B 1. d 1 d 2 B 2 ECUACIÓN ORDINARIA DE LA HIPÉRBOLA HORIZONTAL CON CENTRO EN EL ORIGEN

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1 Fultd de Contdurí Administrión. UNAM Hipérol Autor: Dr. José Mnuel Beerr Espinos MATEMÁTICAS BÁSICAS HIPÉRBOLA DEFINICIÓN DE HIPÉRBOLA Un hipérol es el lugr geométrio de todos los puntos P del plno, tles que l difereni de sus distnis dos puntos fijos en el plno es onstnte. Los puntos fijos F 1 F se llmn foos. Gráfimente esto es: B 1 P d 1 d F V V 1 F 1 B d 1 -d onstnte Con relión l figur, el segmento de ret V V1 que ps por los foos es el eje rel. L meditriz B B1 del eje rel es el eje imginrio. Cd etremo del eje rel V 1 V se llm vértie. El punto medio del segmento F F1 se llm entro de l hipérol. L distni del entro d vértie se llm semieje rel l distni del entro d etremo del eje imginrio se onoe omo semieje imginrio 1. ECUACIÓN ORDINARIA DE LA HIPÉRBOLA HORIZONTAL CON CENTRO EN EL ORIGEN A prtir de l definiión de l hipérol de l epresión pr lulr l distni entre dos puntos, se puede deduir l euión de un hipérol en un sistem de oordends retngulres. 1 Algunos tetos, definen l eje rel omo eje trnsverso l eje imginrio omo eje onjugdo. 1

2 Fultd de Contdurí Administrión. UNAM Hipérol Autor: Dr. José Mnuel Beerr Espinos Si los vérties se uin en ls oordends V 1 (,0) V (,0), los foos están en 1 (,0) F ( ),0 F, el eje rel de l hipérol es oinidente l eje, si su entro se ui en el origen, tiene l siguiente form: P B 1 (0,) d 1 d F (-,0) V (-,0) V 1 (,0) F 1 (,0) B (0,-) Si el punto P está en ulquier de los vérties, l difereni de distnis d1 d d omo resultdo, por lo que l sum onstnte se estlee en, > 0. ( ) El punto (, ) por lo tnto: P perteneerá l hipérol si sólo si: ( ( ) ) ( 0) ( ) ( 0) que equivle : ( ) ( ) elevndo mos miemros l udrdo: ( ) ( ) desrrollndo: ( ) ( ) ( ) d d 1, ( ) eliminndo términos igules:

3 Fultd de Contdurí Administrión. UNAM Hipérol Autor: Dr. José Mnuel Beerr Espinos ( ) que equivle : ( ) dividiendo todo por : ( ) elevndo nuevmente l udrdo mos miemros: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) reduiendo términos semejntes: invirtiendo nuevmente los miemros: omodndo onvenientemente: ftorizndo en el primer miemro en el segundo miemro: ( ) ( ) si se denot omo l epresión, se sustitue se tiene que: dividiendo por tod l epresión: finlmente qued omo: 1 euión onoid omo euión ordinri o nóni de l hipérol horizontl on entro en el origen, de semieje rel de semieje imginrio. Un de ls síntots ps por el origen el punto ( ),, por lo que su euión está dd por: L otr síntot ps por el origen el punto ( ),, por lo que su euión está dd por: ( ) Esto signifi que ls euiones de ls síntots pr este so son: ±.

4 Fultd de Contdurí Administrión. UNAM Hipérol Autor: Dr. José Mnuel Beerr Espinos LONGITUD DE LOS LADOS RECTOS DE UNA HIPÉRBOLA HORIZONTAL Pr ulquier hipérol, los segmentos perpendiulres l eje rel que psn por sus foos que inluen los etremos de l urv se denominn ldos retos ( LR ). Gráfimente es: P P 1 LR LR F (-,0) V V 1 F 1 (,0) P P Pr enontrr ls oordends de los etremos del ldo reto, que ps por el foo F se sustitue por en l euión despejd pr : ± pero omo, se tiene: ± ± ± por lo ul, ls oordends de los etremos P 1 P del ldo reto soido F 1 son: P P, Similrmente, pr enontrr ls oordends de los etremos del ldo reto que ps por el foo F, el proedimiento es idéntio l tomr en uent que los puntos P P son simétrios los puntos P 1 P on respeto l eje, on lo que se tienen l misms ordends respetivs, por lo que ls oordends de los etremos P P del ldo reto soido F son: P, P,

