ) y radio r 5 7. Las coordenadas del vértice y la ecuación del eje de simetría para la gráfica De y = (x-) -5 son: a) Vértice V (, 5 ) y eje de simetría: x = - b) Vértice V ( -, -5 ) y eje de simetría: x = c) Vértice V (, -5 ) y eje de simetría: x = d) Vértice V (-, 5 ) y eje de simetría: x = - 8) Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera para la parábola y = - x + 0 x 5? a) Se abre hacia abajo y tiene cortes con el eje de las x b) Se abre hacia abajo y no tiene cortes con el eje de las x c) Se abre hacia abajo y tiene un corte con el eje de las x d) Se abre hacia la izquierda y tiene cortes con el eje de las y

2 9) La circunferencia x + y + y = tiene: a) El centro y b) El centro y c) El centro y d) El centro y 0) Cuál de las siguientes es la ecuación de la elipse que tiene los focos definidos por F (0,-) y F (0,) y el eje mayor es a = 0? a) c) b) d) ) La gráfica de corresponde a: a) Una hipérbola con asíntotas e b) Una hipérbola con los focos F ( - 5, 0) y F ( 5, 0 ) c) Una elipse con el focal vertical d) Una elipse con vértices V ( 0, - 5 ) y V ( 0, 5 ) ) El foco y la directriz de la parábola y = x son: a) Foco F y directriz x b) Foco F y directriz c) Foco F y directriz x = d) Foco F y directriz x = - ) Cuál de las siguientes es la ecuación de una elipse que tiene como centro C ( -, ), el eje menor es b= y los focos están F ( -, ) y F ( -, )? a) b) c) d)

3 ) Cuál de las siguientes es la ecuación de la hipérbola que tiene como centro C(-,) Y cuyos vértices son. V (,) y V (-5,) y los focos ubicados a unidades del centro? a) b) c) d) PARTE II. SOBRE LINEA RECTA Y PLANO.. Dadas las rectas : X Y Z 8 L : 5 Z 5 L : X Y 7 a) Determine si las rectas son o no son paralelas. b) Si las rectas son paralelas o se cruzan, hallar la distancia entre ellas. c) Si las rectas se cortan, encuentre el punto de intersección entre ellas.. Dadas las ecuaciones de los planos : w : x y z 0 w : x y 5z 0 Encuentre el ángulo entre ellos.. Dadas las rectas en : L : a) Demostrar que se cortan. b) Encuentre el punto de intersección entre las rectas. x y z 5 y8 z, L : x. Hallar la distancia del origen al plano W :7x y z Hallar la distancia entre los planos W y W, siendo: W :9x6y 7z 5 0 y W : 7x 8y z Dados los planos w : x y z w :x y z 5, encuentre: a) La ecuación de la recta que sea paralela a la intersección de los planos w y w, que contenga al punto (,, -7) b) La ecuación de un plano w que sea perpendicular tanto a w como a w, y que contenga al punto (-,, ) 7. Determinar la ecuación general del plano que contiene los puntos A ( -, 5, - ) y B ( -,, 7 ), el cual a su vez cumple con ser perpendicular al plano X Y 5Z 0

4 8. Hallar el ángulo agudo formado por la recta que pasa por los puntos P (,,- ) y P (8,,7), con la recta x y z Diga la relación entre las rectas: x y 8 z y x y z. De cruzarse ó ser paralelas, encuentre la distancia entre ellas, de cortarse encuentre su punto en común. SOBRE CIRCUNFERENCIA.. Hallar la longitud de la circunferencia cuya ecuación es: 5 x + 5 y + 0 x 0 y - 6 = 0. Respuesta. unidades. Los extremos del diámetro de una circunferencia son los puntos A(,) y B(6,). Hallar la ecuación ordinaria y la ecuación general de la circunferencia.. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto P(7,-5) y cuyo centro es el punto de intersección de las rectas 8 x y + = 0 y 5 x + 8 y 9 = Hallar la ecuación ordinaria de la circunferencia que pasa por los puntos A(-6, ), B(8,0) y C (,). Determinar las coordenadas del centro y el radio de la misma. 6. Hallar la ecuación ordinaria de la circunferencia que pasa por los puntos A(,6), B (-,7) y D (,-). Determinar las coordenadas del centro y el radio de la misma. 7. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto A(7,-5) y es tangente a la recta x-y-=0 en el punto P(,-). 8. Hallar la ecuación de la circunferencia que es tangente a los ejes coordenados y cuyo centro está sobre la recta x 5 y + = Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está sobre el eje de las ordenadas (eje y) y que pasa por los puntos A( 0, -) y B (,7). Respuesta. x + y 6 y 6 = 0 0. Dadas las siguientes pares de ecuaciones que representan circunferencias, 9.) x y x y 0 y x y 6x 0y 5 9.) x y 6x 0 y x y 0 9.) x y 8x y 0 y x y x y 8 Determine: a) Si son tangentes. En caso que las circunferencias sean tangentes, encuentre el punto de tangencia. b) Si se intersectan. En caso que las circunferencias se intersecten, encuentre los puntos de intersección c) No se intersectan ni son tangentes d) La ecuación de los ejes radicales e) La ecuación de la recta de los centros 5. Hallar la ecuación de la circunferencia de radio r y que pasa por los puntos de intersección de las circunferencias : x y x 6y 6 0 y x y 6x y 0. Respuesta. El problema presenta dos soluciones.

5 Solución : x + y x y 0 = 0 ; Solución : x + y 7 x + y + = 0.. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto A(-,) y por los puntos de intersección de las circunferencias: x y 8x 6y 7 0 y x y 8x y Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto A(-0, - ) y por los puntos de Intersección de la recta x y + = 0 con la circunferencia x y x y 0. Respuesta. : x + y +6 x -6 y + = 0. Hallar la ecuación ordinaria y la ecuación general de la circunferencia que pasa por los puntos A(-6, ), B(8,0) y C(, ), y luego determinar su relación(de tangencia, de corte, o ninguna de las anteriores) con respecto a otra circunferencia cuya ecuación es: C x y x y : 0 0 SOBRE PARÁBOLA.. Dada la ecuación de la parábola 9x x 7y 6 0, Hallar: a)vértice y Foco b) Ecuación de la directriz c) Ecuación del eje de simetría d) Hacer la gráfica x x y Determine que tipo de cónica representa la ecuación Llevando la ecuación general a la forma ordinaria, calcule: a) Coordenadas del vértice b) Coordenadas del foco c) La ecuación del la recta directriz d) Grafique la cónica.. Hallar la ecuación ordinaria y general de la parábola cuyo vértice es V (-, 5 ) y su foco es F ( -, 5 ). a) Encuentre la ecuación de su directriz b) Encuentre la longitud del lado recto.. Hallar la ecuación de la parábola, según las condiciones dadas: a) Con foco F (, -5) y ecuación de la directriz y = (Respuesta: x 9 x + y + 0 = 0) b) Con vértice V ( 0, 0 ) y foco F ( -, 0 ). Respuesta: y = - x c) Con vértice V (, 0 ) y foco F ( 0, 0 ). Respuesta: y + 8 x 6 = 0 d) Con vértice V ( -, ) y foco F ( -, ). Hallar la ecuación de su directriz y su eje de simetría. 5. Hallar vértice, foco, directriz, eje de simetría y la longitud del lado recto de las siguientes Parábolas: a) 9x + x + 7 y + 6 = 0 Respuesta: V (,0), F(, ), directriz: y, eje de simetrìa: x, LR 8 b) y 6 y 6 x + = 0 Respuesta: V (,), F(6,), directriz: x, eje de simetrìa: y, LR 6 c) x 8 y x + = 0 Respuesta: V (,), F(,6), directriz: y, eje de simetrìa: x, LR 8 6. Determine la ecuación de la parábola y grafíquela, sabiendo que tiene foco (-, ), y cuya directriz viene dada por la ecuación yx SOBRE ELIPSE.. Encuentre la ecuación ordinaria de la elipse con vértices en V ( -, 7) y V ( -, -) y cuyo lado recto es igual a. Haga un bosquejo de la gráfica determinando sus elementos ( focos, vértices, centro) 5