5 Fultd de Contdurí Administrión. UNAM Hipérol Autor: Dr. José Mnuel Beerr Espinos L longitud, medid en uniddes lineles ( u ), de d ldo reto viene ddo por l difereni de sus ordends. Por lo tnto: LR EXCENTRICIDAD DE UNA HIPÉRBOLA Pr ulquier hipérol, l relión que eiste entre, se le onoe omo su eentriidd se denot on l letr e : e Como el vlor de (foo) es más grnde que el (vértie), siempre se umple que e > 1. Ejemplos. Clulr ls longitudes de los semiejes rel e imginrio, ls oordends de los vérties, foos, l longitud del ldo reto, l eentriidd ls euiones de ls síntots de ls siguientes hipérols: 1) 1 9 Soluión. El eje rel es., 9, los vérties se enuentrn en: V 1 (, 0) V (, 0) los etremos del eje imginrio están en: B ( 0) B ( 0, ) oteniendo : 9 los foos se uin en: F ( 0) F ( 0), ( ) ( 9) 18 L eentriidd es: e > 1. El ldo reto es: LR u. ls euiones de ls síntots son: ±, es deir: ) Soluión. Dividiendo todo por 96 : De l euión se dedue que: 1 8. oteniendo :

6 Fultd de Contdurí Administrión. UNAM Hipérol Autor: Dr. José Mnuel Beerr Espinos ( 1 ) ( 8) 0 los vérties se uin en V 1 ( 1, 0) V ( 1, 0) los etremos del eje imginrio están en: B ( 0 8 ) B ( 0, 8 ) los foos se enuentrn en: F ( 0 0) F ( 0 0), 0 l eentriidd es: e > 1. El ldo reto es: LR 1 ( 8) ( 8) 8 ls euiones de ls síntots son: ±, es deir: u. Ejemplo. Si se se que se tiene un foo en V ( 100) un vértie en F ( 80) hipérol. Soluión., Por simetrí se dedue que el otro vértie está en V ( 100) el otro foo en: F ( 80) oteniendo : 10 8 l euión usd es: 1 6 6, ( ) ( ) l eentriidd es: e > 1. El ldo reto es: LR 9u ls euiones de ls síntots son: ±, es deir: 8, otener ls rterístis de l ECUACIÓN ORDINARIA DE LA HIPÉRBOLA VERTICAL CON CENTRO EN EL ORIGEN El proedimiento pr otener l euión de l hipérol vertil es mu similr l que se hizo on l hipérol horizontl. En este so, los vérties foos están sore el eje en ls oordends V1 ( 0,), V ( 0, ) F1 ( 0,) F ( 0, ) que:,, respetivmente, plindo l epresión de distni entre dos puntos se tiene ( 0) ( ( ) ) ( 0) ( ) que equivle : ( ) ( ) después de desrrollr, eliminr rdiles simplifir, se lleg : 6

7 Fultd de Contdurí Administrión. UNAM Hipérol Autor: Dr. José Mnuel Beerr Espinos 1 euión onoid omo euión ordinri o nóni de l hipérol vertil on entro en el origen, de semieje rel de semieje imginrio. L hipérol en este so tendrí l siguiente form: P(,) F 1 (0,) d B (-,0) V 1 (0,) B 1 (,0) V (0,-) F (0,-) d 1 Un de ls síntots ps por el origen el punto (,), por lo que su euión está dd por: dd por: 0 0 ±.. L otr síntot ps por el origen el punto (,), por lo que su euión está. Esto signifi que ls euiones de ls síntots pr este so son: ( ) LONGITUD DE LOS LADOS RECTOS DE UNA HIPÉRBOLA VERTICAL Pr enontrr ls oordends de los etremos del ldo reto de un hipérol vertil, que ps por el foo F se sustitue el vlor de por en l euión despejd pr : ± pero omo, se tiene: 7

8 Fultd de Contdurí Administrión. UNAM Hipérol Autor: Dr. José Mnuel Beerr Espinos ± ± ± por lo ul, ls oordends de los etremos P 1 P del ldo reto soido F 1 son: P P, Similrmente, pr enontrr ls oordends de los etremos del ldo reto que ps por el foo F, el proedimiento es idéntio l tomr en uent que los puntos P P son simétrios los puntos P 1 P on respeto l eje, on lo que se tienen l misms ordends respetivs, por lo que ls oordends de los etremos P P del ldo reto soido F son: P P, LR P F 1 (0,) P 1 V 1 V P P F (0,-) L longitud, medid en uniddes lineles ( u ), de d ldo reto viene ddo por l difereni de sus siss. Por lo tnto: Ejemplos. LR 8 LR. 1) Otener tods ls rterístis de l hipérol de euión:

9 Fultd de Contdurí Administrión. UNAM Hipérol Autor: Dr. José Mnuel Beerr Espinos Soluión. De l euión se dedue que: 9 oteniendo : 16 los vérties se uin en V 1 ( 0, ) V ( 0, ) los etremos del eje imginrio están en: B 1 (, 0) B (, 0) los foos se enuentrn en: F 1 ( 0, ) F ( 0, ) ( ) 16 ( ) l eentriidd es: e > 1. El ldo reto es: LR u. ls euiones de ls síntots son: ±, es deir: ) Otener tods ls rterístis de l hipérol on foos en ( 0, ±6) euiones: ±. Soluión. De los dtos se dedue que: 6 De ls euiones de ls síntots se despej : ± pero tmién se se que: que el eje rel es por lo tnto, l euión usd es: los vérties están en V 0, ± , l eentriidd es: e 6 1 F que tiene síntots de l longitud del ldo reto es: LR 1 u > 1 9

10 Fultd de Contdurí Administrión. UNAM Hipérol Autor: Dr. José Mnuel Beerr Espinos ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA HORIZONTAL CUANDO SU CENTRO ES CUALQUIER PUNTO DEL PLANO Si el entro de l hipérol horizontl es el punto ( h,k) ' ', su euión ordinri viene dd por: C, que es el origen del sistem oordendo ( ) ( ) 1 pero teniendo en uent ls fórmuls de trslión: ' h ' k sustituendo en l euión nterior se tiene que: ( h) ( k ) que es l euión ordinri de l hipérol horizontl on entro en C ( h,k), de semieje rel de semieje imginrio. L siguiente figur muestr este so: 1 k F (h-,k) V (h-,k) C(h,k) V 1 (h,k) F 1 (h,k) h 10

11 Fultd de Contdurí Administrión. UNAM Hipérol Autor: Dr. José Mnuel Beerr Espinos De l figur se puede preir que los vérties están en: V 1 ( h,k) V ( h,k) imginrio están en: B 1 ( h,k ) B ( h,k ), por su prte, los foos se uin en F ( h,k) ( h,k) F. L longitud del ldo reto sigue siendo h ± k ± Ejemplo., ls euiones de ls síntots son: k ± ( h), los etremos del eje 1 LR, los etremos de los ldos retos son: ( ) ( ) Enontrr todos los elementos de l hipérol u euión es: 1 Soluión. De l euión se prei que 1 h k C 1,. por lo tnto, el entro se ui en ( ) Por otr prte, se tiene: 9, 6, 6 los vérties están en: V ( 1 ±, ) V ( ) V ( ), oteniendo : 9 6 que equivle : los foos se uin en: F ( 1 ±, ) F ( 1 ) F ( 1 ) que equivle :, l eentriidd es: e > 1. ( 6) ( 6) el ldo reto es: LR u. 6 desrrollndo reduiendo se otienen ls rets: ls euiones de ls síntots son: ± ( 1), que equivle : ± ( 1) ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA VERTICAL CUANDO SU CENTRO ES CUALQUIER PUNTO DEL PLANO Si el entro de l hipérol vertil es el punto ( h,k) su euión ordinri viene dd por: C, que es el origen del sistem oordendo ' ', ( ' ) ( ) ' 1 11

12 Fultd de Contdurí Administrión. UNAM Hipérol Autor: Dr. José Mnuel Beerr Espinos pero teniendo en uent ls fórmuls de trslión: ' h ' k sustituendo en l euión nterior se tiene que: ( k ) ( h) que es l euión ordinri de l hipérol vertil on entro en C ( h,k), de semieje rel de semieje imginrio. L siguiente figur muestr este so: 1 F 1 (h,k) V 1 (h,k) k C(h,k) V (h,k-) F (h,k-) h De l figur se puede preir que los vérties están en: V 1 ( h,k ) V ( h,k ) en F 1 ( h,k ) F ( h,k ) ldos retos son: Ejemplo.. L longitud del ldo reto sigue siendo h ±, k ± los foos se uin LR, los etremos de los. ls euiones de ls síntots son: k ± ( h) Enontrr l euión de l hipérol sus rterístis si tiene vérties en V ( 1) ( 7) 8 longitud de sus ldos retos es u. V, u 1