6 . Hallar la ecuación de la elipse, según las condiciones dadas cuyos focos y vértices son los puntos F (,0), F (-,0), V (5,0) y V (-5,0). x y 5 6 Respuesta:. Hallar las coordenadas de los focos y vértices de la elipse: 6 x y 6 Respuesta. V (0,8) y V ( 0, -8), F (0, 5 ), F ( 0, 5 ).. Hallar La ecuación de la elipse cuyos focos son los puntos F (5,0), F (-5,0) y excentricidad e x Respuesta: y Hallar la ecuación de la elipse cuyos focos son los puntos F (,8), F (,) y longitud de eje mayor a = 0 unidades. Respuesta. 5 x + 6 y 50 x 60 y + 5=0 6. Hallar la ecuación de la elipse cuyos vértices son los puntos V (-,-), V (5,-) y excentricidad e. Respuesta. 7 x + 6 y x + y - 89 = 0 7. Hallar la ecuación de la elipse cuyos vértices son los puntos V (,6), V (,-) y longitud del lado recto a = unidades. Respuesta. x + y 6 x y + = 0 8. Hallar las coordenadas del centro, vértices y focos, longitud de los ejes y el lado recto, excentricidad y trazar la gráfica de las elipses: a) x + y 6 x + 6 y + = 0 b) x + 9 y + x - 8 y + 7 = 0 9. a) Determine que tipo de cónica representa la ecuación 6x 9y 96x 8y 9 0 b) Determine la longitud del eje mayor, del eje menor y la distancia focal c) Determine la coordenada de los vértices y la coordenada de los focos d) Determine la excentricidad e) Grafique la cónica. 0. Hallar la ecuación de la elipse cuyos focos son los puntos F (-, -8) y F (-, ) y la longitud del eje mayor es de unidades LA HIPÉRBOLA. Hallar la ecuación de la hipérbola cuyos focos son los puntos F (-7,), F (-, ) y su eje transverso es a = unidades.. Hallar la ecuación de la hipérbola cuyos vértices son los puntos V (,), V (, - ) y excentricidad es e =.. Verifique que las siguientes ecuaciones representan una hipérbola. a) 9 x _ y +8 x 6 y = 0 b) x _ y - 6 x y + = 0 c) x _ y + x 8 y 6 = 0 d) x _ y = 0 e) 6 x _ 9 y + 96 x + 7 y + = 0 Una vez verificado que las ecuaciones representan hipérbolas, halle las coordenadas del centro, vértices y focos, longitud de los ejes y el lado recto, excentricidad, ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola. Trazar la gráfica de la hipérbola. 6

7 . Hallar los puntos de intersección de la recta x 9 y + = 0 con las asíntotas de la hipérbola x _ 9 y =. Respuesta. P, y Q, PARA VERIFICAR EL RECONOCIMIENTO DE LAS CONICAS: En los ejercicios al se le presentan ecuaciones generales de segundo grado. Además se presenta un espacio para que coloque los elementos de cada cónica (si es que aplica), y su respectiva gráfica. Si la ecuación dada es una circunferencia, encuentre su centro, radio. Si la ecuación representa una elipse, determine el centro, sus vértices, focos, longitud del eje mayor, longitud del eje menor, excentricidad, longitud del lado recto. Si la ecuación representa una parábola, determine su vértice, foco, excentricidad, longitud del lado recto, directriz, eje de simetría. Si la ecuación representa una hipérbola, determine el centro, sus vértices, focos, longitud del lado recto, excentricidad, longitud del eje transverso, longitud del eje conjugado y asíntotas.... 5x 9y 50x 6y 6 0 6x 6y x 6 y 68 0 y x y 0 0 7