13 Fultd de Contdurí Administrión. UNAM Hipérol Autor: Dr. José Mnuel Beerr Espinos Soluión. Como ls siss de los vérties no min, se trt de un hipérol vertil el entro se ui en C, C (, ) sí que el semieje rel es: despejndo de l epresión del ldo reto: ( ) ( ) LR sí que l euión usd es: ( ) ( ) ( ) ( ) oteniendo : los foos se uin en: (, ± 1) 1, esto es, 1 h k F que equivle : F (, 1 ) F (, 1 ) 1 desrrollndo reduiendo se otienen ls rets: ls euiones de ls síntots son: ± ( ), que equivle : ( ) ± ( ) ECUACIÓN GENERAL DE LA HIPÉRBOLA HORIZONTAL Se l euión ordinri trsldd de l hipérol horizontl: ( h) ( k ) 1 desrrollndo se tiene: h h k k 1 multiplindo por : ( h h ) ( k k ) ( 1) ( h h ) ( k k ) h h k k omodndo: h k h k 0 relizndo los siguientes mios de vrile: A, C, D h, E k, F h k l epresión qued omo: A C D E F 0 1

14 Fultd de Contdurí Administrión. UNAM Hipérol Autor: Dr. José Mnuel Beerr Espinos que es l euión generl de l hipérol horizontl. Nótese omo A C, tnto en signo omo en mgnitud. Ejemplo. Otener l euión generl de l hipérol horizontl sus rterístis si el semieje rel igul seis, C,. el semieje imginrio es ino su entro está en ( ) Soluión. 6, los vérties están en: V ( ± 6, ) V ( 9, ), V (, ) oteniendo : los foos se uin en: F ( ± 61, ) F ( 61, ), F ( 61, ) 1 ( ) ( ) 61 0 l eentriidd es: e > l longitud del ldo reto es: LR u Ls euiones de ls síntots son: ± ( ), que equivle : 6( ) ± ( ) 6 desrrollndo reduiendo se otienen ls rets: L euión ordinri trsldd qued: ( ) ( ) ( ) ( ) multiplindo por 900 : ( ) 6( ) 900 desrrollndo: 6 9 ( ) 6( 8 16) omodndo se lleg l euión generl pedid: ECUACIÓN GENERAL DE LA HIPÉRBOLA VERTICAL Se l euión ordinri trsldd de l hipérol vertil: ( k) ( h) 1 desrrollndo se tiene: k k h h multiplindo por : 1 ( k k ) ( h h ) ( 1) ( k k ) ( h h ) k k h h omodndo: h k h k 0 1

15 Fultd de Contdurí Administrión. UNAM Hipérol Autor: Dr. José Mnuel Beerr Espinos relizndo los siguientes mios de vrile: A, C, D h, E k, F h k l epresión qued omo: A C D E F 0 que es l euión generl de l hipérol vertil. Adviértse que en este so el signo negtivo lo llev l vrile. Ejemplo. Otener l euión generl de l hipérol on foos en F ( 16) ( 10) F, on eentriidd e. Soluión. Al no mir ls siss de los foos, se trt de un hipérol vertil on entro en 6 0 ( 1) C C,, esto es, h 1 k oteniendo : 6 despejndo de l eentriidd: ( ) e oteniendo : 9 sí que l euión usd es: ( ) ( 1) ( ) 1 multiplindo por 0 : ( ) 0( 1) ( ) ( 1) ( ) ( 1) 0 ( ) ( ) 8 0 omodndo se lleg l euión generl pedid: CARACTERÍSTICAS DE LA HIPÉRBOLA A PARTIR DE SU ECUACIÓN GENERAL Pr trnsformr l euión generl de l hipérol horizontl: A C D E F 0 su h ( ) ( ) euión ordinri: 1 k, o pr psr de l euión generl de l hipérol vertil: ( k ) ( h ) A C D E F 0 su respetiv euión ordinri: 1, se puede logrr relizndo los siguientes psos: 1

16 Fultd de Contdurí Administrión. UNAM Hipérol Autor: Dr. José Mnuel Beerr Espinos 1. Se reordenn los términos en en. Se etre omo ftor omún l oefiiente de l vrile elevd l udrdo. Se ompletn los udrdos perfetos(tcp). Se ftoriz. Se divide entre el término independiente. Ejemplos. Otener tods ls rterístis de ls siguientes hipérols: 1) Soluión. Siguiendo l metodologí sugerid, se tiene: ( 8) 7( 1) 07 0 ( 8 16) 7( 1 6) ( ) 7( 6) 0 ( ) 7( 6) ( ) 7( 6) ( ) ( 6) 1 7 El eje rel es. Se prei que, k 6 7 7, 1 h, por lo que el entro se ui en: C (, 6) l uiión de los vérties es: V ( 7, 6) V ( 7, 6) oteniendo : los foos se uin en: F ( 1, 6) F ( 1, 6) 1 1 L eentriidd es: e > 1. L longitud del ldo reto es: LR 7 ls euiones de ls síntots son: 6 ± ( ) desrrollndo reduiendo se otienen ls rets: ) Soluión. De uerdo l metodologí meniond, se tiene: ( 6) ( ) 6 0 ( 6 9) ( ) 6 ( 9) ( ) 0 7 ( ) 10 u

17 Fultd de Contdurí Administrión. UNAM Hipérol Autor: Dr. José Mnuel Beerr Espinos ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 que equivle : El eje rel es. Se prei que, k, 1 h, por lo que el entro se ui en C (,) l uiión de los vérties están en: V ( ) V ( 0) oteniendo : 9, los foos se uin en: F (, 9 ) F (, 9 ) 1 9 l eentriidd es: e > 1. L longitud del ldo reto es: LR u. ls euiones de ls síntots son: ± ( ) ± desrrollndo reduiendo se otienen ls rets: ) Soluión. Conforme l metodologí epuest, se tiene: ( 0) 9( ) 0 ( 0 0) 9( 1) ( 0) 91 ( ) 0 ( 0) 9( 1) ( 0) 9( 1) ( 0) ( 1) El eje rel es. Se prei que 0, k 1 9 9, ( ), es deir: ( ) ( ) 1 h, por lo que el entro se ui en ( 0, 1) l uiión de los vérties es: V (, 1) V (, 1) oteniendo : los foos se uin en: F ( 1, 1) F ( 1, 1) 1 1 L eentriidd es: e > 1. L longitud del ldo reto es: ls euiones de ls síntots son: 1 ± ( ) desrrollndo reduiendo se otienen ls rets: ( ) LR, esto es: ( 1) ± ( ) 8 C. u. 17

18 Fultd de Contdurí Administrión. UNAM Hipérol Autor: Dr. José Mnuel Beerr Espinos CASO ESPECIAL O DEGENERADO DE UNA HIPÉRBOLA Si en el proeso de trnsformión de l euión generl l euión ordinri suede que el término independiente es ero, el resultdo no es un hipérol sino dos rets no prlels que surgen de l ftorizión de l difereni de dos udrdos. Gráfimente esto es: A B C 0 L 1 A 1 B 1 C 1 0 L Ejemplos. Otener tods ls rterístis de ls siguientes euiones: 1) 9 0 Soluión., por lo tnto si se pli se tiene que: Se se que ( )( ) ( )( ) 0, ls rets que se ruzn son: 0 0 ) 0 Soluión. Aomodndo ls vriles: 0 Ahor, siguiendo el proedimiento plntedo: 6 1 ( ) ( ) 0 ( 6 9) 1( ) (9) 1() 0 ( ) 1( ) 6 18

19 Fultd de Contdurí Administrión. UNAM Hipérol Autor: Dr. José Mnuel Beerr Espinos ( ) 1( ) 0 ftorizndo: [ ( ) 1( ) ][ ( ) 1( ) ] 0 seprndo ls vriles se tiene: ( ) ( ) 0 ( ) 1( ) ) Soluión. Aomodndo ls vriles: Ahor, siguiendo el proedimiento plntedo: ( ) ( ) 0 ( 0 0) 16( 6 9) 1 9(0) 16(9) 0 9( 0) 16( ) 1 1 9( 0) 16( ) 0 16( ) 9( 0) 0 ftorizndo: [ ( ) ( 0) ][ ( ) ( 0) ] 0 seprndo ls vriles. Se tiene: ( ) ( ) 0 ( ) ( 0) APLICACIONES Alguns pliiones de l hipérol se pueden enontrr en: 1. En l lolizión de epientros de movimientos telúrios trvés de sismógrfos.. L nturlez de l hipérol se proveh en el diseño de telesopios refletores.. En l nvegión se utiliz l definiión de l hipérol: un ro se enuentr sore un hipérol uos foos están en l posiión de dos estiones. L rzón de esto es que l difereni onstnte de tiempo entre ls señles emitids desde d estión orresponde un difereni onstnte entre ls distnis del ro d estión. Medinte l utilizión de l hipérol se puede ser l lolizión et del ro.. Investigiones de físi tómi hn demostrdo que ls prtíuls lf puntds hi el núleo de un átomo son repelids siguen un tretori hiperóli.. Ls tretoris de los lgunos omets eternos del sistem solr que son trídos por l grvedd del Sol, desrien un órit hiperóli, onsiderndo que en uno de los foos está el Sol. Al desriir este movimiento, estos omets esprán nuevmente de este sistem. 6. En el diseño de lgunos ros úpuls de onstruiones moderns. 7. Un relión hiperóli determin que dos ntiddes son inversmente proporionles Este sistem de nvegión reie el nomre de LORAN. 19